河南省安陽市南平中學高二數(shù)學理下學期期末試題含解析

河南省安陽市南平中學高二數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是4.8，方差是3.6，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上60，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（）A．55.2，3.6 B．55.2，56.4 C．64.8，63.6 D．64.8，3.6參考答案：D【考點】極差、方差與標準差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】首先寫出原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)表示式和方差的表示式，把數(shù)據(jù)都加上60以后，再表示出新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的表示式，兩部分進行比較，得到結(jié)果【解答】解：設這組數(shù)據(jù)分別為x1，x2，…，xn，若其平均數(shù)是4.8，方差是3.6，則有1=（x1+x2+…+xn）=4.8，方差S12=[（x1﹣）2+…+（xn﹣）2]=3.6；若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上60，則數(shù)據(jù)為60+x1，60+x2，…，60+xn，則平均數(shù)2=[（60+x1）+）60+x2）+…+（60+xn）]=60+4.8=64.8，方差S22=[（60+x1﹣64.8）2+…+（60+xn﹣64.8）2]=3.6；故選：D．【點評】本題考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的計算，關(guān)鍵是掌握數(shù)據(jù)方差、平均數(shù)的計算公式．2.函數(shù)在處有極值為7，則a=（

）A.－3或3 B.3或－9 C.3 D.－3參考答案：C【分析】題意說明，，由此可求得【詳解】，∴，解得或，時，，當時，，當時，，是極小值點；時，，不是極值點．∴．故選C．【點睛】本題考查導數(shù)與極值，對于可導函數(shù)，是為極值的必要條件，但不是充分條件，因此由求出參數(shù)值后，一般要驗證是否是極值點．3.設（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11，則a0+a1+a2+…+a11的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2參考答案：A【考點】DC：二項式定理的應用．【分析】本題由于求的是展開式右邊a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11中a0+a1+a2+…+a11的和，所以可以利用賦值的辦法令x+2=1，由此將x=﹣1代入展開式即可求出結(jié)果為﹣2．【解答】解：令x+2=1，所以x=﹣1，將x=﹣1代入（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11得[（﹣1）2+1]（﹣2+1）9=a0+a1+a2+…+a11；∴a0+a1+a2+…+a11=2×（﹣1）=﹣2．所以選A4.若，則實數(shù)x的取值范圍是____________;參考答案：略5.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點的坐標為

(

)

A（-1，1）

B（1，1）

C（1，-1）

D（-1，-1）參考答案：A6.某產(chǎn)品的廣告費用與銷售額的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程y=bx+a中的b為9.4，據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為（

）A．63.6萬元

B．65.5萬元

C．67.7萬元

D．72.0萬元參考答案：B略7.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，AB=4，AA1=6．若E，F(xiàn)分別是棱BB1，CC1上的點，且BE=B1E，C1F=CC1則異面直線A1E與AF所成角的余弦值為（）A．B．C．D．參考答案：D【考點】異面直線及其所成的角．【分析】由題意建立空間直角坐標系，利用空間向量求得與所成角的余弦值，即可得到異面直線A1E與AF所成角的余弦值．【解答】解：以AB中點為原點建立如圖所示空間直角坐標系，∵AB=4，AA1=6，且，∴A（0，﹣2，0），A1（0，﹣2，6），E（0，2，3），F(xiàn)（﹣2，0，4），∴，．則cos＜＞==．∴異面直線A1E與AF所成角的余弦值為．故選：D．8.設，若函數(shù)有大于零的極值點，則的取值范圍是（

）（A）

（B）

(C)

(D)參考答案：A略9.（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：D略10.設，方程的解集是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程_________參考答案：【分析】求得函數(shù)的導數(shù)，分別計算得，，再利用直線的點斜式方程，即可求解切線的方程，得到答案．【詳解】由題意，函數(shù)，則，則，，所以曲線在處的切線方程為，即．【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)的幾何意義求解曲線在某點處的切線方程，其中解答中熟記導數(shù)的幾何意義的應用，準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．12.在△ABC中，若AB=1，AC=，|+|=||，則=．參考答案：【考點】9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算律．【分析】根據(jù)題意，以AB、AC為鄰邊的平行四邊形ABDC是矩形，由勾股定理求出BC=2．過A作AE⊥BC于E，算出BE=，最后結(jié)合數(shù)量積的公式和直角三角形余弦的定義，即可算出的值．【解答】解：以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，則=+∵=∴四邊形ABDC是矩形過A作AE⊥BC于E∵Rt△ABC中，，∴BC==2，可得斜邊上的高AE==因此，BE==∵=，cos∠ABC=∴==1，可得=故答案為：13.設數(shù)列{an}是公差d＜0的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S6=5a1+10d，則Sn取最大值時，n=

．參考答案：5或6【考點】等差數(shù)列的前n項和；數(shù)列的函數(shù)特性．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由S6=5a1+10d，可得6a1+=5a1+10d，化為a6=0．又公差d＜0，即可得出．【解答】解：由S6=5a1+10d，可得6a1+=5a1+10d，化為a1+5d=0，∴a6=0．又公差d＜0，因此Sn取最大值時，n=5或6．故答案為：5或6．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．14.已知i是虛數(shù)單位，若復數(shù)（1+ai）（2﹣i）是純虛數(shù)（a∈R），則復數(shù)a+i的共軛復數(shù)為

．參考答案：-2﹣i【考點】A5：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，由實部為0且虛部不為0求得a值，則答案可求．【解答】解：∵（1+ai）（2﹣i）=（a+2）+（2a﹣1）i是純虛數(shù)，∴，解得a=﹣2．∴a+i=﹣2+i，其共軛復數(shù)為﹣2﹣i．故答案為：﹣2﹣i．15.已知是空間兩兩垂直且長度相等的基底，則的夾角為

．參考答案：略16.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都是2，以A為坐標原點建立空間直角坐標系，則頂點B1的坐標是__________．參考答案：（，1，2）17.如圖，正方體的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段上的動點，過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S。則下列命題正確的是_________（寫出所有正確命題的編號）。①當時，S為四邊形

②當時，S為等腰梯形③當時，S與的交點R滿足④當時，S為六邊形

⑤當時，S的面積為參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍.參考答案：19.在直角梯形PBCD中，，A為PD的中點，如圖．將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，點E在SD上，且，如圖．（Ⅰ）求證：SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．參考答案：【分析】（法一）（1）由題意可知，翻折后的圖中SA⊥AB①，易證BC⊥SA②，由①②根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；（2）（三垂線法）由考慮在AD上取一點O，使得，從而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，過O作OH⊥AC交AC于H，連接EH，∠EHO為二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可（法二：空間向量法）（1）同法一（2）以A為原點建立直角坐標系，易知平面ACD的法向為，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可【解答】解法一：（1）證明：在題平面圖形中，由題意可知，BA⊥PD，ABCD為正方形，所以在翻折后的圖中，SA⊥AB，SA=2，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，因為SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B所以BC⊥平面SAB，又SA?平面SAB，所以BC⊥SA，又SA⊥AB，BC∩AB=B所以SA⊥平面ABCD，（2）在AD上取一點O，使，連接EO因為，所以EO∥SA因為SA⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，過O作OH⊥AC交AC于H，連接EH，則AC⊥平面EOH，所以AC⊥EH．所以∠EHO為二面角E﹣AC﹣D的平面角，．在Rt△AHO中，∴，即二面角E﹣AC﹣D的正切值為解法二：（1）同方法一（2）解：如圖，以A為原點建立直角坐標系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）∴平面ACD的法向為設平面EAC的法向量為=（x，y，z），由，所以，可取所以=（2，﹣2，1）．所以所以即二面角E﹣AC﹣D的正切值為20.（本題滿分15分）在一次電視節(jié)目的搶答中，題型為判斷題，只有“對”和“錯”兩種結(jié)果，其中某明星判斷正確的概率為，判斷錯誤的概率為，若判斷正確則加1分，判斷錯誤則減1分，現(xiàn)記“該明星答完題后總得分為”．

（1）當時，記，求的分布列及數(shù)學期望及方差；（2）當時，求的概率．參考答案：（1）的取值為1，3，又；

故，．所以ξ的分布列為：13且

=1×+3×=；（2）當S8=2時，即答完8題后，回答正確的題數(shù)為5題，回答錯誤的題數(shù)是3題，又已知，若第一題和第二題回答正確，則其余6題可任意答對3題；若第一題和第二題回答錯誤，第三題回答正確，則后5題可任意答對題．

此時的概率為．略21.已知圓C的圓心坐標（1，1），直線l：x+y=1被圓C截得弦長為，（1）求圓C的方程；（II）從圓C外一點p（2，3）向圓引切線，求切線方程．參考答案：【考點】直線與圓相交的性質(zhì)；直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（I）設圓C的半徑為r，根據(jù)圓心坐標寫出圓的標準方程，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離即為弦心距，然后根據(jù)垂徑定理得到其垂足為弦的中點，由弦長的一半，圓心距及半徑構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解即可得到r的值，從而確定圓C的方程；（II）當切線方程的斜率不存在時，顯然得到x=2為圓的切線；當切線方程的斜率存在時，設出切線的斜率為k，由P的坐標和k寫出切線方程，利用點到直線的距離公式求出圓心到所設直線的距離d，根據(jù)直線與圓相切，得到d等于圓的半徑，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，從而確定出切線的方程，綜上，得到所求圓的兩條切線方程．【解答】解：（I）設圓的方程為：（x﹣1）2+（y﹣1）2=r2因為圓心C到直線l的距離：d==，所以：r2=+=1，即r=1，圓的方程為：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1；（II）當切線的斜率不存在時，顯然x=2為圓的一條切線；當切線的斜率存在時，設切線的斜率為k，則切線方程為y﹣3=k（x﹣2），即：kx﹣y﹣2k+3=0由=1，解得k=，所以切線方程為y﹣3=（x﹣2），即3x﹣4y+6=0綜上：所求的切線方程為x=2和3x﹣4y=6=0．22.如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點.（1）求的長；