2023松江高三數(shù)學(xué)二模題解

2023松江二摸題解

2023.4

考生注意：

1.答卷前，考生務(wù)必在答題紙上將姓名、

高考準(zhǔn)考證號填寫清楚，并在規(guī)定的區(qū)域內(nèi)

貼上條形碼.

2.本試卷共有23道試題，總分值150分,

考試時間120分鐘.

一、填空題(本大題每總分值56分)本大題

共有14題，考生必須在答題紙相應(yīng)編號的

空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分,

否那么一律得零分.

函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

1.y=log2—X-SOUQ,”

2.假設(shè)(a+2i)i=6+i,其中a、是虛數(shù)單位,那么a+b

—1

2

3.假設(shè)a=(1,2),b=(2,k-5)9allb9那么&=±3

2222"_*>

4?lim(-------+--------++--------)一?L

…2"+12"+12"+1

2(-2")

=lim=11mmi=2.

解：原式〃T82尸+12+1

5.數(shù)列｛%｝的前〃項和S.=〃2一7"，假設(shè)第A項滿足

9<a,<12,那么

6.假設(shè)函數(shù)y=X在八€(0㈤上存在反函數(shù)，那

么實(shí)數(shù)”的取值范圍為（。⑵.

7.直線4的方程為y=2x+3,假設(shè)直線4與4關(guān)于

直線y=r對稱，那么直線的

斜率為▲

8,定義一種運(yùn)算5人金，運(yùn)算

原理如右框圖所示，那么

cos450sin15+sin450cos15=▲

1

—?

2

解：sin45°0sin150+sin45°0sin75°

9.在相亡［的展開式的各項中任取一項，假

設(shè)其系數(shù)為奇數(shù)時得2分，其系數(shù)為偶數(shù)時

得0分，現(xiàn)從中隨機(jī)取一項，那么其得分的

數(shù)學(xué)期望值是▲.|

解：q=C>5-r解=,其系數(shù)分別為:

C；=1,C；=5,C；=10,C；=10,C；=5,C；=1o

V一.

10.在直線和曲線上各任取一點(diǎn)，假設(shè)把這

兩點(diǎn)間距離的最小值定義為直線與曲線間

的距離，那么直線2x+4y+13=0與橢圓*小|間

的距離為▲375

解法L設(shè)2x+4y+%=0與橢圓相切，那么

94

由

當(dāng)4=10時，

兩平行線的距離4.「=嚕o

V22+4210

方法2：設(shè)M橢圓東上任意一點(diǎn)，那么

94

M(3cos6,2sin8)(8G[0,2")

那么點(diǎn)M到直線的距離為

|lOsinf+arctan—|+131

7|6cos6+8sin6+13|(4J

77=____________________—________________________-_______

'V22+422百

,_|-10+13|_3V5此時。音『編叱"一

ml2亞=記I)

11.等比數(shù)列⑸｝中“1，那么其前3項的和邑

的取值范圍是(一8,一皿[3,+8)

解：設(shè)首項為…公比為q,那么依題意有

,nS3=l+q+!

d3=a]q

當(dāng)q>0時，S3e[3,田)；當(dāng)q<0時，53G(-OO-1]O

綜上可得：s,的取值范圍是(-00,-1]u[3,+00)

12.函數(shù)「滿足對任意…2,都有

小)-小)<0成立,那么。的取值范圍是

Xy-X2

解：由f(x)對任意寸林都有也23<0成立，

%一工2

可知f(x)為減函數(shù)，

,[0<67<1,

因此有a-2<0,=>ae(0,go

l<(a-2)*0+2a.I」

13.函數(shù)①f[x)=InX；②f(x)=cosx；③/")=";

④/(X)=e"1其中對于/(X)定義域內(nèi)的任意

一個再都存在唯一個慟區(qū))/但)=1成立的

函數(shù)是二_?(寫出所有滿足條件的

函數(shù)的序號)③

14.集合A={4,，“3‘■'?，"”}，記和ai+aj(\<i<j<n')中所有

不同值的個數(shù)為M(A)?如當(dāng)A={1,2,3,4}時，由1+2=39

1+3=4，1+4=2+3=5，2+4=6，3+4=7，得M(A)=5?對

于集合3={4也也，…也},假設(shè)頭數(shù)仇也也，…也成等差

數(shù)列，那么M(5)=▲?2〃-3

解：不妨設(shè)a=k,keN*,那么

1+1+1+1+???1+n

2345???

2+2+???2+(n-2+

34???1)n

???

???

N+1N+???N+(n-

2???1)

/.（n—2）+（〃—1）—2n—3o

二、選擇題（本大題每總分值20分）本大題共

有4題，每題有且只有一個正確答案，考生

必須在答題紙相應(yīng)編號上，將代表答案的小

方格涂黑,選對答5分,否那么一律得零分.

15.假設(shè)將函數(shù)AMf皿的圖像向左平移

〃Q>。）個單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為偶

函數(shù)，那么〃的最小值為（D）

16.如果正數(shù)八八，、d滿足a+b—cd—那么

以下各式恒成立的是（B）

A?ab<c+dB?ab<c+dC?ab>c+d

D?ab>c+d

17.有一正方體形狀的骰子，六個面分別涂

上了紅、黃、藍(lán)、綠、白、黑六種不同的顏

色，投擲三次，觀察到的結(jié)果如下圖，那么

黃色對面的顏色是（C）

A.紅色B.藍(lán)色C.綠色D.黑

色

18.設(shè)函數(shù)/(x)=x\x\+bx+c(b,cGR)9以下四個命題：

①〃b>0〃是“函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞增〃的

必要非充分條件；

②“b<09c<0是“方程/U)=o有兩個負(fù)根〃的

充分非必要條件；

③〃c=0〃是“函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)〃的充要條

件；

④"c>°"是"不等式f(x)>(2x/c+/?)%對任意X"恒

成立〃的既不充分也不必要條件.

那么真命題的是(C)

A.①③B.①②C.③D.②④

三.解答題(本大題每總分值74分)本大題

共有5題，解答以下各題必須在答題紙相應(yīng)

編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

19.(此題總分值10分)

如圖，為了測量河對

岸的塔高”，可以選與塔

底8在同一水平面內(nèi)的兩

個測量點(diǎn)c與現(xiàn)測得

ZBCD=53,ZBDC=60，CD=60(米)，

并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為ZAC5=29,求塔高

（精確到0」米）.

解：（此題10分）如圖，為了測量河對岸的

塔高鉆，可以選與塔底8在同一水平面內(nèi)的

兩個測量點(diǎn)c與現(xiàn)測得NBCD=53,ZBDC=60,

CD=6。（米），并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為

ZACB=299求塔高A6（精確到?！姑祝?

解：在邱CD中，

NC80=18O-(53+60)=67,***2分

由正弦定理得BCCD

sinNBDC-sin乙CBD

60-sin60

所以仁與普sin679,?,6分

在Rt^ABC中,

.__.__60,sin60__。

AB=BC-tanZACB=------------xtan29?31.393

sin67

分

所以，塔高AB為31.3米....10分

20.（此題總分值14分）此題

A

共有2個小題，第1小題總分

E

值6分，第2小題總分值8分

梯形ABCD中9AD//BC，

Z.ABC=/BAD=%,AB=BC=2AD=49E、F分別是AB、CD

上的點(diǎn)，EF//BC9沿砂將梯形ABCD翻折，使AE±

平面EBCF(如圖).設(shè)AE=x，四面體DFBC的體積

記為了(幻?

⑴寫出f(x)表達(dá)式，并求f(x)AD

的最大值；

/E1----/-----二~\

(2)當(dāng)x=2時，求二面角D-BF-E\

的余弦值.B1

20.(此題14分，其中第(1)小題6分，

第(2)小題8分)

梯形ABCD中，AD/7BC,ZABC=ZBAD

A-

瑟，AB=BC=2AD=4,E、F分\

:————―

別是AB、CD上的點(diǎn)，EF〃BC,然「一」\

設(shè)AE沿EF將梯形ABCD翻折，使AE

J_平面EBCF(如圖).

(1)假設(shè)以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體

積記為了(X),求/(X)的最大值；

(2)當(dāng)x=2時，求二面角D-BF-E的余弦值.

解：(1)〈AE，平面EBCF

過D作DHIIAE,那么DG=AE,且DHlT

面EBCF........2分

lxs

所以/（X）=VD-BFC—3BFCxDG

分

即x=2時f（x）有最大值為

|o.....................................6分

（2）,.，AEJ_面平面EBCF,AE_LEF,AEJ_BE,又

BEJ_EF,故可如圖建立空間坐標(biāo)系

E-x/Zo............................................................7分

那么A（0,0,2）,B（2,0,0）,G（2,2,

0）,D（0,2,2）,E（0,0,0）

設(shè)平面DBF的法向量為=（x,y,z），

??AE=2,B（2,0,0）,D（0,2,2）,F（0,

3,0）,

BF=（-2,3,0）,BD=（-2,2,2）

那么g.巫=0,....................9分

n?BF-0

gn［（羽乂z）.（—2,2,2）=0,

〔（羽y,z）?（一230）=0'

-2x+2y+2z=0

-2x+3y=0

取x=3,那么y=2,z=l,「?q=(3,2,1)....................

11分

平面BCF的一個法向量為%=(o,o,i)12分

記此二面角的平面角為8,那么

°%"1V14??????I1N3ZV-

麗二4=分

所以此二面角的余弦值為當(dāng)…14分

14

2L(此題總分值16分)此題共有3個小題，

第1小題總分值3分，第2小題總分值5分，

第3小題總分值8分

f(x)=log,(1+x4)-；+.(xeR)是偶函數(shù).

l+x"

(1)求實(shí)常數(shù)”的值；

(2)寫出函數(shù)/⑺的單調(diào)遞增區(qū)間，并給予

證明；

(3)%為實(shí)常數(shù)，解關(guān)于x的不等式：

/(|x+M)>/(|3x+l|).

解：⑴「/(X)是偶函數(shù)，f(-x)=/(X),.....................

1分

.,,4、1一,八4、>nx+\......，

.-.Iog(l+X)---~=log(l+x)--~Z

21+xr21+x

分

mx-0f.'.m-0,????????????3

(2)V/(x)=log(l+x)2，/(X)的遞增區(qū)間

21+X

為[0,+8).........4分

證明：任取0<網(wǎng)<々，

/U1)-)=log,(1+xj)--log,(l+x4)----

f(x21,2

1+1+x2

22

1+X14/I11l+xzy

、1「x-xC

=iog2—4-+(----7------7)=log2—T+—4}--2~~z-oyy

“l(fā)+%2l+12l+xjl+x2(1+工2)(1+尤1)

2

?0<X)<X2??Xj<XIX：<X；,1+X；<1+%；

<0

??/Ui)-/U2)??，(x)的遞增區(qū)間為

[0,+8)O.....................8分

⑶由于/⑴在[0,+8)上是增函數(shù)

???由f(\x+k\)>f(\3x+\\)可得

1+屈>|3x+1|???????????????10'分

222

:.x+2kx+k＞9x+6x+l,

BP8/+（6—2Q尤+（1—&2）＜o(jì),

（x——）（x+中）＜0,....................12分

24

-左一-1（,--%+1）、--3k--l,

244

時，不等式解集為①；…14分

工時，不等式解集為（-號,程）；15分

J時，不等式解集為（浮16分

22.（此題總分值16分）此題共有3個小題，

第1小題總分值3分，第2小題總分值5分,

第3小題總分值8分

我們把一系列向量4（i=l,2,…，”）按次序排成

一列，稱之為向量列，記作｛叫.向量列間滿

足：q=（1,1），氏=（當(dāng),以）=，”一,1，九+”-1）（〃N2）?

（1）證明數(shù)列｛同｝是等比數(shù)列；

（2）設(shè)6.表示向量限見間的夾角,假設(shè)4=2叱一1,

S“=b、+瓦++bn9求S,,；

⑶設(shè)"叫陶同，問數(shù)列￡｝中是否存在最

小項？假設(shè)存在，求出最小項；假設(shè)不存在，

請說明理由.

22.（此題16分，其中第（1）小題3分，

第（2）小題5分，第歸）小題8分）

我們把一系列向量q.（i=l,2,,〃）按次序排成

一列，稱之為向量列，記作陽。向量列間滿

足：tz,=（1,1）,?！?（當(dāng)，為）=；（九一、1，西-+%-1）（〃22）,

（1）證明數(shù)列眄｝是等比數(shù)列；

（2）設(shè)〃表示向量怎T，4間的夾角，假設(shè)a=2〃Q—1,

S"=4+匕2+…+4，求S“；

⑶設(shè)c.=p?|-iog2|^|9問數(shù)列｛%｝中是否存在最

小項？假設(shè)存在，求出最小項；假設(shè)不存在，

請說明理由.

解：⑴同="（叱7,/+（%+—）2…1分

=乎也3+、3=，，數(shù)列｛同｝是等

比數(shù)列…3分

⑵

.......5分

"上?b=竺-1??7分

〃4"2

，s“=（9-1）+（，-1）++（］萬-1）=?（〃2+〃）_〃.....8分

22

（3）,?同=逝（2）=22Acn=2-…?10分

假設(shè)口中的第〃項最小，由.

2

??0<€2<^***11分

當(dāng)〃23時，有％<0,由c.4cM

得甘,2號產(chǎn)丁丁等即（A4

1一〃1一〃2

〃2—6〃+720，n>3+0或〃W3--\/2（舍），5

即有。5<。65<；........13分

由c,；%,得3<n<590<c2<c,，??

C5<°4<<4；...........15

故數(shù)列匕｝中存在最小項，最小項是

，5=-|2旬.........16分

23.（此題總分值18分）此題共有3個小題，

第1小題總分值4分，第2小題總分值6分，

第3小題總分值8分

2

拋物線方程為y=2Px（p>0）.

（1）假設(shè)點(diǎn)（2,2衣在拋物線上，求拋物線的

焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線’的方程；

（2）在（1）的條件下，假設(shè)過焦點(diǎn)尸且傾

斜角為60的直線加交拋物線于八B兩點(diǎn),點(diǎn)M

在拋物線的準(zhǔn)線/上，直線M4、MF、M8的斜率

分別記為1、AMF''MB'求證：4AM、Kw、^Mli

等差數(shù)列；

（3）對（2）中的結(jié)論加以推廣，使得（2）

中的結(jié)論成為推廣后命題的特例，請寫出推

廣命題，并給予證明.

說明：第13）題將根據(jù)結(jié)論的一般性程度

給予不同的評分.

23.（此題18分,其中第（1）小題4分,

第（2）小題6分，第13）小題8分）

拋物線方程為V=2Px（p>0）

（1）假設(shè)點(diǎn)（22⑶在拋物線上，求拋物線的

焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程；

（2）在（1）的條件下，假設(shè)過焦點(diǎn)F且傾

斜角為6。的直線〃，交拋物線于八B兩點(diǎn),點(diǎn)、M

在拋物線的準(zhǔn)線/上，直線M4、MF、MB的斜率

分別記為心、女MF求證：^MA、^MF、成

等差數(shù)列；

（3）對（2）中的結(jié)論加以推廣，使得（2）

中的結(jié)論成為推廣后命題的特例，請寫出推

廣命題，并結(jié)予證明.

說明：第（3）題將根據(jù)結(jié)論的一般性程度

給予不同的評分.

解：

(1)<?*(2,2五)在拋物線上，由(2偽2=2px2得

0=2................*..................2分

???拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸a,。),.........3

分

準(zhǔn)線/的方程為、一.........4分

(2)證明：???拋物線的方程為—過焦

點(diǎn)相。)且傾斜角為6。的直線優(yōu)的方程為

y=V3(x-1)

由1可得3%2—1Ox+3=0Xj=3,=—

〔>=白(x-1)-3

解得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A(3,2>/3)9

心一竽).........6分

???拋物線的準(zhǔn)線方程為x=設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)

為

M(T,r),....................................7分

那

2+3?

么=2￡T,kMII=_^,........