2023年第二十屆中國東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克高二年級(jí)組第一天試題（PDF版含解析）

第第頁2023年第二十屆中國東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克高二年級(jí)組第一天試題（PDF版含解析）第二十屆中國東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克

浙江·溫州

高二年級(jí)第一天

2023年7月30日上午8:00-12:00

1.已知正數(shù)列{}滿足：1=1，=2+√12√1+√1，為數(shù)列

{2}的前項(xiàng)和，求2023.

解：因a0，an=2+an121+an1=（1+a

2

nn1

1），

n+1

令bn=1+an，則bn=bn1，bn=2

2

，于是

2023202320232023

S2023=2

nan=2

n(bn1)

2=2n(b2n2bn+1)=2+2

n(bn12bn+1)

n=1n=1n=1n=2

2023

2022

=2+[2n(bn11)2

n+1(bn1)]=2+4(b11)2

2024(b202420231)=62(2

21)

n=2

2.對(duì)非空有限復(fù)數(shù)集合，定義的“陶?！睘閨∑∈|.給定整數(shù)≥3，設(shè)集合

22

={cos+isin|=0,1,…,1}.記為的陶模為0的非空子集的

個(gè)數(shù)，為的陶模為1的非空子集的個(gè)數(shù).比較和2的大小.

解：對(duì)于1，2，…,n，將Un的陶模為0的j元子集的全體記為Ωj,U的陶模為

1的j元子集的全體記為Γj.

顯然|Ω1|=|Ωn1|=0,|Ωn|=1,|Γn|=0，則

an=|Ω2|+|Ω3|++|Ωn2|+1，①

n=|Γ1|+|Γ2|++|Γn1|.②

下面證明

n|Ωj|≤|Γj1|+|Γj+1|(=2,3,…,2).③

22

記wk=cos()+sin()(=0,1,…,1).

對(duì)Ωj中的每個(gè)集合S，令S對(duì)應(yīng)Γj1∪Γj+1中的n個(gè)兩兩不同的集合

Tk=\{},若wk∈;Tk=∪{},若wk(=0,1,..,1).

不同的S對(duì)應(yīng)的集合沒有重復(fù)的.事實(shí)上，若Γj1∪Γj+1中的一個(gè)集合T是按上

述方式被Ωj中的集合所對(duì)應(yīng),則當(dāng)|T|=j1時(shí)，可唯一確定對(duì)應(yīng)于T的集合為

S=T∪{Σz∈Tz},當(dāng)|T|=j+1時(shí)，可唯一確定對(duì)應(yīng)于T的集合為=

\{Σz∈Tz}.從而當(dāng)S取遍Ωj中的所有集合時(shí)，可對(duì)應(yīng)到Γj1∪Γj+1中的n|Ωj|個(gè)兩

兩不同的集合，從而③成立.

因此，結(jié)合①，②，并注意到|Γ1|=|Γn1|=，可知

22

nan=∑n|Ωj|+.

361836343336

(最后一個(gè)等號(hào)是一個(gè)經(jīng)典的結(jié)果.)故我們完成了證明.

{#{ABTQIEogCgAABAABhCUQUiCkMQkBGCCKgGgFAIsAAASRNABAA=}#}第二十屆中國東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克

浙江·溫州

yuying

高二年級(jí)第一天

2023年7月30日上午8：00-12：00

1.設(shè)a,b為正實(shí)數(shù)，證明：

(a3+63+b3)信+后+)+27≥26(a+b+后+日+8+8》

a

2.對(duì)非空有限復(fù)數(shù)集合A,定義A的“陶?！睘椤苲A2引.給定整數(shù)n≥3，設(shè)集合

Un={cos2+isin貨k=0,1,n-1小，記an為Un的陶模為0的非空子集的

個(gè)數(shù)，bn為Un的陶模為1的非空子集的個(gè)數(shù).比較nan和2b,n的大小

3.如圖，在△ABC中，LBAC平分線上的點(diǎn)D滿足∠DBA=∠ADC.點(diǎn)E,F在過A且

垂直于AD的直線上，滿足AF=FC,AE=EB.設(shè)△EAC,△FAB的外接圓交于兩點(diǎn)

A,K,記A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)為