河北省石家莊市2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題含答案

石家莊市2023屆高中畢業(yè)年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（三）數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如圖，集合均為子集，表示的區(qū)域?yàn)椋ǎ〢.I B.II C.III D.IV2.已知函數(shù)同時(shí)滿足性質(zhì)：①；②對(duì)于，，則函數(shù)可能是（）A. B.C. D.3.觀察下列四幅殘差圖，滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定的是（）A. B.C. D.4.18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉研究調(diào)和級(jí)數(shù)得到了以下的結(jié)果：當(dāng)很大時(shí)，（常數(shù)）.利用以上公式，可以估計(jì)的值為（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（）A. B. C. D.6.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，其中下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C若，則D.若，則7.已知直線經(jīng)過(guò)圓的圓心，其中且，則的最小值為（）A.9 B. C.1 D.8.中國(guó)結(jié)是一種盛傳于民間的手工編織工藝品，它原本是舊石器時(shí)代的縫衣打結(jié)，后推展至漢朝的儀禮記事，再演變成今日的裝飾手藝.中國(guó)結(jié)顯示的精致與智慧正是中華民族古老文明中的一個(gè)側(cè)面.已知某個(gè)中國(guó)結(jié)的主體部分可近似地視為由一個(gè)大正方形（內(nèi)部是16個(gè)邊長(zhǎng)為2的小正方形）和16個(gè)半圓所組成，如圖，是中國(guó)結(jié)主體部分上的定點(diǎn)，點(diǎn)是16個(gè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求：全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9.已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是D.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則10.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是（）A. B.是極大值點(diǎn)C.是的極小值點(diǎn) D.是的極大值點(diǎn)11.已知函數(shù)圖象上的點(diǎn)都滿足，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.B.若直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，且滿足，則直線的斜率為.C.若函數(shù)在處取極小值，則.D.存在四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)圖象上的正方形，且這樣的正方形有兩個(gè).12.已知曲線為上一點(diǎn)，則（）A.與曲線有四個(gè)交點(diǎn)B.的最小值為1C.的取值范圍為D.過(guò)點(diǎn)的直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)__________.14.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則___________.15.已知正四面體的棱長(zhǎng)為是外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，是四面體內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是___________.16.我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，如，表示十進(jìn)制的數(shù)要用0~9這10個(gè)數(shù)字.而電子計(jì)算機(jī)用的數(shù)是二進(jìn)制數(shù)，只需0和1兩個(gè)數(shù)字，如四位一進(jìn)制的數(shù)，等于十進(jìn)制的數(shù)9，現(xiàn)有一組十進(jìn)制表示的數(shù)列，定義（表示的乘積），若將表示成二進(jìn)制數(shù)，其中有1011個(gè)數(shù)末位是0，若將表示成二進(jìn)制數(shù)，則末位是0的數(shù)至多有______個(gè).四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知中，角，，的對(duì)邊長(zhǎng)分別是，，，，且.（1）證明：；（2）若，求外接圓的面積18.如圖，在中，，為的中點(diǎn)，將繞所在的直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至形成如圖所示的幾何體，.（1）求幾何體的體積；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19.已知為拋物線上不同兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，過(guò)作于，且點(diǎn).（1）求直線的方程及拋物線的方程；（2）若直線與直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求到直線的距離最短時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo).20.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足.（1）求數(shù)列和通項(xiàng)公式；（2）若存在正整數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍..21.肝臟疾病是各種原因引起的肝臟損傷，是一種常見(jiàn)的危害性極大的疾病，研究表明有八成以上的肝病，是由乙肝發(fā)展而來(lái)，身體感染乙肝病毒后，病毒會(huì)在體內(nèi)持續(xù)復(fù)制，肝細(xì)胞修復(fù)過(guò)程中形成纖維化，最后發(fā)展成肝病.因感染乙肝病毒后身體初期沒(méi)有任何癥狀，因此忽視治療，等到病情十分嚴(yán)重時(shí)，患者才會(huì)出現(xiàn)痛感，但已經(jīng)錯(cuò)過(guò)了最佳治療時(shí)機(jī)，對(duì)乙肝病毒應(yīng)以積極預(yù)防為主，通過(guò)接種乙肝疫苗可以預(yù)防感染乙肝病毒?體檢是篩查乙肝病毒攜帶者最好的方法，國(guó)家在《中小學(xué)生健康體檢管理辦法》中規(guī)定：中小學(xué)校每年組織一次在校學(xué)生健康體檢，現(xiàn)某學(xué)校有4000名學(xué)生，假設(shè)攜帶乙肝病毒的學(xué)生占m%，某體檢機(jī)構(gòu)通過(guò)抽血的方法篩查乙肝病毒攜帶者，如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)次數(shù)4000次.為減輕化驗(yàn)工作量，統(tǒng)計(jì)專家給出了一種化驗(yàn)方法：隨機(jī)按照k個(gè)人進(jìn)行分組，將各組k個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)，如果混合血樣呈陰性，說(shuō)明這k個(gè)人全部陰性；如果混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就需對(duì)該組每個(gè)人血樣再分別化驗(yàn)一次.假設(shè)每人血樣化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽(yáng)性相互獨(dú)立.（1）若，記每人血樣化驗(yàn)次數(shù)為X，當(dāng)k取何值時(shí)，X的數(shù)學(xué)期望最小，并求化驗(yàn)總次數(shù)；（2）若，設(shè)每人血樣單獨(dú)化驗(yàn)一次費(fèi)用5元，k個(gè)人混合化驗(yàn)一次費(fèi)用k+4元.求當(dāng)k取何值時(shí)，每人血樣化驗(yàn)費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望最小，并求化驗(yàn)總費(fèi)用.參考數(shù)據(jù)及公式：.22.若定義在區(qū)間上的函數(shù)，其圖象上存在不同兩點(diǎn)處的切線相互平行，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“曲折函數(shù)”，“現(xiàn)已知函數(shù).（1）證明：是上的“曲折函數(shù)”；（2）設(shè)，證明：，使得對(duì)于，均有.石家莊市2023屆高中畢業(yè)年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（三）數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如圖，集合均為的子集，表示的區(qū)域?yàn)椋ǎ〢.I B.II C.III D.IV【答案】D【解析】由補(bǔ)集的概念，表示的區(qū)域如下圖所示陰影區(qū)域，∴表示的區(qū)域?yàn)橄聢D所示陰影區(qū)域，即為圖中的區(qū)域Ⅳ.故選：D.2.已知函數(shù)同時(shí)滿足性質(zhì)：①；②對(duì)于，，則函數(shù)可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)奇偶性的定義，若函數(shù)滿足，則函數(shù)為奇函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性的定義，若函數(shù)滿足，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，選項(xiàng)中四個(gè)函數(shù)定義域均為，，都有對(duì)于A，，故為奇函數(shù)，滿足性質(zhì)①，∵與均在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，滿足性質(zhì)②；對(duì)于B，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，為非奇非偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，性質(zhì)①，②均不滿足；對(duì)于C，，故為奇函數(shù)，滿足性質(zhì)①，令，，解得，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故在不單調(diào)，不滿足性質(zhì)②；對(duì)于D，由冪函數(shù)的性質(zhì)，為偶函數(shù)，在區(qū)間單調(diào)遞增，不滿足性質(zhì)①，滿足性質(zhì)②.故選：A.3.觀察下列四幅殘差圖，滿足一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根據(jù)一元線性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定，殘差應(yīng)是均值為0、方差為的隨機(jī)變量的觀測(cè)值.對(duì)于A選項(xiàng)，殘差與觀測(cè)時(shí)間有線性關(guān)系，故A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)；故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，殘差與觀測(cè)時(shí)間有非線性關(guān)系，故C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，殘差的方差不是一個(gè)常數(shù)，隨著觀測(cè)時(shí)間變大而變大，故D錯(cuò).故選：B.4.18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉研究調(diào)和級(jí)數(shù)得到了以下的結(jié)果：當(dāng)很大時(shí)，（常數(shù)）.利用以上公式，可以估計(jì)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意,所以,故選：C．5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】（法一）設(shè)的最小正周期為，由函數(shù)圖象可知，，∴，∴，∴，∴，又∵當(dāng)時(shí)，取最大值，∴，，∴，，∵，∴，∴.令，，解得，，∴的對(duì)稱中心為，，當(dāng)時(shí)，的一個(gè)對(duì)稱中心為.（法二）設(shè)的最小正周期為，由函數(shù)圖象可知，，∴，由圖象可知，的一個(gè)對(duì)稱中心為，∴的對(duì)稱中心為，，當(dāng)時(shí)，的一個(gè)對(duì)稱中心為，故選：D.6.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，其中下列命題正確的是（）A.若，則B若，則C.若，則D若，則【答案】C【解析】若，則或，A錯(cuò)；若，與不一定垂直，因此不正確，B錯(cuò)誤；由面面垂直的判定定理知C正確；若，則或，D錯(cuò)誤．故選：C．7.已知直線經(jīng)過(guò)圓的圓心，其中且，則的最小值為（）A9 B. C.1 D.【答案】A【解析】圓的圓心為，依題意，，即，由，知，令，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值9，故選：A8.中國(guó)結(jié)是一種盛傳于民間的手工編織工藝品，它原本是舊石器時(shí)代的縫衣打結(jié)，后推展至漢朝的儀禮記事，再演變成今日的裝飾手藝.中國(guó)結(jié)顯示的精致與智慧正是中華民族古老文明中的一個(gè)側(cè)面.已知某個(gè)中國(guó)結(jié)的主體部分可近似地視為由一個(gè)大正方形（內(nèi)部是16個(gè)邊長(zhǎng)為2的小正方形）和16個(gè)半圓所組成，如圖，是中國(guó)結(jié)主體部分上的定點(diǎn)，點(diǎn)是16個(gè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【思路分析】建立坐標(biāo)系，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求解，，只要最大即可.【解析】抽取其中部分圖形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，作于，則，因此只要最大，則取得最大值，由圖知當(dāng)點(diǎn)是靠近點(diǎn)上方的半圓與垂直的切線的切點(diǎn)取得最大值．圖中點(diǎn)上方最靠近點(diǎn)的圓的方程為，，，因此，設(shè)圓的斜率為的切線方程為，即，由，解得，由圖可知圖形中半圓的切線方程為，點(diǎn)到它的距離為，所以的最大值為，所以，故選：C．二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求：全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9.已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是D.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則【答案】AD【解析】由已知，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，C錯(cuò)誤；，A正確；由知對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以對(duì)應(yīng)點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，，因此，B錯(cuò)誤；對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，因此D正確．故選：AD．10.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是（）A. B.是的極大值點(diǎn)C.是的極小值點(diǎn) D.是的極大值點(diǎn)【答案】BC【解析】是的極大值點(diǎn)．則存在區(qū)間，，對(duì)任意有，不一定是最大值，A錯(cuò)誤；的圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，因此，對(duì)任意有，是的極大值點(diǎn)，B正確；的圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，因此對(duì)任意有，C正確；由BC的推理可知是的極小值點(diǎn)，D錯(cuò)誤．故選：BC．11.已知函數(shù)圖象上的點(diǎn)都滿足，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.B.若直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，且滿足，則直線的斜率為.C.若函數(shù)在處取極小值，則.D.存在四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上的正方形，且這樣的正方形有兩個(gè).【答案】ACD【思路分析】由已知條件化同構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)后求出的解析式，可判斷選項(xiàng)A，分類討論函數(shù)的極值情況，可判斷選項(xiàng)C，由過(guò)原點(diǎn)的直線和的對(duì)稱性，可判斷選項(xiàng)B，選項(xiàng)D.【解析】由得，，注意到兩個(gè)高次項(xiàng)的底數(shù)與恰好滿足，故，令，，則等價(jià)于，即∵，奇函數(shù)，∴，又∵，∴在上單調(diào)遞增，∴由得，即，由題意，即函數(shù)圖象上的點(diǎn)都滿足，∴，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，∵，，∴，∴為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)且斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由直線和的對(duì)稱性知，若直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，且滿足，則為坐標(biāo)原點(diǎn)，不妨設(shè)，，（），則由，消去，整理得，即，∴，，∴，即，∴，解得或或，即滿足題意的直線的斜率有，，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵，∴，∴，令，則或，當(dāng)時(shí)，，，變化情況如下：?jiǎn)握{(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，取極小值，解得（舍）或；當(dāng)時(shí)，，，變化情況如下：?jiǎn)握{(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，取極小值（舍），綜上所述，若函數(shù)在處取極小值，則，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，由正方形和的對(duì)稱性知，設(shè)正方形四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，則正方形的對(duì)角線與所在直線均過(guò)原點(diǎn)，斜率存在且不為，且，，不妨設(shè)所在直線為，則與選項(xiàng)B判斷過(guò)程同理，，設(shè)所在直線為，同理可得，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴，令，則，∴，∴，∴等價(jià)于，∵，∴有兩解，即有兩組斜率，使，，故存在四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)圖象上的正方形，且這樣的正方形有兩個(gè)，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是“同構(gòu)”，通過(guò)“同構(gòu)”構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)確定解析式.選項(xiàng)B和選項(xiàng)D的辨析，要利用好三次函數(shù)的對(duì)稱性.12.已知曲線為上一點(diǎn)，則（）A.與曲線有四個(gè)交點(diǎn)B.的最小值為1C.的取值范圍為D.過(guò)點(diǎn)的直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率【答案】BCD【思路分析】分象限討論得出曲線圖象，數(shù)形結(jié)合判斷A，根據(jù)圖象及橢圓、雙曲線性質(zhì)可知離原點(diǎn)最近的點(diǎn)判斷B，利用平行線間的距離可判斷C，求切線斜率結(jié)合圖象判斷D.【解析】當(dāng)時(shí)，曲線方程為，即，曲線為雙曲線一部分，當(dāng)，曲線方程為，曲線不存在，當(dāng)，曲線方程為，即，曲線為雙曲線一部分，當(dāng)，曲線方程為，即，曲線為橢圓一部分，綜上，作曲線圖象，如圖，對(duì)A，由雙曲線方程可知，漸近線方程為，直線與漸近線平行或重合，作漸近線的平行線，由圖象可知，直線與曲線不存在四個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由雙曲線、橢圓頂點(diǎn)性質(zhì)可知，曲線上與原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)為B，由曲線方程知，所以的最小值為1，故B正確；對(duì)C，表示曲線上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離，可轉(zhuǎn)化為兩平行線與直線間的距離，且與曲線有交點(diǎn)，聯(lián)立，可得，由，可解得或（舍去），結(jié)合圖象可知，，即，故C正確；對(duì)D，由在曲線的切線上，設(shè)過(guò)點(diǎn)M與相切的直線方程為，聯(lián)立，消元得：，所以，化簡(jiǎn)可得，解得或（與雙曲線左支相切，不滿足題意，舍去），由圖象可知，當(dāng)直線斜率滿足時(shí)，直線與曲線有3個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第一個(gè)難點(diǎn)在于通過(guò)分象限討論，去掉絕對(duì)值得出曲線方程，再由曲線方程畫(huà)出曲線圖象；第二個(gè)難點(diǎn)在于解題中充分應(yīng)用曲線在第一象限及第三象限的圖象為雙曲線部分，且具有相同的漸近線；第三個(gè)難點(diǎn)在于求過(guò)點(diǎn)與第一象限雙曲線相切時(shí)，計(jì)算量繁瑣，基本不能完成.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)__________.【答案】【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，，，，.令，則，∴的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.14.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則___________.【答案】502【解析】由題意可得：，，.所以15.已知正四面體的棱長(zhǎng)為是外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，是四面體內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】如圖，是正四面體的高，由對(duì)稱性知其外接球與內(nèi)切球球心重合為且在上，是底面正中心，，，設(shè)外接球半徑為，即，由得，解得，因此內(nèi)切球半徑為，顯然有，即，，，所以，16.我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，如，表示十進(jìn)制的數(shù)要用0~9這10個(gè)數(shù)字.而電子計(jì)算機(jī)用的數(shù)是二進(jìn)制數(shù)，只需0和1兩個(gè)數(shù)字，如四位一進(jìn)制的數(shù)，等于十進(jìn)制的數(shù)9，現(xiàn)有一組十進(jìn)制表示的數(shù)列，定義（表示的乘積），若將表示成二進(jìn)制數(shù)，其中有1011個(gè)數(shù)末位是0，若將表示成二進(jìn)制數(shù)，則末位是0的數(shù)至多有______個(gè).【答案】1012【思路點(diǎn)撥】先找到表示的二進(jìn)制數(shù)，然后結(jié)合題意利用組合極值分析即可得到.【解析】對(duì)于，且，，表示的二進(jìn)制數(shù)為，當(dāng)時(shí)，均為偶數(shù)，所以為偶數(shù)，要使中偶數(shù)最多，只需前面的偶數(shù)連續(xù)，例如取均為偶數(shù)，均為奇數(shù)，則均為偶數(shù)，均為奇數(shù)，此時(shí)中有1011個(gè)數(shù)的末位為0，此時(shí)表示成二進(jìn)制至多有1012個(gè)末位是0，四?解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知中，角，，的對(duì)邊長(zhǎng)分別是，，，，且.（1）證明：；（2）若，求外接圓的面積【解析】（1）由已知，，∴，∴，∴，∴，易知上式中，，，∴由上式得，即.（2）∵，∴由正弦定理和余弦定理得，，化簡(jiǎn)得，∴.又∵，，∴，是以為斜邊，為直角的直角三角形，∴外接圓的直徑，外接圓的半徑，∴外接圓的面積.18.如圖，在中，，為的中點(diǎn)，將繞所在的直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至形成如圖所示的幾何體，.（1）求幾何體的體積；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）根據(jù)圓錐的定義易知，幾何體為圓錐的一部分，且為圓錐的高，所以；（2）過(guò)點(diǎn)作，分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則：，則，設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角正弦值為.19.已知為拋物線上不同兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，過(guò)作于，且點(diǎn).（1）求直線的方程及拋物線的方程；（2）若直線與直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求到直線的距離最短時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）如圖，由點(diǎn)，得直線的斜率為1，又，則直線的斜率為，故直線的方程為，整理得直線的方程為設(shè)，聯(lián)立，得，則，由，得，即，因?yàn)?，所以，所以，解得，故拋物線方程為（2）設(shè)點(diǎn)是直線上任一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，所以，即直線的方程為.設(shè)點(diǎn)，則，點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時(shí)，的最小值是，此時(shí)，.20.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若存在正整數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍..【思路點(diǎn)撥】（1）由等比數(shù)列基本量法求得，由已知式變形確定是等差數(shù)列，從而可得通項(xiàng)公式；（2）不等式變形為，設(shè)，用作差法求得的最大項(xiàng)即可得范圍．【解析】（1）設(shè)數(shù)列公比為，由已知得，即，解得或（舍），所以.因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，兩式作差得，因?yàn)椋?，即?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以（2），設(shè)，則小于等于數(shù)列的最大項(xiàng).設(shè)時(shí)，最大，因?yàn)椋杂杉?，即，即，解得即，所以故?shù)列的最大項(xiàng)是，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.21.肝臟疾病是各種原因引起的肝臟損傷，是一種常見(jiàn)的危害性極大的疾病，研究表明有八成以上的肝病，是由乙肝發(fā)展而來(lái)，身體感染乙肝病毒后，病毒會(huì)在體內(nèi)持續(xù)復(fù)制，肝細(xì)胞修復(fù)過(guò)程中形成纖維化，最后發(fā)展成肝病.因感染乙肝病毒后身體初期沒(méi)有任何癥狀，因此忽視治療，等到病情十分嚴(yán)重時(shí)，患者才會(huì)出現(xiàn)痛感，但已經(jīng)錯(cuò)過(guò)了最佳治療時(shí)機(jī)，對(duì)乙肝病毒應(yīng)以積極預(yù)防為主，通過(guò)接種乙肝疫苗可以預(yù)防感染乙肝病毒?體檢是篩查乙肝病毒攜帶者最好的方法，國(guó)家在《中小學(xué)生健康體檢管理辦法》中規(guī)定：中小學(xué)校每年組織一次在校學(xué)生健康體檢，現(xiàn)某學(xué)校有4000名學(xué)生，假設(shè)攜帶乙肝病毒的學(xué)生占m%，某體檢機(jī)構(gòu)通過(guò)抽血的方法篩查乙肝病毒攜帶者，如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)次數(shù)4000次.為減輕化驗(yàn)工作量，統(tǒng)計(jì)專家給出了一種化驗(yàn)方法：隨機(jī)按照k個(gè)人進(jìn)行分組，將各組k個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)，如果混合血樣呈陰性，說(shuō)明這k個(gè)人全部陰性；如果混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就需對(duì)該組每個(gè)人血樣再分別化驗(yàn)一次.假設(shè)每人血樣化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽(yáng)性相互獨(dú)立.（1）若，記每人血樣化驗(yàn)次數(shù)為X，當(dāng)k取何值時(shí)，X的數(shù)學(xué)期望最小，并求化驗(yàn)總次數(shù)；（2）若，設(shè)每人血樣單獨(dú)化驗(yàn)一次費(fèi)用5元，k個(gè)人混合化驗(yàn)一次費(fèi)用k+4元.求當(dāng)k取何值時(shí)，每人血樣化驗(yàn)費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望最小，并求化驗(yàn)總費(fèi)用.參考數(shù)據(jù)及公式：.【思路分析】(1)設(shè)每人血樣化驗(yàn)次數(shù)為，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算公式、對(duì)立事件概率計(jì)算公式求得，從而確定正確答