高等數(shù)學(xué)-二重積分概念課件

第九章一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分重積分1第九章一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分重三、二重積分的性質(zhì)第一節(jié)一、引例二、二重積分的定義與可積性二重積分的概念與性質(zhì)2三、二重積分的性質(zhì)第一節(jié)一、引例二、二重積分的定解法:

類似定積分解決問題的思想:一、引例曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xOy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢

的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”3解法:類似定積分解決問題的思想:一、引例曲頂柱體的體積1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n

個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點小曲頂柱體41)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚?)“取極限”令54)“取極限”令5二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n

個小區(qū)域任取一點若存在一個常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),6二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D任意分成n個引例中曲頂柱體體積:如果在D上可積,元素d

也常記作二重積分記作這時分區(qū)域D,因此面積可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃7引例中曲頂柱體體積:如果在D上可積三、二重積分的性質(zhì)(k

為常數(shù))

為D的面積,則8三、二重積分的性質(zhì)(k為常數(shù))為D的面積,則8特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為

,則有9特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為,則有7.(二重積分的中值定理)證:

由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點在閉區(qū)域D上

為D的面積,則至少存在一點使使連續(xù),因此107.(二重積分的中值定理)證:由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介例1.

比較下列積分的大小:其中解:

積分域D的邊界為圓周它在與x軸的交點(1,0)處與直線從而而域D位于直線的上方,故在D上11例1.比較下列積分的大小:其中解:積分域D的邊界例2.估計下列積分之值解:

D

的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96

I2D12例2.估計下列積分之值解:D的面積為由于積分性質(zhì)例3.判斷積分的正負號.解:

分積分域為則原式=猜想結(jié)果為負

但不好估計.13例3.判斷積分的正負號.解:分積分域為則原式=猜想結(jié)8.設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對稱,函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時,仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分,則有148.設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)15內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性被積函數(shù)相同,且非負,思考與練習(xí)解:

由它們的積分域范圍可知1.

比較下列積分值的大小關(guān)系:16被積函數(shù)相同,且非負,思考與練習(xí)解:由它們的積分域范圍2.

設(shè)D

是第二象限的一個有界閉域,且0<y<1,則的大小順序為()提示:因0<y<1,故故在D上有172.設(shè)D是第二象限的一個有界閉域,且0<y3.計算解:183.計算解:184.證明:其中D為解:

利用題中x,y

位置的對稱性,有又D的面積為1,故結(jié)論成立.194.證明:其中D為解:利用題中x,y位置的對稱備用題1.估計的值,其中D

為解:

被積函數(shù)D