2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)考點大串講（北師大版）：一元一次不等式與一元一次不等式組（解析版）

專題02一元一次不等式與一元一次不等式組一．不等式的定義（共3小題）二．不等式的性質(zhì)（共7小題）三．不等式的解集（共4小題）四．在數(shù)軸上表示不等式的解集（共5小題）五．一元一次不等式的定義（共1小題）六．解一元一次不等式（共3小題）七．一元一次不等式的整數(shù)解（共3小題）八．由實際問題抽象出一元一次不等式（共2小題）九．一元一次不等式的應(yīng)用（共2小題）十．一元一次不等式組的定義（共1小題）十一．解一元一次不等式組（共2小題）十二．一元一次不等式組的整數(shù)解（共3小題）十三．由實際問題抽象出一元一次不等式組（共2小題）十四．一元一次不等式組的應(yīng)用（共4小題）十五．一次函數(shù)與一元一次不等式（共3小題）考點一、不等式的相關(guān)概念1．不等式用不等號連接起來的式子叫做不等式．常見的不等號有五種：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．2．不等式的解與解集不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一個含有未知數(shù)的不等式的解的全體，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀的表示出來，具體表示方法是先確定邊界點：解集包含邊界點，是實心圓點；不包含邊界點，則是空心圓圈；再確定方向：大向右，小向左.3．解不等式求不等式的解集的過程或證明不等式無解的過程，叫做解不等式.要點詮釋：不等式的解與一元一次方程的解是有區(qū)別的：不等式的解是不確定的，是一個范圍，而一元一次方程的解則是一個具體的數(shù)值．考點二、不等式的性質(zhì)性質(zhì)1：不等式兩邊加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變，即如a＞b，那么a±c＞b±c．性質(zhì)2：不等式兩邊乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或＞）．性質(zhì)3：不等式兩邊乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或＜）．要點詮釋：（1）不等式的其他性質(zhì)：①若a＞b，則b＜a；②若a＞b，b＞c，則a＞c；③若a≥b，且b≥a，則a=b；④若a2≤0，則a=0；⑤若ab＞0或，則a、b同號；⑥若ab＜0或，則a、b異號.（2）任意兩個實數(shù)a、b的大小關(guān)系：①a-b＞Oa＞b；②a-b=Oa=b；③a-b＜Oa＜b．不等號具有方向性，其左右兩邊不能隨意交換：但a＜b可轉(zhuǎn)換為b＞a，c≥d可轉(zhuǎn)換為d≤c.考點三、一元一次不等式（組）1．一元一次不等式的概念只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b＞0(a≠0)或ax+b≥0(a≠0)，ax+b＜0(a≠0)或ax+b≤0(a≠0)．2．一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法類似，但要特別注意不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)時，不等號要改變方向．解一元一次不等式的一般步驟：(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)合并同類項；(5)化系數(shù)為1．要點詮釋：解一元一次不等式和解一元一次方程類似．不同的是：一元一次不等式兩邊同乘以(或除以)同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向必須改變，這是解不等式時最容易出錯的地方．3．一元一次不等式組及其解集含有相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元一次不等式組．一元一次不等式組中，幾個不等式解集的公共部分．叫做這個一元一次不等式組的解集．一元一次不等式組的解集通常利用數(shù)軸來確定．要點詮釋：判斷一個不等式組是一元一次不等式組需滿足兩個條件：①組成不等式組的每一個不等式必須是一元一次不等式，且未知數(shù)相同；②不等式組中不等式的個數(shù)至少是2個，也就是說，可以是2個、3個、4個或更多．4．一元一次不等式組的解法由兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集的四種情況如下表．不等式組（其中a＞b）圖示解集口訣（同大取大）（同小取?。ù笮∪≈虚g）無解（空集）（大大、小小找不到）注：不等式有等號的在數(shù)軸上用實心圓點表示.要點詮釋：解不等式組時，一般先分別求出不等式組中各個不等式的解集并表示在數(shù)軸上，再求出它們的公共部分，就得到不等式組的解集．5．一元一次不等式（組）的應(yīng)用列一元一次不等式（組）解實際應(yīng)用問題，可類比列一元一次方程解應(yīng)用問題的方法和技巧，不同的是，列不等式（組）解應(yīng)用題，尋求的是不等關(guān)系，因此，根據(jù)問題情境，抓住應(yīng)用問題中“不等”關(guān)系的關(guān)鍵詞語，或從題意中體會、感悟出不等關(guān)系顯得十分重要．要點詮釋：列一元一次不等式組解決實際問題是中考考查的一個重要內(nèi)容，在列不等式解決實際問題時，應(yīng)掌握以下三個步驟：（1）找出實際問題中的所有不等關(guān)系或相等關(guān)系（有時要通過不等式與方程綜合來解決），設(shè)出未知數(shù)，列出不等式組（或不等式與方程的混合組）；（2）解不等式組；（3）從不等式組（或不等式與方程的混合組）的解集中求出符合題意的答案．6．一元一次不等式、一元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系一次函數(shù)，當(dāng)函數(shù)值時，一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元一次方程；當(dāng)函數(shù)值或時，一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元一次不等式，利用函數(shù)圖象可以確定的取值范圍.一．不等式的定義（共3小題）1．（2022春?三元區(qū)期中）據(jù)悉，我國設(shè)計制造的天舟二號貨運(yùn)飛船，在2021年5月29日20：55順利升空，將6噸多物資運(yùn)送到天和核心艙，若用a表示貨運(yùn)飛船的載貨質(zhì)量，則對a的取值理解最準(zhǔn)確的是（）（單位：噸）A．a(chǎn)≈6 B．a(chǎn)＞6 C．a(chǎn)＜7 D．6＜a＜7【分析】根據(jù)“6噸多”得到x的取值范圍即可．【解答】解：根據(jù)“6噸多”物資運(yùn)送到天和核心艙得到6＜x＜7．故選：D．【點評】本題主要考查了不等式的定義：用“＞”或“＜”號表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“≠”號表示不等關(guān)系的式子也是不等式．2．（2022春?鄧州市期中）在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，符號占有很重要的地位，它不但書寫簡單，而且表達(dá)的意義很明確．在不等式中，除了我們熟悉的符號外，還有很多：比如：≮表示不小于；≯表示不大于，＞＞表示遠(yuǎn)大于；＜＜表示遠(yuǎn)小于等．下列選項中表達(dá)錯誤的是（）A．2≮2 B．﹣1≯0 C．100＞＞1 D．﹣2＜＜﹣99【分析】根據(jù)≮表示不小于即可判斷選項A，根據(jù)≯表示不大于即可判斷選項B，根據(jù)＞＞表示遠(yuǎn)大于即可判斷選項C，根據(jù)＜＜表示遠(yuǎn)小于即可判斷選項D．【解答】解：A．2≮2表示2不小于2，即2小于或等于2，選項A不符合題意；B．﹣1≯0表示﹣1不大于0，即﹣1小于或等于0，選項B不符合題意；C．100＞＞1表示100遠(yuǎn)大于1，選項C不符合題意；D．﹣2＜＜﹣99表示﹣2遠(yuǎn)小于﹣99，這種表述是錯誤的，應(yīng)該是﹣2遠(yuǎn)大于﹣99，即﹣2＞＞﹣99，選項D符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查了不等式，理解題意掌握不等式的相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．3．（2022春?封丘縣期中）若x是非正數(shù)，則x≤0．（填不等號）【分析】根據(jù)不等關(guān)系解決此題．【解答】解：由題意得，x≤0．故答案為：≤．【點評】本題主要考查不等式的定義，熟練掌握不等式關(guān)系的表示是解決本題的關(guān)鍵．二．不等式的性質(zhì)（共7小題）4．（2022春?皇姑區(qū)校級期中）如果x＜y，那么下列不等式正確的是（）A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷．【解答】解：A、在不等式x＜y的兩邊同時減去1，不等號的方向不變，即x﹣1＜y﹣1，不符合題意；B、在不等式x＜y的兩邊同時加上1，不等號的方向不變，即x+1＜y+1，不符合題意；C、在不等式x＜y的兩邊同時乘﹣2，不等號法方向改變，即﹣2x＞﹣2y，不符合題意；D、在不等式x＜y的兩邊同時乘2，不等號的方向不變，即2x＜2y，符合題意．故選：D．【點評】本題主要考查了不等式的性質(zhì)．不等式的性質(zhì)1：不等式的兩邊都加（或減）同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變；不等式的性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．據(jù)此逐一判斷即可．5．（2022秋?富陽區(qū)期中）選擇適當(dāng)?shù)牟坏忍柼羁眨喝鬭＜b，則﹣2a＞﹣2b．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可解答．【解答】解：∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，故答案為：＞．【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022春?昌平區(qū)期中）如圖，x和5分別表示天平上兩邊的砝碼的質(zhì)量，請你用“＞”或“＜”填空：x﹣3＜2．【分析】托盤天平是支點在中間的等臂杠桿，天平平衡時砝碼的質(zhì)量等于被測物體的質(zhì)量，根據(jù)圖示知被測物體的質(zhì)量x小于砝碼的質(zhì)量．【解答】解：根據(jù)圖示知被測物體的質(zhì)量x小于砝碼的質(zhì)量，即x＜5，所以x﹣3＜2．故答案為：＜．【點評】本題考查了不等式的相關(guān)知識，利用“天平”的不平衡來得出不等關(guān)系，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．7．（2022秋?鹿城區(qū)校級期中）當(dāng)x＞y時，（1）請比較﹣3x+5與﹣3y+5的大小，并說明理由．（2）若（a﹣3）x＜（a﹣3）y，則a的取值范圍為a＜3．（直接寫出答案）【分析】（1）先求出（﹣3x+5）﹣（﹣3y+5）的值，再根據(jù)x＞y判斷即可；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)3得出a﹣3＜0，再求出答案即可．【解答】解：（1）﹣3x+5＜﹣3y+5，理由是：∵x＞y，∴y﹣x＜0，∴（﹣3x+5）﹣（﹣3y+5）＝﹣3x+5+3y﹣5＝3y﹣3x＝3（y﹣x）＜0，∴﹣3x+5＜﹣3y+5；（2）∵x＞y，（a﹣3）x＜（a﹣3）y，∴a﹣3＜0，∴a＜3，即a的取值范圍是a＜3．故答案為：a＜3．【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙獯祟}的關(guān)鍵．8．（2022春?五華區(qū)校級期中）閱讀材料：對實數(shù)a、b，定義T（a，b）的含義為：當(dāng)a＜b，時T（a，b）＝a+b；當(dāng)a≥b時，T（a，b）＝a﹣b．例如：T（1，3）＝1+3＝4，T（2，﹣1）＝2﹣（﹣1）＝3；根據(jù)以上材料，回答下列問題：（1）若T（m2+1，﹣1）＝6，則m＝2或﹣2；（2）已知x+y＝8，且x＞y，求T（4，x）﹣T（4，y）的值．【分析】（1）由題意可得T（m2+1，﹣1）＝m2+1+1＝6，求出m的值即可；（2）由題意可得x＞4，y＜4，再求T（4，x）﹣T（4，y）＝4+x﹣（4﹣y）＝x+y＝8．【解答】解：（1）∵m2+1＞0，∴m2+1＞﹣1，∴T（m2+1，﹣1）＝m2+1+1＝6，解得m＝2或m＝﹣2，故答案為：2或﹣2；（2）∵x＞y，∴x＞4，y＜4，∴T（4，x）﹣T（4，y）＝4+x﹣（4﹣y）＝x+y，∵x+y＝8，∴T（4，x）﹣T（4，y）＝8．【點評】本題考查不等式的性質(zhì)，熟練掌握平方根的運(yùn)算，不等式的性質(zhì)，弄清定義是解題的關(guān)鍵．9．（2022春?如東縣期中）若a、b、c是三個非負(fù)數(shù)，并且2a﹣3b+c＝5，a﹣2b+c＝4，設(shè)m＝3a﹣b+7c，則m的最小值為24．【分析】由兩個已知等式2a﹣3b+c＝5和a﹣2b+c＝4．可用其中一個未知數(shù)表示另兩個未知數(shù)，然后由條件：a，b，c均是非負(fù)數(shù)，列出c的不等式組，可求出未知數(shù)c的取值范圍，再把m＝3a﹣b+7c中a，b轉(zhuǎn)化為c，即可得解．【解答】解：聯(lián)立方程組，解得a＝c﹣2，b＝c﹣3，∵a≥0、b≥0，∴c﹣2≥0，c﹣3≥0，c≥3．∴m＝3a﹣b+7c＝3（c﹣2）﹣（c﹣3）+7c＝9c﹣3，當(dāng)c＝3時，m有最小值，即m＝24，故答案為：24．【點評】此題主要考查代數(shù)式求值，考查的知識點相對較多，包括不等式的求解、求最大值最小值等，另外還要求有充分利用已知條件的能力．10．（2022春?西城區(qū)校級期中）閱讀下列材料，解決問題：【問題背景】小明在學(xué)習(xí)完不等式的性質(zhì)之后，思考：“如何利用不等式的性質(zhì)1和2證明不等式的性質(zhì)3呢？”在老師的啟發(fā)下，小明首先把問題轉(zhuǎn)化為以下的形式：①已知：a＞b，c＜0．求證：ac＜bc．②已知：a＞b，c＜0．求證：＜．【問題探究】（1）針對①小明給出如下推理過程，請認(rèn)真閱讀，并填寫依據(jù)：∵c＜0，即c是一個負(fù)數(shù)∴c的相反數(shù)是正數(shù)，即﹣c＞0∵a＞b∴a?（﹣c）＞b?（﹣c）（依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時乘以一個正數(shù)，不等號方向不變）即﹣ac＞﹣bc不等式的兩端同時加（ac+bc）可得：﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時加上同一個整式，不等號不變）合并同類項可得：bc＞ac即：ac＜bc得證．（2）參考（1）的結(jié)論或證明方法，完成②的證明．【分析】（1）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行分析即可；（2）仿照（1）的方法進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）∵c＜0，即c是一個負(fù)數(shù)∴c的相反數(shù)是正數(shù)，即﹣c＞0∵a＞b∴a?（﹣c）＞b?（﹣c）（依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時乘以一個正數(shù)，不等號方向不變），即﹣ac＞﹣bc，不等式的兩端同時加（ac+bc）可得：﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時加上同一個整式，不等號不變），合并同類項可得：bc＞ac，即：ac＜bc，得證．故答案為：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時乘以一個正數(shù)，不等號方向不變；不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時加上同一個整式，不等號不變；（2）∵c＜0，即c是一個負(fù)數(shù)∴c的相反數(shù)是正數(shù)，即﹣c＞0∵a＞b∴＞（依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時除以一個正數(shù)，不等號方向不變），即﹣＞﹣，不等式的兩端同時加（）可得：﹣+（）＞﹣+（）（依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時加上同一個數(shù)，不等號方向不變），即：，得證．【點評】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記不等式的基本性質(zhì)．三．不等式的解集（共4小題）11．（2022春?嘉定區(qū)校級期中）若不等式組的解集是x＞2．（1）m的取值范圍是m≤2；（2）試化簡：|2m﹣5|+|3﹣m|．【分析】（1）根據(jù)不等式的解集的計算方法進(jìn)行求解即可得出答案；（2）根據(jù)（1）中m的取值范圍，根據(jù)絕對值的意義進(jìn)行化簡即可得出答案．【解答】解：（1）∵不等式組的解集是x＞2，∴m≤2．故答案為：m≤2；（2）∵m≤2，∴2m﹣5＜0，3﹣m＞0，∴|2m﹣5|+|3﹣m|＝﹣（2m﹣5）+3﹣m＝﹣3m+8．【點評】本題主要考查了不等式的解集及絕對值，熟練掌握不等式的解集的求法及絕對值的意義進(jìn)行求解是解集本題的關(guān)鍵．12．（2021春?廬陽區(qū)校級期中）已知方程組的解滿足x為非正數(shù)，y為負(fù)數(shù)．（1）求m的取值范圍；（2）化簡：|m﹣3|﹣|m+2|；（3）在m的取值范圍內(nèi)，當(dāng)m為何整數(shù)時，不等式2mx+x＜2m+1的解集為x＞1．【分析】首先對方程組進(jìn)行化簡，根據(jù)方程的解滿足x為非正數(shù)，y為負(fù)數(shù)，就可以得出m的范圍，然后再化簡（2），最后求得m的值．【解答】解：（1）解原方程組得：，∵x≤0，y＜0，∴，解得﹣2＜m≤3；（2）|m﹣3|﹣|m+2|＝3﹣m﹣m﹣2＝1﹣2m；（3）解不等式2mx+x＜2m+1得（2m+1）x＜2m+1，∵x＞1，∴2m+1＜0，∴m＜﹣，∴﹣2＜m＜﹣，∴m＝﹣1．【點評】主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．13．（2021春?樂山期中）請閱讀求絕對值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集過程．對于絕對值不等式|x|＜3，從圖1的數(shù)軸上看：大于﹣3而小于3的絕對值是小于3的，所以|x|＜3的解集為﹣3＜x＜3；對于絕對值不等式|x|＞3，從圖2的數(shù)軸上看：小于﹣3而大于3的絕對值是大于3的，所以|x|＞3的解集為x＜﹣3或x＞3．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足|x+y|≤3，其中m是負(fù)整數(shù)，求m的值．【分析】根據(jù)題意由|x+y|≤3得出﹣3≤x+y≤3，解二元一次方程組，得出x+y＝﹣m﹣1，得到不等式組﹣3≤﹣m﹣1≤3，求出m值，結(jié)合m為負(fù)整數(shù)即可得出結(jié)果．【解答】解：∵|x+y|≤3，∴﹣3≤x+y≤3，解，①+②得：3x+3y＝﹣3m﹣3，∴x+y＝﹣m﹣1，則﹣3≤﹣m﹣1≤3，解得：﹣4≤m≤2，又m是負(fù)整數(shù)，∴m的值為﹣4或﹣3或﹣2或﹣1．【點評】本題考查了解一元一次不等式組和絕對值的意義，能正確去掉絕對值符號是解此題的關(guān)鍵．14．（2020春?西城區(qū)校級期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的關(guān)聯(lián)方程．（1）在方程①3x﹣1＝0，②x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式組的關(guān)聯(lián)方程是③；（填序號）（2）若不等式組的一個關(guān)聯(lián)方程的根是整數(shù)，則這個關(guān)聯(lián)方程可以是x﹣1＝0（答案不唯一）；（寫出一個即可）（3）若方程3﹣x＝2x，3+x＝2（x+）都是關(guān)于x的不等式組的關(guān)聯(lián)方程，直接寫出m的取值范圍．【分析】（1）先求出方程的解和不等式組的解集，再判斷即可；（2）先求出不等式組的解集，求出不等式組的整數(shù)解，再寫出方程即可；（3）先求出方程的解和不等式組的解集，即可得出答案．【解答】解：（1）解方程3x﹣1＝0得：x＝，解方程x+1＝0得：x＝﹣，解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2，解不等式組得：＜x＜，所以不等式組的關(guān)聯(lián)方程是③，故答案為：③；（2）解不等式組得：＜x＜，這個關(guān)聯(lián)方程可以是x﹣1＝0，故答案為：x﹣1＝0（答案不唯一）；（3）解方程3﹣x＝2x得：x＝1，解方程3+x＝2（x+）得：x＝2，解不等式組得：m＜x≤2+m，∵方程3﹣x＝2x，3+x＝2（x+）都是關(guān)于x的不等式組的關(guān)聯(lián)方程，∴0≤m＜1，即m的取值范圍是0≤m＜1．【點評】本題考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，解一元一次不等式組等知識點，能理解關(guān)聯(lián)方程的定義是解此題的關(guān)鍵．四．在數(shù)軸上表示不等式的解集（共5小題）15．（2022秋?越秀區(qū)校級期中）已知x是整數(shù)，并且|x|＜4，寫出x可能取的所有數(shù)值并在數(shù)軸上表示．【分析】找到絕對值小于4的所有整數(shù)：1，2，3，0，﹣1，﹣2，﹣3，在數(shù)軸上表示即可．【解答】解：∵|x|＜4，∴﹣4＜x＜4．∵x是整數(shù)，∴x可能取的所有數(shù)值為：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．在數(shù)軸上表示為：．【點評】本題考查的是在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟知數(shù)軸的特點是解題的關(guān)鍵．16．（2021春?全椒縣期中）解不等式＜，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．【分析】先去分母，再去括號，移項，合并同類項，把x的系數(shù)化為1，并在數(shù)軸上表示出來即可．【解答】解：去分母得，3（x﹣1）＜2x，去括號，3x﹣3＜2x，移項得，3x﹣2x＜3，合并同類項得，x＜3．在數(shù)軸上表示為：．【點評】本題考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步驟是解答此題的關(guān)鍵．17．（2022春?普寧市校級期中）解不等式組，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．【分析】首先解兩個不等式，然后確定不等式組的解集，再將解集在數(shù)軸上表示出來即可．【解答】解：由①得，x＞3，由②得，x≤4，所以不等式組的解集為：3＜x≤4，【點評】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，解決本題的關(guān)鍵是掌握點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點．18．（2022春?社旗縣期中）從下列不等式中，任選兩個不等式組成一個不等式組，解該不等式組，并把其解集表示在數(shù)軸上．①2x＞3x；②3（x+2）﹣1≥5﹣2（x﹣2）；③8x+1≤5x﹣3；④；⑤﹣3x＜0．【分析】選出兩個不等式，組成不等式組，并解不等式組即可．【解答】解：（答案不唯一）選①和②，，解不等式①得，x＜0，解不等式②得，x≥0.8．解集在數(shù)軸上表示為所以不等式組無解．【點評】本題考查一元一次不等式組的解法，能熟練地解不等式組是解題關(guān)鍵．19．（2022秋?博興縣期中）點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|，例如：數(shù)軸上表示﹣1與﹣2的兩點間的距離＝|﹣1﹣（﹣2）|＝﹣1+2＝1；而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x與﹣2兩點間的距離．利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示﹣2和﹣5兩點之間的距離3．（2）若數(shù)軸上表示點x的數(shù)滿足|x﹣1|＝2，那么x＝﹣1或3．（3）若數(shù)軸上表示點x的數(shù)滿足﹣4＜x＜3，求|x﹣3|+|x+4|的值．【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離公式計算可得；（2）由|x﹣1|＝2表示的意義為：在數(shù)軸上到表示1和x的點的距離為2，據(jù)此解答可得；（3）由|x﹣3|+|x+4|表示在數(shù)軸上表示x的點到﹣4和3的點的距離之和，且x位于﹣4到3之間，據(jù)此解答可得．【解答】解：（1）根據(jù)題意知數(shù)軸上表示﹣2和﹣5兩點之間的距離為﹣2﹣（﹣5）＝3，故答案為：3；（2）∵|x﹣1|＝2，即在數(shù)軸上到表示1和x的點的距離為2，∴x＝3或x＝﹣1，故答案為：﹣1或3；（3）∵|x﹣3|+|x+4|表示在數(shù)軸上表示x的點到﹣4和3的點的距離之和，且x位于﹣4到3之間，∴||x﹣3|+|x+4|＝3﹣x+x+4＝7．【點評】本題考查了整式的加減，數(shù)軸，利用了兩點間的距離公式，線段上的點到線段的兩端點的距離的和等于線段的距離．五．一元一次不等式的定義（共1小題）20．（2022春?臨汾期中）在數(shù)學(xué)表達(dá)式：﹣3＜0，a+b，x＝3，x2+2y+y2，x≠5，x+2＞y+3中，是一元一次不等式的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)不等式的定義，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號表示不相等關(guān)系的式子是不等式，依次判斷6個式子即可．【解答】解：根據(jù)不等式的定義，依次分析可得：﹣3＜0，a+b，x＝3，x2+2y+y2，x≠5，x+2＞y+3，這些不等式中只有1個式子x≠5符合一元一次不等式定義，而x＝3是等式，x2+2xy+y2是代數(shù)式，故選：A．【點評】本題考查不等式的定義，根據(jù)不等式的定義判斷即可，難度不大．六．解一元一次不等式（共3小題）21．（2022春?秦都區(qū)期中）解不等式．【分析】按照去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1的步驟解一元一次方程即可求解．【解答】解：去分母，得：3（2x﹣1）﹣（1+x）≥6，去括號，得：6x﹣3﹣1﹣x≥6，移項，得：6x﹣x≥6+1+3，合并同類項，得：5x≥10，系數(shù)化為1，得：x≥2．∴不等式的解集為：x≥2．【點評】本題考查了解一元一次不等式，正確的計算是解題的關(guān)鍵．22．（2022春?綿陽期中）關(guān)于x，y的方程組．（1）解方程組（含m的式子表示解）；（2）方程組的解滿足2x﹣3y＜9，求m的范圍．【分析】（1）利用加減法解關(guān)于x、y的方程組即可；（2）把（1）中的x、y代入2x﹣3y＜9得到關(guān)于m的不等式，然后解不等式即可．【解答】解：（1），①×3﹣②×2得9x﹣4x＝21m+24﹣6m+6，解得x＝3m+6，把x＝3m+6代入①得9m+18+2y＝7m+8，解得y＝﹣m﹣5，所以方程組的解為；（2）∵x＝3m+6，y＝﹣m﹣5，而2x﹣3y＜9，∴2（3m+6）﹣3（﹣m﹣5）＜9，解得m＜﹣2，即m的取值范圍為m＜﹣2．【點評】本題考查了解一元一次不等式：熟練掌握不等式的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．也考查了二元一次方程組．23．（2022春?景泰縣校級期中）解下列不等式：（1）2（x﹣1）≥x﹣5；（2）．【分析】（1）按照去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1的步驟解一元一次不等式；（2）按照去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1的步驟解一元一次不等式即可求解．【解答】解：（1）2x﹣2≥x﹣5，2x﹣x≥﹣5+2，解得：x≥﹣3；（2）1﹣3x＞2﹣4x，﹣3x+4x＞2﹣1，x＞1．【點評】本題考查了解一元一次不等式，正確的計算是解題的關(guān)鍵．七．一元一次不等式的整數(shù)解（共3小題）24．（2022春?新城區(qū)校級期中）利用不等式的性質(zhì)解不等式＞x﹣1，并寫出它的所有正整數(shù)解．【分析】去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，即可求得不等式的解集，然后確定解集中的正整數(shù)解即可．【解答】解：去分母，得1+2x＞3（x﹣1），去括號，得1+2x＞3x﹣3，移項，得2x﹣3x＞﹣3﹣1，合并同類項，得﹣x＞﹣4，系數(shù)化為1，得x＜4，則不等式的正整數(shù)解為：1，2，3．【點評】本題考查了一元一次不等式的解法，解不等式的依據(jù)是不等式的性質(zhì)，要注意不等式兩邊乘或除以同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向改變．25．（2022春?興文縣期中）已知不等式3x＜4（x+1）﹣1的最小整數(shù)解為方程4x﹣ax＝﹣16的解，求a的值．【分析】首先求出不等式的解集，然后得出最小整數(shù)解，然后代入方程4x﹣ax＝﹣16，列出關(guān)于a的一元一次方程，從而得出a的值．【解答】解：解不等式3x＜4（x+1）﹣1得x＞﹣3，∴不等式的最小整數(shù)解為x＝﹣2，把x＝﹣2代入4x﹣ax＝﹣16，得﹣8+2a＝﹣16，解得：a＝﹣4．即a的值為﹣4．【點評】本題主要考查解一元一次不等式，一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)不等式的解集得出最小整數(shù)解．26．（2022春?泌陽縣期中）解不等式：﹣1，并把不等式的解集表示在數(shù)軸上，并求出非負(fù)整數(shù)解．【分析】先去分母，再去括號，移項，合并同類項，把x的系數(shù)化為1，再把x的取值范圍在數(shù)軸上表示出來即可．【解答】解：，去分母：3（3x﹣2）≥5（2x+1）﹣15，去括號：9x﹣6≥10x+5﹣15，移項：9x﹣10x≥﹣10+6，合并同類項：﹣x≥﹣4，系數(shù)化為1：x≤4．將不等式的解表示在數(shù)軸上如下：∴非負(fù)整數(shù)解：x＝0，1，2，3，4．【點評】本題考查的是解一元一次不等式，解不等式要依據(jù)不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或整式不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘或除以同一個正數(shù)不等號的方向不變；（3）不等式的兩邊同時乘或除以同一個負(fù)數(shù)不等號的方向改變．八．由實際問題抽象出一元一次不等式（共2小題）27．（2022春?德化縣期中）已知“﹣x的與x的2倍的差大于x與10的和”．（1）試用不等式表示上述不等關(guān)系．（2）試用不等式的基本性質(zhì)求出（1）中不等式的解集．（3）請在數(shù)軸上表示（2）中不等式的解集．【分析】（1）根據(jù)題意列出不等式解答即可；（2）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)解答即可；（3）根據(jù)不等式的解集表示解答即可．【解答】解：（1）﹣x的與x的2倍的差大于x與10的和用不等式表示為：﹣x﹣2x＞x+10，（2）﹣x﹣2x＞x+10，﹣x﹣2x﹣x＞10，﹣x＞10，x＜﹣3，（3）在數(shù)軸上表示為：．【點評】此題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集以及解一元一次不等式．注意系數(shù)化一時：不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負(fù)數(shù)不等號的方向改變．28．（2021秋?溫州校級期中）某商店對A型號筆記本電腦舉行促銷活動，有兩種優(yōu)惠方案可供選擇．方案一：每臺按售價的九折銷售；方案二：若購買不超過5臺，每臺按售價銷售；若超過5臺，超過的部分每臺按售價的八折銷售．已知A型號筆記本電腦的原售價是5000元/臺，某公司一次性從該商店購買A型號筆記本電腦x臺．（1）若方案二比方案一更便宜，根據(jù)題意列出關(guān)于x的不等式．（2）若公司買12臺筆記本，你會選擇哪個方案？請說明理由．【分析】（1）根據(jù)方案二比方案一更便宜，根據(jù)題意列出關(guān)于x的不等式即可；（2）根據(jù)公司買12臺筆記本，列式計算即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)題意得，5000×5+5000×80%（x﹣5）＜5000×90%x；（2）選擇方案二，理由：方案一：5000×12×90%＝54000（元），方案二：5000×5+5000×80%×（12﹣5）＝53000（元），∵54000＞53000，∴選擇方案二．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)不等量關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（2）根據(jù)優(yōu)惠方案，列式計算．九．一元一次不等式的應(yīng)用（共2小題）29．（2022春?吳江區(qū)期中）某醫(yī)院準(zhǔn)備派遣醫(yī)護(hù)人員協(xié)助西安市抗擊疫情，現(xiàn)有甲、乙兩種型號的客車可供租用，已知每輛甲型客車的租金為280元，每輛乙型客車的租金為220元，若醫(yī)院計劃租用6輛客車，租車的總租金不超過1530元，那么最多租用甲型客車多少輛？【分析】設(shè)租用甲型客車x輛，則租用乙型客車（6﹣x）輛，利用總租金＝每輛甲型客車的租金×租用數(shù)量+每輛乙型客車的租金×租用數(shù)量，結(jié)合總租金不超過1530元，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，再取其中的最大整數(shù)值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)租用甲型客車x輛，則租用乙型客車（6﹣x）輛，依題意得：280x+220（6﹣x）≤1530，解得：x≤．又∵x為整數(shù)，∴x的最大值為3．答：最多租用甲型客車3輛．【點評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．30．（2022春?新豐縣期中）某班計劃購買A、B兩款文具盒作為期末獎品．若購買3盒A款的文具盒和1盒B款的文具盒需用22元；若購買2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元．（1）每盒A款的文具盒和每盒B款的文具盒各多少元．（2）某班決定購買以上兩款的文具盒共40盒，總費用不超過210元，那么該班最多可以購買多少盒A款的文具盒？【分析】（1）設(shè)每盒A款的文具盒為x元，每盒B款的文具盒為y元，由題意：若購買3盒A款的文具盒和1盒B款的文具盒需用22元；若購買2盒A款的文具盒和3盒B款的文具盒需用24元．列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）設(shè)該班購買m盒A款的文具盒，由題意：某班決定購買以上兩款的文具盒共40盒，總費用不超過210元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）設(shè)每盒A款的文具盒為x元，每盒B款的文具盒為y元，由題意得：，解得：，答：每盒A款的文具盒為6元，每盒B款的文具盒為4元；（2）設(shè)該班購買m盒A款的文具盒，由題意得：6m+4（40﹣m）≤210，解得：m≤25，答：該班最多可以購買25盒A款的文具盒．【點評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵時：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．一十．一元一次不等式組的定義（共1小題）31．（2022春?濰坊期中）寫出一個解集為﹣1≤x＜2的一元一次不等式組．【分析】根據(jù)“大小小大中間找”構(gòu)造不等式組則可．【解答】解：當(dāng)解集為﹣1≤x＜2時，構(gòu)造的不等式組為．答案不唯一【點評】本題考查了一元一次不等式解集與不等式組之間的關(guān)系，解不等式組的簡便求法就是用口訣求解，構(gòu)造已知解集的不等式是它的逆向運(yùn)用．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．一十一．解一元一次不等式組（共2小題）32．（2022秋?湖里區(qū)校級期中）解不等式組，并將解集在數(shù)軸上表示出來．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答】解：，由①得：﹣x≥﹣1，解得x≤1，由②得：1+x＞3x﹣3，解得x＜2，∴不等式組的解集為x≤1．將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：【點評】本題考查解一元一次不等式組、在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到”的原則是解答本題的關(guān)鍵．33．（2022春?淅川縣期中）解不等式組．（1）將不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來；（2）求出最小整數(shù)解與最大整數(shù)解的和．【分析】（1）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，繼而表示在數(shù)軸上即可；（2）結(jié)合不等式組解集得出其最小整數(shù)解與最大整數(shù)解，繼而相加可得答案．【解答】解：（1）解不等式①，得：x＞﹣4，解不等式②，得：x≤2，則不等式組的解集為﹣4＜x≤2，將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：（2）該不等式的最小整數(shù)解為﹣3，最大整數(shù)解為2，所以最小整數(shù)解與最大整數(shù)解的和為﹣3+2＝﹣1．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．一十二．一元一次不等式組的整數(shù)解（共3小題）34．（2022秋?碑林區(qū)校級期中）解不等式組并寫出該不等式組的最小整數(shù)解．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答】解：由x﹣3（x﹣2）＞4，得：x＜1，由≥﹣1，得：x≥﹣2，則不等式組的解集為﹣2≤x＜1，∴該不等式組的最小整數(shù)解為﹣2．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．35．（2022春?寧明縣期中）解不等式組（組）：（1）解不等式3x﹣3≤5x﹣9．（2）解不等式組，并寫出該不等式組的非負(fù)整數(shù)解．【分析】（1）根據(jù)解一元一次不等式的步驟求解即可；（2）分別求出兩個不等式的解集，然后求出兩個解集的公共部分得到不等式組的解集，再寫出范圍內(nèi)的非負(fù)整數(shù)解即可．【解答】解：（1）移項得：3x﹣5x≤3﹣9，合并得：﹣2x≤﹣6，解得：x≥3；（2），解第一個不等式得，x≤1，解第二個不等式得，x＜4，∴不等式組的解集為x≤1，∴該不等式組的非負(fù)整數(shù)解為0，1．【點評】本題主要考查了解一元一次不等式及解一元一次不等式組，求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．36．（2022春?巴州區(qū)期中）（1）解不等式：．（2）已知2﹣2（a﹣1）＞3a﹣1，化簡：|2﹣2a|+|a﹣3|．（3）求不等式組的整數(shù)解．【分析】（1）根據(jù)解一元一次不等式的基本步驟解答即可；（2）先求出不等式2﹣2（a﹣1）＞3a﹣1的解集，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡即可；（3）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答】解：（1），原不等式整理，得，去分母，得2x﹣10﹣18+15x≤﹣3，移項，得2x+15x≤10+18﹣3，合并同類項，得17x≤25，系數(shù)化為1，得x≤；（2）2﹣2（a﹣1）＞3a﹣1，去括號，得2﹣2a+2＞3a﹣1，移項，得﹣2a﹣3a＞﹣1﹣2﹣2，合并同類項，得﹣5a＞﹣5，系數(shù)化為1，得a＜1，∴|2﹣2a|+|a﹣3|＝2﹣2a+3﹣a＝5﹣3a；（3），由①得x＞﹣，由②得x，∴不等式組的解集為：，∴不等式組整數(shù)解為﹣1，0，1．【點評】本題考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式組以及一元一次不等式組的整數(shù)解，掌握解一元一次不等式的基本步驟是解答本題的關(guān)鍵．一十三．由實際問題抽象出一元一次不等式組（共2小題）37．（2022春?通州區(qū)期中）研究表明，運(yùn)動時將心率p（次）控制在最佳燃脂心率范圍內(nèi)，能起到燃燒脂肪并且保護(hù)心臟功能的作用．最佳燃脂心率最高值不應(yīng)該超過（220﹣年齡）×0.8，最低值不低于（220﹣年齡）×0.6．以40歲為例計算，220﹣40＝180，180×0.8＝144，180×0.6＝108，所以40歲的年齡最佳燃脂心率的范圍用不等式可表示為（）A．108≤p≤144 B．108＜p＜144 C．108≤p≤190 D．108＜p＜190【分析】根據(jù)“最佳燃脂心率最高值不應(yīng)該超過（220﹣年齡）×0.8，最低值不低于（220﹣年齡）×0.6”列出不等式．【解答】解：根據(jù)題意知：（220﹣年齡）×0.6≤p≤（220﹣年齡）×0.8，由220﹣40＝180，180×0.8＝144，180×0.6＝108，知108≤p≤144．故選：A．【點評】本題主要考查了由實際問題抽象出由實際問題抽象出一元一次不等式，實際問題列一元一次不等式時，首先把題意弄明白，在此基礎(chǔ)上找準(zhǔn)題干中體現(xiàn)不等關(guān)系的語句，根據(jù)語句列出不等關(guān)系．往往不等關(guān)系出現(xiàn)在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超過”等這些詞語出現(xiàn)的地方．所以重點理解這些地方有利于自己解決此類題目．38．（2022春?薛城區(qū)期中）研究表明，運(yùn)動時將心率p（次）控制在最佳燃脂心率范圍內(nèi)，能起到燃燒脂肪并且保護(hù)心臟功能的作用．最佳燃脂心率最高值不應(yīng)該超過（220﹣年齡）×0.8，最低值不低于（220﹣年齡）×0.6．以30歲為例計算，220﹣30＝190，190×0.8＝152，190×0.6＝114，所以30歲的年齡最佳燃脂心率的范圍用不等式可表示為（）A．114≤p≤152 B．114＜p＜152 C．114≤p≤190 D．114＜p＜190【分析】根據(jù)“最佳燃脂心率最高值不應(yīng)該超過（220﹣年齡）×0.8，最低值不低于（220﹣年齡）×0.6”列出不等式．【解答】解：根據(jù)題意知：（220﹣年齡）×0.6≤p≤（220﹣年齡）×0.8，由220﹣30＝190，190×0.8＝152，190×0.6＝114，知114≤p≤152．故選：A．【點評】本題主要考查了由實際問題抽象出由實際問題抽象出一元一次不等式，實際問題列一元一次不等式時，首先把題意弄明白，在此基礎(chǔ)上找準(zhǔn)題干中體現(xiàn)不等關(guān)系的語句，根據(jù)語句列出不等關(guān)系．往往不等關(guān)系出現(xiàn)在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超過”等這些詞語出現(xiàn)的地方．所以重點理解這些地方有利于自己解決此類題目．一十四．一元一次不等式組的應(yīng)用（共4小題）39．（2021秋?開福區(qū)校級期中）學(xué)校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品．已知購買3個A獎品和2個B獎品共需130元；購買5個A獎品和4個B獎品共需230元．（1）求A，B兩種獎品的單價；（2）學(xué)校準(zhǔn)備購買A，B兩種獎品共40個，且A獎品的數(shù)量不少于B獎品數(shù)量的．購買預(yù)算金不超過920元，請問學(xué)校有幾種購買方案．【分析】（1）設(shè)A種獎品的單價為x元，B種獎品的單價為y元，根據(jù)“購買3個A獎品和2個B獎品共需130元；購買5個A獎品和4個B獎品共需230元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買A種獎品m個，則購買B種獎品（40﹣m）個，根據(jù)購買A種獎品的數(shù)量不少于B種獎品數(shù)量的且購買預(yù)算金不超過920元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結(jié)合m為整數(shù)即可得出各購買方案．【解答】解：（1）設(shè)A種獎品的單價為x元，B種獎品的單價為y元，依題意，得：，解得：．答：A種獎品的單價為30元，B種獎品的單價為20元．（2）設(shè)購買A種獎品m個，則購買B種獎品（40﹣m）個，依題意，得：，解得：10≤m≤12．∵m為整數(shù)，∴m＝10，11，12，∴40﹣m＝30，29，28．∴學(xué)校有三種購買方案，方案一：購買A種獎品10個，B種獎品30個；方案二：購買A種獎品11個，B種獎品29個；方案三：購買A種獎品12個，B種獎品28個．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．40．（2022春?景泰縣校級期中）由于疫情原因，市場上防護(hù)口罩出現(xiàn)熱銷．某藥店準(zhǔn)備購進(jìn)一批口罩，已知1個A型口罩和2個B型口罩共需32元；2個A型口罩和1個B型口罩共需28元．（1）求一個A型口罩和一個B型口罩的售價各是多少元？（2）藥店準(zhǔn)備購進(jìn)這兩種型號的口罩共500個，其中A型口罩?jǐn)?shù)量不少于330個，且不多于B型口罩的2倍，則有哪幾種購買方案？（3）在（2）的條件下，哪種購買方案最省錢，最少需要多少元錢？【分析】（1）設(shè)一個A型口罩的售價是x元，一個B型口罩的售價是y元，根據(jù)“1個A型口罩和2個B型口罩共需32元；2個A型口罩和1個B型口罩共需28元”列方程組求解即可；（2）設(shè)A型口罩a個，根據(jù)“A型口罩?jǐn)?shù)量不少于64個，且不多于B型口罩的2倍”確定a的取值范圍，即可求解．【解答】解：（1）設(shè)一個A型口罩、一個B型口罩進(jìn)價分別為x元、y元．依題得：，解得：，答：一個A型口罩和一個B型口罩的進(jìn)價分別是8元，12元．（2）設(shè)A型口罩購進(jìn)a個，則B型口罩購進(jìn)（500﹣a）個；依題有：，解得：，∵a為整數(shù)，∴a＝330，331，332，333四種方案，即：方案一：購進(jìn)A型口罩330個，B型口罩170個；方案二：購進(jìn)A型口罩331個，B型口罩169個；方案三：購進(jìn)A型口罩332個，B型口罩168個；方案四：購進(jìn)A型口罩333個，B型口罩167個；（3）∵一個A型口罩比一個B型口罩便宜，∴A型口罩多進(jìn)時購進(jìn)費用少，即：購進(jìn)A型口罩330個，B型口罩170個時購進(jìn)費用最少．最少費用為330×8+170×12＝4680（元）．【點評】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用等知識，根據(jù)題意得出正確的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．41．（2022秋?婺城區(qū)期末）為更好地推進(jìn)生活垃圾分類工作，改善城市生態(tài)環(huán)境，某小區(qū)準(zhǔn)備購買A、B兩種型號的垃圾箱，通過對市場調(diào)研得知：購買3個A型垃圾箱和2個B型垃圾箱共需390元，購買2個A型垃圾箱比購買1個B型垃圾箱少用20元．（1）求每個A型垃圾箱和每個B型垃圾箱分別多少元？（2）該小區(qū)計劃用不多于1500元的資金購買A、B兩種型號的垃圾箱共20個，且A型號垃圾箱個數(shù)不多于B型垃圾箱個數(shù)的3倍，則該小區(qū)購買A、B兩種型號垃圾箱的方案有哪些？【分析】（1）設(shè)每個A型垃圾箱x元，每個B型垃圾箱y元，根據(jù)“購買3個A型垃圾箱和2個B型垃圾箱共需390元，購買2個A型垃圾箱比購買1個B型垃圾箱少用20元”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買B型垃圾箱m個，則購買A型垃圾箱（20﹣m）個，根據(jù)“購買3個A型垃圾箱和2個B型垃圾箱共需390元，購買2個A型垃圾箱比購買1個B型垃圾箱少用20元”列出不等式組，求出m的范圍，可得出答案．【解答】解：（1）設(shè)每個A型垃圾箱x元，每個B型垃圾箱y元．依題意，得：，解得：．答：每個A型垃圾箱50元，每個B型垃圾箱120元；（2）設(shè)購買m個B型垃圾箱，則購買（20﹣m）個A型垃圾箱．依題意，得：，解得：5≤m≤．又m為整數(shù)，m可以為5，6，7，∴有3種購買方案：方案1：購買15個A型垃圾箱，購買5個B型垃圾箱；方案2：購買14個A型垃圾箱，購買6個B型垃圾箱；方案3：購買13個A型垃圾箱，購買7個B型垃圾箱．【點評】本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，正確列出二元一次方程組與不等式組．42．（2021春?阜南縣期中）習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”．某校為提高學(xué)生的閱讀品味，現(xiàn)決定購買《艾青詩選》和《格列佛游記》兩種書共50本．已知購買2本《艾青詩選》和1本《格列佛游記》需100元；購買6本《艾青詩選》與購買7本《格列佛游記》的價格相同，（1）求這兩種書的單價；（2）若購買《艾青詩選》的數(shù)量不少于所購買《格列佛游記》數(shù)量的一半，且購買兩種書的總價不超過1600元．請問共有幾種購買方案？哪種購買方案的費用最低？最低費用為多少元？【分析