新教材蘇教版數(shù)學(xué)學(xué)案第14章14-414-4-1用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)

14.4用樣本估計(jì)總體14.4.1用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．通過(guò)對(duì)實(shí)數(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過(guò)利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)估計(jì)總體的集中趨勢(shì)，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．如下是某學(xué)校高一(1)班和高一(2)班某一次期中考試的語(yǔ)文成績(jī)，試從平均數(shù)、中位數(shù)、最值等不同的角度對(duì)兩班成績(jī)進(jìn)行對(duì)比．高一(1)班期中考試語(yǔ)文成績(jī)698469807570757187708084738181736678687973757676707471866388高一(2)班期中考試語(yǔ)文成績(jī)7686748277686282728276818479677870728189817772776767727981757584知識(shí)點(diǎn)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的定義(1)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的數(shù)．把總體中所有數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)稱(chēng)為總體的均值．(2)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．(3)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列后，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，處于正中間位置的數(shù)．如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則取正中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．(1)中位數(shù)一定是樣本數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù)嗎？(2)一組數(shù)據(jù)可以有幾個(gè)眾數(shù)？中位數(shù)是否也具有相同的結(jié)論？[提示](1)不一定．一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，如果有奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，處于中間位置的數(shù)是中位數(shù)；如果有偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，則取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)．(2)一組數(shù)據(jù)中可能有一個(gè)眾數(shù)，也可能有多個(gè)眾數(shù)，中位數(shù)只有唯一一個(gè)．1．一組樣本數(shù)據(jù)為：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為()A．A[把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為：10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27，則可知其眾數(shù)為14，中位數(shù)為14．]2．已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_(kāi)_______．6[eq\f(4＋6＋5＋8＋7＋6,6)＝6．]類(lèi)型1平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的計(jì)算【例1】已知10名工人生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有()A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．c＞a＞b D．c＞b＞aD[由題意得a＝eq\f(1,10)(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝eq\f(157,10)＝15.7，中位數(shù)為16，眾數(shù)為18，則b＝16，c＝18，∴c＞b＞a．]1求樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)時(shí)，把數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列后，按照其求法進(jìn)行.2求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的難點(diǎn)在于計(jì)算的準(zhǔn)確性.[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，則該小組成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是()A．85分、85分、85分 B．87分、85分、86分C．87分、85分、85分 D．87分、85分、90分C[由題意知，該學(xué)習(xí)小組共有10人，因此眾數(shù)和中位數(shù)都是85，平均數(shù)為eq\f(100＋95＋2×90＋4×85＋80＋75,10)＝87．]類(lèi)型2平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例2】下面是某快餐店所有工作人員一月的收入表(單位：元)：老板大廚二廚采購(gòu)員雜工服務(wù)生會(huì)計(jì)30000450035004000320032004100(1)計(jì)算所有人員的月平均收入；(2)這個(gè)平均收入能反映打工人員的月收入的一般水平嗎？為什么？(3)去掉老板收入后，再計(jì)算平均收入，這能代表打工人員的月收入的水平嗎？[解](1)周平均收入eq\x\to(x)1＝eq\f(1,7)(30000＋4500＋3500＋4000＋3200＋3200＋4100)＝7500(元)．(2)這個(gè)平均收入不能反映打工人員的月收入水平，可以看出打工人員的收入都低于平均收入，因?yàn)槔习迨杖胩貏e高，這是一個(gè)異常值，對(duì)平均收入產(chǎn)生了較大的影響，并且他不是打工人員．(3)去掉老板的收入后的月平均收入eq\x\to(x)2＝eq\f(1,6)(4500＋3500＋4000＋3200＋3200＋4100)＝3750(元)．這能代表打工人員的月收入水平．利用樣本數(shù)字特征進(jìn)行決策時(shí)的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)平均數(shù)與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)，可以反映更多的總體信息，但受極端值的影響大；中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，不受幾個(gè)極端值的影響；眾數(shù)只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，無(wú)法客觀反映總體特征．(2)當(dāng)平均數(shù)大于中位數(shù)時(shí)，說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．某工廠人員及月工資構(gòu)成如下：人員經(jīng)理管理人員高級(jí)技工工人學(xué)徒合計(jì)月工資(元)22000250022002000100029700人數(shù)16510123合計(jì)22000150001100020000100069000(1)指出這個(gè)表格中月工資的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；(2)這個(gè)表格中，平均數(shù)能客觀地反映該工廠的月工資水平嗎？為什么？[解](1)由表格可知，眾數(shù)為2000元．把23個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，排在中間的數(shù)應(yīng)是第12個(gè)數(shù)，其值為2200，故中位數(shù)為2200元．平均數(shù)為69000÷23＝3000(元)．(2)雖然平均數(shù)為3000元，但由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見(jiàn)，只有經(jīng)理的工資在平均數(shù)以上，其余人的工資都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實(shí)地反映該工廠的工資水平．類(lèi)型3由頻率直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)【例3】某校從參加高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))的頻率直方圖如圖所示．(1)求這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)；(2)求這次測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)．1最高的小長(zhǎng)方形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)；2判斷中位數(shù)所在的區(qū)間，設(shè)出中位數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的左右兩邊的頻率相等列出方程求解.[解](1)由題干圖知眾數(shù)為eq\f(70＋80,2)＝75．(2)由題干圖知，設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個(gè)矩形面積之和為0.4，第四個(gè)矩形面積為0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位數(shù)位于第四個(gè)矩形內(nèi)，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3．1．若例3的條件不變，求數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)．[解]由題干圖知這次數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為：eq\f(40＋50,2)××10＋eq\f(50＋60,2)××10＋eq\f(60＋70,2)××10＋eq\f(70＋80,2)××10＋eq\f(80＋90,2)××10＋eq\f(90＋100,2)××10＝72．2．若例3條件不變，求80分以下的學(xué)生人數(shù)．[解][40,80)分的頻率為：(0.005＋0.015＋0.020＋0.030)×10＝0.7，所以80分以下的學(xué)生人數(shù)為80×0.7＝56．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率直方圖的聯(lián)系(1)眾數(shù)：眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率直方圖中，就是最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)中位數(shù)：在樣本中，有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可估計(jì)中位數(shù)的值．(3)平均數(shù)：用頻率直方圖估計(jì)平均數(shù)時(shí)，平均數(shù)等于頻率直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、，0.40,0.15,0.10,0.05．求：(1)高一參賽學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)；(2)高一參賽學(xué)生的平均成績(jī)．[解](1)用頻率直方圖中最高矩形所在的區(qū)間的中點(diǎn)值作為眾數(shù)的近似值，得眾數(shù)為65，又∵第一個(gè)小矩形的面積為0.3，前兩個(gè)小矩形的面積和為0.3＋0.4＝0.7>0.5，設(shè)第二個(gè)小矩形底邊的一部分長(zhǎng)為x，則x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位數(shù)為60＋5＝65．(2)依題意，平均成績(jī)?yōu)?5×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，所以平均成績(jī)約為67分．1．一組觀察值4,3,5,6出現(xiàn)的次數(shù)分別為3,2,4,2，則樣本平均值為()A．A[由條件得eq\x\to(x)＝eq\f(1,11)(4×3＋3×2＋5×4＋6×2)≈4.55．]2．下列數(shù)字特征一定會(huì)在原始數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的是()A．眾數(shù)B．中位數(shù)C．平均數(shù)D．都不會(huì)A[眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，所以一定會(huì)在原始數(shù)據(jù)中出現(xiàn)．]3．某校從高一年級(jí)參加期末考試的學(xué)生中抽出60名，其成績(jī)(均為整數(shù))的頻率直方圖如圖所示，由此估計(jì)此次考試成績(jī)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是()A．73.3,75B．73.3,80C．70,70D．70,75A[由題圖可知小于70分的有24人，大于80分的有18人，則在[70,80)之間的有18人，所以中位數(shù)落在[70,80)這組內(nèi)，且為70＋eq\f(10,3)≈73.3；眾數(shù)就是頻率直方圖中最高的矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即eq\f(70＋80,2)＝75．]4．某高校有甲、乙兩個(gè)數(shù)學(xué)建模興趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．現(xiàn)分析兩個(gè)班的一次考試成績(jī)，算得甲班的平均成績(jī)是90分，乙班的平均成績(jī)是81分，則該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績(jī)是________分．85[eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(40×90＋50×81,90)＝85．]5．某校女子籃球隊(duì)7名運(yùn)動(dòng)員身高(單位：cm)的數(shù)據(jù)分別為：171,172,17x,174,175,180,181，已知記錄的平均身高為175cm，但記錄中有一名運(yùn)動(dòng)員身高的末位數(shù)字不清晰，如果把其末位數(shù)字記為x，那么x的值為_(kāi)_______．2[170＋eq\f(1,7)×(1＋2＋x＋4＋5＋10＋11)＝175，eq\f(1,7)×(33＋x)＝5，即33＋x＝35，解得x＝2．]回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題：1．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)在分析樣本數(shù)據(jù)時(shí)各有何優(yōu)缺點(diǎn)？[提示]名稱(chēng)優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)平均數(shù)與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息，對(duì)樣本中的極端值更加敏感任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變．?dāng)?shù)據(jù)越“離