【壓軸必考】2023學年九年級數(shù)學上冊壓軸題攻略（人教版） 二次函數(shù)中的幾何存在性問題（原卷版）

二次函數(shù)中的幾何存在性問題類型一、特殊三角形問題例1．如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點是線段上一動點，過點的直線平行于軸并交拋物線于點，當線段取得最大值時，在軸上是否存在這樣的點，使得以點、、為頂點的三角形是以為腰的等腰三角形？若存在，請求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由．例2.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸相交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，連接．(1)求線段AC的長；(2)若點Р為該拋物線對稱軸上的一個動點，當時，求點P的坐標；(3)若點M為該拋物線上的一個動點，當為直角三角形時，求點M的坐標．例3.如圖，拋物線交x軸于，兩點，交y軸于點C，點D是拋物線上位于直線BC上方的一個動點．(1)求拋物線的解析式；(2)連接AC，BD，若，求點D的坐標；(3)在（2）的條件下，將拋物線沿著射線AD平移m個單位，平移后A、D的對應點分別為M、N，在x軸上是否存在點P，使得是等腰直角三角形？若存在，請求出m的值：若不存在，請說明理由．【變式訓練1】如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（1，0），B（3，0），與y軸交于點C．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)第一象限內的二次函數(shù)圖象上有一動點P，x軸正半軸上有一點D，且OD=2，當S△PCD=3時，求出點P的坐標；(3)若點M在第一象限內二次函數(shù)圖象上，是否存在以CD為直角邊的，若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．【變式訓練2】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+4x+c與直線AB相交于點A(0，1)和點B(3，4)．(1)求該拋物線的解析式；(2)設C為直線AB上方的拋物線上一點，連接AC，BC，以AC，BC為鄰邊作平行四邊形ACBP，求四邊形ACBP面積的最大值；(3)將該拋物線向左平移2個單位長度得到拋物線y=a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的拋物線與原拋物線相交于點D，是否存在點E使得△ADE是以AD為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．類型二、特殊四邊形問題例1．在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，（點在點的左側），與軸交于點，且點的坐標為．(1)求點的坐標；(2)如圖1，若點是第二象限內拋物線上一動點，求點到直線距離的最大值；(3)如圖2，若點是拋物線上一點，點是拋物線對稱軸上一點，是否存在點使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．例2．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸分別交于點和點B，與y軸交于點．(1)求拋物線的解析式及對稱軸；(2)如圖，點D與點C關于對稱軸對稱，點P在對稱軸上，若，求點P的坐標；(3)點M是拋物線上一動點，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．例3．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，與y軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，在直線BC上方的拋物線上有動點P，過點P作軸，交BC于點Q，當時，求點P的坐標；(3)如圖2，若點D坐標為，軸交直線BC于點E，將沿直線BC平移得到，移動過程中，在坐標平面內是否存在點P，使以點A，C，，P為頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【變式訓練1】如圖一所示，在平面直角坐標中，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點A(﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C，頂點為點D．在線段CB上方的拋物線上有一動點P，過點P作PE⊥BC于點E，作PFAB交BC于點F．(1)求拋物線和直線BC的函數(shù)表達式，(2)當△PEF的周長為最大值時，求點P的坐標和△PEF的周長．(3)若點G是拋物線上的一個動點，點M是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在以C、B、G、M為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點G的坐標，若不存在，請說明理由．【變式訓練2】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC，，對稱軸為直線，點D為此拋物線的頂點．(1)求拋物線的解析式及D點坐標；(2)點E是第一象限內拋物線上的動點，連接BE和CE，求面積的最大值；(3)點P在拋物線的對稱軸上，平面內存在點Q，使以點B、C、P、Q為頂點的四邊形為矩形，請直接寫出點Q的坐標．【變式訓練3】如圖，已知拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，點是拋物線上位于直線下方的一點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，過點作交于點，求長度的最大值及此時點的坐標；(3)如圖2，將拋物線沿射線的方向平