二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型課件

§5.二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型在解析幾何中，為了便于研究二次曲線

的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換：

把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形§5.二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型在解析幾何中，為了1

(1)的左邊是一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式,從代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，化標(biāo)準(zhǔn)型的過(guò)程就是通過(guò)變量的線性變換化簡(jiǎn)一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式，使它只有平方項(xiàng)。這樣的問(wèn)題，在許多理論問(wèn)題或是實(shí)際問(wèn)題中常會(huì)遇到。現(xiàn)在我們把這類問(wèn)題一般化，討論n個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)問(wèn)題。(1)的左邊是一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式,從代數(shù)學(xué)的觀2一、二次型概念定義1：含有n個(gè)變量x1,x2,…xn的二次齊次函數(shù)其中一、二次型概念定義1：含有n個(gè)變量x1,3二次型的矩陣形式二次型的矩陣形式4二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型ppt課件5其中1）稱A為二次型f的矩陣，顯然

A=AT;2）A=(aij),若aij

為復(fù)數(shù)，稱

f為復(fù)二次型；3)

A=(aij),若aij

為實(shí)數(shù)，稱

f為實(shí)二次型；4）稱為R(A)為二次型f

的秩。其中1）稱A為二次型f的矩陣，顯然A=AT;6例1.把下面的二次型寫成矩陣形式；例1.把下面的二次型寫成矩陣形式；7二、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形定義9.稱只含有平方項(xiàng)的二次型為二次型的標(biāo)準(zhǔn)型（或法式）。二、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形定義9.稱只含有平方項(xiàng)的二次型為二次8所謂一般二次型的化簡(jiǎn)問(wèn)題，就是尋找一個(gè)可逆的線性變換：所謂一般二次型的化簡(jiǎn)問(wèn)題，就是尋找一個(gè)可逆的線9定理9

任給可逆矩陣C

，令B=CTAC，若A

為對(duì)稱矩陣，則B

亦為對(duì)稱矩陣，且R(B)=R(A)。證：

A為對(duì)稱矩陣，即有A

T=A，于是，B

T=(CTAC)

T=C

TAT(CT)

T=CTAC=B.故B

為對(duì)稱矩陣.再證R(B)=R(A).因B=CTAC,故R(B)

≤R(AC)

≤R(A).又因A=(C

T)

-1BC

-1,故

R(A)

≤R(BC-1)≤R(B)于是R(B)=R(A).定理9任給可逆矩陣C，令B=C10這定理說(shuō)明：經(jīng)可逆變換x=Cy,把f化成yTC

TACy，C

TAC

仍為對(duì)稱矩陣，且二次型的秩不變。要使二次型f經(jīng)過(guò)可逆變換x=Cy化成標(biāo)準(zhǔn)形，即使f=xTAx這定理說(shuō)明：經(jīng)可逆變換x=Cy,把f11也就是要使CTAC成為對(duì)角陣，即，CTAC=∧，因此，我們主要的問(wèn)題就是：對(duì)于對(duì)稱矩陣A，尋求可逆矩陣C，使CTAC=∧.由上節(jié)定理8知,任給實(shí)對(duì)稱矩陣A，總有正交矩陣