水平考試復習4

要點梳理1.任意角（1）角的概念的推廣①按旋轉方向不同分為

、

、

.②按終邊位置不同分為

和

.

（2）終邊相同的角終邊與角相同的角可寫成

.第四編§1.1任意角和弧度制及任意角的三角函數正角負角零角象限角軸線角(k∈Z)基礎知識自主學習（3）弧度制①1弧度的角：_______________________________叫做1弧度的角.②規(guī)定：正角的弧度數為

,負角的弧度數為

，零角的弧度數為

,

,l是以角作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑.③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制.比值與所取的r的大小

,僅與

.④弧度與角度的換算：360°=

弧度；180°=

弧度.⑤弧長公式：

,扇形面積公式：S扇形=

=

.把長度等于半徑長的弧所對的圓心角無關角的大小有關正數負數零2.任意角的三角函數

(1)任意角的三角函數定義設是一個任意角，角的終邊上任意一點

P(x,y),它與原點的距離為r(r>0）,那么角的正弦、余弦、正切分別是：它們都是以角為自

，以比值為

的函數.(2)三角函數在各象限內的符號口訣是：

.

,

,

,變量函數值一全正、二正弦、三正切、四余弦3.三角函數線設角的頂點在坐標原點,始邊與x軸正半軸重合,終邊與單位圓相交于點P，過P作PM垂直于x

軸于M,則點M是點P在x軸上的

.由三角函數的定義知，點P的坐標為

,

即

,其中=

,

單位圓與x軸的正半軸交于點A,單位圓在A點的切線與的終邊或其反向延長線相交于點

T，則

.我們把有向線段OM、

MP、AT叫做的

、

、

.OM

,MPAT余弦線正弦線正切線正射影4.同角三角函數的基本關系

(1)平方關系：

.(2)商數關系:

.三角函數線有向線段為正弦線有向線段為余弦線有向線段為正切線MPOMAT基礎自測1.若=k·180°+45°(k∈Z)，則在（）

A.第一或第三象限B.第一或第二象限

C.第二或第四象限D.第三或第四象限解析當k=2m+1(m∈Z)時，

=2m·180°+225°=m·360°+225°,故為第三象限角；當k=2m(m∈Z)時，

=m·360°+45°,故為第一象限角.A2.角終邊過點(-1,2),則cos等于（）解析C3.已知角的終邊經過點(，-1),則角的最小正值是（）

解析B4.已知扇形的周長是6cm，面積是2cm2，則扇形的圓心角的弧度數是（）

A.1B.4C.1或4D.2或4

解析設此扇形的半徑為r，弧長為l，C5.已知為第四象限角，且解∵為第四象限角，且

三角函數的定義已知角的終邊在直線3x+4y=0上,求的值.

本題求的三角函數值.依據三角函數的定義,可在角的終邊上任取一點P(4t,-3t)(t≠0),求出r,由定義得出結論.

思維啟迪

【例1】

解題型分類深度剖析

某角的三角函數值只與該角終邊所在位置有關，當終邊確定時三角函數值就相應確定.

但若終邊落在某條直線上時，這時終邊實際上有兩個，因此對應的函數值有兩組要分別求解.

同角三角函數的基本關系式（12分）已知是三角形的內角，且（1）求tan的值；（2）用tan表示出來，并求其值.

（1）由

解

(1)方法一2分3分6分方法二3分6分(1)對于這三個式子,已知其中一個式子的值,其余二式的值可求.轉化的公式為(2)關于sinx,cosx的齊次式,往往化為關于tanx的式子.10分12分2.已知角是第二象限角，且 （）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角解析由是第二象限角知,是第一或第三象限角.

C§1.2三角函數的誘導公式要點梳理1.下列各角的終邊與角的終邊的關系

角

圖示與角終邊的關系相同關于原點對稱關于x軸對稱基礎知識自主學習

角

圖示與角終邊的關系關于y軸對稱關于直線y=x對稱2.六組誘導公式六組誘導公式的記憶口訣為:函數名不(改)變、符號看象限.怎么看？就是把看作銳角時，原函數值的符號即為變化后的三角函數值的符號.組數一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數名不變符號看象限函數名改變符號看象限基礎自測1.已知則tanx等于（）

解析

D2.()解析D3. 的值是()

解析

A4.等于()

解析C三角函數式的化簡化簡：(k∈Z).

化簡時注意觀察題設中的角出現了需討論k是奇數還是偶數.

解題型分類深度剖析熟練應用誘導公式.誘導公式的應用原則是：負化正、大化小、化到銳角為終了.三角恒等式的證明

觀察被證式兩端,左繁右簡,可以從左端入手,利用誘導公式進行化簡,逐步地推向右邊.

證明

三角恒等式的證明在高考大題中并不多見,但在小題中,這種證明的思想方法還是?？嫉?一般證明的思路為由繁到簡或從兩端到中間.§1.3三角函數的圖象與性質要點梳理1.“五點法”作圖原理:在確定正弦函數y=sinx

在［0，2］上的圖象形狀時,起關鍵作用的五個點是

、

、

、

、

.余弦函數呢？(0,0)基礎知識自主學習2.三角函數的圖象和性質:

y=sinxy=cosxy=tanx定義域圖象

值域R

函數性質[-1,1][-1,1]RR(k∈Z)對稱性周期單調性奇偶性；；；；奇奇偶3.一般地對于函數f（x）,如果存在一個不為0的常數T，使得當x取定義域內的每一個值時,都有

f（x+T）=f（x），那么函數f（x）就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期，把所有周期中存在的最小正數,叫做最小正周期(函數的周期一般指最小正周期).函數y=Asin(x+）或y=Acos（x+）（>0且為常數）的周期函數y=Atan(x+)(>0)的周期基礎自測1.函數y=1-2sinxcosx的最小正周期為（）

解析B2.設點P是函數f(x)=sinx(≠0)的圖象C的一個對稱中心,若點P到圖象C的對稱軸的距離的最小值是則f(x)的最小正周期是（）解析由正弦函數的圖象知對稱中心與對稱軸的距離的最小值為最小正周期的故f（x）的最小正周期為T=B3.函數y=sin的圖象（）

A.關于點對稱

B.關于直線對稱

C.關于點對稱

D.關于直線對稱

解析驗證法：A4.在下列函數中,同時滿足以下三個條件的是()①在上遞減；②以為周期；③是奇函數.A.y=tanx B.y=cosxC.y=-sinxD.y=sinxcosx

解析

y=tanx的周期為，故A錯.

y=cosx為偶函數，故B錯.

y=sinxcosx=sin2x的周期為，故D錯.

y=-sinx的周期為2,是奇函數，由圖象知在上是遞減函數，故C正確.C5.（2009·四川文，4）已知函數f(x)=sin

(x∈R)，下面結論錯誤的是（）

A.函數f(x)的最小正周期為2B.函數f(x)在區(qū)間上是增函數

C.函數f(x)的圖象關于直線x=0對稱

D.函數f(x)是奇函數

解析

A正確;

由圖象知y=-cosx關于直線x=0對稱，C正確.

y=-cosx是偶函數，D錯誤.D求下列函數的定義域：

解

(1)要使函數有意義,必須有題型分類深度剖析可利用單位圓中三角函數線直觀地求得上述不等式組的解集，如圖所示：三角函數的單調性與周期性（1）化為再求單調區(qū)間;(2)先化為,再求單調區(qū)間.解(1)求形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)(其中A≠0,>0)的函數的單調區(qū)間,可以通過解不等式的方法去解答,列不等式的原則是:①把“

x+(>0)”視為一個“整體”；②A>0(A<0)時，所列不等式的方向與y=sinx(x∈R),y=cosx(x∈R)的單調區(qū)間對應的不等式方向相同（反）.（2）對于y=Atan(x+)(A、、為常數),其周期單調區(qū)間利用解出x的取值范圍,即為其單調區(qū)間.對于復合函數y=f(v),v=(x)，其單調性判定方法是:若y=f(v)和v=(x)同為增（減）函數時，y=f((x))為增函數；若y=f(v)和v=(x)一增一減時，y=f((x))為減函數.三角函數的對稱性與奇偶性已知f(x)=sinx+cosx（x∈R），函數

y=f(x+)的圖象關于直線x=0對稱，則的值可以是 （）

先求出f(x+)的函數表達式.

f(x+)關于x=0對稱，即f(x+)為偶函數.解析答案

D

f(x)=Asin(x+)若為偶函數,則當x=0時，f(x)取得最大或最小值.若f(x)=Asin(x+)為奇函數，則當x=0時，f(x)=0.如果求f(x)的對稱軸,只需令x+=求x.如果求f(x)的對稱中心的橫坐標，只需令x+=k即可.三角函數的值域及最值

(12分)已知函數f(x)=2asin

的定義域為函數的最大值為1,最小值為

-5,求a和b的值.求出2x-的范圍a>0時，利用最值求a、ba<0時，利用最值求a、b解3分7分11分12分

解決此類問題,首先利用正弦函數、余弦函數的有界性或單調性求出y=Asin（x+）或y=Acos（x+）的最值,再由方程的思想解決問題.§1.4函數y=Asin(ωx+φ)的圖象及三角函數模型的簡單應用要點梳理1.用五點法畫y=Asin(ωx+φ)一個周期內的簡圖時，要找五個特征點.如下表所示.x0A0-A00基礎知識自主學習2.函數y=sinx的圖象經變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)

的圖象的步驟如下:各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍

以上兩種方法的區(qū)別:方法一先平移再伸縮;方法二先伸縮再平移.特別注意方法二中的平移量.3.當函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈(0,+∞))

表示一個振動時，A叫做

，叫做

，叫做

，ωx+φ叫做

，

φ叫做

.4.三角函數的圖象和性質.振幅周期相位初相頻率5.三角函數模型的應用

(1)根據圖象建立解析式或根據解析式作出圖象.(2)將實際問題抽象為與三角函數有關的簡單函數模型.(3)利用收集到的數據作出散點圖，并根據散點圖進行函數擬合，從而得到函數模型.基礎自測1.（2009·湖南理，3）將函數y=sinx的圖象向左平移φ(0≤φ<2π)個單位后，得到函數的圖象，則φ等于（）

A.B.C.D.

解析將函數y=sinx的圖象向左平移φ(0≤φ

<2π)個單位得到函數y=sin(x+φ),在A、B、C、

D四項中，只有D2.為了得到函數x∈R的圖象，只需把函數y=2sinx,x∈R的圖象上所有的點()A.向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）

B.向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）

C.向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）

D.向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）解析將y=2sinx的圖象向左平移個單位得到y(tǒng)=2sin的圖象，將y=2sin圖象上各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），則得到的圖象，故選C.答案

C3.已知函數f(x)=asinx-bcosx(a、b為常數，

a≠0,x∈R)在處取得最小值，則函數

A.偶函數且它的圖象關于點（π，0）對稱

B.偶函數且它的圖象關于點對稱

C.奇函數且它的圖象關于點對稱

D.奇函數且它的圖象關于點（π，0）對稱

()解析據題意，當時，函數取得最小值，由三角函數的圖象與性質可知其圖象必關于直線對稱，故必有故原函數f(x)=asinx+acosx=答案

D,04.將函數y=sin4x的圖象向左平移個單位，得到y(tǒng)=sin(4x+φ)的圖象，則φ等于（）

A.B.C.D.

解析將函數y=sin4x的圖象向左平移個單位后得到的圖象的解析式為C5.（2008·浙江理，5）在同一平面直角坐標系中，函數的圖象和直線的交點個數是（）

A.0B.1C.2D.4

解析函數圖象如圖所示，直線與該圖象有兩個交點.C作y=Asin(ωx+φ)的圖象已知函數

(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五點法”作出它在一個周期內的圖象；

(3)說明的圖象可由y=sinx的圖象經過怎樣的變換而得到.

(1)由振幅、周期、初相的定義即可解決.(2)五點法作圖，關鍵是找出與x相對應的五個點.(3)只要看清由誰變換得到誰即可.題型分類深度剖析解（1）的振幅A=2,周期XX方法一把y=sinx的圖象上所有的點向左平移個單位,得到的圖象,再把的圖象上的點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變),得到的圖象,最后把上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），即可得到的圖象.方法二將y=sinx的圖象上每一點的橫坐標x縮短為原來的倍,縱坐標不變,得到y(tǒng)=sin2x的圖象；再將y=sin2x的圖象向左平移個單位；得到的圖象；再將的圖象上每一點的橫坐標保持不變,縱坐標伸長為原來的2倍，得到的圖象.

（1）作三角函數圖象的基本方法就是五點法，此法注意在作出一個周期上的簡圖后，應向兩端伸展一下，以示整個定義域上的圖象；（2）變換法作圖象的關鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對于后者可利用來確定平移單位.求函數y=Asin(ωx+φ)+b的解析式如圖為y=Asin（ωx+φ）的圖象的一段，求其解析式.

首先確定A.若以N為五點法作圖中的第一個零點，由于此時曲線是先下降后上升（類似于y=-sinx的圖象），所以A<0；若以M點為第一個零點,由于此時曲線是先上升后下降（類似于y=sinx的圖象），所以A>0.而可由相位來確定.解

方法一以N為第一個零點，方法二由圖象知A=，①②

(1)①與②是一致的，由①可得②，事實上同樣由②也可得①.(2)由此題兩種解法可見，在由圖象求解析式時，“第一個零點”的確定是重要的,應盡量使A取正值.(3)已知函數圖象求函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0）的解析式時，常用的解題方法是待定系數法，由圖中的最大值或最小值確定A,由周期確定ω，由適合解析式的點的坐標來確定φ,但由圖象求得的y=Asin（ωx+φ）（A>0,ω>0）的解析式一般不惟一，只有限定φ的取值范圍，才能得出惟一解，否則φ的值不確定，解析式也就不惟一.（4）將若干個點代入函數式，可以求得相關待定系數A，ω，φ，這里需要注意的是，要認清選擇的點屬于“五點”中的哪一個位置點，并能正確代入式中.依據五點列表法原理，點的序號與式子的關系是：“第一點”（即圖象上升時與x軸的交點）為ωx+φ=0；“第二點”（即圖象曲線的最高點）為；“第三點”（即圖象下降時與x軸的交點）為ωx+φ=π；“第四點”（即圖象曲線的最低點）為；“第五點”為ωx+φ=2π.§1.5兩角和與差的正弦、余弦和正切要點梳理1.cos（α-β）=cos

αcosβ+sinαsinβ(Cα-β)cos(α+β)=

(Cα+β)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(Sα-β)sin(α+β)=(Sα+β)cosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβ基礎知識自主學習前面4個公式對任意的α，β都成立，而后面兩個公式成立的條件是

(Tα+β需滿足),(Tα-β需滿足)k∈Z時成立，否則是不成立的.當tanα、tanβ或tan（α±β）的值不存在時，不能使用公式Tα±β,處理有關問題，應改用誘導公式或其它方法來解.2.要辯證地看待和角與差角，根據需要，可以進行適當的變換：α=(α+β)-β,α=(α-β)+β，2α=（α+β）+（α-β），

2α=（α+β）-（β-α）等等.3.二倍角公式sin2α=

;cos2α=

=

=

;tan2α=

.2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α4.在準確熟練地記住公式的基礎上，要靈活運用公式解決問題：如公式的正用、逆用和變形用等.如Tα±β可變形為：

tanα±tanβ=

,tanαtanβ=5.函數f（α）=acosα+bsinα(a,b為常數)，可以化為f（α）=

或f（α）=

，其中φ可由a，b的值唯一確定.tan(α±β)(1

tanαtanβ)=.基礎自測1.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值為（）

A.B.C.D.

解析原式=cos43°cos(90°-13°)+sin43°cos(180°-13°)=cos43°sin13°-sin43°cos13°=sin(13°-43°)=-sin30°=B2.()解析由已知可得C3.（2009·陜西理，5）若3sinα+cosα=0,則

的值為（）A.B.C.D.-2

解析

3sinα+cosα=0,則A4.已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=5，則tan2α

等于（）A.B.C.D.解析

tan2α=tan［(α+β)+(α-β)］D5.（2009·上海理，6）函數y=2cos2x+sin2x的最小值是

.解析∵y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x∴y最小值=1-.

三角函數式的化簡、求值

(1)從把角θ變?yōu)槿胧?合理使用公式.(2)應用公式把非10°角轉化為10°的角,切化弦.題型分類深度剖析解（1）原式

（1）三角函數式的化簡要遵循“三看”原則，一看角，二看名，三看式子結構與特征.（2）對于給角求值問題，往往所給角都是非特殊角，解決這類問題的基本思路有：①化為特殊角的三角函數值；②化為正、負相消的項，消去求值；③化分子、分母出現公約數進行約分求值.三角函數的給值求值

角的變換：所求角分拆成已知角的和、差、倍角等，綜合上述公式及平方關系.

解

角的變換：轉化為同角、特殊角、已知角或它們的和、差、兩倍、一半等；如α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β)等；函數變換：弦切互化，化異名為同名.綜合運用和、差、倍角與平方關系時注意角的范圍對函數值的影響.當出現互余、互補關系，利用誘導公式轉化.三角函數的給值求角已知tan(α-β)=,tanβ=,

且α,β∈(0,π),求2α-β的值.

對角2α-β拆分為α+(α-β);α拆分為(α-β)+β,先求tanα,再求tan(2α-β).

解∴2α-β=α+(α-β)∈(-π,0).∵tan(2α-β)=tan［α+(α-β)］

(1)通過求角的某種三角函數值來求角,在選取函數時,遵照以下原則:①已知正切函數值,選正切函數;②已知正、余弦函數值，選正弦或余弦函數；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是（0，π），選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好.（2）解這類問題的一般步驟為：①求角的某一個三角函數值；②確定角的范圍；③根據角的范圍寫出所求的角.§1.6正弦定理和余弦定理要點梳理1.正弦定理:

,其中R是三角形外接圓的半徑.由正弦定理可以變形為:

（1）a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;

（2）a=

,b=

,c=

;

（3）等形式,以解決不同的三角形問題.2RsinC2RsinA2RsinB基礎知識自主學習2.余弦定理:a2=

,b2=

,

c2=

.余弦定理可以變形為:cosA

,cosB=

,cosC=

.3.·r（r是三角形內切圓的半徑）,并可由此計算R、r.b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC4.在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題：（1）已知兩角及任一邊，求其它邊或角；（2）已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角.

情況（2）中結果可能有一解、二解、無解，應注意區(qū)分.

余弦定理可解決兩類問題：（1）已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對角的問題；（2）已知三邊問題.5.解三角形的類型在△ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角

圖形關系式

解的個數

一解

兩解

一解

一解基礎自測1.（2008·陜西理，3）△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若c=,b=,B=120°,

則a等于（）

A.B.2C.D.

解析D2.△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若

a、b、c成等比數列，且c=2a,則cosB等于()A.B.C.D.解析由已知得b2=ac,c=2a,B3.在△ABC中，A=60°,a=4,b=4,則B等于（）A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不對

解析由正弦定理得又∵a>b,A=60°,∴B=45°.C4.已知圓的半徑為4，a、b、c為該圓的內接三角形的三邊，若abc=16，則三角形的面積為（）

A.B.C.D.

解析C5.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.

若∠B=45°，b=，a=1，則∠C=

.

解析∵a<b,∠B=45°,∴∠A為銳角.

∴∠C=180°-30°-45°=105°.105°正弦定理的應用

(1)在△ABC中,a=,b=,B=45°.

求角A、C和邊c；（2）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°.求邊b

和c；（3）在△ABC中，a，b，c分別是∠A,∠B,∠C

的對邊長，已知a，b，c成等比數列，且a2-c2=

ac-bc，求∠A及的值.

已知兩邊及一邊對角或已知兩角及一邊，可利用正弦定理解這個三角形，但要注意解的個數的判斷.題型分類深度剖析解∵a>b,∴A=60°或A=120°.當A=60°時，C=180°-45°-60°=75°,當A=120°時，C=180°-45°-120°=15°.(2)∵B=60°,C=75°,∴A=45°.（3）∵a，b，c成等比數列，∴b2=ac，又∵a2-c2=ac-bc，∴b2+c2-a2=bc.在△ABC中，由余弦定理得

（1）已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.（2）已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點，應引起注意.余弦定理的應用在△ABC中，a、b、c分別是角A，B，C

的對邊，且（1）求角B的大??；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面積.

由

利用余弦定理轉化為邊的關系求解.

解

（1）由余弦定理知：(1)根據所給等式的結構特點利用余弦定理將角化邊進行變形是迅速解答本題的關鍵.（2）熟練運用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用.三角形形狀的判定在△ABC中，a、b、c分別表示三個內角

A、B、C的對邊，如果（a2+b2）sin（A-B）=

（a2-b2）sin（A+B），判斷三角形的形狀.

利用正弦定理、余弦定理進行邊角互化，轉化為邊邊關系或角角關系.

解

方法一已知等式可化為

a2［sin（A-B）-sin（A+B）］=b2［-sin（A+B）-sin(A-B)］∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化為：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由0<2A,2B<2π得2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A=-B,∴△ABC為等腰或直角三角形.方法二同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0∴a=b或a2+