北師大高中數(shù)學選擇性必修第一冊第五章計數(shù)原理 單元測試卷（含解析）

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第五章計數(shù)原理單元測試卷(原卷版)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.若9人乘坐2輛汽車，每輛汽車最多坐5人，則不同的乘車方法種數(shù)為(C)

A.B.

C.D.

2.在200件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法種數(shù)為(D)

A.B.

C.D.

3.從0，2，4，6，8中任取2個數(shù)字，從1，3，5，7中任取1個數(shù)字，共可以組成沒有重復數(shù)字的三位奇數(shù)的個數(shù)為(A)

A.64B.80

C.96D.240

4.某中學高二共有12個年級，考試時安排12個班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個班級是自己的班主任監(jiān)考，則不同的安排方案有(A)

A.4455種B.495種

C.4950種D.7425種方案.故選A.

5.分配4名工人去3個不同的居民家里檢查管道，要求4名工人都分配出去，并且每名工人只去一個居民家，且每個居民家都要有人去檢查，那么分配的方案共有(C)

A.種B.種

C.種D.種

6.若的展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大，則展開式中含x2項的系數(shù)是(D)

A.－462B.462

C.792D.－792

7.某中學擬從4個重點研究性課題和6個一般研究性課題中各選2個課題作為本年度該校啟動的課題項目，若重點課題A和一般課題B至少有一個被選中的不同選法種數(shù)是r，那么二項式(1＋rx2)6的展開式中x4的系數(shù)為(D)

A.50000B.52000

C.53000D.54000

8.已知(x＋a)15＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a15(1－x)15，其中a＞0，若a13＝－945，則a的值為(A)

A.2B.3

C.4D.5A.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列問題屬于排列問題的是(AD)

A.從10個人中選2人分別去種樹和掃地

B.從10個人中選2人去掃地

C.從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊

D.從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個不同的數(shù)作冪運算

10.若＞3，則m的取值可能是(BC)

A.6B.7

C.8D.9

11.由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，這十個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，且1不能在個位，則關于這樣的五位數(shù)的個數(shù)，下列表示正確的有(CD)

A.

B.

C.－2

D.

12.已知(a＞0)的展開式中第5項與第7項的二項數(shù)系數(shù)相等，且展開式的各項系數(shù)之和為1024，則下列說法正確的是(BCD)

A.展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256

B.展開式中第6項的系數(shù)最大

C.展開式中存在常數(shù)項

D.展開式中含x15項的系數(shù)為45

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某元宵燈謎競猜節(jié)目，有6名守擂選手和6名復活選手，從復活選手中挑選一名選手為攻擂者，從守擂選手中挑選1名選手為守擂者，則攻擂者、守擂者的不同構成方式共有36種.

14.若的展開式中所有項系數(shù)和為81，則展開式的常數(shù)項為8.

15.已知(2＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，則a1＋a2＋…＋a8＝－5，a3＝－476.

16.某學生將語文、數(shù)學、英語、物理、化學、生物6科的作業(yè)安排在周六、周日完成，要求每天至少完成兩科，且數(shù)學、物理作業(yè)不在同一天完成，則完成作業(yè)的不同順序種數(shù)為1200.).

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)某校高中部，高一有6個班，高二有7個班，高三有8個班，學校利用星期六組織學生到某廠進行社會實踐活動.

(1)任選1個班的學生參加社會實踐，有多少種不同的選法

(2)三個年級各選1個班的學生參加社會實踐，有多少種不同的選法

(3)選2個班的學生參加社會實踐，要求這2個班不同年級，有多少種不同的選法×8＝146(種)不同選法.

18.(12分)把1，2，3，4，5這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排成一個數(shù)列.

(1)45312是這個數(shù)列的第幾項

(2)這個數(shù)列的第71項是多少

(3)求這個數(shù)列的各項和.

19.(12分)袋中裝有大小相同的4個紅球和6個白球，從中取出4個球.

(1)若取出的球必須是兩種顏色，則有多少種不同的取法

(2)若取出的紅球個數(shù)不少于白球個數(shù)，則有多少種不同的取法

(3)取出一個紅球記2分，取出一個白球記1分，若取4球的總分不低于5分，則有多少種不同的取法

(12分)已知(1＋2)n的展開式中，某一項的系數(shù)是它前一項系數(shù)的2倍，是它后一項的系數(shù)的，求該展開式中二項式系數(shù)最大的項.

21.(12分)二項式的展開式中：

(1)若n＝6，求倒數(shù)第二項；

(2)若第5項與第3項的系數(shù)比為56∶3，求各項的二項式系數(shù)和.

22.(12分)已知(n∈N*)的展開式中第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)的比是10∶1.

(1)求展開式中各項系數(shù)的和；

(2)求展開式中含的項；

(3)求展開式中系數(shù)的絕對值最大的項.

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第五章計數(shù)原理單元測試卷(解析版)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.若9人乘坐2輛汽車，每輛汽車最多坐5人，則不同的乘車方法種數(shù)為(C)

A.B.

C.D.

解析：分兩類：(1)第一輛汽車坐4人，有種方法；(2)第一輛汽車坐5人，有種方法.則由加法原理可知，共有種方法.故選C.

2.在200件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法種數(shù)為(D)

A.B.

C.D.

解析：根據(jù)題意，“至少有2件次品”可分為“有2件次品”與“有3件次品”兩種情況，“有2件次品”的抽取方法有種，“有3件次品”的抽取方法有種，則共有種不同的抽取方法.故選D.

3.從0，2，4，6，8中任取2個數(shù)字，從1，3，5，7中任取1個數(shù)字，共可以組成沒有重復數(shù)字的三位奇數(shù)的個數(shù)為(A)

A.64B.80

C.96D.240

解析：若從0，2，4，6，8中取2個數(shù)字不含0，滿足條件的三位奇數(shù)有＝48(個)，若從0，2，4，6，8中取2個數(shù)字含0，滿足條件的三位奇數(shù)有＝16(個)，所以可組成的三位奇數(shù)有64個.故選A.

4.某中學高二共有12個年級，考試時安排12個班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個班級是自己的班主任監(jiān)考，則不同的安排方案有(A)

A.4455種B.495種

C.4950種D.7425種

解析：∵某中學高二共有12個年級，考試時安排12個班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個班級是自己的班主任監(jiān)考，首先確定8個是自己的班主任老師監(jiān)考的班級，有＝495(種)，而剩余的4個班級全部不能有本班的班主任監(jiān)考，有3×1＋3×2＝9(種)；由分步乘法計數(shù)原理可得，共495×9＝4455(種)不同的方案.故選A.

5.分配4名工人去3個不同的居民家里檢查管道，要求4名工人都分配出去，并且每名工人只去一個居民家，且每個居民家都要有人去檢查，那么分配的方案共有(C)

A.種B.種

C.種D.種

解析：根據(jù)題意，分配4名工人去3個不同的居民家里，要求4名工人都分配出去，且每個居民家都要有人去檢查；則必有2名工人去同一居民家檢查，即要先從4名工人中抽取2人，有種方法，再將這2人當做一個元素，與其他2人，共3個元素，分別分配到3個不同的居民家里，有種情況，由分步乘法計數(shù)原理，可得共種不同分配方案，故選C.

6.若的展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大，則展開式中含x2項的系數(shù)是(D)

A.－462B.462

C.792D.－792

解析：∵的展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大，∴n＝12.的展開式的第k＋1項為Tk＋1＝(－1)kx12－2k，令12－2k＝2，得k＝5，∴展開式中含x2項的系數(shù)是(－1)5＝－792，故選D.

7.某中學擬從4個重點研究性課題和6個一般研究性課題中各選2個課題作為本年度該校啟動的課題項目，若重點課題A和一般課題B至少有一個被選中的不同選法種數(shù)是r，那么二項式(1＋rx2)6的展開式中x4的系數(shù)為(D)

A.50000B.52000

C.53000D.54000

解析：由題意r＝＝60，(1＋60x2)6的二項式通項為Tk＋1＝＝60kx2k，由2k＝4，得k＝2，所以所求系數(shù)為602＝54000.故選D.

8.已知(x＋a)15＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a15(1－x)15，其中a＞0，若a13＝－945，則a的值為(A)

A.2B.3

C.4D.5

解析：由題意，二項式(x＋a)15＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a15(1－x)15，又由(x＋a)15＝－[－(a＋1)＋(1－x)]15，所以－[－(a＋1)＋(1－x)]15＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a15(1－x)15，其中a＞0，由a13＝－945，可得a13＝－·[－(a＋1)]2＝－945，即－105(a＋1)2＝－945，即(a＋1)2＝9，解得a＝2.故選A.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列問題屬于排列問題的是(AD)

A.從10個人中選2人分別去種樹和掃地

B.從10個人中選2人去掃地

C.從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊

D.從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個不同的數(shù)作冪運算

解析：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，從10個人中選2人分別去種樹和掃地，選出的2人有分工的不同，是排列問題；對于B，從10個人中選2人去掃地，選出的2人沒有不同，是組合問題；對于C，從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊，選出的5人沒有不同，是組合問題；對于D，從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個不同的數(shù)作冪運算，順序不一樣，計算結果也不一樣，是排列問題.綜上，屬于排列問題的是AD.故選AD.

10.若＞3，則m的取值可能是(BC)

A.6B.7

C.8D.9

解析：根據(jù)題意，對于和3，有0≤m－1≤8且0≤m≤8，則有1≤m≤8，若＞3，則有＞3×，變形可得m＞27－3m，解得m＞，綜合可得，＜m≤8，則m＝7或8.故選BC.

11.由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，這十個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，且1不能在個位，則關于這樣的五位數(shù)的個數(shù)，下列表示正確的有(CD)

A.

B.

C.－2

D.

解析：(排除法)總共有，減去1在個位和0在第一位的共有2，加上0在第一位且1在個位的，共有－2種，故C正確；(討論法)若有1，(1)若1在第一位；共有種；(2)若1在第2，第3，第4位，共有，若沒有1，第1位，有，剩下有，共有，故有種.故選CD.

12.已知(a＞0)的展開式中第5項與第7項的二項數(shù)系數(shù)相等，且展開式的各項系數(shù)之和為1024，則下列說法正確的是(BCD)

A.展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256

B.展開式中第6項的系數(shù)最大

C.展開式中存在常數(shù)項

D.展開式中含x15項的系數(shù)為45

解析：因為(a＞0)的展開式中第5項與第7項的二項數(shù)系數(shù)相等，∴，解得n＝10.∵展開式的各項系數(shù)之和為1024，∴(a＋1)10＝1024.∵a＞0，∴a＝1.故二項式為，其二項式通項為Tk＋1＝.展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為×1024＝512，故A錯誤；

因為本題中二項式系數(shù)和項的系數(shù)一樣，且展開式有11項，故展開式中第6項的系數(shù)最大，B正確；令20－k＝0k＝8，即展開式中存在常數(shù)項，C正確；令20－k＝15k＝2，＝45，D正確.故選BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某元宵燈謎競猜節(jié)目，有6名守擂選手和6名復活選手，從復活選手中挑選一名選手為攻擂者，從守擂選手中挑選1名選手為守擂者，則攻擂者、守擂者的不同構成方式共有36種.

解析：從6名守擂選手中選1名，選法有＝6(種)；復活選手中挑選1名選手，選法有種.由分步乘法計數(shù)原理，不同的構成方式共有6×6＝36(種).

14.若的展開式中所有項系數(shù)和為81，則展開式的常數(shù)項為8.

解析：在的二項展開式中，令x＝1得所有項的系數(shù)和為3n＝81，解得n＝4，所以的二項式通項為Tk＋1＝(2x)4－k·24－k·，令4－k＝0，得k＝3，常數(shù)項為·21＝8.

15.已知(2＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，則a1＋a2＋…＋a8＝－5，a3＝－476.

解析：因為(2＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(2＋1)×(1－2×1)7＝－3，令x＝0得a0＝2，所以a1＋a2＋…＋a8＝－5，由(1－2x)7的二項式通項為Tk＋1＝(－2)kxk，則a3＝2×(－2)3＋(－2)2＝－476.

16.某學生將語文、數(shù)學、英語、物理、化學、生物6科的作業(yè)安排在周六、周日完成，要求每天至少完成兩科，且數(shù)學、物理作業(yè)不在同一天完成，則完成作業(yè)的不同順序種數(shù)為1200.

解析：分兩類：一天2科，另一天4科或每天各3科.

①第一步，安排數(shù)學、物理兩科作業(yè)，有種方法；第二步，安排另4科，一組1科，一組3科，有種方法；第三步，完成各科作業(yè)，有種方法.

所以共有＝768(種).

②兩天各3科，數(shù)學、物理兩科各一組，另4科每組分2科，第一步，安排數(shù)學、物理兩科作業(yè)，有種方法；第二步，安排另4科每組2科，有種方法；第三步，完成各科作業(yè)，有種方法.所以共有＝432(種).綜上，共有768＋432＝1200(種).

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)某校高中部，高一有6個班，高二有7個班，高三有8個班，學校利用星期六組織學生到某廠進行社會實踐活動.

(1)任選1個班的學生參加社會實踐，有多少種不同的選法

(2)三個年級各選1個班的學生參加社會實踐，有多少種不同的選法

(3)選2個班的學生參加社會實踐，要求這2個班不同年級，有多少種不同的選法

解：(1)分三類：第一類從高一年級選1個班，有6種不同方法；第二類從高二年級選1個班，有7種不同方法；第三類從高三年級選1個班，有8種不同方法.由分類加法計數(shù)原理，共有6＋7＋8＝21(種)不同的選法.

(2)每種選法分三步：第一步從高一年級選1個班，有6種不同方法；第二步從高二年級選1個班，有7種不同方法；第三步從高三年級選1個班，有8種不同方法.由分步乘法計數(shù)原理，共有6×7×8＝336(種)不同的選法.

(3)分三類，每類又分兩步.第一類從高一、高二兩個年級各選1個班，有6×7種不同方法；第二類從高一、高三兩個年級各選1個班，有6×8種不同方法；第三類從高二、高三年級各選1個班，有7×8種不同的方法，故共有6×7＋6×8＋7×8＝146(種)不同選法.

18.(12分)把1，2，3，4，5這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排成一個數(shù)列.

(1)45312是這個數(shù)列的第幾項

(2)這個數(shù)列的第71項是多少

(3)求這個數(shù)列的各項和.

解：(1)先考慮大于45312的數(shù)，分為以下兩類：

第一類5開頭的五位數(shù)有：＝24

第二類4開頭的五位數(shù)有：45321一個

∴不大于45312的數(shù)有：－1＝120－24－1＝95(個)

即45312是該數(shù)列中第95項.

(2)1開頭的五位數(shù)有：＝24，

2開頭的五位數(shù)有：＝24，

3開頭的五位數(shù)有：＝24，

共有24×3＝72(個).

所以第71項是3開頭的五位數(shù)中第二大的數(shù)，即35412.

(3)因為1，2，3，4，5各在萬位上時都有＝24個五位數(shù)，

所以萬位數(shù)上的數(shù)字之和為(1＋2＋3＋4＋5)··104，

同理，它們在千位，百位，十位，個位上也都有＝24個五位數(shù)，所以這個數(shù)列的各項和為(1＋2＋3＋4＋5)··(104＋103＋102＋101＋100)＝15×24×11111＝3999960.

19.(12分)袋中裝有大小相同的4個紅球和6個白球，從中取出4個球.

(1)若取出的球必須是兩種顏色，則有多少種不同的取法

(2)若取出的紅球個數(shù)不少于白球個數(shù)，則有多少種不同的取法

(3)取出一個紅球記2分，取出一個白球記1分，若取4球的總分不低于5分，則有多少種不同的取法

解：(1)分三類：3紅1白，2紅2白，1紅3白這三類，由分類加法計數(shù)原理有：＝194(種).

(2)分三類：4紅，3紅1白，2紅2白，由分類加法計數(shù)原理共有：＝115(種).

(3)由題意知，取4球的總分不低于5，只要取出的4個球中至少一個紅球即可.因此共有取法：＝19