華師大版數學九年級上冊23.3 第5課時 相似三角形的應用 課件(共20張PPT)

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第23章圖形的相似

23.3相似三角形

第5課時相似三角形的應用

學習目標

1.掌握相似三角形的應用；（重點）

2.進一步了解數學建模思想，提高分析問題、解決問題的能力.（難點）

觀察與思考

人們從很早開始，就懂得利用相似三角形的有關性質來計算那些不能直接測量的物體高度和兩地距離。

典例精析

例6古代一位數學家想出了一種測量金字塔高度的方法：如圖，為了測量金字塔的高度OB，先豎一根已知長度的木棒O'B'，比較木棒的影長A'B'與金字塔的影長AB，即可近似算出金字塔的高度OB。如果O'B'=1米，A'B'=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB.

O'

A'

B'

O

B

C

A

解：∵太陽光線是平行光線，

∴∠OAB=∠O'A'B'

∵∠ABO=∠A'B'O'=90°

∴△OAB∽△O'A'B'（兩角分別相等的兩個三角形相似）,

∴=，

∴OB===137（米）

答：金字塔的高度OB為137米.

例7如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河的對岸選定一個目標作為點A，再在河的這一邊選定點B和C，使AB⊥BC，然后，再選定點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D。此時如果測得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求河的寬度AB。(精確到0.1米)

解：∵∠ADB=∠EDC，

∠ABD=∠ECD=90°，

∴△ABD∽△ECD（兩角分別相等的兩個三角形相似）

∴=，

解得AB=

=≈96.7（米）

答：河的寬度AB約為96.7米.

以上例題給我們提供了一些利用相似三角形進行測量的方法

例8如圖，已知D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點，

且∠ADE=∠C.求證：AD·AB=AE·AC。

證明：∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB（兩角分別相等的兩個三角形相似）,

∴=

∴AD·AB=AE·AC

A

B

C

E

D

如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點P，在河的這一邊取點Q和S，使點P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當的點T，確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點為R。如果測得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的寬度PQ.

P

Q

S

T

R

a

b

因此河寬大約為90m.

P

Q

S

T

R

a

b

60m

45m

90m

測量不能到達兩點間的距離，常構造相似三角形求解.

測距的方法

已知左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹的根部的距離BD=5m，一個身高1.6m的人沿著正對這兩棵樹的一條水平直路從左向右前進，當他與左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看到右邊較高的樹的頂端點C了？

分析：如圖，設觀察者眼睛的位置(視點)為點F，畫出觀察者的水平視線FG，它交AB，CD于點H，K。視線FA，F(xiàn)G的夾角∠AFH是觀察點A的仰角。類似地，∠CFK是觀察點C時的仰角，由于樹的遮擋，區(qū)域Ⅰ和Ⅱ都在觀察者看不到的區(qū)域(盲區(qū))之內.再往前走就根本看不到C點了。

由此可知，如果觀察者繼續(xù)前進，當她與左邊的樹的距離小于8m時，由于這棵樹的遮擋，就看不到右邊樹的頂端C.

解：如圖，假設觀察者從左向右走到點E時，她的眼睛的位置點E與兩棵樹的頂端點A，C恰在一條直線上．

∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.∴△AEH∽△CEK.

∴.

即

解得EH=8.

當堂練習

1.如圖，鐵道口的欄桿短臂長1m，長臂長16m，當短臂端點下降0.5m時，長臂端點升高______m.

8

O

B

D

C

A

┏

┛

1m

16m

0.5m

？

2.某一時刻樹的影長為8米，同一時刻身高為1.5米的人的影長為3米，則樹高為______米.

4

解：設正方形PQMN是符合要求的，△ABC的高AD與PN相交于點E。設正方形PQMN的邊長為xmm.

因為PN∥BC，所以△APN∽△ABC.

所以.

3.△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？

N

M

Q

P

E

D

C

B

A

解得x=48(mm).

因此，

課堂小結

1.相似三角形的應用主要有兩個方面：

（1）測高

測量不能到達兩點間的距離，常構造相似三角形求解.

（不能直接使用皮尺或刻度尺測量）

（不能直接測量的兩點間的距離）

測量不能