2022年湖南省婁底市鵝塘中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022年湖南省婁底市鵝塘中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若是冪函數(shù)，且滿足，則=

.A．3

B．-3

C．

D．參考答案：C2.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6＝()A．31

B．32

C．63

D．64參考答案：C

【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列

D3解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a，公比為q，易知q≠1，根據(jù)題意可得解得q2＝4，＝－1，所以S6＝＝(－1)(1－43)＝63.【思路點(diǎn)撥】由已知條件可求出公比，再利用求和公式直接求出數(shù)值.3.滿足且的集合的個(gè)數(shù)是（

）A

1B

2

C

3

D

4參考答案：B略4.在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E（0，1）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為A．

B．

C．

D．參考答案：B5.已知兩條直線和互相平行，則等于(

)A．1或-3 B．-1或3 C．1或3 D．-1或-3參考答案：A略6.若=(

)A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】二倍角的余弦；誘導(dǎo)公式的作用．【專(zhuān)題】三角函數(shù)的求值．【分析】利用誘導(dǎo)公式把要求的式子化為﹣cos（），再利用二倍角的余弦公式進(jìn)一步化為2﹣1，把已知條件代入運(yùn)算求得結(jié)果．【解答】解：∵=﹣cos[π﹣]=﹣cos（）=2﹣1=2×﹣1=﹣，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二倍角的余弦公式，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7.已知復(fù)數(shù)z=i，是z的共軛復(fù)數(shù)，則=（） A．1 B． ﹣i C． i D． ﹣1參考答案：B8.若復(fù)數(shù)z=（a2+2a－3）+（a－l）i為純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)a的值為

A．－3

B．－3或1

C．3或－1

D．1參考答案：A略9.執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入，則輸出的（

）A．－23

B．－191

C．23

D．191參考答案：B運(yùn)行程序如下：故選B.

10.平行四邊形中，，，，，則的值為（

）A．10

B．12

C.

14

D．16參考答案：D因?yàn)槠叫兴倪呅沃?，，，，，所以，，，故選D.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若點(diǎn)M是以橢圓+=1的短軸為直徑的圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作該圓的切線交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，橢圓E的右焦點(diǎn)為F2，則△PF2Q的周長(zhǎng)是．參考答案：6【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專(zhuān)題】方程思想；分析法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】方法一、設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m（k＜0，m＞0），聯(lián)立橢圓方程，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，結(jié)合直線和圓相切的條件：d=r，化簡(jiǎn)整理，可得周長(zhǎng)；方法二、設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），運(yùn)用橢圓的焦半徑公式和勾股定理，化簡(jiǎn)整理即可得到所求周長(zhǎng)．【解答】解：根據(jù)題意作出圖形如圖所示，方法一、設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m（k＜0，m＞0），由得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0，有△=（18km）2﹣4（8+9k2）（9m2﹣72）=288（9k2﹣m2+8）＞0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則，，∴===．∵直線PQ與圓x2+y2=8相切，∴，即，∴，∵==，0＜x1＜3，∴，同理，∴|PF2|+|QF2|+|PQ|=6﹣﹣=，因此，△PF2Q的周長(zhǎng)是定值6．方法二：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則+=1，|PF2|===，0＜x1＜3，∴，又M是圓O的切點(diǎn)，連接OP，OM，∴==，∴，同理|QF2|+|QM|=3，∴|PF2|+|QF2|+|PQ|=3+3=6，因此，△PF2Q的周長(zhǎng)是定值6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查直線和圓相切的條件：d=r，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．12.已知，則

．參考答案：由已知-sinα=-2cosα，即tanα=2，則sin2α+sin2α=.

13.已知一條拋物線的焦點(diǎn)是直線l：y=﹣x﹣t（t＞0）與x軸的交點(diǎn)，若拋物線與直線l交兩點(diǎn)A，B，且，則t=．參考答案：【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】當(dāng)y=0，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)求得拋物線方程，將直線代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及拋物線的焦點(diǎn)弦公式，即可求得t的值．【解答】解：當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣t，則拋物線的焦點(diǎn)F（﹣t，0），則拋物線方程y2=﹣4tx，設(shè)A，B的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），由，整理得：x2+6tx+t2=0，則x1+x2=﹣6t，則丨AB丨=丨x1+x2﹣2t丨=8t=2，∴t=，故答案為：．14.由曲線y=x3與y=圍成的封閉圖形的面積是．參考答案：

【考點(diǎn)】定積分在求面積中的應(yīng)用．【分析】作出兩個(gè)曲線的圖象，求出它們的交點(diǎn)，由此可得所求面積為函數(shù)y=x3與在區(qū)間[0，1]上的定積分的值，再用定積分計(jì)算公式加以運(yùn)算即可得．【解答】解：如圖在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出y=x3與的圖象，則封閉圖形的面積．故答案為：．15.某班有學(xué)生55人，現(xiàn)將所有學(xué)生按1，2，3，…，55隨機(jī)編號(hào).若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為5的樣本，已知編號(hào)為號(hào)學(xué)生在樣本中，則_______.參考答案：56

16.（6分）（2015?浙江模擬）已知點(diǎn)M（2，1）及圓x2+y2=4，則過(guò)M點(diǎn)的圓的切線方程為，若直線ax﹣y+4=0與圓相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2，則a=．參考答案：x=2或3x+4y﹣10=0,.【考點(diǎn)】：圓的切線方程．【專(zhuān)題】：計(jì)算題；直線與圓．【分析】：當(dāng)切線方程的斜率不存在時(shí)，顯然x=2滿足題意，當(dāng)切線方程的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，根據(jù)d=r列出關(guān)于k的方程，解之即可求出所求；由題意易知圓心到直線的距離等于1（勾股定理），然后可求a的值．解：由圓x2+y2=4，得到圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=2，當(dāng)過(guò)P的切線方程斜率不存在時(shí)，顯然x=2為圓的切線；當(dāng)過(guò)P的切線方程斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，P（2，1），∴切線方程為y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+1=0，∵圓心到切線的距離d==r=2，解得：k=﹣，此時(shí)切線方程為3x+4y﹣10=0，綜上，切線方程為x=2或3x+4y﹣10=0．∵直線ax﹣y+4=0與圓相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2，∴圓心（0，0）到直線的距離等于1，∴=1，∴a=．故答案為：x=2或3x+4y﹣10=0；．【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了直線圓的位置關(guān)系，以及切線的求解方法，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．17.設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，一個(gè)頂點(diǎn)式，則的方程為

.

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，已知△ABC的面積為14，D、E分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且,AE與CD交于P．設(shè)存在和使，，（Ⅰ）求及（Ⅱ）用表示（Ⅲ）求△PAC的面積．

參考答案：解：（1）由于，，則，，，，，，∴

①，

②，由①②得，……………6分（2）．…………4分（3）設(shè)△ABC，△PAB，△PBC的高分別為h，h1，h2，，，，，S△PAC=4．…………4分19.(本題滿分14分)某企業(yè)準(zhǔn)備在2006年對(duì)員工增加獎(jiǎng)金200元，其中有120元是基本獎(jiǎng)金。預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該企業(yè)每年新增加的獎(jiǎng)金平均比上一年增長(zhǎng)8%。另外，每年新增加的獎(jiǎng)金中，基本獎(jiǎng)金均比上一年增加30元。那么，到哪一年底，(1)該企業(yè)歷年所增加的獎(jiǎng)金中基本獎(jiǎng)金累計(jì)(以2006年為累計(jì)的第一年)將首次不少于750元?(2)當(dāng)年增加的基本獎(jiǎng)金占該年增加獎(jiǎng)金的比例首次大于85%?參考答案：(1)設(shè)基本獎(jiǎng)金形成數(shù)列{an}，由題意可知{an}是等差數(shù)列，(或a1=120,，d=30，或an=120+30(n–1))，Sn=a1n+n(n–1)d，則Sn=120n+15n(n–1)=15n2+105n=15(n2+7n)，

令15n2+105n≥750，即n2+7n–50≥0，而n是正整數(shù),∴n≥5。到2010年底該企業(yè)歷年所增加的工資中基本工資累計(jì)將首次不少于750元。6分(2)設(shè)新增加的獎(jiǎng)金形成數(shù)列{bn}，由題意可知{bn}是等比數(shù)列，(或b1=200，q=1.08，或bn=bn–1q)，則bn=200·(1.08)n–1，

由題意可知an>0.85bn，有120+30(n–1)>200·(1.08)n–1·0.85。

由計(jì)箅器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=5，到2010年底，當(dāng)年增加的基本獎(jiǎng)金占該年增加獎(jiǎng)金的比例首次大于85%。20.畫(huà)出下面的程序所描述的一個(gè)程序框圖．參考答案：【考點(diǎn)】程序框圖．

【專(zhuān)題】算法和程序框圖．【分析】利用條件語(yǔ)句可寫(xiě)出相應(yīng)的算法，利用選擇結(jié)構(gòu)畫(huà)出程序框圖．【解答】解：程序框圖如下：【點(diǎn)評(píng)】算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個(gè)熱點(diǎn)，應(yīng)高度重視，本題屬于基礎(chǔ)題．21.函數(shù)的部分圖象如圖所示.

（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；（Ⅱ）設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.參考答案：解：（Ⅰ）由圖可得，所以.

………………3分當(dāng)時(shí)，，可得，.………………6分（Ⅱ）

.

……9分.當(dāng)，即時(shí)，有最小值為.……12分

略22.（12