理論力學作業(yè)答案課件

第2章拉格朗日方程一、約束及其分類1).理想約束和非理想約束：系統(tǒng)中所有約束力的虛功的代數(shù)和為零的約束是理想約束，否則稱為非理想約束。2).完整約束與非完整約束：約束方程僅是坐標和時間的函數(shù)的約束是完整約束；約束方程不僅和坐標與時間，還和速度有關，則是非完整約束3).定常約束和非定常約束：約束方程中不顯含時間的是定常約束，反之為非定常約束第2章拉格朗日方程一、約束及其分類1二、達朗貝爾方程和拉格朗日方程1).達朗貝爾(d’Alembert)方程：如果系統(tǒng)所受到的約束是理想的，則有：這是理想約束體系動力學的普遍方程。2).拉格朗日(Lagrange)方程：相比牛頓力學，拉格朗日動力學方程取較簡潔的形式，并且拉格朗日方程是從能量角度來寫的動力學方程，有其普遍意義。二、達朗貝爾方程和拉格朗日方程22.3用達朗貝爾方程寫出習題1.24的運動微分方程解：取m位矢OM與OO’連線夾角為θ，取極坐標系則代入達朗貝爾方程：，并化簡得系數(shù)為零2.3用達朗貝爾方程寫出習題1.24的運動微分方程代入達朗32.6用拉格朗日程寫出習題1.20的運動微分方程解：如圖，取底面圓心處為坐標原點，建立柱坐標系，質點到軸距為R有幾何關系代入完整保守體系的拉格朗日程，并化簡得：2.6用拉格朗日程寫出習題1.20的運動微分方程代入完整保4代入完整保守體系的拉格朗日方程，并化簡得2.7用拉格朗日方程寫出習題1.21的運動微分方程解：建立柱坐標系，取R，為廣義坐標代入完整保守體系的拉格朗日方程，并化簡得2.7用拉格朗日方5由幾何關系：2.8用拉格朗日方程寫出習題1.24的運動微分方程解：以θ為廣義坐標，取極坐標系代入完整保守體系的拉格朗日方程，并化簡得由幾何關系：2.8用拉格朗日方程寫出習題1.24的運動微分6則2.9用拉格朗日方程寫出習題1.27的運動微分方程解：體系為自由度為2的完整約束體系，取x,y為廣義坐標代入完整保守體系的拉格朗日方程，并化簡得則2.9用拉格朗日方程寫出習題1.27的運動微分方程代入完72.11光滑剛性拋物線R2=2pz以恒定角速度ω繞鉛直軸z旋轉，其上套有質量為m的小環(huán).(1)試求小環(huán)的拉格朗日函數(shù)及運動方程；(2)小環(huán)可穩(wěn)定某處時，ω＝？解：建立柱坐標系，R為廣義坐標，代入完整保守體系的拉格朗日方程，則化簡得到，當小環(huán)穩(wěn)定時，R為定值，即有代入上式，可得即2.11光滑剛性拋物線R2=2pz以恒定角速度ω繞鉛直軸z82.12質量為m的質點約束在光滑的旋轉拋物面x2+y2=az的內壁運動，z軸為鉛直軸。寫出(1)質點的運動方程，(2)質點做圓周運動所滿足的條件。解：體系自由度為2的完整約束體系，選用柱坐標系，R,θ為廣義坐標代入完整保守體系的拉格朗日方程，并化簡得將約束條件x2+y2=R2＝az，代入得若質點做圓周運動，有可得即當t=0時，有v=v0，z=h，得2.12質量為m的質點約束在光滑的旋轉拋物面x2+y2=a9由桿AC，DG力矩平衡：2.13圖中所示是一臺磅秤的簡化機構.試證明：若，則在平衡條件下，秤錘的重量P與重物P’在秤臺的位置無關，且若有，則有：證明：由受力平衡，B處受力為(P’-F1’)又有F1＝F1’，F(xiàn)2＝F2’即秤錘的重量P與重物P’在秤臺的位置無關，且由桿AC，DG力矩平衡：2.13圖中所示是一臺磅秤的簡化機10體系為完整保守平衡系統(tǒng)：2.15一水平的固定光滑釘子M與光滑鉛直墻面的距離為d，一長為l的均勻棒AB擱在釘子上，下端靠在墻上，求平衡時棒與墻的夾角解：以M點為原點建立直角坐標系，有即1)2)由圖由虛功為零即任意，體系為完整保守平衡系統(tǒng)：2.15一水平的固定光滑釘子M與光11則2.18質量為m1和m2的兩個質點用一固有長度為l，重量可忽略的彈簧連接，放置在半徑R的光滑球殼內，求平衡時兩質點的位置。解：m1o和m2o分別和鉛垂線的夾角為，原點為o化簡得體系為完整保守平衡系統(tǒng)：則2.18質量為m1和m2的兩個質點用一固有長度為l，重量12令2.23質量為m，電荷為q的粒子在軸對稱電場和均勻磁場中運