獨立性檢驗基本思想及其初步應用 省賽獲獎

§1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應用定量變量的取值一定是實數(shù)，它們的取值大小有特定的含義，不同取值之間的運算也有特定的含義.如身高、體重、考試成績、溫度等等.變量定量變量分類變量兩個定量變量的相關關系分析：回歸分析（畫散點圖、相關指數(shù)R2、殘差分析）（定性變量）對于性別變量，其取值為男和女兩種，這種變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.在日常生活中，主要考慮分類變量之間是否有關系：如是否吸煙、是否患肺癌、等等.例如，吸煙是否與患肺癌有關系？性別是否對于喜歡數(shù)學課程有影響？等等.分類變量也稱為屬性變量或定性變量，它們的取值一定是離散的，而且不同的取值僅表示個體所屬的類別，如性別變量，只取男、女兩個值兩個分類變量的相關關系的分析：①通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關；②獨立性檢驗.不患肺癌患肺癌總計不吸煙7775427817吸煙2099492148總計9874919965由列聯(lián)表可以粗略估計出，在不吸煙者中，有0.54%患有肺癌；在吸煙者中，有2.28%患有肺癌。因此，直觀上可以得到結(jié)論：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異.與表格相比，三維柱形圖和二維條形圖能更直觀地反映出相關數(shù)據(jù)的總體狀況.為調(diào)查吸煙是否對患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）：吸煙與患肺癌列聯(lián)表（列出兩個分類變量的頻數(shù)表）：不患肺癌患肺癌總計不吸煙7775427817吸煙2099492148總計98749199651、列聯(lián)表2、三維柱形圖3、二維條形圖不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙080007000600050004000300020001000從三維柱形圖能清晰看出各個頻數(shù)的相對大小.從二維條形圖能看出，吸煙者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例.不吸煙吸煙患肺癌比例不患肺癌比例4、等高條形圖等高條形圖更清晰地表達了兩種情況下患肺癌的比例.上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關，那么事實是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計觀點來考察這個問題.現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認為“吸煙與患肺癌有關”，為此先假設：H0：吸煙與患肺癌沒有關系不患肺癌患肺癌總計不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計a+cb+da+b+c+d把數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表：不患肺癌患肺癌總計不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計a+cb+da+b+c+d吸煙與患肺癌的列聯(lián)表：如果“吸煙與患肺癌沒有關系”，則在吸煙者中不患肺癌的比例應該與不吸煙者中相應的比例應差不多，即|ad-bc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關系越弱；|ad-bc|越大，說明吸煙與患肺癌之間關系越強.為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標準，基于上述分析，我們構(gòu)造一個隨機變量若H0成立，即“吸煙與患肺癌沒有關系”，則K2應很小.由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，利用公式（1）計算得K2的觀測值為：（1）其中n=a+b+c+d為樣本容量.在H0成立的情況下，統(tǒng)計學家估算出如下的概率：也就是說，在H0成立的情況下，對隨機變量K2進行多次觀測，觀測值超過6.635的頻率約為0.01，是一個小概率事件.現(xiàn)在K2的觀測值為56.632，遠遠大于6.635，所以有理由斷定H0不成立，即認為“吸煙與患肺癌有關系”

但這種判斷會犯錯誤，犯錯誤的概率不會超過0.01，即我們有99％的把握認為“吸煙與患肺癌有關系”.利用隨機變量K2來確定在多大程度上可以認為“兩個分類變量有關系”的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.獨立性檢驗：獨立性檢驗首先，假設結(jié)論不成立，即H：兩個分類變量沒有關系

（在這種假設下k應該很小）其次，由觀測數(shù)據(jù)計算K的觀測值k，

（如果k很大，則在一定可信程度上說明H不成

立,即兩個分類變量之間有關系）最后，根據(jù)k的值判斷假設是否成立2臨界值表：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4450.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828y1y2總計x1aba+bx2cdc+d總計a+cb+da+b+c+d一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2x2列聯(lián)表）為：10.8287.8796.6355.0243.8412.7062.0721.3230.7080.445

k0.0010.0050.0100.0250.050.100.150.50.400.50（1）如果k>10.828，就有99.9%的把握認為“X與Y有關系”；（2）如果k>7.879，就有99.5%的把握認為“X與Y有關系”；（3）如果k>6.635，就有99%的把握認為“X與Y有關系”；（4）如果k>5.024，就有97.5%的把握認為“X與Y有關系”；（5）如果k>3.841，就有95%的把握認為“X與Y有關系”；（6）如果k>2.706，就有90%的把握認為“X與Y有關系”；臨界值這種判斷可能有錯誤，但是犯錯誤的不會超過0.001，這是個小概率時間，我們有99.9%的把握認為“吸煙與患癌癥有關系”例1在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂；而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有175人禿頂。分別利用圖形和獨立性檢驗方法判斷禿頂與患心臟病是否有關系？你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效？解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表1-13：患心臟病不患心臟病總計禿頂214175389不禿頂4515971048總計6657721437根據(jù)聯(lián)表1-13中的數(shù)據(jù)，得到所以有99%的把握認為“禿頂患心臟病有關”。因為這組數(shù)據(jù)來自住院的病人，因此所得到的結(jié)論適合住院的病人群體．例2為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關系，在某城市的某校高中生中隨機抽取300名學生，得到如下聯(lián)表：喜歡數(shù)學課程不喜歡數(shù)學課程總計男3785122女35143178總計72228300

由表中數(shù)據(jù)計算K2的觀測值k≈4.513。在多大程度上可以認為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間有關系？為什么？而我們所得到的K2的觀測值k≈4.513超過3.841，這就意味著“性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關系”這一結(jié)論錯誤的可能性約為0.05（或小于0.05）

，即有95%（或大于95%）的把握認為“性別與是否喜歡數(shù)學課程之間有關系”。解：在假設“性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關系”的前提下K2應該很小，并且死亡存活總計第一種劑量141125第二種劑量61925總計203050種子滅菌種子未滅菌總計黑穗病26184210無黑穗病50200250總計76384460試按照原試驗目的作統(tǒng)計分析推斷，能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為種子滅菌和黑穗病有關系。組別有效無效總計化療組192443化療加放療組341044總計533487問兩種療法有無差別。優(yōu)秀不優(yōu)秀總計甲班331245乙班232245總計563490根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計“成績與班級有關系”犯錯誤的概率不超過————2010年(19)(本小題12分)為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：是否需要志愿性別男女需要4030不需要160270估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例2.能否有99％的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？3.根據(jù)（2）的結(jié)論，能否提供更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)老年人，需要志愿幫助的老年人的比例？說明理由（19）解：（1）調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的