2023年北京延慶區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題及答案

2023北京延慶高三一模數(shù)學(xué)023.03第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合（A）1A=，B=1,0,a+，且AB?2a，則等于1（B）0（C）D）1x+C42xx2+C43x3+C44x4，則f(2)等于（）（2）已知f(x)=1+C4（A）16（B）80C）81x?y+1=02+y2?2x+1?a=0a相切，則等于（3）若直線與圓（A）2B1（）（C）2D）4mRm=1”是“復(fù)數(shù)z=m++?是純虛數(shù)”的2（4）若，則“（A）充分而不必要條件（C）充分必要條件（B）必要而不充分條件（D）既不充分也不必要條件115115?a=log2，b=c=()a（5）設(shè)，，則，bc，的大小關(guān)系是355（A）cba（）cab（C）bac（D）abc（6）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(2,?，(?3)tanAOB，則等于551（A）1（B）C）（）?55B系列的紙張尺寸.設(shè)型號（7）是國際標(biāo)準(zhǔn)化組織所定義的紙張尺寸國際標(biāo)準(zhǔn)，該標(biāo)準(zhǔn)定義了1為A(i=2,3,4,5,6)的紙張面積分別是ai=6)，它們組成一個(gè)公比為的等比數(shù)ii2列，設(shè)型號為Bi=2,3,4,5,6)的紙張的面積分別是bi=2,3,4,5,6)，已知iiai2=aai=2,3,4,5,6)，則4的值為i1i51222D）2（A）（B）（C）21（8）將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位，所得圖象與2y=sin2xyf(x)=的圖象關(guān)于軸對稱，則（A）?sin2x（B）sin2x（）?cos2x（D）cos2x（9）△ABC的外接圓半徑為1，圓心為O，且2OA+AB+AC=0，|OA|=|AB|，則CACB等于3（A）（B）3C）3（D）232a}a=(n+(nN)，定義：使aa12（10）數(shù)列中，為整數(shù)的數(shù)nnn1k(kN)叫做期盼數(shù)，則區(qū)間2023]內(nèi)的所有期盼數(shù)的和等于2023（D）（A）B）（C）第二部分（非選擇題共分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。y=ax+1A的定義域?yàn)?，?A，則a的取值范圍是．2+y2=1的焦距是6，則實(shí)數(shù)k=____________．（13）如圖，某地一天從6時(shí)至14時(shí)的溫度變化曲302010線近似滿足函數(shù)y=Asin(x+)+b，其中A0，且函數(shù)在x=6與x=14時(shí)分別取得最小值和最大值.這段時(shí)間的最大溫差為；81014的一個(gè)取值為.O612時(shí)（13題圖）（14）曲線x2+2x|y|2yOABC2?1=0的一條對稱軸是；y的取值范圍是.,OB,OCOA=OB=2，OC=4DOABC外（15）四面體的三條棱兩兩垂直，，為四面體一點(diǎn)，給出下列命題：DABCD①不存在點(diǎn)，使四面體三個(gè)面是直角三角形；ABCD是正三棱錐；D②存在點(diǎn)，使四面體D，使點(diǎn)OABCD的外接球面上；③存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)在四面體D，使CD與ABBD=5.④存在點(diǎn)垂直且相等，且其中真命題的序號是.2三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。（1614分）如圖，四棱錐P中，底面PA=PB，==2=2?ABCD//⊥PAB是梯形，，面，是等腰三角形，，E是的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：CD；⊥（Ⅱ）設(shè)PA與CD所成的角為1，直線與平面ABCD所成的角為，二面角P??A為，23從以下所給的三個(gè)條件中選出其中一個(gè)作為已知條件，求四棱錐P的體積.?652①cos1=；②=2；③cos3=．535（16題圖）（1714分）45在△ABC中，B=，b=6.（Ⅰ）當(dāng)a=5時(shí)，求和；Ac（Ⅱ）求△ABC面積的最大值.（1813分）某服裝銷售公司進(jìn)行關(guān)于消費(fèi)檔次的調(diào)查，根據(jù)每人月均服裝消費(fèi)額將消費(fèi)檔次分為0～元；500～100010001500元；15002000元四個(gè)檔次，針對A，B兩類人群各抽取100人的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，各檔次人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：0～500～1000～1500元1500～2000元檔次500元1000元人群AB2050503020101010類類月均服裝消費(fèi)額低于1000元的人群視為中低消費(fèi)人群，不低于1000元的人群視為中高消費(fèi)人群.A（Ⅰ）從類樣本中任選一人，求此人屬于中低消費(fèi)人群的概率；（Ⅱ）從A，B兩類人群中各任選一人，分別記為甲、乙，估計(jì)甲的消費(fèi)檔次不低于乙的消費(fèi)檔次的概率；（Ⅲ）以各消費(fèi)檔次的區(qū)間中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)值為該檔次的人均消費(fèi)額，估計(jì)費(fèi)額的方差較大（直接寫出結(jié)果，不必說明理由）.AB，兩類人群哪類月均服裝消3（1915分）x2y222已知橢圓M：+=ab0)經(jīng)過點(diǎn)C，離心率為，M與x軸交于兩點(diǎn)A(a,0)，a2b2B(?a,0)，過點(diǎn)C的直線l與M交于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P，直BD交于點(diǎn)Q.線與直線M(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：為定值.（2015分）已知函數(shù)f(x)=x?ex.y=f(x)在點(diǎn)f處的切線方程；（Ⅰ）求曲線（Ⅱ）求證：f(x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；（Ⅲ）求證：方程lnxx=ex+x無解．（2114分）n已知為正整數(shù)，集合A=|=(x,x,具有性質(zhì)P：“對12=(x,x,x+x+0x+x+，且12于集合A中的任意元素，，其中1212i=”.集合A中的元素個(gè)數(shù)記為|P()|．（Ⅰ）當(dāng)n2時(shí)，求=|P(A)|；（Ⅱ）當(dāng)n=9時(shí)，求x+x+的所有可能的取值；12n，求|P(A)|．（Ⅲ）給定正整數(shù)4參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）D2）C）A（4C（5）A（6）B7）C）B（9C（10D二、填空題（共5個(gè)小題，每小題5分，共25分）11（）(?,].（12）?.13）20，（答案不唯一）.384x軸，[?.（14）.15）②③④說明：①兩個(gè)空的題目，前3后2，②15題填對1個(gè)給2分，填對2個(gè)給3分，填對3個(gè)給5分，錯選①不給分。三、解答題（共6小題，共85分）（1614分）如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，DAB=90，AD//BC，⊥面，PA=PB===E是的中點(diǎn).是等腰三角形，（Ⅰ）求證：PE⊥CD；（Ⅱ）設(shè)與CD所成的角為1，直線與平面ABCD所成的角為，二面角P?BC?A為，，22，23從以下所給的三個(gè)條件中選出其中一個(gè)作為已知條件，求四棱錐P?ABCD的體積.265①cos1=；②=2；③cos3=．535因?yàn)镻A=PB,E是的中點(diǎn)，PE⊥AB.所以因?yàn)樗砸驗(yàn)樗浴?分PAB平面，AD⊥PAB，PE平面AD⊥PE.AD……………2分，ABCD.ABCDPE⊥因?yàn)镃D平面平面……………4分……………5分，PE⊥CD.所以2（Ⅱ）選①cos1=；5FBCAF,PF的中點(diǎn)，連接，法一：設(shè)是……………6分因?yàn)锳D/CF，所以AF/CD.……………7分PAF與CDPAF=所成的角，.1所以就是……………8分PE=xPA=PB=x2+1，PF=x+2，AF=5.2設(shè)，則PF2=PA2+AF2?2PAAFcos1，因?yàn)?25x2+2=x解得x=2.所以P?ABCD=Sh=[+2)2]2=2.2+1+5?2x2+15.所以……………12分11132……………14分3法二：設(shè)PE=t，設(shè)CD的中點(diǎn)為G，連，則⊥，PE,AB,兩兩垂直.EG,EB,EPxyz軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系E?……7分分別以為P(0,t(0,0),D0),C0).=?tCD=(0).則所以……………9分225所以cos1|,CD==.1t+25解得t=2.……………12分111所以P?ABCD=Sh=[+2)2]2=2.32……………14分36選②=2；3.法一：連……………6分PE⊥DE是ABCD在平面因?yàn)槠矫妫珹BCD所以所以內(nèi)的投影.……………7分PDEABCDPDE=，且……8分(0,90)2就是與平面所成的角，2AE=AD=1,DE=2.6因?yàn)樗砸驗(yàn)閟in2=所以cos2=,33.3tan2=2所以.PE所以所以=2.PE=2.……………12分111所以P?ABCD=Sh=[+2)2]2=2.……………14分332法二:設(shè)CD的中點(diǎn)為G，連，則⊥，PE,AB,兩兩垂直，EG,EB,EP為x軸、軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.……7分y分別以6設(shè)平面ABCD的法向量為m=.設(shè)P(0,tD0),所以PD=??t).……………9分|?t|6所以sin2|,PD=解得t=2.=.311+t2……………12分111所以P?ABCD=Sh=[+2)2]2=2.32……………14分35選③=3.5因?yàn)锳D//BC，⊥面，BC⊥PAB，所以所以平面BC⊥PB,BC⊥AB.PBA就是二面角P?BC?A所以的平面角，PBA=.……………8分3BE15因?yàn)閏os3===，PBPB5所以PB=5.2?PE2=2.所以PE=PB……………12分……………14分111所以P?ABCD=Sh=[+2)2]2=2.323（1714分）在ABC中，B=45，b=6.（Ⅰ）當(dāng)a=5時(shí)，求A和c；（Ⅱ）求ABC面積的最大值.4cosB=,且B(0,535所以sinB=.……………1分ba6355=，所以=.因?yàn)閟inBsinAsinA1所以sinA=.……………3分27所以A=或A=.……………4分663因?yàn)閟inB=,B，56所以A所以A=.6.……………5分6c=acosB+bcosA43=5+6=4+33.……………7分524（Ⅱ）因?yàn)閎2=a+c2+c2?2accosB=a2+c2?2ac=36，……………8分5a222ac因?yàn)椋?2所以362ac?ac=ac.55ac90ac=時(shí)，等號成立所以，當(dāng)且僅當(dāng)為.……………10分……………12分13SABC=acsinB=ac.210S27a=c時(shí)，等號成立.所以，當(dāng)且僅當(dāng)為a=c=310S=27.即時(shí)，ABC.所以面積的最大值為……………14分（1813分）某服裝銷售公司進(jìn)行關(guān)于消費(fèi)檔次的調(diào)查，根據(jù)每人月均服裝消費(fèi)額將消費(fèi)檔次分為0-500元；500-10001000-15001500-2000元四個(gè)檔次，針對,B兩類人群各抽取100人的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，各檔次人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：0～500～1000～1500元1500～2000元檔次500元1000元人群A類B類2050503020101010月均服裝消費(fèi)額不超過1000元的人群視為中低消費(fèi)人群，超過1000元的視為中高收入人群.A（Ⅰ）從類樣本中任選一人，求此人屬于中低消費(fèi)人群的概率；,B（Ⅱ）從兩類人群中各任選一人，分別記為甲、乙，估計(jì)甲的消費(fèi)檔次不低于乙的消費(fèi)檔次的概率；,B（Ⅲ）以各消費(fèi)檔次的區(qū)間中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)值為該檔次的人均消費(fèi)額，估計(jì)兩類人群哪類月均服裝消費(fèi)8額的方差較大（直接寫出結(jié)果，不必說明理由）.M解（Ⅰ）設(shè)此人屬于中低消費(fèi)人群為事件，………………1分20+50則P(M)=100=0.7………………3分N（Ⅱ）設(shè)甲的消費(fèi)檔次不低于乙的消費(fèi)檔次為事件，………………4分5381311P(N)=1+++則……………8分1010101010101031=+++100=0.78………………10分………………13分B（Ⅲ）答：（1915分）x2y222已知橢圓M：+=ab0)經(jīng)過點(diǎn)C，離心率為，M與x軸交于兩點(diǎn)a2b2(a,0),B(?a,0)，過點(diǎn)C的直線l與M交于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P，直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.(Ⅰ)求橢圓M的方程；o(Ⅱ)設(shè)為原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：OP為定值.解：(Ⅰ)由題意得b=1………………1分c2=a2a2?c2=b2又因?yàn)閍2=b2=解得………………3分………………4分x2M+y2=1所以的方程為2(Ⅱ)法一D(0,若l的斜率不存在，則，2此時(shí)k=k=?，//，不符合題意.………………5分………………6分2設(shè)l的斜率為k，則l的方程為y=+1.2+2?2=x2yy=+9消去y整理得+2k2)x2+4=0.………………7分………………8分4k1+2k解得1=2=4k.221?2k1+2k22y=+1=+1=.………………9分221+2k24k1?2k2所以D1+2k,).21+2k21?2k1+2k221?2k2?2k+2k)k===4k22k2?4k+22k)?2+221+2k1+2k=.………………10分?2k)1+2kBD:y=k=?(x+2).………………11分2(1?2k)122=?，:y=?x+1.………………12分222聯(lián)立AC,的方程，解得：x=2k,y=2k+1.Q點(diǎn)坐標(biāo)為(?2k,2k+.………………13分1所以令y=0，解得：x=?，k1所以P(?,0)，………………14分k1所以O(shè)P=(?,0)(?2k,2k+=2為定值.………………15分k法二、DyD(0,軸上，則，若在2此時(shí)k=k=?，//，不符合題意………………5分212設(shè)D(x,y)，則+12=1，且xy?1，111121+1B(?2,0)1=，BD:y=(x+2)，k，………6分………7分1+21222k==?，AC:y=?x+1，2221012(x+2)=?x+1，消去y得1+222yx+2y=?(x+2)x+x+2，11112x?2y+22x?22y+22x=Q11=11，………8分解得221+21+21+1+121?111?11kCD=，CD:y=x+1，11?y令y=0，解得xP=，………9分………10分OP=1?221+2211?y，21+21+21特別地，當(dāng)l過點(diǎn)A時(shí)，P(2,0),Q(2,0)，此時(shí)OPOQ=22=2，…11分2x?22y+2211?1要證=2恒成立，即=2恒成立，1121+21+2只需證(2x?22y+22)x=?y)(2y+2x+2)，111111即即21212?22xy+22x=4y+22x+4?4y21?22xy?4y，111111112+412=4，………14分12+12=1即2上式顯然成立所以=2.法三、………15分DyD(0,?，若在軸上，則2此時(shí)k=k=?，AC//BD，不符合題意………………5分212設(shè)D(x,y)，則+12=1，且xy?1，111121+1B(?2,0)1=BD:y=(x+2)………6分，k，1+21222k==?，AC:y=?x+1，………………7分2221112(x+2)=?x+1，消去y得1+222yx+2y=?(x+2)x+x+2，11112x?2y+22x?22y+22x=Q11=11，………………8分解得221+21+21+1+121?111?11kCD=，CD:y=x+1，11?y令y=0，解得xP=，………………9分1?221+2211?yOP=………………10分21+21?22xy+22x1+2121211===2(y+?y)+2x?y)1111211121?22xy+22x?1)+2x?2xy)1112211121?22xy+22x1+2x?2xy1112=2所以O(shè)P為定值.（2015分）………………15分f(x)=x?ex.已知函數(shù)（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(diǎn)f處的切線方程；f(x)（Ⅱ）求證：有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；（Ⅲ）求證：方程xx=ex+x無解．1=?x，f=1?e()fxe………………1分………………2分xf=e，y+e=?e)(x?∴m的方程為.即：m：f(x)y=?e)x?1．………………4分………………5分(0,+)（Ⅱ）的定義域是1=?xf(x)ex121在區(qū)間(0,+)上是減函數(shù)，?ex在區(qū)間(0,+)上也是減函數(shù)，x1=?f(x)ex(x+是減函數(shù)，………………6分x11?e<0，f()=2?e>021x(f(x)=0，………………7分002當(dāng)xx)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x(x,+)時(shí)，f(x)0，00所以f(x)在x)上是增函數(shù)，在(x,+)上是減函數(shù)，………………8分00所以f(x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)x0.………………9分（Ⅲ）設(shè)()hx=xx??x，ex=?ex，則h(x)x………………10分x時(shí)，x?e=?x0h(x)0，∴，………………11分當(dāng)x=1時(shí)，h，e0當(dāng)在)上是減函數(shù)，h(x)由（Ⅱ）知，x)h(x)0∴當(dāng)∴當(dāng)時(shí)，，，x)h(x)0時(shí)，h(x)+)上是減函數(shù)，∴在區(qū)間………………12分