數(shù)學-03 等式與不等式-2023年高考數(shù)學母題題源解密（全國通用）（解析版）

專題03等式與不等式

考向一基本不等式的應用

圖題昌鰥

【母題來源】2022年新高考全國II卷

【母題題文】若X,>滿足V+y2一孫=1,則()

A.x+y<lB.x+y>-2C.x2+j2<2D.x2+y2>1

【答案】BC

(D題錮圈

【試題解析】因為出?=3blR),由爐+y2一肛=1可變形為,

(%+y)2-1=3xy<3m2解得-2<x+y<2,當且僅當x=y=-l時，x+y=-2,當且僅當

x=y=l時，x+y=2,所以A錯誤，B正確;

由/+,2―孫=]可變形為,+J)_]=孫4"+'解得x2+y242,當且僅當X=y=±l時取等

號，所以C正確:

因為f+y2f=1變形可得卜—+9=1，設x'=cos。岑y=sin。，

所以

12

x=cos0+-j=sin仇y=耳sin0,因此

2?=cos2^+—sin2e+-^sin8cose=1+-\=sin2^--cos20+—

3GG33

42.(“71\2_

=—+—sin20—w—,2，所以當x=,y=時滿足等式，但是V+V21不成立，所以D

33I6jL3.33

錯誤.故選：BC.

【命題意圖】本題考查基本不等式及其應用，屬于中高檔題目.

【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn).試題難度有易有難，是歷年高考的

熱點，考查學生的基本運算能力.

常見的命題角度有：

（1）利用不等式比較大?。唬?）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的條件

【得分要點】

（1）對原不等式進行化簡、變形；

（2）符合基本不等式的條件“一正、二定、三相等“，用基本不等式求解;

（3）判斷等號成立的條件；

（4）利用“I”的合理變換是解題.

考向二線性規(guī)劃

【母題來源】2022年高考全國乙卷（文科）

x+y>2,

【母題題文】若x,y滿足約束條件,x+2y?4,則z=2x-y的最大值是（）

”0,

A.-2B.4C.8D.12

【答案】C

國題隔圈

【試題解析】由題意作出可行域，如圖陰影部分所示，

轉(zhuǎn)化目標函數(shù)z=2x-y為y=2x-z,

上下平移直線y=2x-z,可得當直線過點（4,0）時，直線截

距最小，z最大，

所以2,麗=2乂4-0=8.故選：C.

【命題意圖】本題考查線性規(guī)劃及其應用，屬于比較容易題目.

【命題方向】這類試題在考查題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn).試題難度較小，是歷年高考的熱點,

考查學生的基本作圖能力和運算能力.

常見的命題角度有：

（1）線性規(guī)劃求最值；（2）利用線性規(guī)劃求參數(shù)的值；

【得分要點】

1.正確畫出可行域：

2.確定目標函數(shù)平移的方向決定取得最大值或最小值。

一、單選題

I.（河北省保定市2021-2022學年高二下學期期末數(shù)學試題）已知則下列不等式一定成立的是（）

A.ac2>he2B.1C.a2>h2D.a3>b3

b

【答案】D

【解析】

【分析】

可以利用特殊值進行排除，以及利用不等式的性質(zhì)進行判斷.

【詳解】

當c=0時，砒2=布，貝A錯誤；當h<0時，/<1,則B錯誤；當0>。>。時，/</，則C錯誤；當。>。>0

b

時，83,當。時，/>0之）3=白3>力3,當人<。《0時，

0<-a<-/?=>（-?）3<（-/?）3n-&3（_匕3n,則D正確.

故選：D.

2.（2022?廣東惠州?高三階段練習）己知圓（*+1丫+（），+2）2=4關于直線依+勿+1=0（a>0,b>0）對稱,

則上1+2：的最小值為（）

ab

A.-B.9C.4D.8

2

【答案】B

【解析】

【分析】

由題可得a+2b=l（a>0力>0）,然后利用基本不等式即得.

【詳解】

圓（x+l）2+（y+2）2=4的圓心為（一1,—2）,依題意，點（—1,—2）在直線依+切+1=0上，

因此一〃一2Z?+l=0,即。+2b=1（。>0力>。），

.12fl2Y…匚2b2。、匚.12b2a八

??—I—=—i—\（a+2b\=5H-----1----->5+2.—?—=9,

abyab）y7ab\ab

當且僅當生=與，即時取』”，

ab3

所以上1+：2的最小值為9.

ab

故選：B.

x+2>0,

3.（2022.四川達州.高一期末（理））已知實數(shù)x,y滿足<>2-2,，則血丁毋T的最小值是（）

x+y+2<0

A.2B.2&C,V10D.372

【答案】B

【解析】【分析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義即可求解最小值.

【詳解】

根據(jù)約束條件，畫出可行域（如圖），可看成可行域內(nèi)的點（x,y）與定點（1,1）的距離,由圖

可知：當過點（1，1）的直線與x+y+2=0垂直時，距離最小，此時最小距離為：土關2=2應.故選：B

\y=-2

x+y+2<0

4.（2022?江蘇?宿遷中學高二期末）已知實數(shù)x>0,y>0滿足尤+y=D，則x+4y的最小值為（）

A.8B.9C.7D.10

【答案】B

【解析】

【分析】

利用基本不等式“1”的代換求x+4y的最值，注意等號成立條件.

【詳解】

由題設，-+-=1,

xy

所以x+4y=（x+4y）d+，）=5+型+225+2p---=9,

xyxy丫xy

3

當且僅當x=3,y=]時等號成立，

所以x+4y的最小值為9.

故選：B

M74-1

5.（2022?江西上饒?高二期末（文））已知正數(shù)機，〃滿足〃葉〃=1,則——的最小值為（）

mn

A.3B.3+20C.3亞D.3+2百

【答案】B

【解析】

【分析】

化簡絲里=（2+L）｛m+力=3+四+巴，再利用基本不等式得解.

mnnmnm

【詳解】

e.,f?7+lm+m+n2m+n21、，、「2mnrr

解：由a題xyj得=——=--------=------=（z一+一）（6+〃）=3+—+—>3+2V2.

mnmnmnnmnm

（當且僅當，“=0-1,〃=2-夜等號成立）.

故選：B

6.（2022?江西吉安,高二期末（文））若關于x的不等式奴2_2以-2<0恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.[—2,0]B.（—2,0]C.（—2,0）D.（―℃,—

【答案】B

【解析】

【分析】

討論〃=0和。<0兩種情況，即可求解.

【詳解】

當。=0時，不等式成立；當。工0時，不等式ar?-2m:-2<0恒成立，

等價于[A=(-24-4”(-2)<0,一2<"°?

綜上，實數(shù)。的取值范圍為(-2,0].

故選：B.

7.(2022?湖南?高二階段練習)已知偶函數(shù)〃x)在[0,+司上單調(diào)遞減，若"5)=-〃-5),則滿足正920

的X的取值范圍是()

A.(―oo,—+oo)B.(—<x>,8]

C.(-<o,-2]u(-l,+oo)D.(-00,-2]kJ(-1,8]

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到/(x)在(3,0]上單調(diào)遞增，/⑸=/(-5)=0.把原不等式轉(zhuǎn)化為或

出一濘，即可解得.

x+l<0,

【詳解】

因為偶函數(shù)/(X)在[0,y)上單調(diào)遞減，所以/(X)在(3,0]上單調(diào)遞增，且/(5)=-〃-5),又

/(5)=/(-5),所以/(5)=/(—5)=0.

由生"得依-3)訓f/(x-3)<0,—5WX—3?5,x-3W-5或%-325,

所以或

x+l>0,[x+l<0,x+1>0,x+1<0,

解得-l<x?8或xW-2.故x的取值范圍是(■,-2L(-1,8].

故選：D.

8.(2022.陜西?武功縣普集高級中學一模(文))使不等式(x+l)(x-2)2>0成立的一個充分不必要條件是

()

A.工>一1且B.-1<x<3

C.x<1D.x>3

【答案】D

【解析】

【分析】

求解已知不等式，從集合的角度，以及充分性和必要性的定義，即可選擇.

【詳解】

因為(X-2)2>0,故不等式(x+l)(x-2)2>0的解集為且"2},

故不等式(x+l)(x-2)2>0成立的一個充分不必要條件所構成的集合應是國?-1且x*2}的真子集,

顯然，滿足題意的只有{x|x>3}.

故選：D.

二、填空題

9.(2022?四川瀘州?三模(理))已知x、jeR,且2，+2'=4,給出下列四個結論：

①x+y42；②孫21；(3)2x+y<3；?4V+4V>8.

其中一定成立的結論是(寫出所有成立結論的編號).

【答案】①④

【解析】

【分析】

利用基本不等式可判斷①和④，取特殊值x=0、y=log23可判斷②，取特殊值?可判斷③.

【詳解】

對于①，V2">0,2'>0,

由2*+2,=4得，4=2X+2y>2>/2'-2V=242^，

B|J4>2>j2x+y>解得x+y?2(當且僅當x=y=l時取等號)，故①一定成立；

對于②，當x=0,y=log23時，2*+2'=4成立，但犯士1不成立，故②不一定成立；

對于③，當y時，由2*+2>'=4得2'=4-應，

則2'+y_3=4_&+；-3=；一加>0,即2'+y>3,故③不一定成立；

④將2X+2〉=4兩邊平方得4"+4V+2mM=16.

二4'+4>'=16-2"日，

由①可知：x+y<2=>x+y+l<3=>2x+y+,42?=8n>-8

n16-2…216-8=8,

4'+4v>8.當且僅當x=y=l時取等號，因此④一定成立.

故答案為：①④.

【點睛】

本題①和④利用基本不等式即可求解，需要熟練運用基本不等式求范圍.對于②和③，取特殊值驗算即可快

速求解.

10.（2022?上海市川沙中學高二期末）若關于x的不等式|2x-3|+|2x+5|<〃，-2機有解，則實數(shù)〃?的取值范

圍___________.

【答案】（口,—2）（4,物）

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可得（|2x—3|+|2x+5|）1nhi<nr-2m,根據(jù)時+|4Ra-司可得（|2x-3|+|2*+5|）―=8,代入求解.

【詳解】

根據(jù)題意可得（|2X-3|+|2X+5%“<m2-2m

■：|2x-3|+|2x+5|>|（2x-3）-（2x+5）|=8

irr—2m>8,BPm2—2m-8>0?則m>4或相〈一2

故答案為：（YO,-2）（4,+30）.

11.（2022?浙江?鎮(zhèn)海中學高二期末）已知實數(shù)xZ2y>0,z>0,則"外；先+丁■的最小值為

【答案】1+五##五+1

【解析】

【分析】

依題意利用基本不等式計算可得；

【詳解】

解：因為xN2y>0,z>0,

所~以,六x+4廠y+3+z方x不x+2y+2y+3zfx_2y+3zx

x+2y2y+3zx+2y2y+3z

2y+3z

>l++--—=1+2巨豆M=i+也

2x2y+3zy2x2y+3z

2y+3zx

當“x=2y,\[2x=2y+3z,x=2y取等號“

2x2y+3z

綜上所述：x［^^3z+2y；3z的最小值為］+也;

故答案為：1+0

b

12.(2020?云南德宏?高三期末(理))關于函數(shù)〃》)=牧-嚏(必*0)有下列四個命題:

①使f(x)關于y軸對稱.

②^a,beR,都有/(x)關于原點對稱.

③使/(x)在0,J3上為減函數(shù).

④若x<0,使/(x)有最大值-2赤司.

其中真命題的序號是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】

對①②，判斷/W的奇偶性即可;

對③④，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)判斷即可;

【詳解】

A

由題，因為/(-x)=-or+、=-/(x),且《/?片0,故/(X)為奇函數(shù)，①錯②對；

當。>0,6<0時:由對勾函數(shù)的性質(zhì)，f(x)=ar-§在0,出］上為減函數(shù)，故③正確；又當x<0時，若

I處取得最大值

a>0,bv0,則/(x)在x=—,,故④正確;

故答案為：②③④

三、解答題

13.(2021?黑龍江?大慶外國語學校高二期末)設。：實數(shù)x滿足/-々a+B/wOS〉。)，q：實數(shù)x滿足

x—2

(1)若。=1,且/“4為真，求實數(shù)X的取值范圍；

(2)若。是q的必要不充分條件，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴(2,3)

⑵[L2]

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)二次不等式與分式不等式的求解方法求得命題P，4為真時實數(shù)x的取值范圍，再求交集即可：

(2)先求得A=[“,3a],再根據(jù)P是夕的必要不充分條件可得再根據(jù)集合包含關系，根據(jù)區(qū)間端點

列不等式求解即可

⑴當a=l時，X2-4X+3<0,解得14X<3,即2為真時?，實數(shù)x的取值范圍為1<x<3.由二<0,解

x-2

得2Vx<3,即q為真時，實數(shù)x的取值范圍為2Vx<3.

fl<x<3

若PM為真,則二3'解得實數(shù)》的取值范圍為色③.

⑵若P是g的必要不充分條件，則4np且P4<7.

設4=卜加(》)},8=卜卜(必，則A?8,又8=(2,3).

由V-4ar+3a2VO,得(x—3a)(x—a)40,因為a>0,則4=[。,3。],有[<3/解得14a?2

因此a的取值范圍為[L2].

14.(2022?江西撫州?高二期中(文))己知a,6都是正數(shù).

(1)若a+b=,證明：h\[a+a4b>4ab；

⑵當a1/7時，證明：as[a+h\fb>b\ja+a4b.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)a+6=l-24不可得石+石=1,再結合"二十“"化簡,利用基本不等式證明即可

(2)根據(jù)證明的不等式逆推即可

(1)證明：由4+匕=1一2>/^,得(6+折)=1,即G+揚=1

M+a包國芯+.)=3+」="+；](石+.=2+,+92+2倬*=4,

abab4a4b3ayjbJNa<bJb

當且僅當。=人=[0寸”="成立.

4

所以hyfci+a\[b>4ab.

⑵要證〃6+h4h>b\[a+a\[b,

只需證>[ci(6/—b)—yfb{ci—Z?)>0，即證—\[b)(a—/?)>0,

即證(6-北京6+筋)>0,

因為(&-〃)2>0,石+加>。，所以上式成立，所以〃&+/75/〉4份+a〃成立..

15.(2022?四川巴中?高一期末(理))已知函數(shù)/(x)=f+*—2,〃x)>0的解集為卜1或x>".

⑴求實數(shù)。、(的值;

(2)若xw(O,4w)時，求函數(shù)=的最小值.

【答案】(l)a=-l,b=2

(2)2A/2-1

【解析】

【分析】

(1)分析可知-1、6是方程V+or-2=0的兩個根，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系可求得。、b的值;

(2)求得g(x)=x+：-l,利用基本不等式可求得g(x)在(0,+8)上的最小值.

⑴解：因為關于X的不等式d+ar-2>0的解集為{巾<-1或X>可，

fl—?—2=0[a=-1

所以，-1、〃是方程/+公―2=0的兩個根，所以，?八c,解得(c.

[-l-p=-2[b=2

(2)解：由題意知g(x)=>("+4=二——￡iZ=x+2-i,

XXX

因為x>0,由基本不等式可得g(x)=x+2—1>2Jx.2—1=2->/2—1,

2

當且僅當工=一時，即片女時，等號成立

故函數(shù)g(x)的最小值為2&-1.

16.(2022.浙江舟山.高二期末)第24屆冬季奧林匹克運動會，又稱2022年北京冬季奧運會，是由中國舉

辦的國際性奧林匹克賽事，于2022年2月4日開幕，2月20日閉幕.本屆奧運會共設7個大項，15個分項,

109個小項.北京賽區(qū)承辦所有的冰上項目和自由式滑雪大跳臺，延慶賽區(qū)承辦雪車、雪橇及高山滑雪項目，

張家口賽區(qū)承辦除雪車、雪橇、高山滑雪和自由式滑雪大跳臺之外的所有雪上項目，冬奧會的舉辦可以帶動

了我國3億人次的冰雪產(chǎn)業(yè)，這為冰雪設備生產(chǎn)企業(yè)帶來了新的發(fā)展機遇，某冰雪裝備器材生產(chǎn)企業(yè)，生

產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為2000萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本C(x)(萬元).經(jīng)計算若年產(chǎn)量x千件

低于100千件，則這x千件產(chǎn)品成本C(x)=：x2+iox+]ioo；若年產(chǎn)量x千件不低于I。。千件時，