數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題

數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題第一試選擇題(742分

,O點(diǎn)P劣弧AB,DPAQ若PQ=QO設(shè)M 2+2+

-2(20052-2 則QC等于 )A×2004+20042).則下列結(jié)論中,正確的是 ).(A)M< (B)M> (C)M=

(A) - +2( 2

(D)23(D0<M2005×2 填空題(728分3設(shè)a=3

,b=2- ,c 1.3在梯形ABCD,AB∥CD5-2.則abc的大小關(guān)系是 )(A)c>a> (B)a<b<a>b> (D)a>c>[x]x,則方x2-8[x]+7=0的所有實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是().(A) (B) (D)1在梯ABCD,AB∥3

AB=a,CD=b(a<b),∠BCD=45.則梯形ABCD的面積等于(用關(guān)于ab子表示kxx2+kx+k+1=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1x2.若x1+2x2=k,則k等 DC,AB=BC 2

x2+x-2AD=AC

,E 整數(shù)x共 個(gè)F分別是CDA 的中點(diǎn).則EF的長(zhǎng)為 )22 (B) ( 224

5

如圖4,在ABC,BC=a,CA=b,AB=a2+a2+=0的兩個(gè)根.若(|α|-β)(|β|-α)≥1,則k的取值范圍是( ).

AB. ACDBCD的內(nèi)心分別為I1I2,則I1I2 (用關(guān)于ab(A)k≥5- (B)k≤5-k 5-2k≥5-

式子表示

k 5-2⊙OABCD

xkx2-2(3k-1)x+9k-1=在ABC中,=90°,D是邊B上一點(diǎn),∠ADC=5.點(diǎn)E,且AE∶BE 10∶3.若DE=2三、(25分)試求出所有的整數(shù)n2n21n3-5n第一試

從而 BAC.故DC=A ,DC2,ECDE=ECAE⊥CD,AE⊥AB因此,AE= AC2-EC2=2,EF= AF2+AE2= 41.4因?yàn)棣240,αβ是兩個(gè)相異的實(shí)根由韋達(dá)定理得α+β=-k,αβ=-因?yàn)轭}中不等式左邊關(guān)于αβ對(duì)稱,(|α|-β)(|β|-α)β-](α-β)(α+β)≥1]k(β-α)] (α+β)2-4αβ≥1] k2+4 k>02k2(k2+4)2

k>0k2≥5-因?yàn)?+62+

(1+3)×2=24+2

]k

5-2M

7不妨設(shè)AOa>bΖ2>2+Ζ12>6+4Ζ3>2OC=1,則AD=CD=2Ζ9>8,成立c>a 5-2>-Ζ-2>5-2Ζ26+5>7Ζ29+ 30>49Ζ 30> 30>5Ζ30>25,成立記[x]=n(n是整數(shù)),n≤x<n1,8n=x27≥7.,n≥1,n是正整數(shù),

QO=QP=x,則AQ=1-x,QC=1+xDQ=AQ·QC 1- QH⊥AD,QK⊥CD,HK,n2≤x2=8n-7<(n+1)2n2≤8n-71≤n≤7

QH=AH

1-

,DH=QK=CK

1+x1-由8n-7<(n+1)2得n<2或n> 由勾股定理得QH2+HD2=DQ21-,n1,5,67,x=1,33,41,

1+x 6,AE

,x2=1]x=1333為AB∥CD,AB=BC 從而

1+

+1=2+3AC=AD,

,AQ=1-x -∠BCA=∠BA

4

(b2-a2)8AE⊥DCBF⊥DC,E、F

由Rt ABC∽R(shí)t ACD∽R(shí)t CBD,得r1= b ,r2= 為垂足. a2+ a2+EF=AB=記AE=BFh,則DE=AE=

,r12+r22=r2I1I2 I1D2+I2D2 (2r1)2+(2r2)CF BF°=h

=2·r2+r2 2r 2(a+btan h

又b=CD=EF+DE+CF=a+h 3,h=3b-a)=3-3b-a

a2+b2)

第二試,

1+1

(a+b)h=3-3(b2 a2)

梯形ABCD

kx2-2(3k-1)x+9k-1=的兩個(gè)整數(shù)根為x1x2,且x1≤x22.

x+

=6-2,x

=9-1

1 1k2-4k-4 k,2因?yàn)閤2=-kx2

-k-1,所以 2x1x2-x1-x2=122x1+2x2=k]x1-2kx2=3k+2

(2x1-1)(2x2-1)=

,2x1-

≤2x2-](x1+x2)-(2k+1)x2=3k+

2x1-1=1

2x1-1=5]-k-(2k+1)x

=3k+

2

-1=25

2

-1=5]-(2k+1)x2=2(2k+](2k+1)(x2+2)=

2x1-1=-252x2-1=-1

2x1-1=-52x2-1=-2k10,k=-12x2=-2k=

x1=1x2=

x1=x2=

x=-12,x2=0;

x1=-2x2=-x2+x-2=y2,y∈N,4x2+4x-8=(2y)2即(2x-2y+1)(2x+2y1)32

x1=x23,k =-1,1,19-x1x

2x-2y+1=12x+2y+1=9

2x-2y+1=32x+2y+1=3

BDCD=AC

,AD 2AD 1+50x222x-2y+1=-3,2x-2y+1=-9 由 =1AB·DE=1BD·AC,2x+2y+1=-3;2x+2y+1=- x=2 x=1 x=-2 x=-3 1×13x×2= 2+9x2×1+50x2 y2 y0 y0 y= ,x4個(gè)

450x4-229x2+2=x2=229±48841=229±221=12

(a+b a

b)

ABC

BCD的內(nèi)切圓半徑 于是,x

22 22rr1r2,r=a+bI2DI1=

a2+ AB>BC, 數(shù)學(xué)奧林匹克高中訓(xùn)練題ABCDa,∠Aπ分 3.將菱形ABCD沿對(duì)角線折成二面角θ.x|的部 θ∈π,2π,則異面直線AC與BD距離 圖像是圖1中的 ) 最大值為 )(A)3 (B)3 (C)3 (D)3 集合12?100的某些子集滿足條集中所含元素個(gè)數(shù)最多是().(A) (B) (D)a0,a≠1f(x)=loga(x x2-1)(x≥1)f-

(n)

3n+3- 其中n13x 2+9x2 1+50x2>+ 所以,8A2-80A≤120,x

+1

22.故只能是x 22

(A-5)22 2SBCF+SACF=SABC

A-52≤36,|A-5|-1≤A≤11,A1(BC+AC)CFsin2

1AC·BC2

注意到Δ=-8A2+80A+121的對(duì)稱軸為=5,列表如下 2

26

262

×26 表解得CF= 5三、2n21,“2n21整除n3-5n5”等價(jià)于“2n2+12n3-10n+10”.

A-1,0,1,2,3A-1,0,1,2,3,4,5Δ2