基于鞍點(diǎn)理論的不等式約束優(yōu)化方法

基于鞍點(diǎn)理論的不等式約束優(yōu)化方法

0拉格朗日乘子法優(yōu)化和能源系統(tǒng)的開發(fā)應(yīng)用非常廣泛?？纱笾聦⑶蠼獬绷髯顑?yōu)化問題的傳統(tǒng)方法分為兩類:牛頓法和梯度法。在牛頓法中,針對最優(yōu)潮流問題,首先形成增廣的拉格朗日函數(shù),將其線性化后,再運(yùn)用牛頓法求解,得到最終的庫恩—塔克點(diǎn)。然而,這種方法存在著初值依賴性較高,并且在不等式約束的處理上難度較大的缺點(diǎn),一些學(xué)者采用內(nèi)部試驗(yàn)迭代的方法來辨識(shí)每次主迭代中有效不等式約束集,但這種不等式約束處理方法在實(shí)際應(yīng)用中存在著程序編制和維護(hù)復(fù)雜、計(jì)算量大、數(shù)值穩(wěn)定性差等缺陷而在梯度方法中,對迭代初值的強(qiáng)依賴性這個(gè)缺點(diǎn)得以克服,但是對于處理不等式約束以及最優(yōu)步長的求解等問題上,采用梯度法依舊難度較大,雖然梯度法用罰函數(shù)處理不等式約束、用拉格朗日乘子判斷是否到邊界的方法是一種有效處理不等式約束的方法,但該處理方法會(huì)產(chǎn)生病態(tài)條件,導(dǎo)致收斂性變壞。文獻(xiàn)[6]對最優(yōu)潮流方法進(jìn)行了詳盡敘述,此處不再贅述。隨著間歇式能源大規(guī)模接入電網(wǎng),其規(guī)模性和不確定性特點(diǎn),對電力系統(tǒng)運(yùn)行各方面都產(chǎn)生了一定影響,衍生出了許多新的研究熱點(diǎn),電網(wǎng)的輸電能力就是其中一個(gè)重要方面。文獻(xiàn)[7-8]提出了基于序貫蒙特卡洛仿真的電網(wǎng)輸電能力的計(jì)算方法,該方法能綜合考慮動(dòng)態(tài)時(shí)變性和不確定性的影響,根據(jù)元件運(yùn)行特性及狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性,按時(shí)間順序?qū)ο到y(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行仿真,并定義了一系列的概率指標(biāo)對輸電能力進(jìn)行評估。文獻(xiàn)[9-11]在考慮負(fù)荷波動(dòng)和設(shè)備故障等不確定性因素外,還考慮了風(fēng)電場風(fēng)速及輸出功率的隨機(jī)特性,利用蒙特卡洛仿真對輸電能力進(jìn)行評估。文獻(xiàn)[12]基于點(diǎn)估計(jì)法和級數(shù)的大型太陽能發(fā)電系統(tǒng)的輸電能力概率計(jì)算方法,有效描述了影響系統(tǒng)輸電能力的各種不確定因素,并最終給出了輸電能力的概率區(qū)間。然而,上述方法通過概率區(qū)間來確定輸電能力的精確性較差,難以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的系統(tǒng)調(diào)度和運(yùn)行。拉格朗日函數(shù)的鞍點(diǎn)具有特殊的性質(zhì),像馬鞍一樣,能夠提供優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解。利用拉格朗日函數(shù)的鞍點(diǎn)可以形成鞍點(diǎn)逼近算法針對電力系統(tǒng)優(yōu)化問題求解中的不等式約束處理困難的現(xiàn)象,首先對優(yōu)化問題進(jìn)行松弛處理,把等式約束吸收進(jìn)目標(biāo)函數(shù)中,定義拉格朗日松弛函數(shù)的鞍距,說明鞍距實(shí)際上是由不等式約束引起的;將鞍距在不等式約束中進(jìn)行分配,結(jié)合牛頓法修正方程,對于不同的分配方式,可以形成不同的算法;并說明內(nèi)點(diǎn)法只是鞍點(diǎn)逼近理論的一種應(yīng)用,是將鞍距按照距離不等式約束邊界的對數(shù)距離進(jìn)行分配的。最后,以電力系統(tǒng)最大輸電能力研究問題為例,對鞍點(diǎn)逼近理論處理不等式約束的算法進(jìn)行驗(yàn)證,以此證實(shí)本文所提出算法的有效性。1拉格朗日乘子和對偶問題對于優(yōu)化問題,一般都是直接或間接利用其庫恩—塔克條件進(jìn)行尋優(yōu),尋優(yōu)的過程基本上都是在可行解域內(nèi)部進(jìn)行。對于式(1)所示的優(yōu)化問題,其拉格朗日松弛函數(shù)可表示為式(2)所示的形式。式中:α和β分別為等式約束和不等式約束的拉格朗日乘子。如果定義原問題為:則對偶問題可以表示為:原問題提供了優(yōu)化問題最優(yōu)值的下界,而對偶問題則體現(xiàn)了庫恩—塔克條件中的互補(bǔ)松弛約束,提供了優(yōu)化問題最優(yōu)值的上界。因此拉格朗日函數(shù)的鞍點(diǎn)(x式中:上標(biāo)*表示最優(yōu)值;點(diǎn)(x根據(jù)全局優(yōu)化理論,僅當(dāng)函數(shù)f,g,h為凸函數(shù)時(shí),上式中的等式成立。而實(shí)際上,電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)方程并不具有凸的性質(zhì),但是倘若假定最優(yōu)點(diǎn)在初始點(diǎn)附近,即在初始點(diǎn)一定的鄰域范圍內(nèi),可以大致認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)方程不會(huì)在單調(diào)性方面發(fā)生變化,因此上式可以認(rèn)為是:同理,也可以定義拉格朗日松弛函數(shù)的原問題和對偶問題分別為:也必然有:即也可以認(rèn)為:2不考慮正則約束的情況下的鞍距對于求解優(yōu)化問題來說,困難之一是不等式約束的處理問題,對應(yīng)不等式約束的拉格朗日乘子具有突變的特點(diǎn),即在可行解域內(nèi)部時(shí)值為0,而在可行解域的邊界上時(shí),其值是一個(gè)正數(shù)。對于大多數(shù)的尋優(yōu)算法來說,這種突變性給計(jì)算帶來了一定的困難。當(dāng)不考慮不等式約束的影響時(shí),對于式(7)和式(8)所示的原始—對偶問題,可以定義鞍距為:鞍距體現(xiàn)了不考慮不等式約束情況下原始和對偶問題之間的差別當(dāng)達(dá)到最優(yōu)解時(shí),原始和對偶問題是相等的,對偶間隙σ=0,則有:由此可見,鞍距體現(xiàn)了不等式約束的變化。鞍距也有微分形式,可以描述為式(15)或式(16)。式中:f3零對偶間隙時(shí)鞍距的變化由于鞍距是由不等式約束的變化引起的,因此可以根據(jù)零對偶間隙時(shí)鞍距的變化公式求解對應(yīng)不等式約束的拉格朗日乘子。假設(shè)不等式約束的數(shù)量為M,根據(jù)鞍距在不等式約束之間的分配方式的不同,可以相應(yīng)地形成多種算法。3.1有對角矩陣假設(shè)鞍距由這M個(gè)不等式約束平分,即有:寫成矩陣的形式有:式中:H為由h的各個(gè)分量組成的對角矩陣;E為元素全部為1的M×1維向量。則寫成微分的形式有:即式中:ΔH(x,u)=H可得:3.2內(nèi)點(diǎn)法則原理鞍距的分配也可以按照不等式約束接近極限的程度進(jìn)行,可以按照下式對鞍距進(jìn)行劃分:寫成矩陣的形式有:寫成微分的形式有:即可得:此外,還可以采取將鞍距在越限的不等式約束之間分配等處理措施。由此可見,依照不同原則對鞍距進(jìn)行分配,可以形成不同的算法。而內(nèi)點(diǎn)法則是將最優(yōu)化模型簡化為一般非線性模型,并引入松弛變量將不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束后,把目標(biāo)函數(shù)改造為障礙函數(shù),如下式所示:式中:f(x)為原目標(biāo)函數(shù);h(x)=0為等式約束函數(shù);當(dāng)L4互補(bǔ)松弛條件對于式(1),庫恩—塔克條件可以表示為:式中:f將上式展開得:在狀態(tài)變量、控制變量及對偶變量所對應(yīng)不等式約束中,拉格朗日乘子β初值的給定需要滿足互補(bǔ)松弛條件,即在所有不等式約束均得到滿足的假設(shè)前提下,β=0。此時(shí),迭代修正在可行解域內(nèi)完成,即與內(nèi)點(diǎn)法思路是一致的。此外,由上節(jié)的分析可見,拉格朗日乘子β具有一定的罰因子的性質(zhì),當(dāng)接近于可行解域的邊界時(shí),h(x,u)接近于0,因此H(x,u)鞍點(diǎn)逼近算法就是根據(jù)上述方程,不斷對控制變量、狀態(tài)變量和對偶變量進(jìn)行修正逼近的一種計(jì)算方法。5輸電能力評估對于大規(guī)模間歇式能源接入下電力系統(tǒng)的最大傳輸能力問題,常見的一種做法是利用蒙特卡洛法對所關(guān)心的設(shè)備進(jìn)行狀態(tài)抽樣后再進(jìn)行狀態(tài)評估,得到足夠的狀態(tài)數(shù)據(jù),在每個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)下,利用有效算法進(jìn)行輸電能力計(jì)算,從而得到系統(tǒng)輸電能力的期望值電力系統(tǒng)的最大輸電能力問題的數(shù)學(xué)模型式中:λ為輸電能力的負(fù)荷倍數(shù);b將狀態(tài)變量定義為節(jié)點(diǎn)的電壓與相角;相應(yīng)的,將控制變量定義為發(fā)電機(jī)的有功功率、無功電源的無功功率和輸電能力的負(fù)荷倍數(shù)。5.1負(fù)荷增長方向以IEEE30節(jié)點(diǎn)為例,系統(tǒng)的數(shù)據(jù)參見文獻(xiàn)[23]。將原始負(fù)荷方向取為負(fù)荷增長方向,需要注意一點(diǎn)是:除去平衡節(jié)點(diǎn),其余節(jié)點(diǎn)的類型均屬于負(fù)荷節(jié)點(diǎn)類型。對于30節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng),不等式約束的數(shù)量達(dá)到了86個(gè),當(dāng)要求的計(jì)算精度e=105.2發(fā)電機(jī)內(nèi)點(diǎn)和鞍點(diǎn)抽象再以IEEE14節(jié)點(diǎn)為例,比較本文所提出的基于拉格朗日函數(shù)鞍距分配的廣義內(nèi)點(diǎn)法與內(nèi)點(diǎn)法的效果。此處,將第3節(jié)中所提的按照不同鞍距分配方法形成的兩種鞍點(diǎn)逼近算法均與內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行比較,其中鞍點(diǎn)逼近法1是鞍距按照不等式約束進(jìn)行平均分配,鞍點(diǎn)逼近法2為鞍距按照不等式約束接近極限的程度進(jìn)行分配。數(shù)據(jù)見文獻(xiàn)[24]。該系統(tǒng)包含兩臺(tái)發(fā)電機(jī)(其中1為平衡節(jié)點(diǎn)),只包含發(fā)電機(jī)的區(qū)域?yàn)樗投藚^(qū),其余為受端區(qū)。取電壓約束的上、下限分別為此外,將算法迭代過程中對偶間隙G可以看出,對于鞍點(diǎn)逼近法1,由于是將鞍距平均分配,因此,計(jì)算步驟相對較少,計(jì)算速度很快,但其尋優(yōu)效果不佳,可能陷入局部最優(yōu),而非全局最優(yōu)。而對于鞍點(diǎn)逼近法2,由于是將鞍距按照不等式約束接近極限的程度進(jìn)行分配,因此計(jì)算速度相對較慢,但尋優(yōu)效果較好。相較于廣泛應(yīng)用的經(jīng)典算法內(nèi)點(diǎn)法,鞍點(diǎn)逼近法1的優(yōu)勢在于其計(jì)算速度快,但其相對較差的尋優(yōu)效率限制了該方法的使用;因此,更多的時(shí)候,采用鞍點(diǎn)逼近法2更具合理性與實(shí)用性,尋優(yōu)效果達(dá)到甚至略優(yōu)于內(nèi)點(diǎn)法,但其缺陷在于收斂速度相比內(nèi)點(diǎn)法而言較慢。且在編程的過程中,發(fā)現(xiàn)內(nèi)點(diǎn)法尋找可行初始點(diǎn)比較困難,而本文方法的可行初始點(diǎn)取值范圍要更大,對初值的敏感度較低。因此,本文所提方法具有一定的可行性。6結(jié)論與局限性當(dāng)大規(guī)模間歇式電源接入電網(wǎng)時(shí),所帶來的不確定性使得庫恩—塔克條件中對應(yīng)不等式約束的拉格朗日乘子較難確定,給最優(yōu)潮流問題的求解帶來了一定的困難,本文通過將拉格朗日函數(shù)鞍點(diǎn)理論引入最優(yōu)潮流的求解過程中,得到了較好的效果。由于拉格朗日函數(shù)的鞍點(diǎn)表達(dá)式是單一方程的形式,而針對不等式約束的拉格朗日乘子為多個(gè),所以存在如何利用這個(gè)單一的表達(dá)式求解多個(gè)拉格朗日乘子的問題。本文通過定義鞍距,并將鞍距在眾多不等式約束之間進(jìn)行分配,根據(jù)不同的分配方式可以形成不同的算法。尤其是通過本文的推導(dǎo)可以看出,內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)方法只是拉格朗日鞍點(diǎn)理論應(yīng)用的一個(gè)特例。本文所提的鞍點(diǎn)逼近算法的不足之處在于收斂速度劣于內(nèi)點(diǎn)法,這是由于按照不等式約束接近極限的程