新人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一《3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（第1課時）》教案

2.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（第一課時）(人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第三章)新安中學(xué)（集團(tuán)）高中部叢文娟一、教學(xué)目標(biāo)1.掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點、離心率；2.能根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)對拋物線方程進(jìn)行討論；3.對通徑、焦半徑公式進(jìn)行初步探索；4.進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合的思想方法在解析幾何中的應(yīng)用。二、教學(xué)重難點1.教學(xué)重點：拋物線的簡單幾何性質(zhì)、利用拋物線的幾何性質(zhì)求方程、對通徑與焦半徑公式的初步探究。2.教學(xué)難點：利用數(shù)形結(jié)合法對通徑、焦半徑公式的探究。三、教學(xué)過程1.利用數(shù)形結(jié)合的思想探究拋物線的簡單幾何性質(zhì)1.1知識回顧，溫故知新【學(xué)生活動】學(xué)生完成學(xué)案內(nèi)容，對拋物線的四種方程、圖形、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程進(jìn)行復(fù)習(xí)。圖形方程焦點準(zhǔn)線【設(shè)計意圖】之前學(xué)過橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，都是通過圖形和方程兩方面進(jìn)行研究的，因此引導(dǎo)學(xué)生對拋物線的四種方程、圖形、焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程進(jìn)行復(fù)習(xí)，有利于對拋物線性質(zhì)的進(jìn)一步探索。1.2數(shù)形結(jié)合，類比探究問題1：類比用標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的過程與方法，請思考：我們要研究拋物線的哪些幾何性質(zhì)？如何研究這些性質(zhì)？【預(yù)設(shè)答案】前面我們學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率，在雙曲線中還學(xué)習(xí)了漸近線。我們是通過“數(shù)”和“形”兩方面對橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)進(jìn)行探究的?！驹O(shè)計意圖】類比橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的研究思路，為接下來用數(shù)形結(jié)合法研究拋物線的幾何性質(zhì)進(jìn)行鋪墊。問題2：觀察圖形，你能發(fā)現(xiàn)拋物線橫、縱坐標(biāo)的取值范圍嗎？【預(yù)設(shè)答案】通過觀察圖形，學(xué)生很容易得到開口向右的拋物線中橫、縱坐標(biāo)的取值范圍，即為問題3：從數(shù)的角度，也就是從拋物線方程的角度，怎樣得到拋物線中橫縱坐標(biāo)的取值范圍呢？【預(yù)設(shè)答案】在方程中，并無限制，因此。而因為，且，所以?！驹O(shè)計意圖】讓學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個角度探索拋物線的范圍。問題4：觀察圖形，拋物線有幾條對稱軸？是否有對稱中心？【預(yù)設(shè)答案】學(xué)生觀察圖形容易得到開口向右的拋物線關(guān)于軸對稱，沒有對稱中心。問題5：從“數(shù)”的角度，怎樣說明拋物線圖像關(guān)于x軸對稱？【教師講授】要說明拋物線的圖像關(guān)于x軸對稱，只需要在拋物線上任取一點，關(guān)于x軸的對稱點也在拋物線上即可?！驹O(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個角度探索拋物線的對稱性。問題6：根據(jù)圖形，觀察拋物線的頂點是什么？【預(yù)設(shè)答案】問題7：從“數(shù)”的角度，如何從方程中得到拋物線的頂點？【教師講授】在拋物線的方程中，，令，得到?！驹O(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個角度探索拋物線的頂點?！窘處熤v授】給出拋物線離心率的定義，并根據(jù)拋物線的定義，得出離心率為1。此時，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)橢圓和雙曲線的定義和取值范圍。1.3適時歸納，總結(jié)提升①（范圍）拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)②（對稱性）拋物線只有1條對稱軸,沒有對稱中心;③（頂點）拋物線只有1個頂點、1個焦點、1條準(zhǔn)線;④（離心率）拋物線的離心率是確定值1。2.一題多變，一題多解，學(xué)以致用例題1：已知拋物線關(guān)于軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程?！绢A(yù)設(shè)答案】由已知拋物線的開口向右，故設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。將帶入方程，得到，故拋物線的方程為。變式訓(xùn)練：已知拋物線對稱軸為坐標(biāo)軸，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程?！绢A(yù)設(shè)答案】或【設(shè)計意圖】（1）例題1和變式訓(xùn)練都是對拋物線性質(zhì)的初步應(yīng)用，進(jìn)一步強(qiáng)化待定系數(shù)法求拋物線方程的訓(xùn)練。（2）例題2引導(dǎo)學(xué)生辨析思考，分類討論。例題2：斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，求線段的長?！绢A(yù)設(shè)答案】方法1：聯(lián)立直線和拋物線方程，求出兩點的坐標(biāo)，利用兩點間距離公式求出的長?！窘處煱鍟吭O(shè)。由已知，拋物線的焦點坐標(biāo)為，故直線的方程為。聯(lián)立直線和拋物線，得，所以，因此方法2：利用拋物線的定義，將焦點弦的長度轉(zhuǎn)化為兩個焦半徑的長度?？梢岳梅椒?求出，也可使用韋達(dá)定理。【教師板書】【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生多種角度思考，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，為接下來探索焦半徑和通徑公式，進(jìn)行鋪墊。【問題8】連接拋物線上一點與焦點的線段叫做拋物線的焦點弦。根據(jù)例題2的方法2，你能否得到拋物線的焦點弦公式？【預(yù)設(shè)答案】【問題9】你能否總結(jié)出另外三種拋物線的焦半徑公式？【預(yù)設(shè)答案】開口向左：；開口向上：；開口向下：?！締栴}10】有一種特殊的焦點弦，它垂直于拋物線的對稱軸，這種焦點弦叫做通徑。你能否根據(jù)焦半徑公式，求出通徑的長度嗎？【預(yù)設(shè)答案】通徑【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生對焦半徑公式、通徑進(jìn)行提煉與總結(jié)。3.深入思考，思維升華【思考1】雙曲線的開口大小由離心率來衡量，那么拋物線的開口大小怎樣確定呢？【預(yù)設(shè)答案】通徑越長，開口越大?！驹O(shè)計意圖】類比雙曲線，引導(dǎo)學(xué)生利用通徑對拋物線的形狀進(jìn)一步探索?！舅伎?】通徑是一類特殊的焦點弦，那么請問通徑是拋物線最短的焦點弦嗎？【設(shè)計意圖】思考2由特殊抽象到一般，對例題2利用焦半徑求焦點弦問題的進(jìn)一步升華。另外，為下一節(jié)課進(jìn)一步探索拋物線的焦點弦問題埋下伏筆。在下節(jié)課中，將采用更為多樣的方法求證“通徑就是拋物線最短的焦點弦”。4.小組活動，總結(jié)提升【小組活動】小組合作，合作探求另外三種拋物線的幾何性質(zhì)。標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點準(zhǔn)線范圍頂點對稱軸離心率焦半徑通徑軸軸【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思路對其他三種拋物線進(jìn)行探究，提升總結(jié)。【教師總結(jié)】總結(jié)課堂內(nèi)容，并提出思考，你還能有幾種方法說明“通徑就是拋物線最短的焦點弦”？【設(shè)計意圖】梳理本節(jié)內(nèi)容，提煉方法；為下節(jié)課繼續(xù)探索焦點弦問題埋下伏筆。課后作業(yè)（1）課本第136頁，課后習(xí)