數(shù)列的基本知識

莊浪縣職教中心

張琨

數(shù)列的基本知識1Ⅰ、引入（創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣）下圖是國際象棋棋盤的示意圖，棋盤上共有8行8列，構(gòu)成64個格子，國際象棋起源于古代印度，關(guān)于國際象棋有這樣一個傳說。國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他有什么要求，發(fā)明者說：請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，在第2個格子里放上2顆麥粒，在第3個格子里放上4顆麥粒，在第4個格子里放上8顆麥粒，依此類推，每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子。問在第64個格子里將放多少顆麥粒？把每個格子里的麥粒數(shù)按序排列出來的一列數(shù)，就是今天所要講的數(shù)列。2棋盤上64格依次所對應(yīng)的麥粒數(shù)21232224………2633Ⅱ、演示幾個有特點的數(shù)列給出定義如圖表示堆放的鋼管，共堆放了7層，自上而下各層的鋼管數(shù)排列成一列數(shù)：4，5，6，7，8，9，10．①正整數(shù)1，2，3，4，…的倒數(shù)排列成一列數(shù)：1，…。②的精確到1，0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排列成一列數(shù)：1，1.4,1.41,1.414,…。③

-1的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，…排列成一列數(shù)：-1，1，-1，1，…。④4無窮多個1排列成一列數(shù)：1，1，1，1，…。⑤以上每列數(shù)都是按一定的次序排列的：定義：（1）數(shù)列：按一定次序排的一列數(shù)叫數(shù)列。（強(qiáng)調(diào)次序）如4，5，6，7，8，9，和9，8，7，6，5，4由于順序不同，當(dāng)然不是同一個數(shù)列。注意：數(shù)列與集合的區(qū)別：①數(shù)列有序，集合無序，如1，2，3和3，2，1是不同數(shù)列但是相同的集合，②數(shù)列元素可重，集合元素不重，如1，1，1，1對數(shù)列可行，但對集合不行（2）項：數(shù)列中每一個數(shù)叫數(shù)列的項（注意第幾項）5（3）表示：一般形式a1，a2，a3，…，an，…，（注意區(qū)別與an，是一列數(shù)，an表具體的某項。（4）通項公式：先分析第（1）數(shù)列，序號1234567

項45678910（將以上5個數(shù)列具體寫出、分析，回答本節(jié)課起初的提問）（1）an=n+3（2）（3）沒有（4）（5）an=1n現(xiàn)在尋找第n項值與序號n的關(guān)系，得出an=n+3（n≤7），如果數(shù)列的第n項an與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式。6按照這個規(guī)律第64格應(yīng)有263顆麥粒，它的通項公式是：an=2n-1（n≤64）

小結(jié)：從函數(shù)觀點，通過以上分析，實際上通項就是從上面一個序號集合到另一個數(shù)的集合的映射，即可看成是定義域是正整數(shù)N+（或是它的有限子集）的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，而通項公式則是相應(yīng)的解析式。如：an=n+3，若用函數(shù)表，只不過x取N+，從圖象上可以看出表直線，而an=n+3表示孤立的點，但這些點在直線上，我們用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)一步理解了數(shù)列的概念。7思考：（1）10，9，8，7，6，5，4…的通項是什么？（2）數(shù)列1，3，5，7，9…的通項是2n-1，則3，5，7，9的通項又是什么？an=11-n（3）1，4，7，10，…，3n+7,…其中后一項比前一項大3，寫出它的通項公式，它的第n項是多少？3n+7是它的第幾項？（注意3n+7不是它的通項，3n-2才是，故第n項是an=3n-2，代入3n+7=3k-2得k=n+3項）。(an=2n+1)（注意與4，5，6，7，8，9，10的比較）8Ⅲ、數(shù)列的表示方法：(1)列舉法（2）圖象法）（3）解析法如4，5，6，7，8，9，10是列舉法右下圖是圖象法an=n+3（1≤n≤7）是解析法Ⅳ、數(shù)列的另一種表示：分析推導(dǎo)：

……………∴(2≤n≤7)nan9如果已知數(shù)列的第(1)項(或前n項)且任一項an與它的前一項an-1（或前n項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫數(shù)列的遞推公式。（說明：通項公式給出的是直接關(guān)系，遞推公式給出的是間接關(guān)系，由間接算出幾項，再觀察分析，找通項。)Ⅴ、例題講解1、課本例題(略)：目的：由淺入深，循序漸進(jìn)，調(diào)動興趣，共同參與。2、寫出下列數(shù)列的一個通項方式，使它的前四項分別是下列各數(shù)10

(1）這個數(shù)列的特點是可以拆開，然后若相加出現(xiàn)正負(fù)項抵銷。（2）對于正負(fù)號間隔的處理，每一項的絕對值相差6。分析：分析：①②-1,7,-13,19,……11③分析：（3）主要是觀察分子分母的關(guān)系，注意它的變形形式④分析：（4）實際上是將（3）列中的分子取倒數(shù)⑤9，99，999，9999分析：（5）由10，102，103…10n各項減1得12Ⅵ、小結(jié)：本節(jié)講了：1、數(shù)列概念（注意與函數(shù)、集合進(jìn)行比較)2、數(shù)列通項公式的求法（觀察分析法）4、遞推公式的應(yīng)用。在練習(xí)中細(xì)心分析不要馬虎，多試驗，找規(guī)律，對各種各樣的數(shù)列試著分析