【微專題】2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)?？键c(diǎn)微專題提分精練（人教版）邊邊角證全等（解析版）

邊邊角證全等1．已知如圖：∠ABP＝∠CBP，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAP+∠BCP＝180°，求證：AB+BC＝2BD．【解答】解：過點(diǎn)P作PM⊥AB，垂足為點(diǎn)M，∵PM⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，∴PM＝PD，BM＝BD，∵∠BAP+∠BCP＝180°，且∠BAP+∠MAP＝180°，∴∠PAM＝∠BCP，在△PAM和△PCD中，，∴△PAM≌△PCD，∴AM＝CD，∴BM﹣AB＝BC﹣BD，∴BD﹣AB＝BC﹣BD，∴AB+BC＝2BD．2．如圖，四邊形ABCD中，∠A+∠C＝180°，BD平分∠ABC，（1）求證：DC＝AD；（2）若BC＝21，AB＝9，AD＝10，求BD的長(zhǎng)．【解答】證明：在BC上截取BE＝BA，連接DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD，在△BAD和△BED中，∵，∴△BAD≌△BED（SAS），∴DA＝DE，∠A＝∠BED，∵∠BED+∠DEC＝180°，∠A+∠C＝180°，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴DC＝AD．（2）如圖，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，∵△BAD≌△BED，∴BA＝BE＝9、AD＝DC＝10，∵BC＝21，∴EC＝12，∵DE＝DC，∴EF＝FC＝EC＝6，在Rt△DFC中，DF＝＝＝8，在Rt△BDF中，BD＝＝＝17．3．如圖，在四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，試說明AD＝CD的理由．【解答】證明：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于E，作DF⊥BC于F，所以，∠EDF+∠BAD＝180°，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∵∠BAD與∠BCD互補(bǔ)，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AD＝CD．4．如圖所示，四邊形ABCD中，BC＜BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求證：∠A+∠C＝180°．【解答】證明：如圖，過D作出DE⊥BA，DF⊥BC，．∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE＝DF，∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△DEA和Rt△DFC中，，∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL），∴∠C＝∠EAD，∵∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠BAD+∠C＝180°．5．如圖，OC平分∠MON，A、B分別為OM、ON上的點(diǎn)，且BO＞AO，AC＝BC，求證：∠OAC+∠OBC＝180°．【解答】解：如圖，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．∴CE＝CF，∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°，∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL），∴∠ACF＝∠ECB，∴∠ACB＝∠ECF，∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ACB+∠AOB＝180°，∴∠OAC+∠OBC＝180°．6．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠DCB＝90°，AB＝AD，延長(zhǎng)CD到E，使DE＝BC，連接AE，AC．（1）求證：△ACE是等腰直角三角形；（2）若AC＝6cm，求四邊形ABCD的面積．【解答】（1）證明：在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠DCB＝90°，∴∠B+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠DCB＝180°，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠ADE＝∠B，在△ADE和△ABC中，，∴△ADE≌△ABC（SAS），∴∠DAE＝∠BAC，AE＝AC，∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形．（2）解：∵△ADE≌△ABC，∴S△ADE＝S△ABC，∵△ACE是等腰直角三角形．AC＝6cm，∴AC＝AE＝6cm，∴四邊形ABCD的面積＝S△ACD+S△ABC＝S△ACD+S△ADE＝S△ACE＝×6×6＝18（cm2）．7．已知：如圖，點(diǎn)E、F在BC上，AF與DE交于點(diǎn)G，AB＝DC，GE＝GF，∠B＝∠C．求證：AG＝DG．【解答】證明：∵GE＝GF，∴△GEF為等腰三角形，∴∠GEF＝∠GFE，∵在△ABF和△DCE中，∠B＝∠C，∴∠A＝∠D，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（ASA），∴AF＝DE，又∵GF＝GE，∴AF﹣GF＝DE﹣GE，即AG＝DG．8．如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，點(diǎn)E，D分別為垂足，CF＝CB．（1）求證：BE＝FD．（2）若AF＝4，AB＝6，求DF．【解答】（1）證明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CE，∠ADC＝∠AEC＝90°，在Rt△CDF與Rt△CEB中，，∴Rt△CDF≌Rt△CEB（HL），∴BE＝FD；（2）解：由（1）知，BE＝FD，∠ADC＝∠AEC＝90°，在Rt△ACD與Rt△ACE中，，∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），∴AD＝AE，∵AB＝AE+BE＝AD+BE＝AF+FD+BE，AF＝4，AB＝6，∴6＝4+FD+BE＝4+2?DF，∴DF＝1．9．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，3），AB＝BC，AB⊥BC，點(diǎn)B在x軸上．（1）如圖1，AC交x軸于點(diǎn)D，若∠DBC＝10°，則∠ADB＝55°；（2）如圖1，若點(diǎn)B在x軸正半軸上，點(diǎn)C（1，﹣1），求點(diǎn)B坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，AE⊥x軸于點(diǎn)E，AF⊥y軸于點(diǎn)F，∠BFM＝45°，MF交直線AE于點(diǎn)M，若點(diǎn)B（﹣1，0），BM＝5，求EM的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∠ADB＝55°；∵AB＝BC，AB⊥BC，∴∠A＝∠C＝45°，∵∠ADB＝∠C+∠DBC，∠DBC＝10°，∴∠ADB＝45°+10°＝55°；（2）解：如圖1，過A作AD⊥x軸，CE⊥x軸，垂足分別為D、E，∵AD⊥x軸，CE⊥x軸，∴∠ADB＝∠BEC＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°，∵AB⊥BC，∴∠EBC+∠ABD＝90°，∴∠DAB＝∠EBC，在△ADB與△BEC中，，∴△ADB≌△BEC（AAS），∴BD＝CE，∵A（3，3），C（1，﹣1），∴OD＝3，CE＝1，∴OB＝OD+BD＝OD+CE＝3+1＝4，∴B（4，0）；（3）解：如圖2，在AM上截取AN＝OB，連接FN，∵A（3，3），∴OF＝AF＝3，在△BOF與△NAF中，，∴△BOF≌△NAF（SAS），∴∠BFO＝∠NFA，BF＝NF，∵∠BFM＝∠BFO+∠OFM＝45°，∴∠NFA+∠OFM＝45°，∵∠OFA＝90°，∴∠NFM＝∠OFA﹣（∠NFA+∠OFM）＝90°﹣45°＝45°，∴∠BFM＝∠NFM，在△BFM與△NFM中，，∴△BFM≌△NFM（SAS），∴BM＝NM，∵BM＝5，B（﹣1，0），∴MN＝5，BO＝AN＝1，∴EM＝MN+AN﹣AE＝5+1﹣3＝3．10．如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，若∠C＝50°，求∠BAD的度數(shù)．【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，過點(diǎn)D作DF⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于F，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∠DEC＝∠F＝90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD＝∠C，∴∠BAD+∠C＝∠BAD+∠FAD＝180°，∵∠C＝50°，∴∠BAD＝130°．11．定義：一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“等補(bǔ)四邊形”．如圖1，四邊形ABCD中，AD＝CD，∠A+∠C＝180°，則四邊形ABCD叫做“等補(bǔ)四邊形”．（1）概念理解①在以下四種圖形中，一定是“等補(bǔ)四邊形”的是D．A．平行四邊形B．菱形C．矩形D．正方形②等補(bǔ)四邊形ABCD中，若∠B：∠C：∠D＝2：3：4，則∠A＝90°．（2）知識(shí)運(yùn)用如圖1，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，AD＝CD，BC＞BA．求證：四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形．（3）探究發(fā)現(xiàn)如圖2，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，連接AC，AC是否平分∠BCD？請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）①∵平行四邊形的對(duì)角相等，不一定互補(bǔ)，對(duì)邊相等，鄰邊不一定相等，∴平行四邊形不一定是等補(bǔ)四邊形，故不選A；∵菱形四邊相等，對(duì)角相等，但不一定互補(bǔ)，∴菱形不一定是等補(bǔ)四邊形，故不選B；∵矩形對(duì)角互補(bǔ)，但鄰邊不一定相等，∴矩形不一定是等補(bǔ)四邊形，故不選C；∵正方形四個(gè)角是直角，四條邊相相等，∴正方形一定是等補(bǔ)四邊形，故選D．②∵等補(bǔ)四邊形對(duì)角互補(bǔ)，∴∠A：∠B：∠C：∠D＝3：2：3：4，又∵∠A+∠C＝180°，∴∠A＝∠C＝90°，故填90°．（2）如圖1，證明：在BC上截取BE＝BA，連接DE，在△BAD和△BED中，，∴△BAD≌△BED（SAS），∴∠A＝∠DEB，AD＝DE．∵AD＝CD，∴DE＝DC．∴∠C＝∠DEC．∵∠BED+∠DEC＝180°，∴∠A+∠C＝180°，又∵AD＝CD，∴四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形；（3）如圖2，過點(diǎn)A分別作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，則∠AEB＝∠AFD＝90°，∵四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形，∴∠B+∠ADC＝180°，又∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF，∴AC是∠BCF的平分線（在角的內(nèi)部且到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上），即AC平分∠BCD．12．已知在∠MON中，A，B分別為ON，OM上一點(diǎn)．（1）如圖，若CD⊥OB于D，OC平分∠MON，OA+OB＝2OD，求證：∠MON+∠ACB＝180°；（2）若CD⊥OB于D，OC平分∠MON，∠MON+∠ACB＝180°，求證：OA+OB＝2OD．【解答】解：（1）作CH⊥OA垂足為H，∵OC平分∠MON，CD⊥OM，CH⊥OA，∴CD＝CH，在RT△OCD和RT△OCH中，，∴△OCD≌△OCH，∴OD＝OH，∵OA+OB＝2OD，∴OH+AH+OD﹣BD＝20D，∴BD＝AH，在△CDB和△CHA中，，∴△CDB≌△CHA，∴∠BCD＝∠ACH，∴∠DCH＝∠BCA，在四邊形OHCD中，∵∠MON+∠DCH+∠ODC+∠CHO＝360°，∠CDO＝∠CHO＝90°，∴∠MON+∠DCH＝180°，∴∠MON+∠BCA＝180°．（2）作CH⊥OA垂足為H，∵OC平分∠MON，CD⊥OM，CH⊥OA，∴CD＝CH，在RT△OCD和RT△OCH中，，∴△OCD≌△OCH，∴OD＝OH，在四邊形OHCD中，∵∠MON+∠DCH+∠ODC+∠CHO＝360°，∠CDO＝∠CHO＝90°，∴∠MON+∠DCH＝180°，∵∠MON+∠BCA＝180°，∴∠BCA＝∠DCH，∴∠BCD＝∠ACH，在△CDB和△CHA中，，∴△CDB≌△CHA，∴BD＝AH，∴OB+OA＝OD﹣BD+OH+AH＝2OD．13．（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是EF＝BE+DF．（2）探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（3）結(jié)論應(yīng)用：如圖3，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝12，CN＝16，則MN的長(zhǎng)為20．【解答】解：（1）EF＝BE+DF，證明如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF，故答案為：EF＝BE+DF；（2）結(jié)論EF＝BE+DF仍然成立；理由：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AC，如下圖，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+D