條件概率及有關(guān)公式課件

1.4條件概率及有關(guān)公式一、條件概率二、乘法定理三、全概率公式四、貝葉斯公式11.4條件概率及有關(guān)公式一、條件概率1一、條件概率的定義及性質(zhì)例,設(shè)10張彩票中只有一張中獎(jiǎng)票,10人同時(shí)摸這10張,張三和李四各得一張記A:{張三中獎(jiǎng)}B:{李四中獎(jiǎng)}由古典概率模型知:現(xiàn)在設(shè)李四先刮開(kāi)彩票,已知李四有沒(méi)有中獎(jiǎng)的信息對(duì)計(jì)算張三中獎(jiǎng)的的可能性大小有沒(méi)有影響?2一、條件概率的定義及性質(zhì)例,設(shè)10張彩票中只有一張中獎(jiǎng)票,顯然,如果李四中獎(jiǎng),那么張三就沒(méi)有機(jī)會(huì)中獎(jiǎng)也就是說(shuō):在事件B發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的概率為0,記P(A|B)=0如果已知李四沒(méi)中獎(jiǎng),張三中獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)有多大?也就是說(shuō):在事件B沒(méi)發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的概率為多少?3顯然,如果李四中獎(jiǎng),那么張三就沒(méi)有機(jī)會(huì)中獎(jiǎng)在“事件B已發(fā)生”的條件下,事件A發(fā)生的概率稱(chēng)為B條件下A的條件概率,記為P(A|B)定義:

若事件B已發(fā)生,則為使

A也發(fā)生

,試驗(yàn)結(jié)果必須是既在

B中又在A中的樣本點(diǎn)

,即此點(diǎn)必屬于AB.由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間

,于是

有:4在“事件B已發(fā)生”的條件下,事件A發(fā)生的概率分析:

:n個(gè)樣本點(diǎn)B:m個(gè)樣本點(diǎn)AB:k個(gè)樣本點(diǎn)在B已發(fā)生的條件下,試驗(yàn)結(jié)果為m中的一個(gè),這時(shí)A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)AB中的某一樣本點(diǎn)發(fā)生,故相當(dāng)于“縮小了樣本空間”5分析::n個(gè)樣本點(diǎn)在B已發(fā)生的條件下,試 條件概率的性質(zhì):(1)非負(fù)性:0≤P(A|B)≤1

(2)規(guī)范性:P(

|B)=1(3)可列可加性:若Ak

(k=1,2,…)兩兩互斥,則

另有:P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)

P(A1A2|B)6 條件概率的性質(zhì):(1)非負(fù)性:0≤P(A|B)≤1(

2)從加入條件后改變了的情況去算

條件概率的計(jì)算1)用定義計(jì)算:P(B)>0

擲骰子例：A={擲出2點(diǎn)}，

B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}P(A|B）=B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間中A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)72)從加入條件后改變了的情況去算條件概率的計(jì)算1例1

擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn),問(wèn)“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解法1:解法2:解:設(shè)A={擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10}B={第一顆擲出6點(diǎn)}應(yīng)用定義在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計(jì)算8例1擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn),問(wèn)“擲出點(diǎn)數(shù)之和不例2

設(shè)某廠生產(chǎn)的燈泡能使用1000小時(shí)以上的概率為0.9,能使用1500小時(shí)以上的概率為0.3,如果有一個(gè)燈泡已經(jīng)使用了1000小時(shí)沒(méi)有損壞,求它能使用1500小時(shí)以上的概率解:A:“燈泡能使用1000小時(shí)以上”B:“燈泡能使用1500小時(shí)以上”由已知:P(A)=0.9,P(B)=0.39例2設(shè)某廠生產(chǎn)的燈泡能使用1000小時(shí)以上的概率為0.又B

A所求:

P(AB)=P(B)=0.310又BA所求:P(AB)=P(B)=0.310條件概率P(A|B)與P(A)的區(qū)別

每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的，設(shè)A是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)事件，則P(A)是在該試驗(yàn)條件下事件A發(fā)生的可能性大小.P(A)與P(A|B)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個(gè)不同的概念,在數(shù)值上一般也不同.

而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加“B發(fā)生”這個(gè)條件時(shí)A發(fā)生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.11條件概率P(A|B)與P(A)的區(qū)別每一個(gè)隨由條件概率的定義：即

若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而

P(AB)=P(BA)二、

乘法公式若已知P(B),P(A|B)時(shí),可以反求P(AB).將A、B的位置對(duì)調(diào)，有故

P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若

P(A)>0,則P(BA)=P(A)P(B|A)

(2)和(3)式都稱(chēng)為乘法公式,利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率12由條件概率的定義：即若P(B)>0,則P(AB)推廣到一般情形中:若n個(gè)事件A1,A2,…,An滿(mǎn)足條件：P(A1A2…Ak)>0(k=1,2,…,n

1),則：P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An

1)13推廣到一般情形中:若n個(gè)事件A1,A2,…例3

甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個(gè)零件，其中300件是乙廠生產(chǎn)的.而在這300個(gè)零件中，有189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這1000個(gè)零件中任取一個(gè)，問(wèn)這個(gè)零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？所求為P(AB).甲、乙共生產(chǎn)1000個(gè)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)乙廠生產(chǎn)300個(gè)乙廠生產(chǎn)B={零件是乙廠生產(chǎn)}設(shè)：A={是標(biāo)準(zhǔn)件}14例3甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個(gè)零件，其中300件是乙廠生若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問(wèn)它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?”求的是

P(A|B).B發(fā)生,在P(AB)中作為結(jié)果;在P(A|B)中作為條件.15若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,求的是P(A|B).B發(fā)生,例4

設(shè)袋中裝有a只紅球和b(b≥3)只白球,從中連續(xù)取球四次,每次取一球,取后不放回,試求第四次才取到紅球的概率解:Ai:“第i次取到白球”

(i=1,2,3,4)則:“第四次取到紅球”:“第四次才取到紅球”16例4設(shè)袋中裝有a只紅球和b(b≥3)只白球,故:17故:17

一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行，5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券.大家都想去,只好用抽簽的方法來(lái)解決.

入場(chǎng)券5張同樣的卡片，只有一張上寫(xiě)有“入場(chǎng)券”，其余的什么也沒(méi)寫(xiě).將它們放在一起，洗勻，讓5個(gè)人依次抽取.“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大.”后抽比先抽的確實(shí)吃虧嗎？

18一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行，入場(chǎng)5張同樣的卡片，只

到底誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？讓我們用概率論的知識(shí)來(lái)計(jì)算一下,每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券”的概率到底有多大?“大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來(lái)，誰(shuí)抽到‘入場(chǎng)券’的機(jī)會(huì)都一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大?！?9到底誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？讓我們用概率論的知識(shí)來(lái)計(jì)算一下,每

我們用Ai表示“第i個(gè)人抽到入場(chǎng)券”

i＝1,2,3,4,5.顯然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1個(gè)人抽到入場(chǎng)券的概率是1/5.也就是說(shuō)，則

表示“第i個(gè)人未抽到入場(chǎng)券”20我們用Ai表示“第i個(gè)人抽到入場(chǎng)券”顯然，P(A1)=1因?yàn)槿舻?個(gè)人抽到了入場(chǎng)券，第1個(gè)人肯定沒(méi)抽到.也就是要想第2個(gè)人抽到入場(chǎng)券，必須第1個(gè)人未抽到，由于由乘法公式

計(jì)算得：

P(A2)=(4/5)(1/4)=1/521因?yàn)槿舻?個(gè)人抽到也就是要想第2個(gè)人抽到入場(chǎng)券，必須第1個(gè)人

這就是有關(guān)抽簽順序問(wèn)題的正確解答.

同理，第3個(gè)人要抽到“入場(chǎng)券”，必須第1、第2個(gè)人都沒(méi)有抽到.因此＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5

繼續(xù)做下去就會(huì)發(fā)現(xiàn),每個(gè)人抽到“入場(chǎng)券”

的概率都是1/5.抽簽不必爭(zhēng)先恐后.也就是說(shuō)，22這就是有關(guān)抽簽順序問(wèn)題的正確解答.

全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率,它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用.綜合運(yùn)用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0三、全概率公式和貝葉斯公式23全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜全概率公式設(shè)B1,B2,…,Bn是n個(gè)互不相容的事件,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),若則AB1B2B3…對(duì)求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得24全概率公式設(shè)B1,B2,…,Bn是n個(gè)互不相定義B1,B2,…,Bn為樣本空間的一個(gè)劃分:(1)B1,B2,…,Bn兩兩互不相容(2)

或稱(chēng)B1,B2,…,Bn為完備事件組設(shè)

為樣本空間，25定義B1,B2,…,Bn為樣本空間的一個(gè)劃分:(1)B在較復(fù)雜情況下直接計(jì)算P(A)不易,但A總是伴隨著某個(gè)Bi出現(xiàn)，適當(dāng)?shù)厝?gòu)造這一組Bi往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算.全概率公式的來(lái)由,不難由上式看出:“全”部概率P(A)被分解成了許多部分之和.它的理論和實(shí)用意義在于:26在較復(fù)雜情況下直接計(jì)算P(A)不易,但A總是伴隨著某個(gè)Bi出

某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因Bi(i=1,2,…,n)，如果A是由原因Bi所引起，則A發(fā)生的概率是

每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)全概率公式.我們還可以從另一個(gè)角度去理解27某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因Bi(i=1,2,

由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān).全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系

.B1B2B3B4B5B6B7B8A諸Bi是原因A是結(jié)果28由此可以形象地把全概率公式看成為B1B2B3B例5

有三個(gè)形狀相同的罐,在第一個(gè)罐中有2個(gè)白球和1個(gè)黑球,在第二個(gè)罐中有3個(gè)白球和1個(gè)黑球,在第三個(gè)罐中有2個(gè)白球和2個(gè)黑球,現(xiàn)任取一罐,從中取出一球,試求取得白球的概率解:A:“取到的是白球”Bi:“球取自第i罐”(i=1,2,3)則B1,B2,B3是樣本空間的一個(gè)劃分29例5有三個(gè)形狀相同的罐,在第一個(gè)罐中有2個(gè)白球和1個(gè)黑球由全概率公式:30由全概率公式:30我們把事件A看作某一過(guò)程的結(jié)果,把B1,B2,…,Bk,…看作該過(guò)程的若干個(gè)原因則我們可以用全概率公式計(jì)算結(jié)果發(fā)生的概率,即求P(A)全概率公式的使用根據(jù)歷史資料,每一原因發(fā)生的概率已知,即已知P(Bk)而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知,即已知P(A|Bk)31我們把事件A看作某一過(guò)程的結(jié)果,把B1,B2例6

兩批相同種類(lèi)的產(chǎn)品各有十二件和十件,每批產(chǎn)品中各有一件廢品,現(xiàn)在先從第一批產(chǎn)品中任取一件放入第二批中,然后再?gòu)牡诙腥稳∫患?求這時(shí)取到廢品的概率解:A:“取到廢品”B:“從第一批中取到的是廢品”有,32例6兩批相同種類(lèi)的產(chǎn)品各有十二件和十件,每批產(chǎn)品中各有又有,由全概率公式,有:關(guān)鍵:劃分

33又有,由全概率公式,有:關(guān)鍵:劃分33該球取自哪號(hào)箱的可能性最大?實(shí)際中還有下面一類(lèi)問(wèn)題，是“已知結(jié)果求原因”

這一類(lèi)問(wèn)題在實(shí)際中更為常見(jiàn)，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小.

某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率.1231紅4白或者問(wèn):34該球取自哪號(hào)箱的可能性最大?實(shí)際中還有下面一類(lèi)問(wèn)題，是貝葉斯公式通常,由某一原因:互不相容的

B1,B2,…,Bn

結(jié)果:A如果在試驗(yàn)前P(Bi)及P(A|Bi)已知,現(xiàn)在進(jìn)行一次試驗(yàn),事件A的確發(fā)生了,重新估計(jì)Bi

,即計(jì)算P(Bi|A)

35貝葉斯公式通常,由某一原因:互不相容的

有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2紅球3白球，3號(hào)箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率

.1231紅4白?36有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號(hào)箱的概率.記

Bi={球取自i號(hào)箱},i=1,2,3;

A={取得紅球}求P(B1|A)運(yùn)用全概率公式計(jì)算P(A)將這里得到的公式一般化，就得到貝葉斯公式1231紅4白?37某人從任一箱中任意摸出記Bi={球取自i號(hào)箱},i=1,貝葉斯公式:設(shè)B1,B2,…,Bn互不相容,P(A)>0,P(Bi)>0,則:分析:38貝葉斯公式:設(shè)B1,B2,…,Bn互不相容,P(A)>0,

貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件

B）發(fā)生的最可能原因.

39貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們例7

某射擊小組共有20名射手,其中一級(jí)射手4人,二級(jí)射手8人,三級(jí)射手7人,四級(jí)射手1人,一、二、三、四級(jí)射手能通過(guò)選拔進(jìn)入比賽的概率分別0.9,0.7,0.5,0.2,現(xiàn)從該射擊小組任選一人,若此人已通過(guò)選拔進(jìn)入比賽,問(wèn)此人是一級(jí)射手的概率是多少?解:A:“任選的一名射手能通過(guò)選拔進(jìn)入比賽”40例7某射擊小組共有20名射手,其中一級(jí)射手4人,二級(jí)射手Bi:“任選的一名射手是i級(jí)射手”(i=1,2,3,4)由已知:P(A|B1)=0.9,P(A|B2)=0.7,P(A|B3)=0.5,P(A|B4)=0.2所求概率為P(B1|A)41Bi:“任選的一名射手是i級(jí)射手”由已知:P(A|B1)=由貝葉斯公式:“結(jié)果

原因”42由貝葉斯公式:“結(jié)果原因”42

貝葉斯公式在貝葉斯公式中，P(Bi)和P(Bi|A)分別稱(chēng)為原因的驗(yàn)前概率和驗(yàn)后概率.P(Bi)(i=1,2,…,n)是在沒(méi)有進(jìn)一步信息（不知道事件A是否發(fā)生）的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí).

當(dāng)有了新的信息（知道A發(fā)生），人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Bi|A)有了新的估計(jì).貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。43貝葉斯公式在貝葉斯公式中，P(Bi)和P(Bi|A)分

8支步槍中有5支已校準(zhǔn)過(guò),3支未校準(zhǔn).一名射手用校準(zhǔn)過(guò)的槍射擊時(shí),中靶的概率為0.8;用未校準(zhǔn)的槍射擊時(shí),中靶的概率為0.3.現(xiàn)從8支槍中任取一支用于射擊,結(jié)果中靶.求:所用的槍是校準(zhǔn)過(guò)的概率.

設(shè)A={射擊時(shí)中靶},B1={使用的槍校準(zhǔn)過(guò)},B2={使用的槍未校準(zhǔn)},則B1,B2是Ω一個(gè)劃分,由貝葉斯公式解:例8448支步槍中有5支已校準(zhǔn)過(guò),3支未校準(zhǔn).一名解:例

9

一批同型號(hào)的螺釘由編號(hào)為I,II,III的三臺(tái)機(jī)器共同生產(chǎn).

各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺釘占這批螺釘?shù)谋壤謩e為35%,40%,25%.

各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺釘?shù)拇纹仿史謩e為3%,2%和1%.

現(xiàn)從該批螺釘中抽到一顆次品.

求:這顆螺釘由I,II,III號(hào)機(jī)器生產(chǎn)的概率各為多少?

設(shè)A={螺釘是次品},B1={螺釘由1號(hào)機(jī)器生產(chǎn)},B2={螺釘由2號(hào)機(jī)器生產(chǎn)},B3={螺釘由3號(hào)機(jī)器生產(chǎn)}.則:45解:例9一批同型號(hào)的螺釘由編號(hào)為I,II,由貝葉斯公式同理,得:P(B1)=0.35,P(B2)=0.40,P(B3)=0.25,P(A|B1)=0.03,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.0146由貝葉斯公式同理,得:P(B1)=0.35,P(B2)=

例

10

某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，問(wèn)此人是癌癥患者的概率有多大?則

表示“抽查的人不患癌癥”.已知

P(C)=0.005,P()=0.995,