機(jī)械振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)

機(jī)械振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)第1頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.8系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)·卷積積分上節(jié)討論了周期激勵(lì)作用下的振動(dòng)響應(yīng)，在不考慮初始階段的瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，它是穩(wěn)態(tài)的周期振動(dòng)。但在現(xiàn)實(shí)中激勵(lì)并非是周期的，而是任意的周期函數(shù)，或者是在極短時(shí)間內(nèi)的沖擊作用。在這種激勵(lì)情況下，系統(tǒng)通常沒有穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，而只有瞬態(tài)振動(dòng)。激勵(lì)停止后，系統(tǒng)按固有頻率作自由振動(dòng)。若激勵(lì)持續(xù)，即使存在阻尼，由激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)也會(huì)持續(xù)下去。對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)，求解方法有多種：第2頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.8.1脈沖響應(yīng)對(duì)于脈沖激勵(lì)情形，系統(tǒng)只有暫態(tài)響應(yīng)而不存在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)單位脈沖力可利用狄拉克（Dirac）分布函數(shù)δ(t)

表示δ函數(shù)也稱為單位脈沖函數(shù)，定義為：對(duì)于τ時(shí)刻的單位脈沖函數(shù)，表示為：

O-ε

ε

（3.1.1）第3頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月δ函數(shù)的性質(zhì):特別地，當(dāng)時(shí)刻τ=0

時(shí)，有：實(shí)際應(yīng)用時(shí)，通常

f(t)在時(shí)才有意義沖量為的脈沖力可借助δ函數(shù)表示為：

當(dāng)I=1時(shí)，為單位脈沖力。因而有：

第4頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)求處于零初始條件下的系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)記：-ε、ε為單位脈沖力的前后時(shí)刻運(yùn)動(dòng)微分方程與初始條件可合寫為：或脈沖響應(yīng)乘dt：在脈沖力作用的瞬間，位移來不及變化，但速度可產(chǎn)生突變令：0-εε第5頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月兩邊在區(qū)間內(nèi)對(duì)時(shí)間積分：

在單位脈沖力的作用下，系統(tǒng)的速度發(fā)生了突變，但在這一瞬間，位移則來不及有改變，也習(xí)慣表示為：x(0+)=x(0-)

當(dāng)

t>ε時(shí)，脈沖力作用已經(jīng)結(jié)束，此時(shí)物體得到了速度增量1/m。由于ε無限小，所以記為：質(zhì)量越大，越小質(zhì)量越小，越大若系統(tǒng)受到?jīng)_量為I脈沖作用，結(jié)束時(shí)物體得到了速度增量I/m。第6頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)受脈沖I

作用，因脈沖結(jié)束后無后續(xù)激勵(lì)，因此響應(yīng)為自由振動(dòng)。其初始條件為：初位移為零，而初速度為I/m

。對(duì)無阻尼系統(tǒng)：因此解為：對(duì)單位脈沖，其響應(yīng)為脈沖響應(yīng)，記為h(t)

：第7頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.8.2卷積積分當(dāng)處于零初始條件的系統(tǒng)受到任意激勵(lì)時(shí)，可以將激勵(lì)F(t)

看作一系列脈沖力的疊加對(duì)于時(shí)刻t=τ的脈沖力，系統(tǒng)受脈沖作用后產(chǎn)生速度增量：

并引起t>τ各個(gè)時(shí)刻的響應(yīng)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)：其沖量為：由線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)應(yīng)等于系統(tǒng)在時(shí)間區(qū)間內(nèi)各個(gè)脈沖響應(yīng)的總和

得：杜哈梅(Duhamel)積分第8頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月利用卷積性質(zhì)：若初始條件非零，則：第9頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月若阻尼為零，則非零初值條件下的響應(yīng)：對(duì)于周期激勵(lì)的無阻尼系統(tǒng)：與零初值條件的受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一致。

第10頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.8.3階躍函數(shù)響應(yīng)在t1時(shí)刻開始受到突加的常值力作用，強(qiáng)度為F0試用杜哈梅積分計(jì)算系統(tǒng)在t≥t1時(shí)段內(nèi)的響應(yīng)。解：由于在t<t1時(shí)段內(nèi)沒有受到激勵(lì)，故杜哈梅積分的下限改為t1：（F0=1時(shí)，為單位階躍函數(shù)）第11頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月若激勵(lì)開始的時(shí)間無滯后，即t1=0，得到無阻尼系統(tǒng)，即ζ

=0，對(duì)于激勵(lì)時(shí)間有無滯后，響應(yīng)分別為第13頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月本例子的滯后t1的突加常值力其特例是單位階躍函數(shù)：單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于脈沖函數(shù)：第14頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.8.4：彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)在（0，t1）時(shí)間間隔內(nèi)受到突加的矩形脈沖力作用解：矩形脈沖力可利用單位階躍函數(shù)表達(dá)為：試用杜哈梅積分計(jì)算系統(tǒng)的響應(yīng)。在0≤t≤t1時(shí)段，其激勵(lì)尚未結(jié)束，響應(yīng)與常值力激勵(lì)相同：第15頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月在t>t1時(shí)段，其激勵(lì)相當(dāng)于2個(gè)常值力激勵(lì)的疊加，響應(yīng)也是兩個(gè)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)疊加。因此利用上例的結(jié)果：第16頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月即得到解：對(duì)于無阻尼系統(tǒng)，即ζ

=0，矩形脈沖激勵(lì)的響應(yīng)為：第17頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月直接解法：（1）時(shí)第18頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）時(shí)第19頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月解法三：（僅對(duì)于無阻尼情形）當(dāng)t>t1

時(shí)激勵(lì)力已經(jīng)消失，此時(shí)系統(tǒng)將以時(shí)刻t=t1

時(shí)的位移和速度為初始條件做自由振動(dòng)，稱為殘余振動(dòng)先求t=t1

時(shí)刻的位移和速度，前面已解得：得t=t1

時(shí)刻的位移和速度：第20頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月即為t>t1

時(shí)的響應(yīng)。在t=t1

開始作自由振動(dòng)：第21頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.9系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)·傅里葉積分上節(jié)講到用杜哈梅積分，可以計(jì)算任意非周期激勵(lì)的響應(yīng)。那是在時(shí)間域內(nèi)的變化關(guān)系，本節(jié)從另一角度出發(fā)，改在頻率域內(nèi)討論激勵(lì)和響應(yīng)的關(guān)系。第22頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于任意非周期函數(shù)F(t)，可看成為周期T趨于無限大的周期函數(shù)。頻譜圖中相鄰頻率Δω=2π/T視為無限小量，則可以認(rèn)為頻率在區(qū)間(-∞,∞)上接近于連續(xù)分布。

設(shè)周期力F(t)的頻率為ω，周期為T=2π/ω。將F(t)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，以復(fù)數(shù)形式表示為：

其中：

回顧，傅里葉展開級(jí)數(shù)：第23頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月將傅里葉展開式中的nω改用ωn表示，周期T以2π/Δω代替：當(dāng)Δω→0時(shí)，離散變量ωn轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)改變的頻率變量ω，上式轉(zhuǎn)化為：（3.9-5）將其中的TFn視為ω的連續(xù)函數(shù)，改用Φ(ω)表示：（3.9-7）第24頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月Φ(ω)稱為激勵(lì)的頻譜函數(shù)。積分式（3.9-8）稱為函數(shù)F(t)的傅里葉變換。（3.9-8）（3.9-7）積分式（3.9-7）稱為函數(shù)Φ(ω)的傅里葉逆變換，它將非周期函數(shù)F(t)表示為頻率為ω、強(qiáng)度為Φ(ω)dω的簡諧分量的無限和。函數(shù)Φ(ω)和F(t)共稱為傅里葉變換對(duì)。第25頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月回顧，受迫振動(dòng)：（b）其中Xn為系統(tǒng)的第n階復(fù)振幅。（a）（b）代入（a）：第26頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月（3.9-9）令X(ω)=H(ω)Φ(ω),求x(t)：F(t)傅里葉變換得Φ(ω)，乘H(ω)

，傅里葉逆變換。x(t)與X(ω)

組成傅里葉變換對(duì)。X(ω)

為系統(tǒng)響應(yīng)的頻率域表達(dá)式。第27頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.9.1質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)受矩形脈沖激勵(lì)，試對(duì)激勵(lì)作傅里葉變換，并作頻譜圖。討論脈沖寬度趨于零的單位脈沖的極限情形解：利用（3.9.8）式積分求頻譜函數(shù)第28頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月矩形脈沖的頻譜圖對(duì)于脈沖寬度趨于零的單位脈沖情形即單位脈沖的傅里葉變換等于1，其頻譜在區(qū)間（-∞,∞）內(nèi)均勻分布矩形脈沖的頻譜函數(shù)第29頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月3.10用拉普拉斯變換法求系統(tǒng)響應(yīng)·傳遞函數(shù)計(jì)算線性系統(tǒng)對(duì)任意非周期激勵(lì)的響應(yīng)也可以用拉普拉斯（Laplace,P.S.）變換。對(duì)于任意函數(shù)x(t)，定義拉普拉斯(Laplace,P.S.)變換式為其中s=σ

+iω為復(fù)變量，稱為拉普拉斯變換的輔助變量。當(dāng)σ

=0時(shí)，這是x(t)的傅里葉變換。因此拉普拉斯變換可視為傅里葉變換向復(fù)數(shù)域的擴(kuò)展。（3.10-1）第30頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月可以證實(shí)，拉普拉斯變換為線性變換：對(duì)x(t)的一階導(dǎo)數(shù)做拉普拉斯變換：（3.10-2）對(duì)x(t)的二階導(dǎo)數(shù)做拉普拉斯變換：（3.10-3）第31頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月利用以上公式對(duì)線性系統(tǒng)受迫振動(dòng)方程做拉普拉斯變換：上式是將自變量t的線性常微分方程變換成自變量為s的代數(shù)方程，且包含了外激勵(lì)和初始擾動(dòng)在內(nèi)的全部激勵(lì)，是拉普拉斯變換的最大優(yōu)點(diǎn)。（3.10-4）令：（3.10-5）第32頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月如激勵(lì)力F(t)延遲在t=t1時(shí)刻發(fā)生，將F(t-t1)代入拉普拉斯變換式：作用時(shí)間滯后對(duì)拉普拉斯變換的影響由指數(shù)函數(shù)體現(xiàn)若初始擾動(dòng)為零，從方程（3.10-5）導(dǎo)出：若s=iω,上式就是第二章講到的位移阻抗（k-mω2+icω）。因此Z(s)稱為系統(tǒng)的廣義阻抗，其倒數(shù)稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或廣義導(dǎo)納。記作：第33頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月若s=iω,上式就是第二章講到的復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)1/(k-mω2+icω)。系統(tǒng)響應(yīng)x(t)的拉普拉斯變換X(s):。因此，傳遞函數(shù)H(s)可視為激勵(lì)力的拉普拉斯變換Φ(s)計(jì)算響應(yīng)的拉普拉斯變換X(s)的代數(shù)算子。導(dǎo)出X(s)以后，通過拉普拉斯逆變換，即可得到系統(tǒng)響應(yīng)。拉普拉斯逆變換是在復(fù)數(shù)域內(nèi)的積分，但不必具體做積分運(yùn)算，因?yàn)楦鞣N典型函數(shù)的拉普拉斯變換和逆變換均有現(xiàn)成表格可供查閱。第34頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月從以上分析過程可以看出，拉普拉斯變換將線性常微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，通過逆變換得到微分方程的解。下圖表示其計(jì)算流程。X(s)=H(s)Φ(s)H(s)F(t)Φ(s)x(t)P67表3.10-1有幾種常見激勵(lì)力所對(duì)應(yīng)的拉普拉斯變換對(duì)，更多的變換對(duì)可查閱數(shù)學(xué)手冊(cè)。第35頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.10.2無阻尼質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)在t1時(shí)刻開始受到突加的常值力作用，強(qiáng)度為F0試用拉普拉斯變換計(jì)算系統(tǒng)在t≥t1時(shí)段內(nèi)的響應(yīng)。解：對(duì)激勵(lì)力進(jìn)行拉普拉斯變換：其中：1/s為階躍函數(shù)對(duì)應(yīng)的拉普拉斯變換，第36頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月體現(xiàn)作用時(shí)間的滯后。無阻尼動(dòng)力學(xué)方程的拉普拉斯變換（c=0）：查X(s)各項(xiàng)的逆變換：第37頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月相當(dāng)于滯后t1時(shí)刻查表查表變換是線性的第38頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月與上節(jié)例子的解（考慮初始條件）一樣。杜哈梅積分部分對(duì)初始條件的響應(yīng)第39頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.10.3：無阻尼質(zhì)量——彈簧系統(tǒng)在（0，t1）時(shí)間間隔內(nèi)受到突加的矩形脈沖力作用解：矩形脈沖力可利用單位階躍函數(shù)表達(dá)為：試用拉普拉斯變換計(jì)算系統(tǒng)的響應(yīng)。第40頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月無阻尼動(dòng)力學(xué)方程的拉普拉斯變換（c=0）：第41頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月相當(dāng)于滯后t1時(shí)刻查表查表變換是線性的第42頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月第43頁，課件共47頁，創(chuàng)作于2023年2月可以證明，脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)與復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù)H(ω)

也恰好組成傅里葉變換對(duì)。設(shè)系統(tǒng)受單位脈沖激勵(lì)，令：脈沖響應(yīng)為：脈沖激勵(lì)的傅里葉變換：3.11復(fù)頻率響應(yīng)與