解直角三角形及其應(yīng)用課件

第三單元解直角三角形第37講

解直角三角形及其應(yīng)用第三單元解直角三角形第37講解直角三角形及其應(yīng)用內(nèi)容索引備考基礎(chǔ)溫故知新，明確考向重點突破分類講練，以例求法易錯防范辨析錯因，提升考能內(nèi)容索引備考基礎(chǔ)溫故知新，明確考向重備考基礎(chǔ)返回備考基礎(chǔ)返回

考點梳理

解直角三角形1.直角三角形中的邊角關(guān)系：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則：

(1)三邊的關(guān)系：a2＋b2＝c2.(2)角的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°.(3)邊角關(guān)系：sinA＝cosB＝

，

cosA＝sinB＝

，tanA＝

.2.解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所

有未知元素的過程，叫做解直角三角形．考點梳理解直角三角形1.直角三角形中的邊角關(guān)系：如圖，在特別提醒

在直角三角形ABC中，∠C＝90°，那么∠A，∠B，∠C，a，b，c中，除∠C＝90°外，其余5個元素，只要知道其中的2個元素(至少有一個是邊)，就可以求出其余3個未知數(shù).特別提醒

在解直角三角形實際應(yīng)用中的常用知識1.仰角與俯角：從下向上觀察物體時，視線與水平線所成的角叫做仰角；

從上向下觀察物體時，視線與水平線所成的角叫做俯角．在解直角三角形實際應(yīng)用中的常用知識1.仰角與俯角：從下向上2.坡度與坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，坡面的鉛直高度h和水

平寬度l的比叫做坡度(坡比)，用字母i表示，即i＝

，坡度一般寫成

1∶m的形式．2.坡度與坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，坡面的鉛直高度h3.方向角：在平面上，過觀測點O作一條水平線(向右為東)和一條鉛垂

線(向上為北)，則從O點出發(fā)的視線與鉛垂線所夾的銳角，叫做觀測

的方向角．如圖，OA，OB，OC，OD的方向角分別是：北偏東30°，

南偏東45°(東南方向)，南偏西80°，北偏西60°.3.方向角：在平面上，過觀測點O作一條水平線(向右為東)和一特別提醒解直角三角形在實際中有廣泛的應(yīng)用，主要涉及測量、航空、航海、工程等領(lǐng)域，常作為習題出現(xiàn)的有以下幾個方面：度量工作、工程建筑、測量距離等.解這類問題的一般步驟是：(1)弄清題中名詞術(shù)語的意義，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學模型；(2)將實際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系，當有些圖形不是直角三角形時，可添加適當?shù)妮o助線，把它們分割成直角三角形；(3)尋求基礎(chǔ)直角三角形，并解這個三角形，或設(shè)未知數(shù)進行求解.特別提醒解直角三角形在實際中有廣泛的應(yīng)用，主要涉及測量、航基礎(chǔ)診斷1.如圖，為測量一棵與地面垂直的樹OA的高度，在距離樹的底端30米

的B處，測得樹頂A的仰角∠ABO為α，則樹OA的高度為(

)

A.米

B.30sinα米C.30tanα米

D.30cosα米C基礎(chǔ)診斷1.如圖，為測量一棵與地面垂直的樹OA的高度，在距離2.如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1∶，堤壩高BC＝50m，

則迎水坡面AB的長度是(

)A.100m B.100m C.150m D.50mA2.如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1∶，堤壩解直角三角形及其應(yīng)用ppt課件3.如圖，港口A在觀測站O的正東方向，OA＝4km，某船從港口A出發(fā)，沿

北偏東15°方向航行一段距離后到達B處，此時從觀測站O處測得該船

位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離(即AB的長)為(

)A.4km

B.2kmC.2km

D.(＋1)kmC3.如圖，港口A在觀測站O的正東方向，OA＝4km，某船從港解如圖，過點A作AD⊥OB于D.在Rt△AOD中，∵∠AOD＝30°，OA＝4，∴AD＝

OA＝2.在Rt△ADB中，∵∠B＝∠CAB－∠AOB＝75°－30°＝45°，∴BD＝AD＝2，∴AB＝

AD＝2(km)．解如圖，過點A作AD⊥OB于D.4.如圖，某登山運動員從營地A沿坡角為30°的斜坡AB到達山頂B，如果

AB＝2000米，則他實際上升了______米．10004.如圖，某登山運動員從營地A沿坡角為30°的斜坡AB到達山5.如圖，小明在窗臺C處，測得大樹AB的頂部A的仰角為45°，測得大樹

AB的底部B的俯角為30°，已知窗臺C處離地面的距離CD為5m，則大

樹的高度為________m．(結(jié)果保留根號)5.如圖，小明在窗臺C處，測得大樹AB的頂部A的仰角為45°解如圖，作CE⊥AB于E，∵CD＝5，∴BE＝CD＝5，在Rt△CBE中，返回解如圖，作CE⊥AB于E，返回重點突破返回重點突破返回類型一

解直角三角形點撥

根據(jù)同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，解直角三角形即可求解．【例1】(2017·益陽)如圖，電線桿CD的高度為h，兩根拉線AC與BC相互垂直，∠CAB＝α，則拉線BC的長度為(A、D、B在同一條直線上)(

)答案點撥解類型一解直角三角形點撥根據(jù)同角的余角相等得∠CAD＝∠解直角三角形及其應(yīng)用ppt課件類型一

解直角三角形點撥

根據(jù)同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，解直角三角形即可求解．【例1】(2017·益陽)如圖，電線桿CD的高度為h，兩根拉線AC與BC相互垂直，∠CAB＝α，則拉線BC的長度為(A、D、B在同一條直線上)(

)B答案點撥解類型一解直角三角形點撥根據(jù)同角的余角相等得∠CAD＝∠【變式1】

(2017·蘭州)如圖，一個斜坡長130m，坡頂離水平地面的距離為50m，那么這個斜坡與水平地面夾角的正切值等于(

)答案解【變式1】(2017·蘭州)如圖，一個斜坡長130m，坡頂解如圖，在Rt△ABC中，解如圖，在Rt△ABC中，【變式1】

(2017·蘭州)如圖，一個斜坡長130m，坡頂離水平地面的距離為50m，那么這個斜坡與水平地面夾角的正切值等于(

)答案解C【變式1】(2017·蘭州)如圖，一個斜坡長130m，坡頂解題要領(lǐng)

解直角三角形可用兩銳角之間的關(guān)系、三邊之間的關(guān)系、邊角之間的關(guān)系(銳角三角函數(shù)的定義).解題時，還常常用到“同(等)角的余角相等”，及面積關(guān)系S＝

ab＝

ch等結(jié)論，是對以前所學的有關(guān)三角形知識的“大匯總”.解題要領(lǐng)解直角三角形可用兩銳角之間的關(guān)系、三邊之間的關(guān)系、類型二

利用解直角三角形測量物體高度(或?qū)挾?【例2】

(2017·濰坊)如圖，某數(shù)學興趣小組要測量一棟五層居民樓CD的高度．該樓底層為車庫，高2.5米；上面五層居住，每層高度相等．測角儀支架離地1.5米，在A處測得五樓頂部點D的仰角為60°，在B處測得四樓頂點E的仰角為30°，AB＝14米．求居民樓的高度(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：

≈1.73)解點撥類型二利用解直角三角形測量物體高度(或?qū)挾?【例2】(2點撥

設(shè)每層樓高為x米，在Rt△DC′A′中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出C′A′，同理表示出C′B′，由C′B′－C′A′求出AB的長即可求解．解設(shè)每層樓高為x米，由題意得：MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1，∴DC′＝5x＋1，EC′＝4x＋1，∵在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，點撥設(shè)每層樓高為x米，在Rt△DC′A′中，利用銳角三角函解直角三角形及其應(yīng)用ppt課件【變式2】

(2017·義烏)如圖，學校的實驗樓對面是一幢教學樓，小敏在實驗樓的窗口C測得教學樓頂部D的仰角為18°，教學樓底部B的俯角為20°，量得實驗樓與教學樓之間的距離AB＝30m.【變式2】(2017·義烏)如圖，學校的實驗樓對面是一幢教(1)求∠BCD的度數(shù)．解過點C作CE⊥BD，由題意得：∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°.解(1)求∠BCD的度數(shù)．解過點C作CE⊥BD，解(2)求教學樓的高BD.(結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)解

由題意得：CE＝AB＝30，在Rt△CBE中，BE＝CE·tan20°≈10.80，在Rt△CDE中，DE＝CE·tan18°≈9.60，∴教學樓的高BD＝BE＋DE＝10.80＋9.60≈20.4(m)，

即教學樓的高約為20.4m.解(2)求教學樓的高BD.(結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：ta解題要領(lǐng)

弄清題中名詞術(shù)語的含意，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學模型，尋求或構(gòu)造基礎(chǔ)直角三角形，并解這個三角形或設(shè)未知數(shù)進行求解.解題要領(lǐng)弄清題中名詞術(shù)語的含意，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，類型三

利用解直角三角形解決航海問題【例3】

(2017·烏魯木齊)一艘漁船位于港口A的北偏東60°方向，距離港口20海里B處，它沿北偏西37°方向航行至C處突然出現(xiàn)故障，在C處等待救援，B，C之間的距離為10海里，救援船從港口A出發(fā)20分鐘到達C處，求救援艇的航行速度．(sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，

≈1.732，結(jié)果取整數(shù))解答點撥類型三利用解直角三角形解決航海問題【例3】(2017·烏點撥

過A，C各作一條水平線，過B作一條鉛垂線，構(gòu)造直角三角形，再根據(jù)勾股定理、三角函數(shù)及“路程÷時間＝速度”求解即可．點撥過A，C各作一條水平線，過B作一條鉛垂線，構(gòu)造直角三角解

作輔助線如圖所示，BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，由題意知，∠FAB＝60°，∠CBE＝37°，∴∠BAD＝30°，∵AB＝20，∴BD＝10，∴在Rt△ABD中，解作輔助線如圖所示，BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，解直角三角形及其應(yīng)用ppt課件解直角三角形及其應(yīng)用ppt課件【變式3】

(2017·天水)一艘輪船位于燈塔P南偏西60°方向的A處，它向東航行20海里到達燈塔P南偏西45°方向上的B處，若輪船繼續(xù)沿正東方向航行，求輪船航行途中與燈塔P的最短距離．(結(jié)果保留根號)解答【變式3】(2017·天水)一艘輪船位于燈塔P南偏西60°解作PC⊥AB的延長線于點C，由題意可知，∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AB＝20，在Rt△PBC中，則PC＝x，則BC＝x，∴AC＝AB＋BC＝20＋x，

在Rt△PAC中，∵∠APC＝60°，解作PC⊥AB的延長線于點C，解直角三角形及其應(yīng)用ppt課件解題要領(lǐng)

這類問題實質(zhì)上是求三角形中未知的邊與角，應(yīng)從實際問題中抽象出數(shù)學模型——直角三角形，再求解.解題要領(lǐng)這類問題實質(zhì)上是求三角形中未知的邊與角，應(yīng)從實際問類型四

利用解直角三角形解決坡度問題【例4】

(2017·黔東南)如圖，某校教學樓AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的長為12米，坡角α為60°，根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定，∠α≤39°時，才能避免滑坡危險，學校為了消除安全隱患，決定對斜坡CD進行改造，在保持坡腳C不動的情況下，學校至少要把坡頂D向后水平移動多少米才能保證教學樓的安全？(結(jié)果取整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，

≈1.41，

≈1.73，

≈2.24)解答點撥類型四利用解直角三角形解決坡度問題【例4】(2017·黔點撥

假設(shè)點D移到D′的位置時，恰好∠α＝39°，作輔助線，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可．點撥假設(shè)點D移到D′的位置時，恰好∠α＝39°，作輔助線，解

假設(shè)點D移到D′的位置時，恰好∠α＝39°，過點D作DE⊥AC于點E，作D′E′⊥AC于點E′，∵在Rt△DCE中，CD＝12，∠DCE＝60°，解假設(shè)點D移到D′的位置時，恰好∠α＝39°，過點D作DE解直角三角形及其應(yīng)用ppt課件【變式4】

(2017·荊州)如圖，某數(shù)學活動小組為測量學校旗桿AB的高度，沿旗桿正前方2米處的點C出發(fā)，沿斜面坡度i＝1∶的斜坡CD前進4米到達點D，在點D處安置測角儀，測得旗桿頂部A的仰角為37°，量得儀器的高DE為1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，AB⊥BC，AB∥DE.求旗桿AB的高度．(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，co