2022年湖南省懷化市溆浦縣第六中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022年湖南省懷化市溆浦縣第六中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下圖所示結(jié)構(gòu)圖中“古典概型”的上位是（

）

A.實(shí)驗(yàn)

B.隨機(jī)事件

C.概率統(tǒng)計(jì)定義

D.概率的應(yīng)用參考答案：B略2.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2=18﹣a7，S8=（）A．18 B．36 C．54 D．72參考答案：D考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)可得：a1+a8=a2+a7．再利用前n項(xiàng)和公式即可得出．解答：解：由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)可得：a1+a8=a2+a7．∴S8==4×18=72．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．3.已知橢圓的焦點(diǎn)F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），P是橢圓上一點(diǎn)，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中項(xiàng)，則橢圓的方程是(

)A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=1參考答案：C【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)橢圓和數(shù)列的基本性質(zhì)以及題中已知條件便可求出a和b值，進(jìn)而求得橢圓方程．【解答】解：由題意可得：|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4∴2a=4，2c=2，∴b=3∴橢圓的方程為．【點(diǎn)評(píng)】本題利用橢圓的定義求解橢圓的坐標(biāo)方程，關(guān)鍵是求出其基本量．4.設(shè)某批電子手表正品率為，次品率為，現(xiàn)對(duì)該批電子手表進(jìn)行測(cè)試，設(shè)第X次首次測(cè)到正品，則P（X=3）等于（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】CA：n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率．【分析】根據(jù)X=3表明前兩次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品，列出算式求得結(jié)果．【解答】解：X=3表明前兩次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品．故P（X=3）==，故選：C．5.下列類(lèi)比推理中，得到的結(jié)論正確的是(

)（A）把與a（b+c）類(lèi)比，則有（B）向量的數(shù)量積運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)類(lèi)比，則有ks5u(C)把與類(lèi)比，則有(D)把長(zhǎng)方體與長(zhǎng)方形類(lèi)比，則有長(zhǎng)方體的對(duì)角線平方等于長(zhǎng)寬高的平方和

參考答案：D略6.△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若且，則A＝

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A7.觀察下列各式：，則（

）（A）28

（B）76

（C）123

（D）199參考答案：C8.設(shè)f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，則a的值等于（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】63：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，再代值算出a．【解答】解：f′（x）=3ax2+6x，∴f′（﹣1）=3a﹣6=4，∴a=故選D．9.已知命題對(duì)于恒有成立；命題奇函數(shù)的圖像必過(guò)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為真

B．為真

C．為真

D．為假參考答案：C10.已知f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）圖象如圖所示，那么f（x）的圖象最有可能是圖中的（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定導(dǎo)函數(shù)大于0的范圍和小于0的x的范圍，進(jìn)而根據(jù)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減確定原函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間．【解答】解：x＜﹣2時(shí)，f′（x）＜0，則f（x）單減；﹣2＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）單增；x＞0時(shí)，f′（x）＜0，則f（x）單減．則符合上述條件的只有選項(xiàng)A．故選A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，4)上為減函數(shù)，則a的取值范圍為

參考答案：

12.圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最小值是_______________.參考答案：2略13.甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否看過(guò)A，B，C三本書(shū)時(shí)，甲說(shuō)：我看過(guò)的比乙多，但沒(méi)看過(guò)C書(shū)；乙說(shuō)：我沒(méi)看過(guò)B書(shū)；丙說(shuō)：我們?nèi)丝催^(guò)同一本書(shū).由此可判斷乙看過(guò)的書(shū)為_(kāi)_________．參考答案：A【分析】結(jié)合丙的話和甲的話，可確定乙看過(guò)一本書(shū)，甲看過(guò)兩本書(shū)A，B；結(jié)合丙的話和乙的話，可確定乙看過(guò)的書(shū).【詳解】由丙的話可知，每個(gè)人至少看過(guò)一本書(shū)由甲的話可知甲看過(guò)兩本書(shū)，為A，B；乙看過(guò)一本書(shū)三個(gè)人看過(guò)同一本書(shū)，且乙沒(méi)看過(guò)

乙看過(guò)本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查邏輯推理的相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.14.設(shè)函數(shù)，則f（f（﹣1））=．參考答案：0【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式代入進(jìn)行求解即可．【解答】解：由分段函數(shù)得f（﹣1）=，則f（）=2×﹣1=1﹣1=0，故．故答案為：015.把不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)記為，則函數(shù)稱(chēng)作取整函數(shù)，又叫高斯函數(shù)，在[2,5]上任取x，則的概率為_(kāi)_____．參考答案：【分析】將表示為分段函數(shù)的形式，解方程組求得的取值范圍，利用幾何概型概率計(jì)算公式，求得所求概率.【詳解】依題意可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，當(dāng)，當(dāng).綜上所述，當(dāng)時(shí)，符合，故概率為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查取整函數(shù)的概念及運(yùn)用，考查古典概型的計(jì)算，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.16.（幾何證明選講選做題）如圖，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足為E，則ED=

．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理．【專(zhuān)題】解三角形．【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC為直角三角形，由AB與BC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而得到AB為AC的一半，利用直角三角形中直角邊等于斜邊的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的長(zhǎng)，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的長(zhǎng)．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根據(jù)勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根據(jù)余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC?CDcos∠ECD=+3﹣=，則ED=．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．17.如圖所示，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角，C點(diǎn)的仰角以及；從C點(diǎn)測(cè)得．已知山高，則山高M(jìn)N=________m．參考答案：750.【分析】利用直角三角形求出，由正弦定理求，再利用直角三角形求出的值?！驹斀狻吭谥?，，所以，在中，，從而，由正弦定理得：，所以，中，，由，得?！军c(diǎn)睛】本題以測(cè)量山高的實(shí)際問(wèn)題為背景，考查正弦定理在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，求解時(shí)要注意結(jié)合立體幾何圖形找到角之間的關(guān)系。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線AC、BD過(guò)原點(diǎn)O，若．（i）求的最值；（ii）求四邊形ABCD的面積．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）與已知列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組可得a，b的值，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由可得k與m的關(guān)系．（i）由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算把化為含有k的代數(shù)式求得最值；（ii）首先求出△AOB的面積，乘以4即可求得四邊形ABCD的面積．【解答】解：（1）由題意，，又a2=b2+c2，解得：a2=8，b2=4，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，再設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．△=（4m）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0…①，∵，∴，∴，=，∴，得4k2+2=m2．（i）=．∴﹣2=2﹣4．當(dāng)k=0（此時(shí)m2=2滿(mǎn)足①式），即直線AB平行于x軸時(shí)，的最小值為﹣2．又直線AB的斜率不存在時(shí)，，∴的最大值為2；（ii）設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，則==．∴．19.（14分）如圖，在七面體ABCDMN中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB與ND交于P點(diǎn)，點(diǎn)Q在AB上，且BQ=．（I）求證：QP∥平面AMD；（Ⅱ）求七面體ABCDMN的體積．參考答案：（I）證明：∵M(jìn)D⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．∴，又=，∴，∴在△MAB中，QP∥AM．又QP?平面AMD，AM?平面AMD．∴QP∥平面AMD．（II）連接BD，AC交于點(diǎn)O，則AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥AC，又BD∩MD=D，∴AC⊥平面MNBD．∴AO為四棱錐A﹣MNBD的高，又=．∴=2．∴V幾何體ABCDMN=2VA﹣MNBD=4．考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（I）由MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，利用線面垂直的性質(zhì)可得MD∥NB．進(jìn)而得到，又已知=，可得，于是在△MAB中，QP∥AM．再利用線面平行的性質(zhì)即可得出QP∥平面AMD．（II）連接BD，AC交于點(diǎn)O，則AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，利用線面垂直的性質(zhì)可得MD⊥AC，再利用線面垂直的判定即可得出AC⊥平面MNBD．于是AO為四棱錐A﹣MNBD的高，進(jìn)而得到VA﹣MNBD的體積．即可得出V幾何體ABCDMN=2VA﹣MNBD．解答：（I）證明：∵M(jìn)D⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．∴，又=，∴，∴在△MAB中，QP∥AM．又QP?平面AMD，AM?平面AMD．∴QP∥平面AMD．（II）連接BD，AC交于點(diǎn)O，則AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥AC，又BD∩MD=D，∴AC⊥平面MNBD．∴AO為四棱錐A﹣MNBD的高，又=．∴=2．∴V幾何體ABCDMN=2VA﹣MNBD=4．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面平行于垂直的判定與性質(zhì)、線線平行的判定與性質(zhì)、四棱錐的體積等是解題的關(guān)鍵．20.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用原料3噸、原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用原料1噸、原料3噸．銷(xiāo)售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元、每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元，該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗原料不超過(guò)13噸、原料不超過(guò)18噸．那么該企業(yè)分別生產(chǎn)多少?lài)嵉募?、乙兩種產(chǎn)品，可獲得最大利潤(rùn)，且最大利潤(rùn)是多少？參考答案：21.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，若在區(qū)間上，恒成立，求的取值范圍.參考答案：【分析】先求出切線方程，設(shè)，則，再對(duì)分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)分析解答得解.【詳解】解：，在處切線的斜率為，所以切線方程為，即.設(shè)，則.依題意，當(dāng)時(shí)，恒成立.①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，是增函數(shù)，所以；②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，是減函數(shù)，所以.綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.22.（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，，側(cè)面底面.若.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，指出點(diǎn)的位置并證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（Ⅲ）求二面角的余弦值.參考答案：（Ⅰ）因?yàn)?，所?又因?yàn)閭?cè)面底面，且