冪函數與一元二次函數（精講）（原卷版）

3.5冪函數與一元二次函數（精講）一．冪函數(1)冪函數的定義：一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．(2)常見的五種冪函數的圖象和性質比較函數y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1圖象性質定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶函數奇函數單調性在R上單調遞增(－∞，0]上單調遞減；＋∞)上單調遞增R上單調遞增[0，＋∞)上單調遞增(－∞，0)和(0，＋∞)上單調遞減公共點(1，1)二．一元二次函數1．二次函數解析式的三種形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．(3)零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函數的圖象和性質解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象定義域RR值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))單調性在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調遞減；在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調遞增在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)，))上單調遞增；在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調遞減對稱性函數的圖象關于x＝－eq\f(b,2a)對稱3．根與系數的關系二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當Δ＝b2－4ac＞0時，其圖象與x軸有兩個交點M1(x1，0)，M2(x2，0)，這里的x1，x2是方程f(x)＝0的兩個根，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(b,a)，,x1·x2＝\f(c,a)，))|M1M2|＝|x1－x2|＝eq\f(\r(Δ),|a|)．一．冪函數的性質與圖象特征的關系1.解析式：冪函數的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數α，因此只需一個條件即可確定其解析式．2.奇偶性:判斷冪函數y＝xα(α∈R)的奇偶性時，當α是分數時，一般將其先化為根式，再判斷．3.單調性：(1)當α＞0時，函數在(0，＋∞)上單調遞增．(2)當α＜0時，函數在(0，＋∞)上單調遞減．(3)當x∈(0，1)時，α越大，函數值越小，當x∈(1，＋∞)時，α越大，函數值越大．4.對于冪函數圖象的掌握只要抓住在第一象限內三條線分第一象限為六個區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區(qū)域．根據α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定．二．一元二次函數2.二次函數圖象（1）是看二次項系數的符號；（2）是看對稱軸和頂點；（3）是看函數圖象上的一些特殊點．3.二次函數圖象與性質(1)拋物線的開口方向，對稱軸位置，定義區(qū)間三者相互制約，要注意分類討論．(2)要注意數形結合思想的應用，尤其是求定區(qū)間上的二次函數最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)．(3)二次函數在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動．無論哪種類型，解題的關鍵都是圖象的對稱軸與區(qū)間的位置關系，當含有參數時，要依據圖象的對稱軸與區(qū)間的位置關系進行分類討論．4．由不等式恒成立求參數取值范圍的思路及關鍵(1)一般有兩個解題思路：一是分離參數；二是不分離參數．(2)兩種思路都是將問題歸結為求函數的最值，至于用哪種方法，關鍵是看參數是否已分離．這兩個思路的依據是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min．考法一冪函數的性質【例1-1】（2023·海南·統(tǒng)考模擬預測）已知為冪函數，則（

）．A．在上單調遞增 B．在上單調遞減C．在上單調遞增 D．在上單調遞減【例1-2】（2023·全國·高三對口高考）給定一組函數解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如圖所示一組函數圖象．圖象對應的解析式號碼順序正確的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①【例1-3】（2023·江蘇）已知函數是偶函數，且在區(qū)間上單調遞增，則下列實數可作為值的是（

）A．-2 B． C．2 D．3【一隅三反】1.（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）若函數的圖像經過點與，則m的值為____________．2．（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學校考模擬預測）已知冪函數，若，則a的取值范圍是__________.3．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）冪函數在區(qū)間上單調遞減，則下列說法正確的是（

）A． B．是減函數C．是奇函數 D．是偶函數4．（2023·全國·高三對口高考）已知冪函數（且p與q互質）的圖像如圖所示，則（

）

A．p、q均為奇數且 B．p為奇數，q為偶數且C．p為奇數，q為偶數且 D．p為偶數，q為奇數且考法二指數式比較大小【例2】（2023·浙江·高三專題練習）已知，則（

）A． B．【一隅三反】1．（2023·河北）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則（

）A． B．C． D．考法三二次函數性質【例3-1】（2023·云南）已知二次函數滿足，且的最大值是8，則此二次函數的解析式為（

）A． B．C． D．【例3-2】（2023·山西）若函數在區(qū)間上是減函數，那么實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【例3-3】（2023·山東淄博）設的定義域為，對于任意實數t，則的最小值__________．【一隅三反】1．（2023·廣西）已知（b，c為實數），且，，則的解析式為______.2．（2023·全國·高三專題練習）已知二次函數的圖象過點，，且頂點到x軸的距離等于2，二次函數的表達式為________3．（2023·福建）已知函數在上具有單調性，則實數k的取值范圍為（

）．A． B．C．或 D．或考法四二次函數根的分布【例4-1】（2023·全國·高三專題練習）已知方程有兩個不相等的實數根，且兩個實數根都大于2，則實數m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【例4-2】（2023·寧夏銀川·銀川一中?？级＃┮阎P于x的方程有兩個正根，那么兩個根的倒數和最小值是（

）A．-2 B． C． D．1【例4-3】（2023·全國·高三專題練習）關于x的方程恰有一根在區(qū)間內，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習）方程在區(qū)間內有兩個不同的根，的取值范圍為__．2．（2023·北京）方程的兩根都大于，則實數的取值范圍是_____．3．（2023·全國·高三專題練習）已知方程的兩根分別在區(qū)間，之內，則實數的取值范圍為______．考法五二次函數成立問題【例5-1】（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預測）命題“”為假命題，則命題成立的充分不必要條件是（

） B． C． D．【例5-2】（2023·全國·高三專題練習）若存在實數，使得成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習）