【含高考模擬卷15套】海南省某中學(xué)2020屆高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

海南省嘉積中學(xué)2020屆高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.已知直線/“iχ+"y+l=O（a2+Z?≠0）與O：V+產(chǎn)=］θθ有公共點(diǎn)，并且公共點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)

均為整數(shù)，則這樣的直線共有（）條.

A.60B.66C.72D.78

2.函數(shù)F（X）=Sin（2%—7Γ工）的圖象與函數(shù)g（χ）的圖象關(guān)于直線XT=T?對稱，則關(guān)于函數(shù)y=g（χ）以下

2X

說法正確的是（）

A.最大值為1,圖象關(guān)于直線X=］對稱B.在（θ,上單調(diào)遞減，為奇函數(shù)

J紅,生］佟,。］

C?在188J上單調(diào)遞增，為偶函數(shù)D.周期為萬，圖象關(guān)于點(diǎn)I8J對稱

22

3.已知橢圓。:=+*=1（。>匕〉0）的左、右焦點(diǎn)為耳，瑪，左、右頂點(diǎn)為M,N,過月的直線/交

2

。于A,8兩點(diǎn)（異于M、N）,AAKB的周長為4λQ,且直線AM與AN的斜率之積為-§,則C的

方程為（）

“τ—τm、一1

A.128b.124c.32d.3

4.已知（f+_L）的二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為32,則二項(xiàng)展開式中X的系數(shù)為（）

A.5B.10C.20D.40

5.命題”對?x∈J2］,辦2一%+Q>0,,為真命題的一個(gè)充分不必要條件可以是（）

1

.≥1a>—.≥2

2B.2C.a≥lD.5

6.如圖為中國古代劉徽的《九章算術(shù)注》中研究“勾股容方”問題的圖形，圖中AABC為直角三角形，四

邊形DEFC為它的內(nèi)接正方形，已知6C=2,AC=4,在ΔABC上任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自正方形力EFC

的概率為（）

J_245

A.9B.9c.9D.9

α?

7.已知復(fù)數(shù)Z=二品，則彳的虛部為（）

-3

A.-3B.3c.3iD.Z-

8.函數(shù)y=log,,（x+4）+2（?＞0,且αwl）的圖象恒過定點(diǎn)A,且點(diǎn)A在角。的終邊上，貝IJSin2。=

（）

A_1212

A.^13B.??C."BD.13

22

9.如圖，過雙曲線。：與一方=1（。＞0,。＞0）的右焦點(diǎn)尸作式軸的垂線交。于4,8兩點(diǎn)（A在8的上

方），若AB到。的一條漸近線的距離分別為4,4，且《=44,則。的離心率為（）

4

√ΣB.4C,石

A.D.3

10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的S值為（）

A.-10B.-3C.4D.5

11.已知等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前〃項(xiàng)和為5.，若4=2,S6—S4=6α4,則％=

4B.?θC.16D.32

12.已知拋物線V=2px的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為E,

若NEPE=60,APEE的面積為16百，則P=O

A.2B.2&c.4D.8

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（x+2）（x+l）6展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)為.所有項(xiàng)系數(shù)的和為.

14.已知三棱錐A-BCO的四個(gè)頂點(diǎn)都在球o的球面上，且AC=g,BD=2,AB=BC=CD=AD二母,

則球O的表面積

15.棱長為1的正方體ABCD-EFG”如圖所示，M,N分別為直線Af,BG上的動(dòng)點(diǎn)，則線段MN長

度的最小值為

16.如圖是甲、乙兩位同學(xué)在5次數(shù)學(xué)測試中得分的莖葉圖，則成績較穩(wěn)定（方差較小）的那一位同學(xué)的

方差為

甲乙

98879

2109013

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

cosBcosC_sinA

17.（12分）已知在MBC中，角A,8,C的對邊分別為。，b,c,且bC?/?sinC

求沙的值；若COS8+√5sinB=2,求ΔA8C面積的最大值.

18.（12分）已知低，為正項(xiàng)等比數(shù)列，4=2也=8,且數(shù)列｛%｝滿足：α也T=log2^.求｛對｝和

｛2｝的通項(xiàng)公式；求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，，并求使得（7）恒成立力的取值范圍.

19.（12分）在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,C9且CCOSB+bcosC=2acosA.求A；若a

=2,且AABC的面積為百，求AABC的周長.

20.（12分）在MBC中，角A、B、C對應(yīng)的邊分別為〃、b、c,若（2α+與CoSC+ccosB=0.求

2√6,λd√3-l

C=------SinAcosB=--------

角C；若3且4時(shí)，求AABC的面積.

21.（12分）如圖，AABC,AB=BC=2,NABC=90°,E,尸分別為A8,AC邊的中點(diǎn)，以EF

為折痕把AEF折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PB=BE..

EF,平面PBE；設(shè)N為線段PF上動(dòng)點(diǎn)，求直線BN與平

面PCF所成角的正弦值的最大值.

、.∑r7l

22.（10分）如圖，在四棱錐尸一ABC。中，底面ABCO是菱形，PAlYffiABCD,且NBAO=—,

3

點(diǎn)M是Pe的中點(diǎn).

PA//平面MD8；設(shè)菱形ABCo的邊長為“,若PB上PD,三棱

錐P-ABO的體積為3,求。的值.

參考答案

一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1、C

2、B

3、C

4、B

5、C

6、C

7、B

8、C

9、B

10、A

11、C

12、C

二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、55192

14、4π

√3

15、3

16、2

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（l）b="⑵史.

4

【解析】

分析：（1）在式子—+土W=叵空中運(yùn)用正弦、余弦定理后可得b=百.（2）由CoSB+GSinB=2

bc3sinC

TT

經(jīng)三角變換可得B=],然后運(yùn)用余弦定理可得3="+c2-αc≥2zc-ac=αc,從而得到αc≤3,故

得S=-acsinB≤^^--

24

詳解：（1）由題意及正、余弦定理得《+￡2二0.+d之、=叵,

2abcIabc3c

整理得二二=息，

2abc3c

?*?b=?∣3

/\

（2）由題意得CoS3+Gsin3=2sinB+—=2,

k6J

TF

:?sin（B+-）=1,

6

???8?0,乃），

由余弦定理得//=?2+c2-2accosB>

:?3—a2+c2-ac≥2ac-ac—ac,

.?.ac≤3,當(dāng)且僅當(dāng)α=c=百時(shí)等號成立.

._1?nJ々√33√3

??Sc——CicsiriD<—×3×—-—------

2224

.?.ΔA8C面積的最大值為邁.

4

點(diǎn)睛：(1)正、余弦定理經(jīng)常與三角形的面積綜合在一起考查，解題時(shí)要注意整體代換的應(yīng)用，如余弦定

理中常用的變形/+，=(α+c)2-2αc,這樣自然地與三角形的面積公式結(jié)合在一起.

(2)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，要注意等號成立的條件，在解題中必須要注明.

M2-LM

18、(I)%=而，々=2"，(II)Tll=4--i2的取值范圍為(-1,2)?

【解析】

【分析】

(I)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛"｝的公比為q,由4=2,2=8,可求出4,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得〃，

又?jǐn)?shù)列｛q｝滿足：α也-I=IOg將2代入可得4；(H)利用錯(cuò)位相減法可得(，由(TyN<T,恒

成立，對n分類討論，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出/1的值.

【詳解】

b=2,d=8,q=j?∣=2.

解：(I)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列出｝的公比為4,2

n2n2n

:.bn=b2q-=2×2-=2-'.

又?jǐn)?shù)列｛4｝滿足：al,bn-?=log2?.

γι

.?.T-'-a,-?=n-?,可得4=產(chǎn).

23n

(U)7L=I+]+齊+…+產(chǎn)，

12n-?n

=----1—Z-+…4--------H------

2222,,^1T9

l-?

1n_2nn

兩式相減得：~T=1+—+^-+...+

n^^1^-2"

1----

2

2+n

化為：T=4-

n2n^1

ττ>0,因此數(shù)列｛7；｝為單調(diào)遞增數(shù)列.

n-n-?=合

(―D"∕<τ;,恒成立.

〃為偶數(shù)時(shí)，∕t<(η,)min=7ξ=2.

〃為奇數(shù)時(shí)，-2<0L)min=(=ι,解得4>—1.

綜上可得：丸的取值范圍為(一1,2).

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前〃項(xiàng)和、數(shù)列的單

調(diào)性等知識，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

71

19、(1)A=—；(2)6.

3

【解析】

試題分析：(1)由CCOS5+灰:osC=2ocosA根據(jù)正弦定理可得SinCCoS3+sin3cosC=2sinAcosA,利

用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式可得COSA=g,,A=?；(2)由ABC的面積為g,可得/20=4,

再利用余弦定理可得6=C=2,從而可得ABe的周長.

試題解析：(1);ccos8+Z?cosC=2acosA,:?SinCCOSB+siaδcosC=2sinAcosA.

.?sin(B+C)=2sinAcosA,

；?sinA=2sinAcosA.

?乃

VA∈(0,^?),：.SinA≠0,.,.cosA=—,ΛA=-.

v,23

(2)VABC的面積為6，???,。CSinA=且。C=G，,A=4.

24

Jl

由。=2,4=§及42=)2+/-2)80571,得4=/+/-4,?b2+c2=8.

又be=4,:?b=c=2.

故其周長為6.

20、(1)C=—；(2)6~2λ^.

39

【解析】

【分析】

⑴利用正弦定理和三角恒等變換化簡(2α+Z?)cosC+CCosB=0即得C的值.⑵先根據(jù)A+B=。及

2√6√2

SiMcosB=走二?得到A==，B=T，再利用正弦定理求出b=/空：一?^?=々最后利用三

4124SinC√33

T

角形的面積公式求面積.

【詳解】

(1)在ΔABC中，由正弦定理得：(2SinA+sinB)COSC+SinCbosB=O

即2sinAcosC+SinBcosC+SinCcosB=2SinACoSC+sin(B+C)

=2sinAcosC+SinA=0

所以SinA=O(不合題意舍去)或CoSC=—g且C∈(0,乃)

得：T

（2）由（1）知A+8=g及SinACOs3=正~^得：sinAcos（—--A=—~~?

34UJ4

得：?sinAcosA+sin2A=~~~-

224

日n1?cA?/?l-cos2Λ1...V3cos2A?/??/?-1

即—sm2A÷------------------=—sm2A---------------+——=--------

4224444

整理得：sin2A--^j=——

?TCTT_.7TTC

.O<A<—??——<2A——<—

3333

JΓJTJTJT

所以2A-2=即4=2,B=-

36124

2√6√2

在ΔABC中由正弦定理得：上=’^即方=/苧=-3廣2-=1

sιnBsιnCSinC√33

T

1

赤以CUA142√6.1.o4√6√6-√26-26

所以5=-PCSIFLA=--------------s?nl5=--------------------=------------

δabc2233949

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理解三角形，考查三角恒等變換和三角形的面積的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的

掌握水平和分析推理計(jì)算能力.

21、（I）見解析；

（n）應(yīng)

35

【解析】

【分析】

(I)由題，易證得：.EF上BE,EFLPE,即可證得結(jié)論；

(D)取BE的中點(diǎn)O,連接PO,易證得Po_LBCFE,然后以O(shè)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，利用空間向

量求得BN與平面PCF所成角的正弦值，求得其最大值即可.

【詳解】

(I)E,F分別為AB,AC邊的中點(diǎn),所以EFilBC

因?yàn)閆ASC=90°,：.EFLBE,EFVPE

又因?yàn)锽ECPE=E,所以EFL平面PBE.

(∏)取BE的中點(diǎn)O,連接PO,

由(1)知EP_L平面PBE,EFu平面BCFE,,

所以平面PBEl平面BCFE

因?yàn)镻B=BE=PE,所以POlBE,

又因?yàn)镻OU平面PBE,平面PBE平面BCFE=BE

所以POLBCTE.

過O作OM//BC交CF于M,分別以O(shè)B,OM,OP所在直線為

x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.

-2-

F-1。2'，2''2

N為線段PF上一動(dòng)點(diǎn)設(shè)N=(X,y,z),由,/W=ΛPF(0≤Λ≤1)

122JI22J

設(shè)平面PCF的法向量為In=（x,y,z）

,n>八—x+2y------z=0

,PCm=02'2-I-

則nc.n=>廠即取加=(-ι,ι,G)

PFm=Q1GC

——x+y------z=0

I22

設(shè)直線BN與平面PCF所成角θ

sinθ=|cos<BN-m>∣=

?BN?-?m?√5?√222-2+l

2_4√70

直線BN與平面PCF所成角的正弦值的最大值為Me

【點(diǎn)睛】

本題考查了立體幾何，利用空間向量解決線面角是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題目.

22、（I）詳見解析；（∏）a=2.

【解析】

【分析】

（I）證明PA//平面MO8,需要在平面中找出一條直線平行于PA,連接AC交08于點(diǎn)N,

連接MN便可得證；

（∏）由三棱錐P-A3。的體積為底，可以得出一個(gè)關(guān)于。的方程，即可求出。的值.

3

【詳解】

解：（I）連接AC,與8。交于點(diǎn)N,連接MN.

由底面ABC。是菱形，知點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，

又點(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，.?."N//PA,

又MN。平面MDB,PA0平面

Λ上4//平面股。8.

(II)；PA_L平面ABC。，ΛPALAB,PAI.AD,

又AB=A。，：.RtbPAD≡RMAB,ΛPB=PD,

由得2P52=6r>2,

2萬

則由菱形ABC。的邊長為α,ZBAD=-,可得BD=6a,

：.PB=顯a,PA=-a，

22

WSMeD.PA=gx#X冬爭=存普'解得α=2?

【點(diǎn)睛】

證明線面平行的方法是證明線線平行，線線平行主要從中位線、平行四邊形等角度可以得到；幾何體的體

積問題首先要分析幾何體的結(jié)構(gòu)，必要時(shí)可以將幾何體進(jìn)行切割或補(bǔ)形，其次要準(zhǔn)確分析出高與底，從而

解決問題.2019-2020高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.函數(shù)/（X）=際百的定義域?yàn)椋?/p>

(0,∣]U[2,+∞)

畤B.(2,+oo)c.02(2,+∞)

D.2

2.若方程/(x)-2=()在(Fo)內(nèi)有解，則y=∕(x)的圖象可能是()

3.在棱長為1的正方體ASS-A4GA中，E,F分別為線段CD和A耳上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足CE=A尸，

則四邊形。FbE所圍成的圖形(如圖所示陰影部分)分別在該正方體有公共頂點(diǎn)的三個(gè)面上的正投影的

面積之和()

?5

A.有最小值5B.有最大值5C.為定值3D.為定值2

4.已知數(shù)列｛α,,｝的通項(xiàng)公式為4=26-2"，要使數(shù)列｛α,,｝的前，項(xiàng)和S“最大，則”的值為

A.14B.13或14C.12或UD.13或12

5.已知正三棱錐P-A6C內(nèi)接于球。，三棱錐P-ABC的體積為名8%，且NAPO=30,則球。的

4

體積為()

432

一式廠--乃

A.3B.λ4.3萬c.3D.16;T

Tl\

6.若CoS(-θ)=—,則sin2θ=()

42

1√31√3

A.2B.2c.2D.2

7.記(I-X)6=4)+Q](χ+l)+W(X+1)2+...+。6(1+1)6,則%+%+%+4=()

A.81B.365C.481D.728

8.函數(shù)y=萼上的部分圖像大致為

1-Cosx

x2--(0≤x<l),

9.已知函數(shù)/3是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足/I2'若函數(shù)如)=2)i有

6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是

?-(一J二)B?(-?,θ)(θ,?)

16e~16e~

?[θA)

C.`e1D.e

2τr

10.已知函數(shù)/(x)=COS(2x-q-)+cos2x,將函數(shù)/(χ)的圖象向左平移。(。>0)個(gè)單位長度，得到函

數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，則。的最小值是()

ππ2萬5Tr

A.6B.3C.3D.6

11.若存在等比數(shù)列{4},使得4(4+4)=6q-9,則公比q的最大值為()

1+?/?1+?[s—1+y∣5—1+>/5

A.4B.2c.4D.2

12.如圖，正方體ABC?！狝4G。中，E,F,M,N分別為BC,CCl,A1D1,的中點(diǎn)，則

直線EF,MN所成角的大小為()

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

λA5

13.MΔA8C中，~2t點(diǎn)M在邊BC上，AMλAB+μAC(λ,μ≡R)t?AB?=4f∣C∣=^

若AMJ.BC,則九一〃=.

?/X_4??-7

Ae

14.已知函數(shù)2-x,函數(shù)g@)=V-3∕χ-2",(a>l),若對任意玉D",總存在

XoW[0,1],使得g(%)=y(XJ成立，則。的取值范圍是.

15.如圖，在四邊形ABCD中，ABAD=5,BD=4,。為BD的中點(diǎn)，且Ao=3OC，則CB?CD=

TT

16.如圖，在直角梯形ABC。中，ZBAD=-J,AB=AD=2,若M、N分別是邊A。、BC上的動(dòng)

點(diǎn)，滿足AM=ZIAO，BN=(T)BC,其中4e(0,l),若AN?BM=-2,則4的值為.

三、解答題：共7（）分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在四棱錐S-ABC。中，底面ABC。為等腰梯形，AB//CD,其中點(diǎn)。在以AB為

直徑的圓上，SD=ASC=S，=2AD=4,平面SCO_L平面ABCO.

證明：SOJ.平面ABCo.設(shè)點(diǎn)P是線段SB（不含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)三

棱錐尸一SAC的體積為1時(shí)，求異面直線Ao與CP所成角的余弦值.

18.（12分）如圖，在平面四邊形ABCD中，CD=I,BD=ν7,ΛB=4,ZABC=120,ZDCB=UO.

I)

C

?求SinNOBC；求AO.

19.（12分）已知ΔΛBC中，角A,B,C所對的邊分別是。，b,c,ΔABC的面積為5,且S=歷CoSA,

C=7求CoSB的值;若C

6求S的值.

20.（12分）2018年，中國某省的一個(gè)地區(qū)社會民間組織為年齡在30歲-60歲的圍棋愛好者舉行了一次晉

級賽，參賽者每人和一位種子選手進(jìn)行一場比賽，贏了就可以晉級，否則，就不能晉級，結(jié)果將晉級的

200人按年齡（單位：歲）分成六組：第一組［30,35）,第二組［35,40）,第三組［40,45）,第四組［45,50）,

第五組［50,55）,第六組［55,60］,下圖是按照上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

求實(shí)數(shù)。的值；若先在第四組、第五組、第六組中按組

分層抽樣共抽取10人，然后從被抽取的這10人中隨機(jī)抽取3人參加優(yōu)勝比賽.

①求這三組各有一人參加優(yōu)勝比賽的概率;

②設(shè)J為參加優(yōu)勝比賽的3人中第四組的人數(shù)，求J的分布列和數(shù)學(xué)期望EC）.

21.（12分）如圖，在直三棱柱中A4G-ABC中，ABLAC,AB=AC=2,AA=%點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).求

異面直線AB與所成角的余弦值；求平面ADCy與ABAi所成二面角的正弦值.

22.（10分）已知函數(shù)/。）=*2一次+1.次一11.求不等式/（“二°的解集4；在（1）的條件下，若

0,b∈A,求證,2∣α+4W∣4匕+4∣

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1、C

2、D

3、D

4、D

5、C

6、A

7、B

8、C

9、C

10、A

11、D

12、C

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

9

13、41

3

?≤a≤-

14、2

2

16、3

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)詳見解析；(2)?.

7

【解析】

【分析】

(1)利用余弦定理，由勾股定理可得SD_LCO,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得SOL平面ABCD；(2)

=,,

設(shè)BP=λBS'則p.ABcTSMBC2SD=2λ9由匕_弘C=?-ABC~^P-ABC=2-2/1=1,解得,

即點(diǎn)P是線段SB的中點(diǎn).取AB的中點(diǎn)為M,連接CM,可證明四邊形AMC。為平行四邊形，從而

CMHAD,且CM=Ao=2,可得NPCM為異面直線AO與CP所成角(或補(bǔ)角)，再利用余弦定理

可得結(jié)果.

【詳解】

(1)連接AC,BD,因?yàn)辄c(diǎn)。在以AB為直徑的圓上，所以乙4。8=90。.

因?yàn)锳8=2AO=4,所以ZA8O=30°,ZDAfi=60°.

所以BD=ABcosZABD=4×cos30o=2√3.

因?yàn)锳BCO為等腰梯形，ABlICD，

所以Cf)=AB-2AD?cos600=4-2x2x」=2.

2

又因?yàn)镾o=JLsc=∕i，

所以Sf>2+CD2=SC2,從而得SDLCD.

又因?yàn)槠矫鍿eD，平面ABe。，平面SCz）IABCD=CD,

所以SOL平面ABCD.

（2）由⑴得匕_"C=京必獷5。=（34。505。=2,

設(shè)BP="S,則JTS~加=2人

所以^p-SAC=^S-ABC~^P-ABC—2—22=1,解得A=—>

即點(diǎn)尸是線段Se的中點(diǎn).

取A8的中點(diǎn)為M,連接CM,則由（1）及條件得AM//CQ,且AM=CO=2,

所以四邊形AMCo為平行四邊形，從而CM//AO,且CM=AO=2,

所以NPCM為異面直線AO與CP所成角（或補(bǔ)角）.

2

因?yàn)镾4=JSD+AD?=』,所以PM=gL

因?yàn)镾B=JSD2+BZ)2=而，所以CMPBC=*金*冬

7

所以CP?=PB?+BC2-2PB?BC?COSNPBC=-,

4

所以COSNPCM=MC2+*-P"=邁.

IMCPC7

即異面直線AD與CP所成角的余弦值為M.

7

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面垂直的判定及面面垂直的性質(zhì)定理，異面直線所成的角，屬于難題.求異面直線所成的

角先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質(zhì)及余弦

定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角是直角或銳角，所以最后結(jié)果一定要取絕對

值.

18、⑴0；(2)3√3?

14

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)正弦定理可求解出結(jié)果；(2)利用兩角和差公式求出COSNA8。，再利用余弦定理求解出結(jié)果.

【詳解】

(1)在A8DC中，CD=I,BD=∕j，ZDCB=UQo

DCBD

由正弦定理得

SinZDBCsin120°

所以SinzDBC=生?sinl20°=3,@=叵

BD√7214

(2)在ABDC中，由已知可知NoBC是銳角，又SinNDBC="

14

所以COSZDBC=JlJ回［=—

VU4JH

所以COSZABZ)=COS(ZABC-ZDBC)=cosl200cosZDBC+sinl200sinZDBC

5^2_√3√21_√7

~~2~14~T'~H~~~14

在ΔA8D中，由余弦定理可知：

AD-=AB2+BD2-2AB-BDCoSNABD=16+7-2×4×√7又［-=27

所以AO=36

【點(diǎn)睛】

本題考查兩角和差公式的應(yīng)用、正弦定理和余弦定理解三角形的問題，屬于基礎(chǔ)題.

19、(1)CoSB=亞(2)S=3

10

【解析】

【分析】

(1)由已知利用三角形面積公式可得tanA=2,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA,cosA,由三角

形內(nèi)角和定理，兩角和的余弦函數(shù)公式可求COSB的值.

(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求SinB,利用正弦定理可得b的值，即可得S的值.

【詳解】

(1)VS=—bcsinA=bccosA,

2

ΛsinA=2cosA,可得：tanA=2,

「△ABC中，A為銳角，

22

又VsinA+cosA=I9

,2

.?.可得：sinA=,cosA

「兀

又?.?c二,

cosB=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC=—

10

（2）在AABC中，SinB=JI-CoS2臺=2^,

10

由正弦定理，可得：b=c，警=3,

SinC

.?.S=bccosA=3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的余弦函數(shù)公式，正弦定理在解三角

形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

3

20、（1）α=0.036（2）①P②見解析

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)頻率和為1列方程，解方程求得。的值.（2）利用分層抽樣的知識計(jì)算出每組的抽取人數(shù).①用

古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算出這三組各有一人參加優(yōu)勝比賽的概率；②利用超幾何分布的知識計(jì)算出分

布列和數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

解：（D直方圖中的組距為5,

∏ΓM0.024×5+2×0.03×5+o×5+2×0.04×5=l,

得α=0.036.

（2）從直方圖中可得第四組的人數(shù)為0.04X5X200=40（人），第五組的人數(shù)為0.03x5x200=30（人）,

第六組的人數(shù)為0?03χ5χ200=30（人），

三組共100人，按組用分層抽樣法抽取10人，則第四組應(yīng)抽取4人，第五組應(yīng)抽取3人，第六組應(yīng)抽取

3人.

3

①三組各有一人參加優(yōu)勝比賽的概率P=C?G?C

310

q0

②J的可能取值為O,1,2,3,

P(J=O)=等

cIO6

P(D

C2Ci3

收=2)=中

cIO10

P(X)=管4

J的分布列為

O123

j_j_31

P

62"W30

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查頻率分布直方圖有關(guān)的計(jì)算，考查古典概型，考查超幾何分布，屬于中檔題.

21、【解析】

試題分析：因?yàn)橹本€AB、AC、JJI兩兩垂直，故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

(1)向量4B,G。分別為直線AIB與GD的方向向量，求出4∣B,G。的坐標(biāo)，由空間兩向量夾角公式

COS(Al5,GQ)=AiBClD

麗網(wǎng)可得向量4氏6。夾角的余弦值;

(2)設(shè)平面,1C>G的法向量為勺=(X,y,z),

又4)=(1,1,0),AG=(0,2,4),根據(jù)法向量定義求出平面,IDG的一個(gè)法向量力，因?yàn)镵C一平面

??B,取平面.443的一個(gè)法向量為%=(0,1,0),先求出勺與巧夾角的余弦值，又平面ADG與平面

ABAl夾角與用與巧夾角相等或互補(bǔ).

試題解析：(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，-與Z,貝kd(oqo),BQQO),

C(O20)1(LLO),4(004),G(O24),

.?.46=(2,0T),C1D=(1,-1,-4),

_率:可_18_3、而

,：COS<4RG?D

-MCQl-√20×^8―^Io^

，異面直線48與所成角的余弦值為

(2)設(shè)平面的法向量為Hl=(X,y,Z),

π1?AD=0,n1?ACy=(),即且

令，則是平面的一個(gè)法向量,

取平面的一個(gè)法向量為巧=((),1,0),

nλn222

設(shè)平面與平面夾角的大小為，由CoSe

3,

IlMl耶Xi

得,故平面與平面夾角的正弦值為

考點(diǎn)：(1)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算；(2)直線方向向量、平面法向量的求法；(3)利用空間向量求線面角、

面面角；

22、(1)[x?-2≤x≤2}(2)見證明

【解析】

【分析】

(1)利用零點(diǎn)分段法去絕對值，由此求得不等式的解集A.(2)將要證明的不等式兩邊平方，然后利用

差比較法證明不等式成立.

【詳解】

解：(1)①當(dāng)x<-1時(shí)，不等式F(X)<()可化為χ2+(χ+i)-(l-χ)≤0,解得：-2<x≤0,

故有-2≤x<-1；

②當(dāng)一l≤x<l時(shí)，不等式/(x)≤0可化為d-(x+l)-(I-X)≤0,解得：—拒≤χ≤0,故有

一1≤x≤1；

③當(dāng)x>l時(shí)，不等式/(尤)≤0可化為d一(χ+i)一(χ-i)≤o,解得：0≤χ≤2,故有l(wèi)<x<2.

綜上，不等式/(x)≤0的解集A為{x|-2≤x≤2}.

(2)由Ia力+4f-4?a+b?1=(a2b2+Sab+?6)-4(a2+2ab+b2)

=a2b2-4?2-4b2+16=(a2-4).

因?yàn)?,b∈A,所以"≤4,/,2≤4,所以/-4≤0,b2-4≤Q,所以①一4)?一4)..0.

所以I或+4f≥4∣α+加2,故不等式2∣α+勿”∣αb+4∣成立.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查零點(diǎn)分段法解含有絕對值的不等式，考查分析法證明不等式，考查差比較法證明不等式,

屬于中檔題.

2019-2020高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷

雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺,

前九個(gè)節(jié)氣日影長之和為85.5尺，則芒種日影長為()

A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺

2.已知函數(shù)/(x)=Sin(OX+6)(0>O,-T≤e≤W)的圖象相鄰的兩個(gè)對稱中心之間的距離為f，若將

函數(shù)/(x)的圖象向左平移2后得到偶函數(shù)g。)的圖象，則函數(shù)/O)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為()

[-??￠,?[θ?][??

A.36B.412c.?D.26

3.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a-9,a+2),且COSa≤0,sina>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(—2,3]B.(—2,3)

C.[-2,3)D.[-2,3]

4.如圖,AB是圓錐SO的底面。的直徑,。是圓。上異于A,B的任意一點(diǎn),以AO為直徑的圓與AD的另

一個(gè)交點(diǎn)為CZSD的中點(diǎn).現(xiàn)給出以下結(jié)論:

①ASAC為直角三角形

②平面SAD，平面SBO

③平面PAB必與圓錐S。的某條母線平行

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

5.已知奇函數(shù)/(x)滿足/(x)=∕(x+4),當(dāng)x∈(O,l)時(shí)，/(X)=4Λ,則/(log∕84)=()

_32232_3

A.23B.32c.4D.8

6.若函數(shù)/(x)=CoSx∈0,事"恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)七,工2，/，則F+巧+與的取值

范圍是()

5π1?π97Γlπ

A.r[—,——x)L—

42

5π1?π9πl(wèi)π

,,

C.48d.42

7.已知雙曲線的漸近線方程為y=±等χ,一個(gè)焦點(diǎn)F（2,0）,則該雙曲線的虛軸長為（）

A.1B.GC.2D.2λΛ

8.下列關(guān)于命題的說法錯(cuò)誤的是（）

A.命題“若χ2-3x+2=0,貝!Ix=2”的逆否命題為“若XH2,則f-3x+2w0”

B.已知函數(shù)/（x）在區(qū)間[a,0上的圖象是連續(xù)不斷的,則命題“若"α）""）<O,則"x）在區(qū)間（α∕）

內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)”的逆命題為假命題