2022-2023學(xué)年福建省莆田市荔城區(qū)礪青中學(xué)七年級下期中數(shù)學(xué)試卷含解析

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一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.在，，，，，每兩個(gè)之間依次增加一個(gè)，其中無理數(shù)的個(gè)數(shù)有()

A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)

2.如圖所示的四個(gè)圖形中，與是對頂角的是()

A.B.C.D.

3.下列各式中，正確的是()

A.B.C.D.

4.下列命題是真命題的是()

A.無理數(shù)的相反數(shù)是有理數(shù)

B.如果，則且

C.同位角相等

D.在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

5.如圖，在平面內(nèi)，，點(diǎn)、分別在直線、上，為等腰直角形，為直角，若，則的度數(shù)為()

A.

B.

C.

D.

6.如圖，現(xiàn)有條件：；；；能判斷的條件有()

A.B.C.D.

7.以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中的位置是在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.昌平公園建成于年，公園內(nèi)有一個(gè)占地平方米的靜明湖，另外建有弘文閣、碑亭、文節(jié)亭、詩田亭、逸步橋、牌樓等園林景觀及古建筑．如圖，分別以正東、正北方向?yàn)檩S、軸建立平面直角坐標(biāo)系，如果表示文節(jié)亭的點(diǎn)的坐標(biāo)為，表示園中園的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則表示弘文閣所在的點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.B.C.D.

9.如圖，把半徑為的圓放到數(shù)軸上，圓上一點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，圓沿著數(shù)軸滾動一周，此時(shí)點(diǎn)表示的數(shù)是()

A.或B.或

C.或D.或

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，一只瓢蟲從點(diǎn)出發(fā)以個(gè)單位長度秒的速度沿循環(huán)爬行，問第秒瓢蟲所處位置的坐標(biāo)為()

A.

B.

C.

D.

二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）

11.的算術(shù)平方根是______；

12.自來水公司為某小區(qū)改造供水系統(tǒng)，如圖沿路線鋪設(shè)管道和主管道銜接，路線最短，工程造價(jià)最低，根據(jù)是______．

13.已知是方程的解，則的值為______．

14.如圖，直線、相交于點(diǎn)，平分，于點(diǎn)若，則等于．

15.點(diǎn)在第三象限內(nèi)，距離軸個(gè)單位長度，距離軸個(gè)單位長度，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是______．

16.定義：若無理數(shù)為正整數(shù)：其中為滿足不等式的最大整數(shù)，為滿足不等式的最小整數(shù)，則稱無理數(shù)的“雅區(qū)間”為例如：因?yàn)?，所以，所以的“雅區(qū)間”為；的雅區(qū)間為若無理數(shù)為正整數(shù)的“雅區(qū)間”為，的“雅區(qū)間”為，則的值為______．

三、解答題（本大題共9小題，共86.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

計(jì)算．

；

．

18.本小題分

求下列各式中的．

；

．

19.本小題分

若方程是關(guān)于、的二元一次方程，求、的值．

20.本小題分

已知，如圖，，，分別平分與，且求證：．

請根據(jù)條件進(jìn)行推理，得出結(jié)論，并在括號內(nèi)注明理由．

證明：，分別平分與已知，

，______

______，

等量代換．

已知，

____________

，______

______

21.本小題分

在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，．

在所給的圖中，畫出這個(gè)平面直角坐標(biāo)系；

點(diǎn)經(jīng)過平移后對應(yīng)點(diǎn)為，將作同樣的平移得到，畫出平移后的；

在的條件下，點(diǎn)在直線上，若，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

22.本小題分

已知的算術(shù)平方根是，的平方根是，是的整數(shù)部分，求的平方根．

23.本小題分

我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩．問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有頭牛、只羊，值兩銀子；頭牛、只羊，值兩銀子．問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據(jù)以上譯文，提出以下兩個(gè)問題：

求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？

若某商人準(zhǔn)備用兩銀子買牛和羊要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完，請問商人有幾種購買方法？列出所有的可能．

24.本小題分

如圖所示，，為直線下方一點(diǎn)，平分．

求證：．

如圖，平分，過點(diǎn)作，求與之間的數(shù)量關(guān)系．

如圖，平分，若的反向延長線和的反向延長線交于點(diǎn)，且，請直接寫出的度數(shù)．

25.本小題分

如圖，以直角三角形的直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以、所在直線為軸和軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)，滿足．

點(diǎn)的坐標(biāo)為______；點(diǎn)的坐標(biāo)為______．

如圖，已知坐標(biāo)軸上有兩動點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿軸負(fù)方向以個(gè)單位長度每秒的速度勻速移動，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以個(gè)單位長度每秒的速度沿軸正方向移動，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動隨之結(jié)束的中點(diǎn)的坐標(biāo)是，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為問：是否存在這樣的，使？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

如圖，過作，作交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，連交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動的過程中，的值是否會發(fā)生變化？若不變，請求出它的值；若變化，請說明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，

故在，，，，，每兩個(gè)之間依次增加一個(gè)，無理數(shù)有，每兩個(gè)之間依次增加一個(gè)，共個(gè)．

故選：．

根據(jù)無理數(shù)的概念可判斷出無理數(shù)的個(gè)數(shù)．

此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如，，每兩個(gè)之間依次多個(gè)等形式．

2.【答案】

【解析】解：、與不是對頂角，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、與不是對頂角，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、與不是對頂角，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、與是對頂角，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：．

根據(jù)對頂角的定義逐個(gè)判斷即可．

本題考查了對頂角的定義，能理解對頂角定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．

3.【答案】

【解析】解：、，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，

B、，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，

C、，本選項(xiàng)正確，

D、，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故選：．

根據(jù)平方根和立方根的知識點(diǎn)進(jìn)行解答，若，則，則，算術(shù)平方根只能為正，據(jù)此進(jìn)行判斷正確答案．

本題主要考查算術(shù)平方根和立方根的知識點(diǎn)，注意立方根只有一個(gè)，此題比較簡單，但是做題要仔細(xì)．

4.【答案】

【解析】解：、無理數(shù)的相反數(shù)是無理數(shù)，故本選項(xiàng)說法是假命題，不符合題意；

B、如果，則且，本選項(xiàng)說法是假命題，不符合題意；

C、兩直線平行，同位角相等，故本選項(xiàng)說法是假命題，不符合題意；

D、在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，是真命題，符合題意；

故選：．

根據(jù)相反數(shù)的概念、實(shí)數(shù)的加法法則、平行線的性質(zhì)、垂直的定義判斷即可．

本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．

5.【答案】

【解析】解：如圖所示：過點(diǎn)作，

則，

故，．

故選：．

直接利用平行線的性質(zhì)作出平行線，進(jìn)而得出的度數(shù)．

此題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．

6.【答案】

【解析】解：，

，故符合題意；

，

，故不符合題意；

，

，故符合題意；

，

，故不符合題意；

能判斷的條件有，

故選：．

根據(jù)平行線的判定定理求解，即可求得答案．

此題考查了平行線的判定．解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．

7.【答案】

【解析】解：，

得：，

，

將代入得．

點(diǎn)在第四象限．

故選：．

解出方程組的解，確定點(diǎn)的位置即可．

本題考查了二元一次方程組的解法，加減消元法是常用的解題方法．

8.【答案】

【解析】解：如圖所示：弘文閣所在的點(diǎn)的坐標(biāo)為：．

故選：．

直接利用文節(jié)亭的點(diǎn)的坐標(biāo)為，園中園的點(diǎn)的坐標(biāo)為，進(jìn)而得出原點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案．

此題主要考查了坐標(biāo)確定位置，正確得出原點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．

9.【答案】

【解析】解：由半徑為的圓從數(shù)軸上表示的點(diǎn)沿著數(shù)軸滾動一周到達(dá)點(diǎn)，

故滾動一周后點(diǎn)與之間的距離是，

故當(dāng)點(diǎn)在的左邊時(shí)表示的數(shù)是，

當(dāng)點(diǎn)在的右邊時(shí)表示的數(shù)是．

故選：．

根據(jù)半徑為的圓從數(shù)軸上表示的點(diǎn)沿著數(shù)軸滾動一周，滾動的距離就是圓的周長，再由圓的周長公式得出周長為，分兩種情況，即可得答案．

本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，準(zhǔn)確求得數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離是解決本題的關(guān)鍵．

10.【答案】

【解析】解：，，，，

，，

，

瓢蟲爬行一個(gè)循環(huán)所用的時(shí)間為，

，

當(dāng)秒時(shí)，瓢蟲在點(diǎn)處，

此時(shí)瓢蟲的坐標(biāo)為．

故選：．

根據(jù)點(diǎn)、、、的坐標(biāo)可得出、，，及長方形的周長，由，可得出當(dāng)秒時(shí)瓢蟲在點(diǎn)處．

本題考查了規(guī)律型中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)瓢蟲的運(yùn)動規(guī)律找出當(dāng)秒時(shí)瓢蟲在點(diǎn)處，是解題的關(guān)鍵．

11.【答案】

【解析】解：，

的算術(shù)平方根是．

故答案為：．

如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即，那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根．記為，由此即可得到答案．

本題考查算術(shù)平方根，關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根的定義．

12.【答案】垂線段最短

【解析】解：根據(jù)是：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接而得到的所有線段中，垂線段最短．

故答案為：垂線段最短．

過直線外一點(diǎn)作直線的垂線，這一點(diǎn)與垂足之間的線段就是垂線段，且垂線段最短．據(jù)此作答．

此題主要考查垂線段最短在實(shí)際生活中的應(yīng)用．

13.【答案】

【解析】解：把代入到方程中得：，

，

故答案為：．

把方程組的解代入方程，得到關(guān)于的一元一次方程，解方程即可．

本題考查了二元一次方程的解，把方程組的解代入方程，得到關(guān)于的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．

14.【答案】

【解析】解：，

．

平分，

．

，

，

．

故答案為：．

根據(jù)對頂角相等可得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，最后根據(jù)平角的性質(zhì)求解即可．

本題考查了角的度數(shù)問題、垂直定義以及角平分線的定義，掌握對頂角相等、平角的定義是解題的關(guān)鍵．

15.【答案】

【解析】解：點(diǎn)位于第三象限，且距離軸個(gè)單位長度，距離軸個(gè)單位長度，

點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．

故答案為：．

根據(jù)到軸的距離即為縱坐標(biāo)的絕對值、到軸的距離即為橫坐標(biāo)的絕對值，再由第四象限點(diǎn)的坐標(biāo)符號特點(diǎn)可得答案．

本題主要考查點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是掌握到軸的距離即為縱坐標(biāo)的絕對值、到軸的距離即為橫坐標(biāo)的絕對值及四個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號特點(diǎn)．

16.【答案】或

【解析】解：為正整數(shù)的“雅區(qū)間”為，

，

，

的“雅區(qū)間”為，

，

，

，

，

為正整數(shù)，

或，

或，

或，

故答案為：或．

先根據(jù)已知條件，求出的取值范圍，從而求出，再代入求值即可．

本題主要考查了無理數(shù)的估算，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出的取值范圍．

17.【答案】解：

；

．

【解析】直接利用算術(shù)平方根以及立方根的定義分別化簡得出答案；

直接利用算術(shù)平方根以及立方根的定義分別化簡得出答案．

此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．

18.【答案】解：，

，

；

，

，

，

或．

【解析】方程兩邊同時(shí)開立方即可求解；

首先移項(xiàng)，然后方程兩邊同時(shí)開平方即可求解．

本題主要考查了平方根和立方根的性質(zhì)，并利用此性質(zhì)解題．平方根的被開數(shù)不能是負(fù)數(shù)，開方的結(jié)果必須是非負(fù)數(shù)；立方根的符號與被開立方的數(shù)的符號相同．本題易在符號上出現(xiàn)錯(cuò)誤，要嚴(yán)格按照性質(zhì)解題．

19.【答案】解：由題意得，，

解得．

【解析】根據(jù)二元一次方程的定義列出二元一次方程組進(jìn)行解答即可．

本題本題考查了二元一次方程的定義，掌握未知數(shù)的次數(shù)為是解題的關(guān)鍵．

20.【答案】角平分線的定義已知等量代換內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

【解析】證明：，分別平分與已知，

，角平分線的定義，

已知，

等量代換，

已知，

等量代換，

內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．

故答案為：角平分線的定義；已知；等量代換；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．

首先根據(jù)角平分線定義可得，，根據(jù)等式的性質(zhì)可得，再由條件可得，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到．

此題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用知識點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．

21.【答案】解：如圖所示：平面直角坐標(biāo)系即為所求；

如圖所示：即為所求；

如圖所示：，．

【解析】利用已知點(diǎn)坐標(biāo)即可得出原點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；

利用平移的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；

利用已知坐標(biāo)系結(jié)合圖形得出點(diǎn)位置．

此題主要考查了平移變換以及平面直角坐標(biāo)系，正確得出對應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．

22.【答案】解：由題意得：，

，．

，

．

．

．

的平方根是．

【解析】先依據(jù)算術(shù)平方根和平方根的定義列出關(guān)于、的方程組求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下來，求得的值，最后求它的平方根即可．

本題主要考查的是算術(shù)平方根、平方根的定義、估算無理數(shù)的大小，熟練掌握相關(guān)定義和方法是解題的關(guān)鍵．

23.【答案】解：設(shè)每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子，

根據(jù)題意得：，

解得：．

答：每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子．

設(shè)購買頭牛，只羊，依題意有

，

，

因?yàn)?，都是正整?shù)，

所以購買頭牛，只羊；

購買頭牛，只羊；

購買頭牛，只羊．

【解析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．

設(shè)每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子，根據(jù)“假設(shè)有頭牛、只羊，值兩銀子；頭牛、只羊，值兩銀子”，即可得出關(guān)于、的二