淺析數(shù)形結(jié)合思想在高考解題中的應(yīng)用

淺析數(shù)形結(jié)合思想在高考解題中的應(yīng)用第1頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月論文主體內(nèi)容結(jié)構(gòu)第一部分：

關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”思想第二部分：“數(shù)形結(jié)合”思想在我國數(shù)學(xué)高考中的應(yīng)用第三部分：“數(shù)形結(jié)合”思想在全國各省市2008年高考題的體現(xiàn)及分類解析：第四部分運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想切實(shí)提高解題能力第2頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月第一部分

關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”思想一、“數(shù)形結(jié)合”思想的歷史

二、什么是“數(shù)形結(jié)合”

三、“數(shù)形結(jié)合”的意義

第3頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月一、“數(shù)形結(jié)合”思想的歷史“數(shù)形結(jié)合”由來已久，早在數(shù)學(xué)被抽象、分離為一門學(xué)科之前，人們在生活中，度量長度、面積和體積時(shí)，就已經(jīng)把數(shù)和形結(jié)合起來了。在宋元時(shí)期，我國古代數(shù)學(xué)家系統(tǒng)地引進(jìn)了幾何問題代數(shù)化的方法，用代數(shù)式描述某些幾何特征，把圖形中的幾何關(guān)系描述成代數(shù)關(guān)系。17世紀(jì)上半葉，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾通過坐標(biāo)系建立了數(shù)與形之間的聯(lián)系，創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。后來，幾何學(xué)中許多長期不得解決的問題，最終也是借助于代數(shù)方法得到圓滿解決。這些都說明了“數(shù)形結(jié)合”思想有著悠久的歷史。第4頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月二、什么是“數(shù)形結(jié)合”

恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。數(shù)形結(jié)合包括“以形助數(shù)”和以數(shù)輔形”兩個(gè)方面。

第5頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月三、“數(shù)形結(jié)合”的意義

數(shù)學(xué)的研究對象大致可以分成兩類：一類是研究數(shù)量關(guān)系的；一類是研究空間形式的。數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本概念，全部數(shù)學(xué)內(nèi)容大體就是圍繞這兩個(gè)概念提煉、演變、發(fā)展而逐步展開的。數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要意義，正如法國數(shù)學(xué)家拉格朗日在《數(shù)學(xué)概要》一書中所說：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄。但是當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善?！蔽覈麛?shù)學(xué)家華羅庚也曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非?！庇纱丝梢娦魏蛿?shù)的相互依賴、相互制約的辯證關(guān)系第6頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月第二部分：“數(shù)形結(jié)合”思想在我國數(shù)學(xué)高考中的應(yīng)用一、“數(shù)形結(jié)合”思想方法在高考內(nèi)容中的體現(xiàn)二、“數(shù)形結(jié)合”思想方法在高考中占有非常重要的地位。第7頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月一、“數(shù)形結(jié)合”思想方法在高考內(nèi)容中的體現(xiàn)可以說，用數(shù)形結(jié)合解題在高中數(shù)學(xué)各個(gè)板塊中都有應(yīng)用，像函數(shù)的圖像、方程的曲線、集合的文氏圖或數(shù)軸表示等，是“以形示數(shù)”。而解析幾何的方程、斜率、距離公式，向量的坐標(biāo)表示則是“以數(shù)助形”，還有導(dǎo)數(shù)更是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，這些都為我們提供了“數(shù)形結(jié)合”的知識平臺。第8頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月二、“數(shù)形結(jié)合”思想方法在高考中占有非常重要的地位巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，不僅直觀易于尋找解題途徑，而且能避免繁雜的計(jì)算和推理，可起到事半功倍的效果，在選擇、填空題的解答中更能體現(xiàn)其優(yōu)越性，近年在解答題中也加重了對數(shù)形結(jié)合的考查．通過下表2008年各地高考數(shù)學(xué)理科試卷涉及數(shù)形結(jié)合的題目及分值來看，其重要程度不言而喻。第9頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月2008年高考數(shù)學(xué)理科試卷涉及數(shù)形結(jié)合的題目及分值統(tǒng)計(jì)知識點(diǎn)

題號高考卷種集合函數(shù)不等式線性規(guī)劃解析幾何立體幾何總計(jì)分?jǐn)?shù)全國卷一2，810，1315，2111，16，1859全國卷二13，8514，2112，1954寧夏海南卷1，102411，14，2012，15，1864江蘇卷415，18，204，149，121675廣東卷16128，11，185，2065山東卷3，4，1710，11，226，2068第10頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月第三部分：“數(shù)形結(jié)合”思想在全國各省市2008年高考題的體現(xiàn)及分類解析：（一）利用數(shù)形結(jié)合解決集合問題（二）利用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)（也包括三角函數(shù)）問題（三）利用數(shù)形結(jié)合解決不等式和線性規(guī)劃問題（四）利用數(shù)形結(jié)合解決解析幾何問題（五）利用數(shù)形結(jié)合解決立體幾何問題第11頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月（一）利用數(shù)形結(jié)合解決集合問題

圖示法是集合的重要表示法之一，對一些比較抽象的集合問題，在解題時(shí)若借助韋恩圖或用數(shù)軸、圖象等數(shù)形結(jié)合的思想方法，往往可以使問題直觀化、形象化，從而靈活、直觀、簡捷、準(zhǔn)確地獲解。1、利用數(shù)軸解決集合的有關(guān)運(yùn)算和集合的關(guān)系問題．如：當(dāng)幾個(gè)集合的解集是不等式形式，要求它們的交集或并集時(shí)，經(jīng)常借助于數(shù)軸，把不等式的解集在數(shù)軸表示出來，通過數(shù)軸觀察它們的交集或并集，這樣比較直觀。2、利用韋恩圖法解決集合之間的關(guān)系問題．一般用圓來表示集合，兩圓相交則表示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個(gè)集合沒有公共元素．若利用韋恩圖法則能直觀地解答有關(guān)集合之間的關(guān)系的問題．例1.（2008北京卷,理1）例2.（2008四川卷,理1）統(tǒng)計(jì)：2008全國Ⅱ1、天津6、重慶11、上海2、陜西2、遼寧1、安徽2、浙江2、江西2山東1、江蘇4均為與例1例2相似利用數(shù)形結(jié)合解答的集合問題第12頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）利用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)（也包括三角函數(shù)）的問題函數(shù)的圖象是函數(shù)關(guān)系的一種表示，它是從“形”的方面來刻畫函數(shù)的變化規(guī)律。函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得答案的重要工具。函數(shù)的圖象和解析式是函數(shù)關(guān)系的主要表現(xiàn)形式，實(shí)質(zhì)是相同的，在解題時(shí)經(jīng)常要相互轉(zhuǎn)化，在解決函數(shù)問題，尤其是較為繁瑣的（如分類討論、求參數(shù)的范圍等）問題時(shí)要充分發(fā)揮圖象的直觀作用，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化，簡化解題。如方程f（x）=g（x）的解的個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題。不等式f（x）＞g（x）的解集可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）的圖象位于函數(shù)y=g（x）的圖象上方的那部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合。有關(guān)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定或比較三角函數(shù)值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數(shù)圖象來處理。例3.（2008浙江卷,理5）例4.（2008山東卷，文12）例5.（2008福建卷，理12）例6.(2008山東卷、理3)統(tǒng)計(jì)：2008全國?2，6，8、全國Ⅱ3，8、北京8、天津3，7，9、重慶4，6，13、上海4，6，11、陜西7，11、四川3，5，11、遼寧12，13，16、浙江5，8，15、安徽9,11,13、福建4、江西3，6，12、湖南6，10，13，14、湖北4，13、山東4，5廣東12、寧夏海南1，7、均為函數(shù)與圖像相結(jié)合的典型題目。第13頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）利用數(shù)形結(jié)合解決不等式和線性規(guī)劃問題處理不等式問題時(shí)，從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，利用圖象的直觀性,通過對問題的定性分析,可以無需進(jìn)行計(jì)算就可以求解，從圖形上找出解題的思路，是為數(shù)形結(jié)合在解不等式問題中的應(yīng)用；線性規(guī)劃問題是在約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值的問題。從圖形上找思路恰好就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用例7．（2008江西卷,理14）例8．（2008年浙江,理17）統(tǒng)計(jì)：2008全國?9、全國Ⅱ4、北京2，13、天津8，16、上海1，8江西9，14、山東16、寧夏海南6、江蘇11全國?13、全國Ⅱ5、北京5天津2、陜西10、安徽15、浙江17福建8、湖南3、廣東4、山東12第14頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月（四）利用數(shù)形結(jié)合解決解析幾何問題圓錐曲線及其解析式是高中階段的重要知識，數(shù)形結(jié)合方法在圓錐曲線中的應(yīng)用是把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題，數(shù)形結(jié)合方法是圓錐曲線解題中一種十分重要的思維策略。例9.（2008海南卷，理11）例10（2008廣東卷，理18）統(tǒng)計(jì)：2008全國?10，14，15，21全國Ⅱ9，11，15、21北京4，7天津5，13、重慶3，7，8，15陜西5，8、四川4，12，14遼寧10、安徽8、浙江7，11，12福建11，14、江西15、湖南8，12湖北9、廣東11、山東10，11寧夏海南11，14、江蘇9，12均為有關(guān)利用數(shù)形結(jié)合解答解析幾何的典型題目

第15頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月（五）利用數(shù)形結(jié)合解決立體幾何問題引進(jìn)向量的方法后，立體幾何中用坐標(biāo)的方法將幾何中的點(diǎn)、線、面的性質(zhì)及其相互關(guān)系進(jìn)行研究，可將抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化純粹的代數(shù)運(yùn)算。從而大大簡化解題。例11（2008年安徽卷，理18）2008山東卷(20)和2008江蘇卷（16）和（22）為新課標(biāo)卷靈活應(yīng)用向量法解立體幾何題的代表。第16頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月第四部分運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想切實(shí)提高解題能力通過以上高考題的解答我們可以很清楚地看到如果能給數(shù)學(xué)命題以直觀圖像的描述，揭示出命題的幾何特征，就能變抽象為形象，就能形成概念的相互轉(zhuǎn)化，就能使抽象思維與形象思維在解題過程中交互運(yùn)用，也就是說數(shù)形結(jié)合思想的“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問題、幾何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合；從而提高解題速度與質(zhì)量。第17頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月那如何準(zhǔn)確地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行思考解答數(shù)學(xué)命題呢？

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，就是要充分考查數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義又揭示其幾何意義，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，來尋找解題思路，使問題得到解決。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解題時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：其一，注意數(shù)與形轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單、熟知的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化前后的問題應(yīng)是等價(jià)的；其二，注意利用“數(shù)”的精確性和“形”的全面性，像判斷公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，轉(zhuǎn)化成圖形后要保證“數(shù)”的精確性，才能得出正確結(jié)論。有些問題所對應(yīng)的圖形不唯一，要根據(jù)不同的情況畫出相應(yīng)的圖形后，再進(jìn)行討論求解。第18頁，課件共19頁，創(chuàng)作于2023年2月參考文獻(xiàn)：[1]鄭國萊.《高中生數(shù)學(xué)辭?！?上海人民出