運籌學期末復習提綱課件

1線性規(guī)劃線性規(guī)劃問題及其數學模型圖解法單純形法原理單純形法計算步驟單純形法的進一步討論1線性規(guī)劃線性規(guī)劃問題及其數學模型1線性規(guī)劃的概念目標能表成求MAX或MIN達到目標有多種方案實現(xiàn)目標有一定條件目標和條件都能用線性函數表示線性規(guī)劃的概念目標能表成求MAX或MIN2例如，對于線性規(guī)劃問題其系數矩陣為則下面兩個矩陣都是該線性規(guī)劃問題的基。和還能找出其它基嗎？例如，對于線性規(guī)劃問題其系數矩陣為則下面兩個矩陣都是該線3基解：令非基變量等于0的解。基可行解：基解+可行解例如，對于上面的線性規(guī)劃問題，如果取x1，x2為基變量，則令非基變量x3，x4為零，約束方程組為

解之得。故我們得到基解注意到這個基解還是一個可行解。是否所有的基解都是基可行解？（選x1,x3作為基變量）基解：令非基變量等于0的解。例如，對于上面的線性規(guī)劃問題，如4解的概念解的概念5解2.3(1)(2)解2.3(1)(2)6線性規(guī)劃要注意的幾點圖解法對只包含兩個決策變量的線性規(guī)劃問題，可以用圖解法來求解。圖解法顧名思義就是通過作圖來求解的方法，它簡單直觀、并有助于說明一般線性規(guī)劃問題求解的基本原理。線性規(guī)劃要注意的幾點7線性規(guī)劃的標準形式它具有如下四個特征：目標函數求max；約束方程符號取“=”；bi非負；所有決策變量xj非負。線性規(guī)劃的標準形式它具有如下四個特征8線性規(guī)劃解的存在性線性規(guī)劃問題的所有可行解構成的集合是凸集，也可能為無限集。他們有有限個頂點，線性規(guī)劃問題的每個基可行解對應可行域一個頂點，反之亦然。若線性規(guī)劃問題有最優(yōu)解，必在某頂點達到。線性規(guī)劃解的存在性線性規(guī)劃問題的所有可行解構成的集合是凸集，9大M法將人工變量在目標函數中反映出來得到如下形式的線性規(guī)劃：大M法將人工變量在目標函數中反映出來得到如下形式的線性規(guī)劃：10因此最優(yōu)解為最優(yōu)目標函數值為需要說明的是，如果在用大M法求解線性規(guī)劃問題時，最終表的基變量中還含有人工變量，那么這個最終表并沒有給出原來問題的基可行解，從而沒有給出原來的線性規(guī)劃問題最優(yōu)解。這時原來線性規(guī)劃問題為無可行解。用EXCEL執(zhí)行該計算過程因此最優(yōu)解為最優(yōu)目標函數值為需要說明的是，如果在用大M法求解11故原來問題的最優(yōu)解為最優(yōu)目標函數值這一結果與大M法得到的結果是一致的。無可行解的判別：在用大M法求解線性規(guī)劃問題時，若最終單純形表的基變量中含人工變量；或用兩階段法求解時，第一階段最終表的基變量中含非零的人工變量，也就是第一階段最優(yōu)目標函數值不等于零，則線性規(guī)劃問題無可行解。故原來問題的最優(yōu)解為最優(yōu)目標函數值這一結果與大M法得到的結果122.8單純形法小結2.8單純形法小結132線性規(guī)劃對偶理論及其應用2線性規(guī)劃對偶理論及其應用14規(guī)范形式的線性規(guī)劃與對偶規(guī)劃問題原問題（LP）對偶問題（DLP）

規(guī)范形式的線性15對偶規(guī)劃的基本性質3.2.2弱對偶性定理：如果X、Y分別是原問題和對偶問題的一個可行解，則其對應的原問題的目標函數值不大于對偶問題的目標函數值，也即證明：因為X、Y分別是原問題（3.1）與對偶問題（3.2）的可行解，故：

所以對偶規(guī)劃的基本性質3.2.2弱對偶性定理：證明：因為X、Y16推論一：原問題任一可行解的目標函數值是其對偶問題目標函數值的下界；反之對偶問題任一可行解的目標函數值是起原問題目標函數值的上界。推論二：如果原問題存在無界解，則對偶問題一定無可行解；反之，如果對偶問題存在無界解，原問題也一定不存在可行解。注意，該推論的逆反定理并不成立。注意，該推論的逆反定理并不成立。推論三：如果原問題無解，且對偶問題有可行解，則對偶問題具有無解解，；反之，如果對偶問題無解，且原問題有可行解，則對偶問題具有無界解。推論一：原問題任一可行解的目標函數值是其對偶問題目標函數值的17最優(yōu)性定理

18互補松弛定理互補松弛定理19約束方程也分為兩種情況：

，約束條件比較松；

，約束條件比較緊；yi>=0,分為兩種情況：yi>0，約束條件比較松；yi=0，約束條件比較緊；互補松弛定理的解釋變量同其對偶問題的約束方程之間至多只能夠有一個取松弛的情況，當其中一個取松弛的情況時，另外一個比較緊，即取嚴格等號。約束方程也分為兩種情況：yi>=0,分為兩種情況：互補20例已知下面的LP1和LP2為一組對偶規(guī)劃，且已知LP1的最優(yōu)解為X=（1.5，1）’。試運用互補松弛定理求出對偶問題的最優(yōu)解Y。生產計劃問題（LP1）資源定價問題（LP2）例已知下面的LP1和LP2為一組對偶規(guī)劃，且已知LP1的最優(yōu)21解：由X=（1.5，1）’得聯(lián)立求解得：

解：由X=（1.5，1）’得聯(lián)立求解得：22解：由X=（1.5，1）’得聯(lián)立求解得：

解：由X=（1.5，1）’得聯(lián)立求解得：23解：由X=（1.5，1）’得聯(lián)立求解得：

解：由X=（1.5，1）’得聯(lián)立求解得：24靈敏度分析靈敏度分析25

約束條件右端向量b的變化

263目標規(guī)劃3目標規(guī)劃27目標規(guī)劃基本概念（1）偏差變量d+：正偏差變量，表示決策值超出目標值的部分d-：負偏差變量，表示決策值未達到目標值的部分按定義有：d+

≥0，

d-≥0，d+?d-=0（2）絕對約束和目標約束絕對約束（硬約束）：必須嚴格滿足的約束條件目標約束（軟約束）：目標規(guī)劃特有

（3）優(yōu)先因子（P）和權系數（W）

優(yōu)先因子用P1，P2，…，Pl表示，規(guī)定Pl>>Pl+1，表示Pl比Pl+1有更大的優(yōu)先權。（4）目標函數決策值=目標值min{f(d++d-)}決策值<目標值min{f(d+)}決策值>目標值min{f(d-)}目標規(guī)劃基本概念（1）偏差變量28目標規(guī)劃模型的建立例4.1某企業(yè)計劃生產甲、乙兩種產品。已知有關數據見表4-1。問如何安排生產使獲得的總利潤最大？表4-1目標規(guī)劃模型的建立例4.1某企業(yè)計劃生產甲、乙兩種產品。已29設x1、x2分別表示計劃生產產品甲、乙的產量，它的數學模型為：它的最優(yōu)解為x1=4，x2=3，最大目標函數值為62。maxz=8x1+10x2

2x1+x2≤11st.x1+2x2≤10x1,x2≥0但企業(yè)的經營目標不僅是利潤，企業(yè)還考慮了以下問題：（1）根據市場信息，產品甲開始出現(xiàn)滯銷現(xiàn)象，故考慮產品甲的產量應不超過產品乙；（2）超過計劃供應的原材料需高價采購，應避免過量消耗；（3）應盡可能充分利用設備臺時，但不希望加班；（4）應盡可能達到并超過計劃利潤指標56元。設x1、x2分別表示計劃生產產品甲、乙的產量，它的數學模型為30例4.2例4.1的決策者經過綜合考慮，決策者的目標分別為：首先原材料使用限額不能突破；其次產品甲的產量不大于產品乙；再次充分利用設備臺時，不希望加班；最后利潤額不少于56元。問應如何安排生產？解：原材料使用限額的約束是絕對約束，其他三個約束是屬于目標約束，分別賦予這三個目標的優(yōu)先因子為P1，P2，P3。這問題的數學模型為：2x1+x2≤11x1-x2+d1--d1+=0x1+2x2+d2--d2+=108x1+10x2+d3--d3+=56x1,x2,di-,di+≥0i=1,2,3min{P1

d1+,P2(d2-+d2+),P3

d3-

}s.t.例4.2例4.1的決策者經過綜合考慮，決策者的目標分別為31目標規(guī)劃模型的一般形式：

Min﹛Pl（∑（wlk-dk-+

wlk+dk+））,l=1,2…,L﹜k=1K∑ckjxj+dk--dk+=gk，k=1，2，…，Kj=1n∑aijxj≤（=，≥）bi，i=1，2，…，mj=1nxj≥0,j=1，2，…，ndk-，dk+≥0,k=1，2，…，KS.t.32目標規(guī)劃模型的一般形式：Min﹛Pl（∑（w目標規(guī)劃模型的一般形式：

Min﹛Pl（∑（wlk-dk-+

wlk+dk+））,l=1,2…,L﹜k=1K∑ckjxj+dk--dk+=gk，k=1，2，…，Kj=1n∑aijxj≤（=，≥）bi，i=1，2，…，mj=1nxj≥0,j=1，2，…，ndk-，dk+≥0,k=1，2，…，KS.t.33目標規(guī)劃模型的一般形式：Min﹛Pl（∑（w當總產量=總銷量，稱為產銷平衡問題當總產量≠總銷量，稱為產銷不平衡問題4運輸問題當總產量=總銷量，稱為產銷平衡問題當總產量≠總銷量，稱34產銷平衡的運輸問題的數學模型如下

運輸問題含有m×n個變量，m+n個約束方程。其系數矩陣的結構比較特殊，對應變量xij的系數向量，其分量中除第i個和第m+j個為1以外，其余的都為零模型中只有個相互獨立的約束方程。因此，運輸問題的任一基可行解都有m+n-1個基變量。產銷平衡的運輸問題的數學模型如下運輸問題含有m×n個變量，35運輸問題的表上作業(yè)法運輸問題的表上作業(yè)法362)沃格爾法列罰數行罰數25130116213012321212017635200122)沃格爾法列罰數行罰數2513011621301232376

314331σ11=

c11-c13+c23-c21=3-3+2-1=1解的最優(yōu)性檢驗1)閉回路法6314331σ11=c11-c13+c23-c21=338對偶變量法（位勢法）63

34130310-1-529121-11012vj

ui基變量：cij=ui+vj非基變量：σij=cij–(ui+vj)對偶變量法（位勢法）6334130310-1-5291239產銷不平衡運輸問題

1.一般產銷不平衡運輸問題1)總產量>總銷量假想一銷地Bn+1，令銷量為

,運價c=0產銷不平衡運輸問題1.一般產銷不平衡運輸問題1)總產量>405整數規(guī)劃5.1整數規(guī)劃實例及一般模型5.2分支定界法5.30-1整數規(guī)劃5.4指派問題5整數規(guī)劃5.1整數規(guī)劃實例及一般模型41整數規(guī)劃的類型純整數規(guī)劃：xj全部是整數混合整數規(guī)劃：xj部分是整數0-1型整數規(guī)劃：xj=0或1整數規(guī)劃的類型純整數規(guī)劃：xj全部是整數42整數線性規(guī)劃問題解的特點整數規(guī)劃的可行解集合是它的松弛問題可行解集合的一個子集，即整數規(guī)劃的可行解一定是其松弛問題的可行解（反之不然）整數規(guī)劃問題的最優(yōu)目標函數值不會優(yōu)于其松弛問題最優(yōu)解的目標函數值若松弛問題的可行解滿足整數約束，則它也是整數規(guī)劃的可行解整數規(guī)劃問題的最優(yōu)解不能由其松弛問題最優(yōu)解經過簡單取整得到整數線性規(guī)劃問題解的特點整數規(guī)劃的可行解集合是它的松弛問題可43如用“舍入取整法”可得到4個點即(2，2),(2，3),(3，2),(3，3)。顯然，它們都不可能是整數規(guī)劃的最優(yōu)解。松弛問題最優(yōu)解整數規(guī)劃最優(yōu)解例不能通過舍入取整地方法，由松弛問題的解得到整數規(guī)劃的最優(yōu)解如用“舍入取整法”可得到4個點即(2，2),(2，3),446動態(tài)規(guī)劃6.1動態(tài)規(guī)劃的基本概念6.2最優(yōu)化原理6.3經濟管理問題舉例6動態(tài)規(guī)劃6.1動態(tài)規(guī)劃的基本概念45多階段決策過程動態(tài)規(guī)劃的分類：離散確定型離散隨機型連續(xù)確定型連續(xù)隨機型決策1狀態(tài)1決策2狀態(tài)2決策n狀態(tài)3……狀態(tài)n多階段決策過程動態(tài)規(guī)劃的分類：決策1狀態(tài)1決策2狀態(tài)2決策n461、階段，階段數階段變量：k;階段數記作n。無后效性：如果某階段的狀態(tài)給定，這階段以后過程的發(fā)展不受這階段以前各階段狀態(tài)的影響

3、決策某階段狀態(tài)確定后，為確定下一階段的狀態(tài)，所作出的決定（選擇）。決策變量：uk(sk)表示第k階段狀態(tài)為sk時的決策

允許決策集合：Dk(sk)動態(tài)規(guī)劃的基本概念2、狀態(tài)每個階段開始時所處的自然狀態(tài)或客觀條件狀態(tài)變量：sk狀態(tài)集合：Sk1、階段，階段數無后效性：如果某階段的狀態(tài)給定，這階段以后474、策略：由決策組成的序列稱為策略。p1,n{u1(s1),u2(s2),…

,un(sn)}允許策略集合：P1,n最優(yōu)策略：p*1,n子策略：5、狀態(tài)轉移方程sk+1=Tk(sk,uk)6、效益(指標)函數:Vkn(sk,pkn(sk))階段效益函數：wk(sk,uk(sk))最優(yōu)效益函數：fk(sk)最優(yōu)策略:pkn*全過程的最優(yōu)效益函數4、策略：全過程的最優(yōu)效益函數48標號法求解最短路問題07681614141621202226所以最短路為A—B1—C2—D2—E，最短路長為26。標號法求解最短路問題0768161414162120222649最優(yōu)化原理動態(tài)規(guī)劃的基本方程（逆序法）：fk(sk)表示從第k階段狀態(tài)sk到終點F的最短距離如果一個策略是最優(yōu)策略，則其子策略也一定是最優(yōu)策略；如果兩段子策略都是最優(yōu)策略，則連起來是否是最優(yōu)策略呢？動態(tài)規(guī)劃的基本方程（順序法）：最優(yōu)化原理動態(tài)規(guī)劃的基本方程（逆序法）：fk(sk)表507網絡優(yōu)化模型

圖與網絡的基本概念最短路徑問題最大流問題最小費用最大流問題

7網絡優(yōu)化模型 圖與網絡的基本概念51圖與網絡的基本概念5、連通圖：圈：無向圖G=（V,E）中起點和終點重合的鏈稱為圈初等、簡單圈：沒有重復點的圈稱為初等圈，沒有重復邊的圈稱為簡單圈。(v1,e1,v2,e6,v4,e3,v3,e5,v1

)圖與網絡的基本概念5、連通圖：圈：無向圖52圖與網絡的基本