第三章 流體動力學(xué)基礎(chǔ)

第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)

流體動力學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本原理和基本方程。內(nèi)容重要，是整個課程的重點(diǎn)。第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)§3-1描述流體運(yùn)動的兩種方法

連續(xù)介質(zhì)模型告訴我們：流體是由無數(shù)質(zhì)點(diǎn)組成，而流體質(zhì)點(diǎn)是連續(xù)的、彼此無間隙的充滿空間。通常把由運(yùn)動流體所充滿的空間稱為流場。表征流體運(yùn)動的物理量，通稱為流體的流動參數(shù)。第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)一、拉格朗日法與質(zhì)點(diǎn)系

拉格朗日方法（lagrangianmethod）著眼于流場中每一個運(yùn)動著的流體質(zhì)點(diǎn)，跟蹤觀察每一流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡和運(yùn)動參數(shù)－跟蹤追跡法。是以流場中每一流體質(zhì)點(diǎn)作為描述流體運(yùn)動的方法，它以流體個別質(zhì)點(diǎn)隨時間的運(yùn)動為基礎(chǔ)，通過綜合足夠多的質(zhì)點(diǎn)（即質(zhì)點(diǎn)系）運(yùn)動求得整個流動?！|(zhì)點(diǎn)系法

空間坐標(biāo)

（a,b,c）為t=t0起始時刻質(zhì)點(diǎn)所在的空間位置坐標(biāo)，稱為拉格朗日數(shù)。所以，任何質(zhì)點(diǎn)在空間的位置（x,y,z）都可看作是（a,b,c）和時間t的函數(shù)

（1）（a,b,c）=const,t為變數(shù)，可以得出某個指定質(zhì)點(diǎn)在任意時刻所處的位置。

（2）（a,b,c）為變數(shù),t=const，可以得出某一瞬間不同質(zhì)點(diǎn)在空間的分布情況。

由于位置又是時間t的函數(shù)，對流速求導(dǎo)可得加速度：

速度加速度

由于流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡非常復(fù)雜，而實(shí)用上也無須知道個別質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況，所以除了少數(shù)情況（如波浪運(yùn)動）外，在工程流體力學(xué)中很少采用。第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)注意質(zhì)點(diǎn)系概念：

在t＝0時緊密毗鄰的具有不同起始坐標(biāo)（a,b,c)的無數(shù)質(zhì)點(diǎn)組成一個有確定形狀、有確定流動參數(shù)的質(zhì)點(diǎn)系。經(jīng)過t時間之后，質(zhì)點(diǎn)系的位置和形狀發(fā)生變化。第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)二、歐拉法與控制體

歐拉法（Eulermethod）是以流體質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)流場中各空間點(diǎn)的運(yùn)動即以流場作為描述對象研究流動的方法——流場法。它不直接追究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動過程，而是以充滿運(yùn)動流體質(zhì)點(diǎn)的空間——流場為對象。研究各時刻質(zhì)點(diǎn)在流場中的變化規(guī)律。將個別流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動過程置之不理，而固守于流場各空間點(diǎn)。通過觀察在流動空間中的每一個空間點(diǎn)上運(yùn)動要素隨時間的變化，把足夠多的空間點(diǎn)綜合起來而得出的整個流體的運(yùn)動情況。（設(shè)立觀察站的方法）

流場運(yùn)動要素是時空（x,y,z,t）的連續(xù)函數(shù)：速度（x,y,z,t）——?dú)W拉變量控制體：將孤立點(diǎn)上的觀察站擴(kuò)大為一個有適當(dāng)規(guī)模的連續(xù)區(qū)域?？刂企w相對于坐標(biāo)系固定位置，有任意確定的形狀，不隨時間變化。控制體的表面為控制面，控制面上有流體進(jìn)出。

第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)質(zhì)點(diǎn)的加速度流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度在歐拉法中，由于位置又是時間t的函數(shù)，所以流速是t的復(fù)合函數(shù)，對流速求導(dǎo)可得加速度:

代入上式得：

由兩部分組成：等號右邊第一項(xiàng)是時變加速度；后三項(xiàng)是位變加速度；（1）時變加速度（當(dāng)?shù)丶铀俣龋╨ocalacceleration）——流動過程中流體由于速度隨時間變化而引起的加速度；（2）位變加速度（遷移加速度）（connectiveacceleration）——流動過程中流體由于速度隨位置變化而引起的加速度。在恒定流中，流場中任意空間點(diǎn)的運(yùn)動要素不隨時間變化，所以時變加速度等于零；

在均勻流中，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度不隨空間位置變化，所以位變加速度等于零。

第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)§3-2流體運(yùn)動中的基本概念一、定常流與非定常流（或恒定流與非恒定流）二、均勻流與非均勻流第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)三、一元流、二元流與三元流

按流體運(yùn)動要素所含空間坐標(biāo)變量的個數(shù)分：（1）一元流

一元流(one-dimensionalflow):流體在一個方向流動最為顯著，其余兩個方向的流動可忽略不計(jì)，即流動流體的運(yùn)動要素是一個空間坐標(biāo)的函數(shù)。若考慮流道（管道或渠道）中實(shí)際液體運(yùn)動要素的斷面平均值，則運(yùn)動要素只是曲線坐標(biāo)s的函數(shù)，這種流動屬于一元流動。（2）二元流

二元流(two-dimensionalflow):流體主要表現(xiàn)在兩個方向的流動，而第三個方向的流動可忽略不計(jì)，即流動流體的運(yùn)動要素是二個空間坐標(biāo)（不限于直角坐標(biāo)）函數(shù)。（3）三元流

三元流（three-dimensionalflow):流動流體的運(yùn)動要素是三個空間坐標(biāo)函數(shù)。第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)四、跡線、流線

1、跡線

跡線(pathline)某一質(zhì)點(diǎn)在某一時段內(nèi)的運(yùn)動軌跡線。是拉格朗日法描述流體運(yùn)動的基礎(chǔ)。第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)2、流線

定義：流線（streamline）是表示某一瞬時流體各點(diǎn)流動趨勢的曲線，曲線上任一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)的流速方向重合。流線是歐拉法描述流體運(yùn)動的基礎(chǔ)。圖為流線譜中顯示的流線形狀。

流線的作法：

在流場中任取一點(diǎn)，繪出某時刻通過該點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)的流速矢量u1，再畫出距1點(diǎn)很近的2點(diǎn)在同一時刻通過該處的流體質(zhì)點(diǎn)的流速矢量u2…，如此繼續(xù)下去，得一折線1234…，若各點(diǎn)無限接近，其極限就是某時刻的流線。

第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)流線的方程根據(jù)流線的定義，可以求得流線的微分方程：設(shè)ds為流線上A處的一微元弧長:

u為流體質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的流速:

因?yàn)榱魉傧蛄颗c流線相切，即沒有垂直于流線的流速分量，u和ds重合。所以即

展開后得到：

——流線方程

第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)流線的性質(zhì)（1）定常流動中流線形狀不隨時間變化，而且流體質(zhì)點(diǎn)的跡線和流線重合（2）實(shí)際流場中除駐點(diǎn)和奇點(diǎn)外流線不能相交，不能突然轉(zhuǎn)折

第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)五、流管、流束

1、流管

流管（streamtube)：在流場中取任一封閉曲線（不是流線），通過該封閉曲線的每一點(diǎn)作流線，這些無數(shù)流線所組成的管狀的假想表面。

性質(zhì)：不能相交，流體質(zhì)點(diǎn)不能穿過流管表面。在定常時，形狀和位置不隨時間變化而變化。非定常時，形狀和位置可能隨時間變化而變化。2、流束

流管內(nèi)的全部流體為流束。流束的極限是一條流線。極限近于一條流線的流束為微元流束。3、總流

把流管取在運(yùn)動液體的邊界上，則邊界內(nèi)整股液流的流束稱為總流。4、過流斷面

流束中處處與速度方向相垂直的橫截面稱為該流束的過流斷面。5、緩變流動如果微小流束（流線）間的夾角及流束的曲率都非常小，這種流動稱為緩變流動。反之急變流。緩變流的過流斷面可看作是平面。急變流的過流斷面是曲面。第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)緩變流第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)六、流量、凈通量

1、流量

單位時間內(nèi)通過某一過流斷面的流體量。體積流量qv或Q表示，質(zhì)量流量qm。體積流量（m3/s）：

質(zhì)量流量（kg/s）：

如果dA不是過流斷面，而是與微元流束相交的任意斷面，則體積流量（m3/s）：

質(zhì)量流量（kg/s）：2、凈通量

流過全部封閉控制面A的流量稱為凈流量，或凈通量。第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)七、過流斷面上的平均速度與動能動量修正系數(shù)

1、斷面平均速度

過流斷面上各點(diǎn)的流速是不相同的，所以常采用一個平均值來代替各點(diǎn)的實(shí)際流速，稱斷面平均流速。2、動能及動能修正系數(shù)

動能（kineticenergy）：是指物體由于機(jī)械運(yùn)動而具有的能量。

單位時間內(nèi)通過過流斷面的流體動能是：

動能修正系數(shù)

——是實(shí)際動能與按斷面平均流速計(jì)算的動能的比值。

第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)注意：動能修正系數(shù)是無量綱數(shù)，它的大小取決于總流過水?dāng)嗝嫔系牧魉俜植?，分布越均勻，α值越小，越接近?.0。層流流速分布湍流流速分布第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)2、動量及動量修正系數(shù)動量（momentum)是物體運(yùn)動的一種量度，是描述物體機(jī)械運(yùn)動狀態(tài)的一個重要物理量。

單位時間內(nèi)通過過流斷面的流體動量是：

動量修正系數(shù)

——是實(shí)際動量與按斷面平均流速計(jì)算的動量的比值。動量修正系數(shù)是無量綱數(shù)，它的大小取決于總流過水?dāng)嗝娴牧魉俜植?，分布越均勻，β值越小，越接近?.0。第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)

斷面流速分布

動能修正系數(shù)

動量修正系數(shù)圓管層流

旋轉(zhuǎn)拋物面

=2.0β=4/3

圓管紊流

對數(shù)規(guī)律

=1.05~1.1

β=1.02~1.05層流流速分布湍流流速分布第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)基于質(zhì)量守恒定律：質(zhì)量不能無緣無故的自生自滅。建立一控制體在單位時間內(nèi)流過控制面的凈質(zhì)量流量：在單位時間內(nèi)控制體的質(zhì)量減少：由質(zhì)量守恒定律得連續(xù)方程式的積分形式或§3-3連續(xù)方程式一、基本原理

第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)特例

特例1定常流動則特例2不可壓縮流動

為常數(shù)則第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)流管流動的連續(xù)性方程的應(yīng)用：恒定流動時：對于不可壓縮流體，則第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)連續(xù)性方程的積分形式：由奧－高公式根據(jù)控制體與時間的無關(guān)性直角坐標(biāo)系下連續(xù)性方程的微分形式即想一想：恒定、不可壓情況下，連續(xù)性方程的微分形式。二、連續(xù)性方程的微分形式

第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)§3-4流體微團(tuán)的運(yùn)動分析一、流體與剛體比較

剛體的運(yùn)動是由平移和繞某瞬時軸的轉(zhuǎn)動兩部分組成。

流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，一般除了平移、轉(zhuǎn)動外，還要發(fā)生變形（角變形和線變形）。第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)二、流體微元的速度分解

A(x,y,z)點(diǎn)速度為vx,vy,vz，則C點(diǎn)的速度為：第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)三、有旋流和無旋流

根據(jù)流體微團(tuán)是否繞自身軸旋轉(zhuǎn)，可分為有旋流和無旋流。1.定義：有旋流（vortex）：亦稱“渦流”。流體質(zhì)點(diǎn)（微團(tuán)）在運(yùn)動中不僅發(fā)生平動（或形變），而且繞著自身的瞬時軸線作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。如旋風(fēng)即為空氣的渦流。當(dāng)流體速度變化較大，由于流體粘滯阻力、壓強(qiáng)不均勻等因素的影響，就容易形成渦流。

無旋流（potentialflow）亦稱“勢流”、“有勢流”。流體在運(yùn)動中，它的微小單元只有平動或變形，但不發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，即流體質(zhì)點(diǎn)不繞其自身任意軸轉(zhuǎn)動。注意：無旋流和有旋流決定于流體質(zhì)點(diǎn)本身是否旋轉(zhuǎn)，而與運(yùn)動軌跡無關(guān)。

第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)2.有旋流和無旋流的特性

（1）若wx=wy=wz=0，即

則流動為無旋流，否則，為有旋流。有旋流（渦流）——wx、wy、wz中任一個或全部不等于零的流體運(yùn)動，繞自身軸有旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動。（與通常的旋轉(zhuǎn)不同）流場內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)具有繞質(zhì)點(diǎn)自身任意軸的角速度。（2）有旋流的特征是存在角速度。角速度是一個矢量，所以可如同用流線描述流動一樣，可用渦線描述流動的旋轉(zhuǎn)變化。

渦線——在同一瞬時線上各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)速矢量都與該曲線相切。

無旋流一般存在于無粘性理想流體中。

有旋流一般存在于有粘性實(shí)際流體中。第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)例題

已知流體流動的流速場為，判斷該流動是無旋流還是有旋流？解：

故液體流動是無旋流。第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)§3-5實(shí)際流體的運(yùn)動微分方程式一、作用在流體微元上的應(yīng)力

應(yīng)力矩陣第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)二、本構(gòu)方程

確定應(yīng)力與應(yīng)變的方程式叫本構(gòu)方程。其中p：在平衡流體，代表一點(diǎn)上的流體靜壓強(qiáng)；在理想流體，代表一點(diǎn)上的流體動壓強(qiáng)；在不可壓實(shí)際流體，代表一點(diǎn)上的流體動壓強(qiáng)的算術(shù)平均值。第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)三、納維－斯托克斯方程式

不可壓實(shí)際流體的運(yùn)動方程式——N-S方程想一想理想流體、靜止情況下的方程。第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)§3-6伯努利方程式及其應(yīng)用一、流線上的伯努利方程式

假設(shè)單位質(zhì)量的流體質(zhì)點(diǎn)某瞬時的速度為v＝vx

i+vy

j+vzk，經(jīng)dt時間，質(zhì)點(diǎn)沿流線移動一段微小距離ds＝dxi+dyj+dzk＝

vxdti+vydtj+vzdt

k，為求出單位質(zhì)量流體移動ds距離與外力作功的能量關(guān)系，將ds的三個投影分別與N-S方程的三個式子相乘，然后相加，得第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)下面分別對式中的四類項(xiàng)進(jìn)行簡化質(zhì)量力項(xiàng)，假設(shè)質(zhì)量力有勢

壓強(qiáng)項(xiàng)

粘性摩擦力項(xiàng)

導(dǎo)數(shù)項(xiàng)第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)將結(jié)果代回原式，則可得則——適用范圍：非定常、質(zhì)量力有勢?！m用范圍：定常、質(zhì)量力有勢?！m用范圍：定常、重力場、不可壓流體?！m用范圍：理想、定常、重力場、不可壓流體。第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)

那么，實(shí)際流體在定常、重力場、不可壓條件下，在流線上任意兩點(diǎn)間可列出伯努利方程為：理想流體在相同條件下，在流線上任意兩點(diǎn)間的伯努利方程為：第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)二、粘性總流的伯努利方程式

粘性流體在定常、重力場、不可壓條件下，在流線上任意兩點(diǎn)間可列出伯努利方程為其中用代替，則在實(shí)際工程中，我們遇到的往往是過流斷面具有有限大小的流動，我們稱它們?yōu)榭偭?。因此我們?yīng)將沿流線的伯努利方程推廣到沿總流上去。將上式乘以

gdqv，然后對整個總流斷面積分，這樣就獲得總流的能量關(guān)系式第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)1)為單位時間內(nèi)通過斷面A的勢能總和。

假設(shè)兩個過流斷面上的流動為緩變流動,在緩變流動情況下，過流斷面可以近似地認(rèn)為是一個平面。由于過流斷面是與流線上的速度方向成正交的斷面，故而在過流斷面上沒有任何速度分量。如果令x軸與過流斷面相垂直,如圖，則

N-S方程的第2及第3式與流體靜力學(xué)地平衡方程相同，這說明在緩變流時，yz斷面上各點(diǎn)保持流體靜力學(xué)地規(guī)律，即

第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)2)為單位時間內(nèi)通過斷面A的動能總和。

斷面上速度v是變量，如果用平均流速代替，則

3）為單位時間內(nèi)流體克服摩擦阻力作功而消耗的機(jī)械能。該項(xiàng)不易通過積分確定，可令

hf表示總流中單位重量流體從斷面1-1到2-2平均消耗的能量。第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)則1-1到2-2的伯努利方程為即總流能量方程（即伯努利方程）在推導(dǎo)過程中的限制條件（1）恒定流；

（2）不可壓縮流體；（3）質(zhì)量力只有重力；（4）所選取的兩過水?dāng)嗝姹仨毷菨u變流斷面，但兩過流斷面間可以是急變流。

（5）總流的流量沿程不變。

（6）兩過水?dāng)嗝骈g除了水頭損失以外，總流沒有能量的輸入或輸出。

（7）式中各項(xiàng)均為單位重量流體的平均能（比能），對流體總重的能量方程應(yīng)各項(xiàng)乘以ρgqv，第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)三、伯努利方程式的應(yīng)用

1.皮托管速度滯止圖皮托管因?yàn)閦1=z2，v2=0，這里流場為均勻，點(diǎn)1至2hf

0，所以靜壓強(qiáng)動壓強(qiáng)滯止壓強(qiáng)第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)皮托管與測壓管聯(lián)合使用

由于皮托管結(jié)構(gòu)會引起液流擾亂和微小阻力，故精確計(jì)算還要對速度公式加以修正Cv為流速系數(shù)，一般條件下為0.97~0.99第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)皮托－靜壓管第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)2.節(jié)流式流量計(jì)工作原理：在管道中安裝一個過流斷面略小的節(jié)流元件，使流體流過時，速度增大、壓強(qiáng)降低。利用節(jié)流元件前后的壓強(qiáng)差來測定流量的儀器稱作節(jié)流式流量計(jì)。節(jié)流式流量計(jì)有孔板、噴嘴和圓錐式（又叫文丘利）三種類型。因?yàn)閦1=z2，如果暫不計(jì)能量損失ghf，且

1與

2均接近于1，所以設(shè)孔板的斷面為A，該處的速度為v，由連續(xù)性方程可得代入伯努利方程：于是理論流量為：第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)流量系數(shù)Cq可達(dá)0.98。實(shí)際流量qv小于理論流量qT，我們用下列通用形式來表示流量

——Cq為流量系數(shù)，對銳緣的孔板流量計(jì)約為0.6~0.62第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)補(bǔ)充、沿程有能量輸入或輸出的伯努利方程

沿總流兩斷面間裝有水泵、風(fēng)機(jī)或水輪機(jī)等裝置，流體流經(jīng)水泵或風(fēng)機(jī)時將獲得能量，而流經(jīng)水輪機(jī)時將失去能量。設(shè)單位重量液體所增加或減少的能量用H來表示，則總流的伯努利方程為

上式中，H前面的正負(fù)號，獲得能量為正，失去能量為負(fù)。對于水泵，H為揚(yáng)程。

水池通過泵將水送至水塔。列出水池液面（1-1斷面）至水塔液面（2-2斷面）的伯努利方程，因?yàn)橐好娉ㄩ_在大氣中，液面上流速v1和v2近似于0，所以第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)

泵在單位時間內(nèi)對通過的液體所作的功叫做泵的有效功率或輸出功率，用NT表示，公式為因?yàn)楸脙?nèi)的能量損失，泵的輸入功率N要大于輸出功率NT，輸出功率與輸入功率之比為泵的效率第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)§3-7動量方程式及其應(yīng)用一、用歐拉法表示的方程式

關(guān)于質(zhì)點(diǎn)系動量定理：IIIIIItt

＋tt時刻：質(zhì)點(diǎn)系的動量[Msys]t，控制體的動量[Mcv]t經(jīng)

t時間，在t

＋t時刻：質(zhì)點(diǎn)系的動量[Msys]t＋t

，控制體的動量[Mcv]t＋t

經(jīng)

t時間，質(zhì)點(diǎn)系的動量變化：

Msys＝[Msys]t＋t

－[Msys]t其中，[Msys]t＋t

＝II+III＝(I+II)-I＋I(xiàn)II

＝[Mcv]t＋t

－[Mcv]i＋[Mcv]o經(jīng)

t時間流入控制體的流體動量經(jīng)

t時間流出控制體的流體動量所以，

Msys＝[Mcv]t＋t

－[Mcv]t－[Mcv]i＋[Mcv]o

＝

Mcv－[Mcv]i＋[Mcv]o

第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)

Mcv=－[Mcv]i＋[Mcv]o=即——?dú)W拉方法表示的動量方程式作用在控制體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力的矢量和。是控制體內(nèi)流體動量對時間的變化率，定常流動時為0。單位時間內(nèi)控制體流出動量與流入動量之差。第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)定常、不可壓、一元流的情況：虛線所圍的區(qū)域?yàn)榭刂企w，過流斷面上的平均速度為v1，v2，由動量方程為：在三個坐標(biāo)軸上的投影式為注意：方程式的受力對象；外力與速度的方向；控制體流出、流入動量的符號。第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)二、動量方程式的應(yīng)用

1.流體對管道的作用力已知

1、2、A1、A2、p1、p2、v1、v2求密度為、流量為qv的流體對彎管的作用力FRx和FRy第一步：取控制體第二步：分析流體質(zhì)點(diǎn)系受到的外力，忽略重力－FRx、－FRy、p1A1、p2A2第三步：運(yùn)用動量方程式第四步：解出流體對管道的作用力第三章流體動力學(xué)基礎(chǔ)【特例1】直角變徑彎管

1＝2＝0，qv

＝v1A1＝v2A2

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