八年級上冊數學知識點總結(人教版)

八年級上冊數學知識點總結(人教版)Chapter11:Triangles11.1LineSegmentsRelatedtoTrianglesAtriangleisashapemadeupofthreelinesegmentsthatarenotonthesamelineandareconnectedend-to-end.Thesymbol"△"isusedtorepresentatriangle,whichcanbewrittenas"△ABC"andreadas"triangleABC".Itcanalsobewrittenas△BCA,△CAB,△ACB,etc.Trianglescanbeclassifiedbasedontheiranglesandsides.Examplesinclude:-Right-angledtriangle-Scalenetriangle-Acute-angledtriangle-Isoscelestrianglewithunequallegs-Isoscelestrianglewithequallegs-Equilateraltriangle-Obtuse-angledtriangleAnisoscelestriangleisatrianglewithtwosidesofequallength.Thesesidesarecalledthelegs,andthethirdsideiscalledthebase.Theanglebetweenthelegsiscalledthevertexangle,andtheanglebetweenthebaseandalegiscalledthebaseangle.Therelationshipbetweenthethreesidesofatriangleisthatthesumofanytwosidesisgreaterthanthethirdside,andthedifferencebetweenanytwosidesislessthanthethirdside.Twootherimportantlinesegmentsrelatedtotrianglesarethealtitudeandthemedian.Analtitudeisalinesegmentdrawnfromavertexofatriangleperpendiculartotheoppositeside.Amedianisalinesegmentdrawnfromavertexofatriangletothemidpointoftheoppositeside.Inaright-angledtriangle,allthreealtitudesintersectattherightanglevertex.Inanacute-angledtriangle,allthreealtitudesintersectinsidethetriangle.Inanobtuse-angledtriangle,thethreealtitudesdonotintersectatasinglepoint,buttheirlinesintersectatasinglepointoutsidethetriangle.Thethreemediansofatriangleintersectatasinglepointinsidethetriangle,calledthecentroid.11.2AnglesRelatedtoTrianglesTheinterioranglesofatrianglearetheanglesbetweenitssides.三角形內角和定理表明，三角形的內角和等于180°。而直角三角形的兩個銳角互余，因此根據三角形內角和定理可得：有兩個角互余的三角形是直角三角形。我們可以用符號“Rt△”來表示直角三角形，例如直角三角形ABC也可以寫成Rt△ABC。例如在已知△ABC中，已知∠ABC＝∠C=2∠A，BD是AC邊上的高，需要求解∠DBC的度數?？偨Y一下，根據三角形內角和等于180°，我們可以得出以下結論：(1)直角三角形的兩個銳角互余；(2)一個三角形最多有一個直角或鈍角；(3)任意一個三角形中，最多有三個銳角，最少有兩個銳角；(4)一個三角形中至少有一個角小于或等于60°。三角形的外角是由三角形的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角，三角形的外角和等于360°。三角形外角有兩條性質：(1)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；(2)三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角。多邊形是由n條不在同一直線上的線段首尾順次相接組成的圖形。多邊形的內角是由相鄰兩邊所組成的角，而多邊形的邊與它的鄰邊的延長線所組成的角則是多邊形的外角。n邊形有n個內角和2n個（n對）外角。連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段稱為多邊形的對角線。如果多邊形的各個角都相等，各條邊也相等，那么就稱它為正多邊形。多邊形的內角和與外角和分別等于(n-2)·180°和360°。全等形是指形狀和大小都相同的圖形，而全等三角形是指能夠完全重合的兩個三角形。全等三角形的對應邊和對應角都相等。在判定全等三角形時，我們需要注意對應的邊和角是否相等。判定定理1：如果兩個三角形的三條邊相等，那么這兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”。判定定理2：如果兩個三角形的兩條邊和它們的夾角分別相等，那么這兩個三角形全等，簡寫為“邊角邊”或“SAS”。判定定理3：如果兩個三角形的兩個角和它們的夾邊分別相等，那么這兩個三角形全等，簡寫為“角邊角”或“ASA”。判定定理4：如果兩個三角形的兩個角和其中一個角的對邊分別相等，那么這兩個三角形全等，簡寫為“角角邊”或“AAS”。判定定理5（直角三角形）：如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊分別相等，那么這兩個直角三角形全等，簡寫為“斜邊、直角邊”或“HL”。證明全等三角形的步驟：①準備條件：先證明全等時需要用到的條件。②三角形全等書寫三步驟：-寫出在哪兩個三角形中。-寫出三個條件并用大括號括起來。-寫出全等結論。例如，已知AB=AD，BC=DC，求證△ABC≌△ADC。證明：在△ABC和△ADC中，AB=AD（已知）BC=DC（已知）AC=AC（公共邊）∴△ABC≌△ADC（SSS）角平分線是將一個角分成兩個相等角的射線。尺規(guī)作角的平分線的步驟：1.以點O為圓心，適當長為半徑作弧，交OA于M，交OB于N。2.分別以M和N為圓心，大于1/2MN的長為半徑作弧。兩弧在∠AOB的內部交于C。3.作射線OC，射線OC即為所求。角平分線的性質：1.角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等，用數學語言表示為QD⊥OA，QE⊥OB，點Q在∠AOB的平分線上，因此QD＝QE。2.角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上，用數學語言表示為QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE，因此點Q在∠AOB的平分線上。軸對稱圖形是指將一個圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，則這個圖形就是軸對稱圖形。這條直線是這個圖形的對稱軸。軸對稱是指平面上的兩個圖形，將其中一個圖形沿著某一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，簡稱軸對稱。這條直線叫做對稱軸。兩個圖形中的對應點（即兩圖形重合時互相重合的點）叫做關于這條直線的對稱點。需要注意的是，如果一點在對稱軸上，它的對稱點就是它本身。例：判斷以下說法的正確性：1、軸對稱圖形必有對稱軸（正確）2、軸對稱圖形至少有一條對稱軸（正確）3、關于某直線成軸對稱的兩個圖形必能互相重合（正確）兩個完全重合的圖形必定是軸對稱的。垂直平分線是指經過線段中點并且垂直于該線段的直線，也稱為中垂線。軸對稱圖形具有以下性質：1.如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。2.軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。線段的垂直平分線具有以下性質：1.線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。2.與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上?？梢允褂贸咭?guī)作線段的垂直平分線（參見第63頁）。畫軸對稱圖形的方法如下：以△ABC和直線l為例，作出與△ABC關于直線l對稱的圖形。步驟如下：1.找到特征點。2.作出垂線。3.截取等長。4.依次連接。5.得到等腰三角形。等腰三角形是指兩條邊相等的三角形。在等腰三角形中，相等的兩邊都稱為腰，另一邊稱為底邊。兩腰的夾角稱為頂角，腰和底邊的夾角稱為底角。等腰三角形具有以下性質：1.等腰三角形的兩底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。2.等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱“三線合一”）。例如，在△ABC中，若AB=AC，點D在AC上且BD=BC=AD，則有∠ABC=∠C=∠BDC=2x，且∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180，解得x=36，因此∠A=36°，∠B=∠C=72°。等邊三角形是指三邊相等的三角形，也稱為特殊的等腰三角形。等邊三角形具有以下性質：三邊相等。等邊三角形的三個內角都相等，每個角都等于60度。我們可以通過以下定理來判定等邊三角形：三邊相等的三角形是等邊三角形，三個內角都等于60度的三角形也是等邊三角形，有一個角為60度的等腰三角形也是等邊三角形。在直角三角形中，如果一個銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。例如，在直角三角形ABC中，如果∠ACB=90度，∠A=30度，那么BC=1/2AB。整式的乘法包括同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘方和整式之間的乘法。同底數冪相乘時，底數不變，指數相加。冪的乘方時，底數不變，指數相乘。積的乘方時，把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。在單項式相乘時，把它們的系數相乘，字母部分的同底數冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數作為積的一個因式。在多項式相乘時，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得積相加。同底數冪相除時，底數不變，指數相減。當a不等于0時，a的任何次冪都等于1。在單項式相除時，把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。在多項式除以單項式時，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。14.2乘法公式八、平方差公式兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差。這個公式叫做乘法的平方差公式，即：(a+b)(a-b)=a^2-b^2。例如：運用平方差公式計算：(3x+2)(3x-2)=(3x)^2-2^2=9x^2-4(b+2a)(2a-b)=(2a)^2-b^2=4a^2-b^2(-x+2y)(-x-2y)=(-x)^2-(2y)^2=x^2-4y^2九、完全平方公式兩個數的和（或差）的平方等于它們的平方和加上（或減去）它們的積的2倍。即：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2這兩個公式叫做乘法的完全平方公式。14.3因式分解十、因式分解把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解。也叫做把這個多項式分解因式，即：一個多項式→幾個整式的積。注意：必須分解到每個多項式因式不能再分解為止。例如：x^2-1=(x+1)(x-1)十一、分解因式的方法1、提取公因式法如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提公因式法，即：ma+mb+mc=m(a+b+c)。例如：把下列各式分解因式①6x^3y^2-9x^2y^3+3x^2y^2=3x^2y^2(2x-3y+1)②p(y-x)-q(x-y)=(p+q)(y-x)③(x-y)^2-y(y-x)^2=(x-y)(x+y)2、運用公式法運用公式法中主要使用的公式有如下幾個：①a^2-b^2=(a+b)(a-b)（平方差公式）②a^2+2ab+b^2=(a+b)^2（完全平方公式）a^2-2ab+b^2=(a-b)^2（完全平方公式）例如：把下列各式分解因式①x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)②9x^2-6x+1=(3x-1)(3x-1)3、十字相乘法公式：x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)例如：把下列各式分解因式①x^2-5x+6=(x-2)(x-3)②a^2-a-2=(a-2)(a+1)4、分組分解法分組的原則：分組后要能使因式分解繼續(xù)下去。1、分組后可以提公因式。2、分組后可以運用公式。例如：把下列各式分解因式①3x+x^2-y^2-3y=(x-y)(x+y)+3(x-y)=(x-y)(x+y+3)②x^2-2x-4y^2+1=(x-1)^2-4y^2=(x-2y-1)(x+2y+1)(x-1+2y)(x-1-2y)=(x-y)(x+y+3)分解因式的技巧：首先考慮提取公因式。對于二項式，考慮應用平方差公