八年級上冊數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)(人教版)

八年級上冊數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)(人教版)Chapter11:Triangles11.1LineSegmentsRelatedtoTrianglesAtriangleisashapemadeupofthreelinesegmentsthatarenotonthesamelineandareconnectedend-to-end.Thesymbol"△"isusedtorepresentatriangle,whichcanbewrittenas"△ABC"andreadas"triangleABC".Itcanalsobewrittenas△BCA,△CAB,△ACB,etc.Trianglescanbeclassifiedbasedontheiranglesandsides.Examplesinclude:-Right-angledtriangle-Scalenetriangle-Acute-angledtriangle-Isoscelestrianglewithunequallegs-Isoscelestrianglewithequallegs-Equilateraltriangle-Obtuse-angledtriangleAnisoscelestriangleisatrianglewithtwosidesofequallength.Thesesidesarecalledthelegs,andthethirdsideiscalledthebase.Theanglebetweenthelegsiscalledthevertexangle,andtheanglebetweenthebaseandalegiscalledthebaseangle.Therelationshipbetweenthethreesidesofatriangleisthatthesumofanytwosidesisgreaterthanthethirdside,andthedifferencebetweenanytwosidesislessthanthethirdside.Twootherimportantlinesegmentsrelatedtotrianglesarethealtitudeandthemedian.Analtitudeisalinesegmentdrawnfromavertexofatriangleperpendiculartotheoppositeside.Amedianisalinesegmentdrawnfromavertexofatriangletothemidpointoftheoppositeside.Inaright-angledtriangle,allthreealtitudesintersectattherightanglevertex.Inanacute-angledtriangle,allthreealtitudesintersectinsidethetriangle.Inanobtuse-angledtriangle,thethreealtitudesdonotintersectatasinglepoint,buttheirlinesintersectatasinglepointoutsidethetriangle.Thethreemediansofatriangleintersectatasinglepointinsidethetriangle,calledthecentroid.11.2AnglesRelatedtoTrianglesTheinterioranglesofatrianglearetheanglesbetweenitssides.三角形內(nèi)角和定理表明，三角形的內(nèi)角和等于180°。而直角三角形的兩個(gè)銳角互余，因此根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。我們可以用符號“Rt△”來表示直角三角形，例如直角三角形ABC也可以寫成Rt△ABC。例如在已知△ABC中，已知∠ABC＝∠C=2∠A，BD是AC邊上的高，需要求解∠DBC的度數(shù)。總結(jié)一下，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，我們可以得出以下結(jié)論：(1)直角三角形的兩個(gè)銳角互余；(2)一個(gè)三角形最多有一個(gè)直角或鈍角；(3)任意一個(gè)三角形中，最多有三個(gè)銳角，最少有兩個(gè)銳角；(4)一個(gè)三角形中至少有一個(gè)角小于或等于60°。三角形的外角是由三角形的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角，三角形的外角和等于360°。三角形外角有兩條性質(zhì)：(1)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；(2)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。多邊形是由n條不在同一直線上的線段首尾順次相接組成的圖形。多邊形的內(nèi)角是由相鄰兩邊所組成的角，而多邊形的邊與它的鄰邊的延長線所組成的角則是多邊形的外角。n邊形有n個(gè)內(nèi)角和2n個(gè)（n對）外角。連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段稱為多邊形的對角線。如果多邊形的各個(gè)角都相等，各條邊也相等，那么就稱它為正多邊形。多邊形的內(nèi)角和與外角和分別等于(n-2)·180°和360°。全等形是指形狀和大小都相同的圖形，而全等三角形是指能夠完全重合的兩個(gè)三角形。全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角都相等。在判定全等三角形時(shí)，我們需要注意對應(yīng)的邊和角是否相等。判定定理1：如果兩個(gè)三角形的三條邊相等，那么這兩個(gè)三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”。判定定理2：如果兩個(gè)三角形的兩條邊和它們的夾角分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等，簡寫為“邊角邊”或“SAS”。判定定理3：如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角和它們的夾邊分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等，簡寫為“角邊角”或“ASA”。判定定理4：如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等，簡寫為“角角邊”或“AAS”。判定定理5（直角三角形）：如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊分別相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等，簡寫為“斜邊、直角邊”或“HL”。證明全等三角形的步驟：①準(zhǔn)備條件：先證明全等時(shí)需要用到的條件。②三角形全等書寫三步驟：-寫出在哪兩個(gè)三角形中。-寫出三個(gè)條件并用大括號括起來。-寫出全等結(jié)論。例如，已知AB=AD，BC=DC，求證△ABC≌△ADC。證明：在△ABC和△ADC中，AB=AD（已知）BC=DC（已知）AC=AC（公共邊）∴△ABC≌△ADC（SSS）角平分線是將一個(gè)角分成兩個(gè)相等角的射線。尺規(guī)作角的平分線的步驟：1.以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交OA于M，交OB于N。2.分別以M和N為圓心，大于1/2MN的長為半徑作弧。兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于C。3.作射線OC，射線OC即為所求。角平分線的性質(zhì)：1.角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等，用數(shù)學(xué)語言表示為QD⊥OA，QE⊥OB，點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上，因此QD＝QE。2.角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，用數(shù)學(xué)語言表示為QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE，因此點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上。軸對稱圖形是指將一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，則這個(gè)圖形就是軸對稱圖形。這條直線是這個(gè)圖形的對稱軸。軸對稱是指平面上的兩個(gè)圖形，將其中一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱，簡稱軸對稱。這條直線叫做對稱軸。兩個(gè)圖形中的對應(yīng)點(diǎn)（即兩圖形重合時(shí)互相重合的點(diǎn)）叫做關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)。需要注意的是，如果一點(diǎn)在對稱軸上，它的對稱點(diǎn)就是它本身。例：判斷以下說法的正確性：1、軸對稱圖形必有對稱軸（正確）2、軸對稱圖形至少有一條對稱軸（正確）3、關(guān)于某直線成軸對稱的兩個(gè)圖形必能互相重合（正確）兩個(gè)完全重合的圖形必定是軸對稱的。垂直平分線是指經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于該線段的直線，也稱為中垂線。軸對稱圖形具有以下性質(zhì)：1.如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。2.軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。線段的垂直平分線具有以下性質(zhì)：1.線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。2.與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。可以使用尺規(guī)作線段的垂直平分線（參見第63頁）。畫軸對稱圖形的方法如下：以△ABC和直線l為例，作出與△ABC關(guān)于直線l對稱的圖形。步驟如下：1.找到特征點(diǎn)。2.作出垂線。3.截取等長。4.依次連接。5.得到等腰三角形。等腰三角形是指兩條邊相等的三角形。在等腰三角形中，相等的兩邊都稱為腰，另一邊稱為底邊。兩腰的夾角稱為頂角，腰和底邊的夾角稱為底角。等腰三角形具有以下性質(zhì)：1.等腰三角形的兩底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。2.等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱“三線合一”）。例如，在△ABC中，若AB=AC，點(diǎn)D在AC上且BD=BC=AD，則有∠ABC=∠C=∠BDC=2x，且∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180，解得x=36，因此∠A=36°，∠B=∠C=72°。等邊三角形是指三邊相等的三角形，也稱為特殊的等腰三角形。等邊三角形具有以下性質(zhì)：三邊相等。等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，每個(gè)角都等于60度。我們可以通過以下定理來判定等邊三角形：三邊相等的三角形是等邊三角形，三個(gè)內(nèi)角都等于60度的三角形也是等邊三角形，有一個(gè)角為60度的等腰三角形也是等邊三角形。在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。例如，在直角三角形ABC中，如果∠ACB=90度，∠A=30度，那么BC=1/2AB。整式的乘法包括同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方和整式之間的乘法。同底數(shù)冪相乘時(shí)，底數(shù)不變，指數(shù)相加。冪的乘方時(shí)，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。積的乘方時(shí)，把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。在單項(xiàng)式相乘時(shí)，把它們的系數(shù)相乘，字母部分的同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。在多項(xiàng)式相乘時(shí)，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得積相加。同底數(shù)冪相除時(shí)，底數(shù)不變，指數(shù)相減。當(dāng)a不等于0時(shí)，a的任何次冪都等于1。在單項(xiàng)式相除時(shí)，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。在多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí)，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加。14.2乘法公式八、平方差公式兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。這個(gè)公式叫做乘法的平方差公式，即：(a+b)(a-b)=a^2-b^2。例如：運(yùn)用平方差公式計(jì)算：(3x+2)(3x-2)=(3x)^2-2^2=9x^2-4(b+2a)(2a-b)=(2a)^2-b^2=4a^2-b^2(-x+2y)(-x-2y)=(-x)^2-(2y)^2=x^2-4y^2九、完全平方公式兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方等于它們的平方和加上（或減去）它們的積的2倍。即：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2這兩個(gè)公式叫做乘法的完全平方公式。14.3因式分解十、因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做多項(xiàng)式的因式分解。也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式，即：一個(gè)多項(xiàng)式→幾個(gè)整式的積。注意：必須分解到每個(gè)多項(xiàng)式因式不能再分解為止。例如：x^2-1=(x+1)(x-1)十一、分解因式的方法1、提取公因式法如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提到括號外面，將多項(xiàng)式寫成乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提公因式法，即：ma+mb+mc=m(a+b+c)。例如：把下列各式分解因式①6x^3y^2-9x^2y^3+3x^2y^2=3x^2y^2(2x-3y+1)②p(y-x)-q(x-y)=(p+q)(y-x)③(x-y)^2-y(y-x)^2=(x-y)(x+y)2、運(yùn)用公式法運(yùn)用公式法中主要使用的公式有如下幾個(gè)：①a^2-b^2=(a+b)(a-b)（平方差公式）②a^2+2ab+b^2=(a+b)^2（完全平方公式）a^2-2ab+b^2=(a-b)^2（完全平方公式）例如：把下列各式分解因式①x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)②9x^2-6x+1=(3x-1)(3x-1)3、十字相乘法公式：x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)例如：把下列各式分解因式①x^2-5x+6=(x-2)(x-3)②a^2-a-2=(a-2)(a+1)4、分組分解法分組的原則：分組后要能使因式分解繼續(xù)下去。1、分組后可以提公因式。2、分組后可以運(yùn)用公式。例如：把下列各式分解因式①3x+x^2-y^2-3y=(x-y)(x+y)+3(x-y)=(x-y)(x+y+3)②x^2-2x-4y^2+1=(x-1)^2-4y^2=(x-2y-1)(x+2y+1)(x-1+2y)(x-1-2y)=(x-y)(x+y+3)分解因式的技巧：首先考慮提取公因式。對于二項(xiàng)式，考慮應(yīng)用平方差公