2020-2021學(xué)年朝陽第一高級中學(xué)高一年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年朝陽第一高級中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)

1.已知集合4={xGZ\x2<9},B={x|<2}，則4n)

?22

A.{-2,-1,0}B.{-2,-1,0,2}C.(-3,1)U(2,3)D.(|,3)

2.給出下列說法：

①命題“若x=kn(keZ),則sin2x=0”的否命題是真命題；

②命題“mxGR,2X2+X+1<V2"是假命題且其否定為“VxGR,2/+X+1>企”；

③已知a,b€R,則“a>b”是“2。>2》+1”的必要不充分條件.

其中說法正確的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

3.己知集合4={y|y=2"—l,x€R},B={x\x2—x—2<0),則

A.-1eAB.有篦C.=D.A\JB=A

4.若渤黜剛，使不等式歸-4|樸歸-郢<娥在虛上的解集不是空集的僦的取值是

A.?.<3,B.渤=口C.：af>3D.以上均不對

5.在一次拋硬幣的試驗中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了40

次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為()

A.0.4,0.4B.0.5,0.5C.0.4,0.5D.0.5,0.4

6.已知x>0,則>=%+/的最小值為()

A.4B.16C.8D.10

7.有4個命題：①對于任意靠‘電鯉口訥第笳峰^巴②存在潟圖鯽嘏敕&、心廣

冬年J54

*11

③對于任意的第您鯽?*''y腌u軍；④對于任意的家您斛佃魏Cr零

43G

其中的真命題是()

A.①③B.①④C.②③D.②④

8.已知/(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xW0時，/(x)=2L則/(“)的值域為()

A.[1,+8)B.(0,1)C.(0,1]D.(―8,1]

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.下列說法正確的有()

A.兩條相交直線確定一個平面

B.平行于同一平面的兩條直線平行

C.標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了一組數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度

D.若某種獎券的中獎率為0.1,則抽獎10次必有一次中獎

10.下列命題中，不正確的是()

A.若3為單位向量，且五〃落則為=|中3

B.若明/「且石〃高貝暇〃不

C.a-a-a=|a|3

D.若平面內(nèi)有四點4,B,C,D,則必有而+前=而+而

11.已知函數(shù)1'驍°，則下列說法不正確的是()

A./(x)是非奇非偶函數(shù)B.是增函數(shù)

C.f(x)是周期函數(shù)D.f(x)的值域是［-1,+8)

12.已知函數(shù)=:。/。，其中實數(shù)aeR,則下列關(guān)于工的方程產(chǎn)色)一Q+a).

/Q)+a=0的實數(shù)根的情況，說法正確的有()

A.a取任意實數(shù)時，方程最多有5個根

B.當(dāng)二/<a<竽時，方程有2個根

C.當(dāng)。=士立時，方程有3個根

2

D.當(dāng)aW-4時，方程有4個根

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知方程log?”+x-m=0在區(qū)間(1,2)上有實根，則實數(shù)m的取值范圍是.

14.設(shè)基函數(shù)y=/Q)的圖象經(jīng)過點(8,),則/(全)的值為.

15.已知向量Q=(2X+1,4),2=(2—%3)，若不〃Z，則實數(shù)x的值等于.

16.已知/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)0WxW1時,/(x)=y，當(dāng)％>0時,f(%+1)=f(x)+/(I),

若直線y=kx與函數(shù)y=/(x)的圖象恰有11個不同的公共點，則實數(shù)k的取值范圍為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.(本小題滿分14分)

已知命題少：實數(shù)加滿足刊2-7a初+12/<0(。>0)，命題夕：實數(shù)出滿足方程

22

」—+上一=1表示焦點在V軸上的橢圓，若一10是一1。的充分不必要條件，求〃的取值范圍.

m-17.-m

18.從甲、乙兩個班級各隨機抽取10名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績進行統(tǒng)計分析，兩班成

績的莖葉圖如圖所示，成績不小于90分為及格.

(/)試完成甲班制取10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績頻率分布表，并估計甲班的及格率.

分組頻數(shù)頻率

[70,80)

[80,90)

[90J00)

[100,110)

(〃)從每班抽取的同學(xué)中各抽取一人，求至少有一人及格的概率.

19.設(shè)函數(shù)g(x)=3*,h(x)=9X.

(I)解關(guān)于x的方程h(x)-llg(x)+2/i(l)=0；

(口)令下。)=舒，求尸島)+尸(急)+…+/(翁+尸(勃的以

x

20.已知函數(shù)/(r)=logl(4+l)+kc(kwR)是偶函數(shù).

⑴求f(0)；

(2)求實數(shù)上的值

17

(3)若在XC［凡+00)時，/(X)最小值為log4—，求a的值

4

21.給定兩個長度為1的平面向量成和赤，它們的夾角為120。.B-----太

⑴求|成+而|;\/)

0A

(2)如圖所示，點C在以。為圓心的圓弧才8上變動.若無=丫瓦？+丫赤，其中x,y&R,求x+y的

最大值？

22.設(shè)二次函數(shù)/(%)=Q/+bx+c,其中a、b、cER,

(1)若b=2(a+l),c=9a+4,且關(guān)于x的不等式」<。的解集為R,求a的取值范圍；

(2)若a、b、cez,且"0)、〃1)均為奇數(shù)，求證：方程;?(x)=0無整數(shù)根；

(3)若a=l,b=2k-l,c=k2,求證：方程f(x)=0有兩個大于1的根的充要條件是k<—2.

參考答案及解析

1.答案：B

12

解析：解：集合/={%GN\x2<9}={-2,—1,0,1,2),B=[x|—<2}=[x\x<1或%>

則4nB={-2,-1,0,2},

故選：B.

先求出集合4和B,由此能求出ACB.

本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基

礎(chǔ)題.

2.答案：C

解析：

求出使sm2x=0的x值判斷①；由不等式的性質(zhì)得到2退+工+1>&并寫出原命題的否定判斷②；舉

例說明③正確.

本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了充分條件和必要條件的判定方法，考查了命題的否定，

是基礎(chǔ)題.

解：命題''若x=eZ),則sin2x=0"的否命題為“若x力€Z),則sin2x#0",舉反

例：/；.則sin2_rsinrr0.故其否命題為假命題，故①錯誤；

2

2M+X+I=2(x+i)+j>2J>V2.命題“次GR,2兩工+1<式"是假命題，其否定為“以6R,

2^+x+i之魚”，故②正確；

當(dāng)a=0,b=-1時，由a>b不能得到2a>2b+1,故充分性不成立;2a>2b+1>2b,又y=2”在

R上單調(diào)遞增，故a>b,故必要性成立;則“a>b”是“2。>2〃+1”的必要不充分條件,故③正

確.

???正確的命題是②③.

故選：C.

3.答案:D

解析：本題考查指數(shù)運算和一元二次不等式的解法，以及集合的有關(guān)問題，根據(jù)題目給定的條件，

對選項一一驗證即可.

解:=刎辱,*一年，邸=標(biāo)|<2E<鷺,二滴心通=痣，

故選D

4.答案：C

解析：試題分析：不等式h-41H,-郢《：翔,在虛上的解集不是空集，即不等式歸-用開歸-期:螂能

夠成立。而由絕對值的幾何意義，歸-4代帕-制表示數(shù)軸上點到定點3,4的距離之和。其最小值為

1,所以，使不等式歸-叫法卜.,-郅《爭在勰上的解集不是空集的函的取值是堿>a，選c。

考點：本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值的幾何意義。

點評：中檔題，注意轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題，利用絕對值的幾何意義解題。

5.答案：C

解析：解：某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了40次，

那么出現(xiàn)正面朝上的頻率為喘=0.4.

由于每次拋硬幣時，正面朝上和反面朝上的機會相等，都是:，

故出現(xiàn)正面朝上的概率為1=0.5,

故選：C.

由題意利用事件發(fā)生的頻率和概率的定義，得出結(jié)論.

本題主要考查事件發(fā)生的頻率和概率的定義，屬于基礎(chǔ)題.

6.答案：C

解析：解：1%>0,y=%+竺22lx?—=8,

xyjx

當(dāng)且僅當(dāng)％=即x=4時取等號，

?1-y=x+?的最小值為8.

故選：C.

根據(jù)x>0,y=x+?直接利用基本不等式求出最小值即可.

本題考查了利用基本不等式求函數(shù)的最小值，考查了計算能力，屬基礎(chǔ)題.

7.答案：A

解析：試題分析：

命題：①畫出函數(shù)理=%蜒“根=酷』制的圖，如左圖，作直線般=，與兩函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)為

函數(shù)的底數(shù)所以城=1群周=3,所以由圖知對于任意說‘管觸口*弱即1需呼1嗨^巴所以命題：①是

現(xiàn)國ii4

真命題.

命題：②畫出函數(shù)解=&;陋=￡、’的圖，如左圖，作直線富=n與兩函數(shù)圖像交點的縱坐標(biāo)為函

1.4

數(shù)的底數(shù)所以闌=1做寓=工，所以由圖知對于任意制圖《虬卷Q&T臥&J所以命題：②是假命

4!3；'4

題.

命題：③當(dāng)匹宦撼虬當(dāng)時“占%&支=2,螭覲宣即蜘購g=：!所以命題：③是真命題.

4T￥不4司

命題：④由命題：①畫中出函數(shù)圖像知醪=崛強森與察=￡在常/姒既有交點，又因為醪=崛強需與

解=6'互為反函數(shù)關(guān)于解=般對稱，所以摩=1晦"客與霹=Er在塞生輾"遂有交點，所以命題：④

是假命題.故選A

考點：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖像隨底數(shù)變化特征及利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用.

8.答案：C

解析：解：當(dāng)XWO時，/（X）=2xe（o,l],

???函數(shù)/（X）是偶函數(shù)，.??函數(shù)/（X）的值域為（0,1]，

故選：C.

先求出當(dāng)x<0時函數(shù)的值域，結(jié)合偶函數(shù)的值域與x<0時的值域相同進行判斷即可.

本題主要考查函數(shù)值域的計算，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及偶函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.比較基

礎(chǔ).

9.答案：AC

解析：解：對于4

如圖任取直線a上與。不重合的另一點P,直線b上與。不重合的另一點Q,

則點。，P,Q三點不共線，公里2：不在同一條直線上的三點可以確定一個平面，

所以過點。，P,Q有且只有一個平面a,

由。Ga,Pea,結(jié)合公里一可得：aua,同時bua,

所以過兩條相交直線a,b有且只有一個平面a,即兩條相交直線確定一個平面，故4正確；

對于平行于同一平面的兩條直線平行，相交，異面，故B錯誤；

對于C：標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了一組數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，故C正確；

對于D：若某種獎券的中獎率為0.1,只能表示抽一次中獎的可能性為0.1,不能表示抽獎10次必有一

次中獎，故。錯誤；

故選：AC.

由立體幾何的線面，面面的位置關(guān)系，即可判斷4B是否正確；由標(biāo)準(zhǔn)差的定義即可判斷C是否正

確；由概率的意義即可判斷。是否正確.

本題考查命題真假的判斷，屬于中檔題.

10.答案：ABC

解析：解：對于4：E為單位向量，且行〃落則五=±|五|之故A錯誤；

對于若丘〃近且3〃口6），貝囁〃乙故B錯誤；

對于C：a-a-a=|a|2-a,故C錯誤;

對于D：平面內(nèi)有四點4,B,C,D,則必有而+/=前+而，整理得尼-而-筋=反，

故。正確；

故選：ABC.

直接利用向量的線性運算，向量的加法運算，向量的模，向量的共線的應(yīng)用判斷4、B、C、。的結(jié)論.

本題考查的知識要點：向量的線性運算，向量的加法運算，向量的模，向量的共線，主要考查學(xué)生

的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：BC

解析：解：當(dāng)x>0時，/(%)=/+1為增函數(shù)，

當(dāng)XWO時，=不是單調(diào)函數(shù)，則的圖象不關(guān)于原點對稱，也不關(guān)于y軸對稱，

函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A正確；

函數(shù)f(x)在定義域中不單調(diào)，故B錯誤；

函數(shù)在(0,+8)上不是周期函數(shù)，則在定義域中不是周期函數(shù)，故C錯誤；

當(dāng)x>0時，/(x)>1；當(dāng)xW0時，/(x)G[-1,1].

可得/(?的值域為[-1,+8),故。正確.

故選：BC.

由分段函數(shù)的對稱性判定4由XW0時函數(shù)/(x)不單調(diào)判定B；由周期函數(shù)的定義判斷C；求解函數(shù)

的值域判斷D.

本題考查分段函數(shù)單調(diào)性、奇偶性及周期性的判定，考查推理論證能力，是基礎(chǔ)題.

12.答案：CD

解析：解：關(guān)于工的方程產(chǎn)(%)-(1+a)?/(%)+a=0,即[/(%)--a]=0,解得/(%)=1

或/(x)=a,

函如⑴北咚

\人JIj人vz

當(dāng)％>0時，/(%)=ln(x+1)單調(diào)遞增,

當(dāng)％<0時，/(%)=x2-2ax+!=(%—a)2+1—a2,對稱軸為%=a,判別式△=4(a+1)(?！?).

①當(dāng)aNO時,函數(shù)f(x)的圖象如下:

5x

由圖象可知，方程/(x)=1有1個根,

當(dāng)a>1時，方程/(x)=a有2個根,

當(dāng)0WaW1時，方程/(X)=a有1個根,

故當(dāng)a>1時，已知方程有3個根，當(dāng)04a<l時，已知方程有2個根，當(dāng)a=l時，已知方程有1個

根;

由兩個圖象可知，—lWa<0時，方程/(x)=1有2個根，方程/(x)=a沒有根，故已知方程有2個

根;

③當(dāng)a<-l時，函數(shù)/'(x)的圖象如下:

方程f(x)=1有2個根，下面討論最小值1一。2與&的關(guān)系，由i—a2<a,解得a<土叵

2

當(dāng)a〈二#時，l-a2<a,直線y=a如圖①，方程/l(x)=&有2個根，故已知方程有4個根；

當(dāng)￡1=三亞時，1一￡12=￡1,直線y=a如圖②，方程/(x)=。有1個根，故已知方程有3個根；

當(dāng)三更<a<—1時，l—a2>a,直線y=a如圖③，方程/(x)=a沒有根，故已知方程有2個根.

綜上可知，a取任意值時，方程最多有4個根，故選項A錯誤：

當(dāng)士走<。<1時，方程有2個根，當(dāng)a=l時，方程有1個根，當(dāng)a>l時，方程有3個根，故選項B

2

錯誤；

當(dāng)a="時，方程有3個根，故選項C正確；

2

當(dāng)a$-4<y時，方程有4個根，故選項￡>正確.

故選：CD.

先化簡方程為f(x)=1或/(x)=a,再對a進行分類討論，結(jié)合圖象來確定/(x)=1和/(x)=a分別

有幾個根，根據(jù)結(jié)果對選項逐一判斷即可.

函數(shù)的零點與方程的根的綜合應(yīng)用，解決函數(shù)零點或方程根的問題，常用的方法有：(1)方程法(直

接解方程得到函數(shù)的零點)；(2)圖象法(直接畫出函數(shù)的圖象分析得解)；(3)方程+圖象法(令函數(shù)為

零，再重新構(gòu)造兩個函數(shù)，數(shù)形結(jié)合分析得解).屬于中檔題.

13.答案：(1,3)

解析：解：方程log2》+x—M=o在區(qū)間(1,2)上有實根，

?,?函數(shù)/(久)=log2x+%-m在區(qū)間(1,2)上有零點，

???f(x)=log2%+%-機在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，

即(1-7n)(3—m)<0,

即(m—l)(m—3)<0,

解得1VmV3,

故答案為：(1,3).

由方程log2%+%-ni=0在區(qū)間(1,2)上有實根，則函數(shù)/(%)=log2%+X-6在區(qū)間(L2)上有零點，

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的零點存在定理可知f(1)/(2)<0,解得即可.

本題考查了函數(shù)零點的存在定理，屬于基礎(chǔ)題.

14.答案：8

解析：解：設(shè)幕函數(shù)f(x)=x。，a為常數(shù)，

???幕函數(shù)y=/'(x)的圖象經(jīng)過點(8,

/(8)=8a=p即a=_/

1

???/(x)=X-3，

忌)=(全產(chǎn)=端*=⑥T=8.

故答案為：8.

設(shè)出幕函數(shù)/(%)=%a,a為常數(shù)，把點(8弓)代入，求出待定系數(shù)a的值，得到幕函數(shù)的解析式，進

而可求/(2)的值.

本題考查幕函數(shù)的定義，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及求函數(shù)值的方法.屬于基礎(chǔ)題.

15.答案：：

解析：解：因為向量不=(2x+1,4),Z=(2—%3)，

由乙/落

所以3(2%+1)-4(2-x)=0,解得

故答案為也

根據(jù)題目給出的向量的坐標(biāo)，直接由兩個向量共線的坐標(biāo)表示列式求解x的值.

本題考查了平行向量與共線向量，考查了平行向量的坐標(biāo)運算，解答的關(guān)鍵是熟記坐標(biāo)運算公式，

是基礎(chǔ)題.

16.答案：(2V6-4,4V3-6)

y=/(x)的圖象恰有11個不同的公共點，

則的<k<k2.

故答案為(2遍-4.4V3-6).

作出/(x)的圖象，根據(jù)交點個數(shù)判斷直線的臨界位置.根據(jù)導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系列出方程解出.

本題考查了函數(shù)的圖象變換，導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系，圖象的交點個數(shù)與零點的關(guān)系，屬于中檔題.作

出函數(shù)圖象是關(guān)鍵.

13

17.答案：—ia<—.

解析：解：由m2_7am+l2a2<0(a>0)，貝i]3a<m<4a，即命題p：3a<m<4a，

由「一十」——=1表示焦點在y軸上橢圓可得：1>0,,

w-l2-m2

3

即命題g：l<w<-，由非Q為非口充分不必要條件，貝忖是Q的充分不必要條件，

3a>l?,,

1313

從而有：,3>—<a<—,故答案為：.

4aq3838

18.答案：解:(/)

分組頻數(shù)頻率

[70,80)30.3

[80,90)30.3

[90,100)20.2

[100,110)20.2

估計甲班的及格率為0.2+0.2=0.4,

(//)甲班有6人不及格，編號為a,b,c,d,e,f；

乙班有5人不及格，編號為1,2,3,4,5.

從每班抽取的同學(xué)中各抽取一人，

共有10xl0=100個基本事件.

其中事件“從兩班10名同學(xué)中各抽取一人，兩人都不及格”記作4

則4的基本事件有：al,a2,a3,a4,a5；

bl,b2,63,b4,b5；

cl,c2,c3,c4,c5；

dl,d2,d3,d4,d5；

el,e2,e3,e4,e5；

fl,f2,/3,f4,75,共30個基本事件，

則P（/）=21=三，

對立事件“從每班抽取的同學(xué)中各抽取一人，

至少有一人及格”的概率為1一卷

解析：（/）利用莖葉圖，能完成甲班10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績頻率分布表，并能估計甲班的及格率.

（〃）先求出從兩班10名同學(xué)中各抽取一人，兩人都不及格的概率，再利用對立事件求“從每班抽取

的同學(xué)中各抽取一人，至少有一人及格”的概率.

本題考查頻率分布表的制作和概率的求法，是基礎(chǔ)題.解題時要認真審題，仔細解答，求概率時要

注意間接法的合理運用.

19.答案：解：(I)根據(jù)題意，函數(shù)g(x)=3\h(x)=9x,

B|J9x-llx3x+18=0,

設(shè)t=3”,則有12-lit+18=0,

解可得：1=2或￡=9,

若3丫=2,貝收=log32,若3乂=9,則x=2,

故方程的解為2和log32；

（口）根據(jù)題意，中）=舒二號，貝雙1—%）=號=磊，

plljF(x)+F(1-x)=1,

故尸（/）+尸（嘉）+…+尸（黑）+尸（髭）=尸（薪）+尸（黑）+尸（施）+?（霆）+…-=

1009.5.

解析：（1）根據(jù)題意，原方程即/一11*3'+18=0,設(shè)t=3H由換元法可得12-lit+18=0,

解可得t的值，進而可得比的值，即可得答案；

（2）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得F（l-x）的值，進而可得“x）+F（l-x）=l,據(jù)此分析可得答

案.

本題考查函數(shù)值的計算，涉及指數(shù)基的計算，屬于基礎(chǔ)題.

20.答案：解：⑴/(0)=log42=；；

(2)因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故/(1)=/(-1)

log45+上=log41?一上

解得k=--；

2

(3)由(2)將原函數(shù)可以化簡為/(x)=log4=log4(2"+

因為函數(shù)y=log4X為(0,+8)上的單調(diào)增函數(shù)

?2、"

所以只需要(12，4

2"+3可取到二

I2*4

解得2*之4,且2*=4時函數(shù)剛好取得最小值，所以a=2.

解析：⑴將x=0代入即可求解；(2)因為f(x)為偶函數(shù)，利用/(—1)=門1)即可；(3)將A的值代入

/(%),然后根據(jù)對數(shù)的運算法則將/Xx)化簡為/(x)=log4=4=log4(2"+/)，然后利用單調(diào)

性即可求出a的值.

21.答案：解：(1)???平面向量初和赤的兩個長度為1,它們的夾角為120。.

.-.OA2=0B2=1，OA-OB=~l

\OA+'OB\=J(OA+OB)2=JoA2+OB2+20A--0B=1(4分)

(2)如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，則4(1,0),C(cosd.sind).

由浙―a+y而，得cos。-后,sin"5.

即x=cose+?simy=^sinO.

則％+y=y/3sin0+cosd=2sm(0+-)

6

又ee[0,爭，則0+注碎，引，

故當(dāng)。=寸，x+y的最大值是2....(14分)

解析：⑴由已知中兩個長度為1的平面向量就和麗，它們的夾角為120。我們可得就2=詁2=],

OA-OB=-\,進而將|OA+OB|化為拈才+而2+2訕.赤的形式,代入即可得到答案.

(2)由已知中C在以。為圓心的圓弧ZB上變動.我們可設(shè)C(cos。,sin。)，結(jié)合元=x6?+y