2020-2021學(xué)年度高一下數(shù)學(xué)期末全真模擬卷

2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試全真模擬卷

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.復(fù)數(shù)z滿足|z-3/|=2（/為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z-4模的取值范圍是（）

A.[3,7]B.[0,5]C.[0,9]D.以上都不對(duì)

【答案】A

【解答】解：由|z-34=2,可知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為以8（0,3）為圓心，以2為半徑的圓上,

如圖：

則復(fù)數(shù)z-4模的最小值為|A8|-2=5-2=3,最大值為|A8|+2=5+2=7.

???復(fù)數(shù)z-4模的取值范圍是[3,7].

故選：A.

2.將一個(gè)總體分為甲、乙、丙三層，其個(gè)體數(shù)之比為5：4：1,若用分層抽樣的方法抽取容量為250的樣

本，則應(yīng)從丙層中抽取的個(gè)體數(shù)為（）

D.100

【答案】A

【解答】解：因?yàn)榧?、乙、丙三層，其個(gè)體數(shù)之比為5：4：1,

所以丙層所占的比例為一一=0.1,

5+4+1

所以應(yīng)從丙層中抽取的個(gè)體數(shù)為0.1X250=25,

故選：4

3.排球比賽的規(guī)則是5局3勝制（5局比賽中，優(yōu)先取得3局勝利的一方，獲得最終勝利，無平局），在

某次排球比賽中，甲隊(duì)在每局比賽中獲勝的概率都相等，均為2,前2局中乙隊(duì)以2：0領(lǐng)先，則最后乙

隊(duì)獲勝的概率是（

【答案】B

【解答】解：法一：根據(jù)題意，前2局中乙隊(duì)以2：0領(lǐng)先，則最后乙隊(duì)獲勝，有3種情況,

第三局乙隊(duì)獲勝，其概率為Pi=上，

3

第三局甲隊(duì)獲勝，第四局乙隊(duì)獲勝，其概率為。2=2義工=2,

339

第三、四局甲隊(duì)獲勝，第五局乙隊(duì)獲勝，其概率為P3=2X2XL=_￡,

33327

則最后乙隊(duì)獲勝的概率P=PI+P2+P3=』+2+_L=29；

392727

法二：根據(jù)題意，前2局中乙隊(duì)以2：0領(lǐng)先，

若最后甲隊(duì)獲勝，甲隊(duì)需要連勝三局，則甲隊(duì)獲勝的概率P'=（2）3=_§_,

327

則最后乙隊(duì)獲勝的概率P=I-P'=i-

2727

故選：B.

4.在△A8C中，點(diǎn)P滿足而=2衣，過點(diǎn)P的直線與AB,AC所在的直線分別交于點(diǎn)/W,N,若高二人族,

AN=HAC（A,n>0）,則2入+口的最小值為（）

A.B.3C.型D.4

33

【答案】A

【解答】如圖所示，BP=BA+AP-

PC=PA+BP.

又加=2五，

二-AB+AP=2（AC-AP）?

族=-語抻=在正僚而

又戶、M./V三點(diǎn)共線，

???--1--十+”2_—±1，

3九3|1

當(dāng)且僅當(dāng)u=2入時(shí)取“=”，

，2入+U的最小值是反.

3

故選：A.

5.某公司生產(chǎn)了一批新產(chǎn)品10000件，現(xiàn)從這些產(chǎn)品中隨機(jī)抽取200件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,

測(cè)量結(jié)果得如圖頻率分布直方圖，估計(jì)該公司的這批新產(chǎn)品的這項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的件數(shù)為

【答案】D

【分析】由頻率分布直方圖求出該公司的這批新產(chǎn)品的這項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的頻率，由此能求出該

公司的這批新產(chǎn)品的這項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的件數(shù).

【解答】解：由頻率分布直方圖得：

該公司的這批新產(chǎn)品的這項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的頻率為：

(0.033+0.024+0.008+0.002)X10=0.67,

???該公司的這批新產(chǎn)品的這項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的件數(shù)為：

0.67X10000=6700.

故選：D.

6.如圖，在△ABC中，AN=2NC.P是BN上一點(diǎn),若點(diǎn)=￡標(biāo)+工正，則實(shí)數(shù)t的值為()

3

B

A.AB.2c.AD.3

6324

【答案】c

【解答】解：?.?屈=2前，

??AC或AN，

AAP=tABAC=tABAN'且&P，N三點(diǎn)共線，

t」=l，解得

122

故選：c.

7.如圖，三棱錐5rBe中，平面SAC_L平面ABC,過點(diǎn)8且與AC平行的平面a分別與棱SA、SC交于E,

F,若SA=SC=BA=BC=2,AC=2/2，則下列結(jié)論正確的序號(hào)為（）

①AC〃EF；

②若E,F分別為SA,SC的中點(diǎn)，則四棱錐B-AEFC的體積為返；

2

③若E,F分別為SA,SC的中點(diǎn)，則BF與SA所成角的余弦值為返；

3

@SC1.BE.

A.②③B.①②④C.①②③D.①②

【答案】C

【解答】①：AC〃平面BEF,平面SACC平面BEF=EF,ACu平面SAC,

：.AC//EF,即①正確；

②取AC的中點(diǎn)M,連接BM、SM,

"：BA=BC,：.BMLAM,

又平面SACJ_平面A8C,平面SACC平面A8C=AC,8/Wu平面A8C,

平面SAC,即點(diǎn)B到平面AEFC的距離為BM=圾.

；SA=5C=2,AC=2&,...△SAC為等腰直角三角形，

-''SAEFC—S&SAC~S&sEf——S>4*SC--SE'SF——.

222

VB-AEFC——BM'SAEFC——X,即②正確；

3322

B

③連接MF,

VM>F分別為AC、SC的中點(diǎn)，.?.FM〃S4FM=lsA=l,/8F/W即為BF與SA所成角.

2

在RtZ\BMF中，tanNBFM=刈l=返=加,

_FM1

/.cosZBFM=返，

3_

；.8F與SA所成角的余弦值為返，即③正確；

3

④連接EM,

由②知，8M_L平面SAC,ABM1SC,

若5C_LBE,VBMC\BE=B,BM、BEu平面BME,，SCJ_平面8/WE,

又EMu平面B/WE,：.SC±EM,這與SC〃EM相矛盾，即④錯(cuò)誤.

,正確的有①②③，

故選：C.

8.如圖，在△ABC中，AD1BC,垂足為D,BD：DC：AD=2：3：6,則/8AC的度數(shù)是（）

A.—B.—C.—D.—

3462

【答案】B

【分析】由題意和直角三角形中正切函數(shù)求出tan/BAD、tanZCAD,利用兩角和的正切函數(shù)求出tanZBAD

的值，由/BAC的范圍和特殊角的正切值求出ZBAC；

【解答】解：VBD：DC：AD=2：3:6,AD1.BC,

...tanNa4D=?5_=工tan/CAD=2?>=」，

AD3AD2

則tan/BAC=tan(ZBAD+ZCAD)1,

Hxi

又NBACe(0,TT),

貝!|/BAC=上;

4

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.全對(duì)得5分，少選得3分，多選、錯(cuò)選不得

分.

9.從裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么不互斥的兩個(gè)事件是（）

A.“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”

B.“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”

C.“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”

D.“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”

【答案】AB

【分析】根據(jù)互斥事件的定義可得.

【解答】解：”至少有一個(gè)黑球”中包含“都是黑球，A正確；

“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”可能同時(shí)發(fā)生，8正確；

“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”不可能同時(shí)發(fā)生，C不正確：

“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”不可能同時(shí)發(fā)生，。不正確.

故選：AB.

10.如圖，在以下四個(gè)正方體中，直線A8與平面CDE垂直的是（）

【分析】對(duì)于4由/84)=三，CE//AD,得直線A8與平面CDE不垂直；對(duì)于8,由CE_L4B,DE1AB,

4

得直線AB_L平面CDE；對(duì)于C,由AB與CE所成角為乃，知直線A8與平面CDE不垂直；對(duì)于D,

3

推導(dǎo)出DE_L48,CErAB,從而A8_L平面COE.

【解答】解：對(duì)于A,VZB4D=—,CE〃/W,與CE不垂直，

4

：CEU平面CDE,.?.直線AB與平面CDE不垂直，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,'CCELAB,DE±AB,CECyDE=E,二直線AB_L平面8￡,故8正確；

對(duì)于C,A8與CE所成角為三，.,.直線A8與平面CDE不垂直，故C錯(cuò)誤；

3

對(duì)于D,如圖，\'DE±BF,DELAF,BFDAF=F,平面ABF,

?.,48<=平面48尸，，?！阓1_48,同理得CEJ_AB,

\'DEC\CE=E,.?.A8_L平面CDE,故D正確.

【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面垂直

11.中國籃球職業(yè)聯(lián)賽(CBA)中，某男能球運(yùn)動(dòng)員在最近兒次參加的比賽中的得分情況如表:

投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)

1005518

記該運(yùn)動(dòng)員在一次投籃中，投中兩分球?yàn)槭录嗀,投中三分球?yàn)槭录﨎,沒投中為事件C,用頻率估計(jì)概率

的方法，得到的下述結(jié)論中，正確的是()

A.P⑷=0.55B.P(B)=0.18

C.P(C)=0.27D.P(B+C)=0.55

【答案】ABC

【分析】利用古典概型概率計(jì)算公式直接求解.

【解答】解：記該運(yùn)動(dòng)員在一次投籃中，投中兩分球?yàn)槭录?投中三分球?yàn)槭录?,沒投中為事件C,

由古典概型得：

P(4)=至"=0.55,故A正確；

100

P(8)=一14_=0.18,故8正確；

100

P(C)=1-P(4)-P(S)=1-0.55-0.18=0.27,故C正確；

P(B+C)=P(8)+P(C)=0.18+0.27=0.45,故。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

12.RtZV?BC中，ZABC=90Q,AB=如,BC=L竺以下正確的是()

|PA||PBIIPCI

A.Z4PB=120°B.NBPC=120°C.2BP=PCD.AP=2PC

【答案】ABCD

【分析】根據(jù)平面向量的平行四邊形法則判斷A，8,構(gòu)造相似三角形判斷C,D.

【解答】解：在直線外,PB,PC上分別取點(diǎn)M,N,G,使得|而|=|由|=|同|=1，

以PM,PN為鄰邊作平行四邊形P/MQ/V,則而+而=同，

W-+基l-+W—=d即而+而+而=0

|PA||PBIIPCI

PQ+PG=o.，P，G,。三點(diǎn)共線且PQ=1,

故△PMQ和△PNQ均為等邊三角形，

：.ZAPB=ZBPC=ZAPC=120°,故4正確，B正確;

?；AB=M，BC=1,ZABC=90°，：.AC=2,ZACB=60°，

在△ABC外部分別以BC、AC為邊作等邊三角形BCE和等邊三角形ACD,

則8,C,。三點(diǎn)共線，A,P,E三點(diǎn)共線，

：.ZBCD=120Q,故NBCD=N8PC,

...更^^」，gppc=2BP,故C正確，

CPCD2

同理可得：△APCS/SACB,

...”2￡=2,即AP=2PC,故。正確.

CPBC

故選：ABCD.

三.填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)復(fù)數(shù)z=l+2（其中，?為虛數(shù)單位），貝Hz|=.

i

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可求出結(jié)果.

【解答】解：z=l+g=l-2i,

1?⑶=yj12+(-2)2=泥，

故答案為：^5-

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模

14.從m個(gè)男生和c個(gè)女生（10/m>nN6）中任選2個(gè)人當(dāng)班長(zhǎng)，假設(shè)事件A表示選出的2個(gè)人性別相

同，事件8表示選出的2個(gè)人性別不同，如果A的概率和B的概率相同，貝U（m,"）可能為.

【答案】（10,6）

c2+c2

【分析】由A的概率和8的概率相同，得至小-工一工=T-上由此能求出（m,n）可能取值.

Lm-hiLm-hi

【解答】解：從m個(gè)男生和n個(gè)女生（10\m>n》6）中任選2個(gè)人當(dāng)班長(zhǎng)，

假設(shè)事件4表示選出的2個(gè)人性別相同，事件B表示選出的2個(gè)人性別不同，

A的概率和8的概率相同，

C：+C：clcl

「2廣2

Um-inIm-Hi

整理，得Cm-n）占m+c,

則（m,n）可能為（10,6）,

故答案為：（10,6）.

【知識(shí)點(diǎn)】互斥事件的概率加法公式

15.如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=3,D,E與M,N分別是A8,AC的三等分點(diǎn)，且希?施=-1，則

cos4=,AB-BC=.

【分析】可取邊BC的中點(diǎn)為。，然后以點(diǎn)。為原點(diǎn)，以直線8C為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)。c

=。，然后可得出A,B,C的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出D,E,M,N的坐標(biāo),

從而得出向量而，施的坐標(biāo)，從而根據(jù)DN?ME=-1即可求出然后即可求出向量

M,AC>標(biāo)的坐標(biāo)，從而可求出cosA和AB?BC的值.

【解答】解：取BC的中點(diǎn)為。，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，直線BC為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)

OC=a,a>0,則:

A（0,9-a2）?B（-a,0）'c（o<°）',E（一冬，a）>

oooo

嗚.嗎耳N號(hào),厚1），

，5iJ=（a,-也工），亞=（-a,-耳￡），

OO

2

DN-ME=-a2+^y-=-l'解得。=房，

???A（0,

.一■?一“9],36

,AB?AC.553

lABllACl=3X3"5瓦書嘖X笈卷

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算

16.已知長(zhǎng)方體ABCD-4B1GD1，48=稱，AD=2,AA]=2?，已知P是矩形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，力]與平面

A8CD所成角為匹，設(shè)P點(diǎn)形成的軌跡長(zhǎng)度為a,則tana=；當(dāng)JP的長(zhǎng)度最短時(shí)，三棱錐5-

3—

DPC的外接球的表面積為

【分析】因?yàn)橐?與平面ABCD所成角0為工，所以可得AP=2,即P點(diǎn)的軌跡為以A為圓心，以2為半

3

徑的圓與矩形ABCD的交點(diǎn)即征，由矩形的邊長(zhǎng)可得質(zhì)的值，進(jìn)而求出它的正切值，當(dāng)QP的

長(zhǎng)度最短時(shí)，而JP=JccJ+CP2，所以當(dāng)CP最小時(shí)，GP最小，而當(dāng)4P,Q三點(diǎn)共線時(shí)，

CP最小，求出CP的值，進(jìn)而由余弦定理求出DP,求出三角形。CP的外接圓的半徑，由。。1，面

CDP,所以三棱錐5-DCP的外接球的球心為過底面三角形DCP的外接圓的圓心的垂線與中截面

的交點(diǎn)，由外接球的半徑，和高的一半，由勾股定理可得R的值，進(jìn)而求出外接球的表面積.

【解答】解：在長(zhǎng)方體的底面矩形A8CD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P,連接AP,

因?yàn)?1與平面A8CD所成角。為？L,AA\=2北,所以tanO="l=2Za=?,所以AP

3APAP

=2,

所以P點(diǎn)的軌跡為以A為圓心，以2為半徑的圓，與底面矩形8c的交點(diǎn)為E,D,

即P的軌跡為圓弧加，連接AE,

3,

在△A8E中，cos/EA8=坐=2=3,所以s\nZDAE=cosZEAB=旦，所以arcsinZD4E=2,

AE2444

所以a=DE=2?NDAE，可得a為鈍角,

所以sina=sin(2arcsinZD4E)—2,—3M7.,.,.cosa=-A,

4488

所以tana=-35;

當(dāng)CiP的長(zhǎng)度最短時(shí)，而JP=JcC[2+cp2,所以當(dāng)CP最小時(shí)，JP最小,

而當(dāng)A,P,Q三點(diǎn)共線時(shí)，CP=AC-AP=36產(chǎn)2=_1?最小，

3_

連接DP,由于cos/DCP=^=J2------^=3,

A。J22+(^)25

所以在三角形CDP中，由余弦定理可得DP=VCD2-K：P2-2CD-CP-COSZDCF=

KT"嚕

Via

而sin/OCP=^,設(shè)三角形CDP的外接圓的半徑為r,則2r=一比_10V7o.

5sinZDCP三~2~,

-5

所以r=叵,

4

由DDi面CDP,所以三棱錐Di-DCP的外接球的球心為過底面三角形DCP的外接圓的圓心的

垂線與中截面的交點(diǎn),

設(shè)外接球的半徑為R，則R2=?+(DD］.)2=也+3=空,

2168

所以外接球的表面積S=4irR2=型也

2

四.解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

17.在某次數(shù)學(xué)考試中，小江的成績(jī)?cè)?0分以上的概率是X,在［80,90］的概率是0.48,在［70,80)的概

率是0.11,在［60,70)的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07.計(jì)算：

(I)x的值；

(n)小江在此次數(shù)學(xué)考試中取得so分及以上的概率；

(III)小江考試及格(成績(jī)不低于60分)的概率.

【分析】(I)分別記小江的成績(jī)?cè)?0分以上，［80,90),［70,80),［60,70),60分以下為事件A,

B,C,D,E,它們是互斥事件，由題意得P(4)+P(B)+P(C)+P(D)+P(.E)=1,由此能求

出X.

(H)小江的成績(jī)?cè)?0分及以上的概率為P(A+B),P(A+B)=P(A)+P(B),由此能求

出結(jié)果.

(III)小江考試及格(成績(jī)不低于60分)的概率為P(無)-1-P(E).

【解答】解：(I)分別記小江的成績(jī)?cè)?0分以上，［80,90),［70,80),［60,70),60分以下為事

件A,B,C,D,E,它們是互斥事件，

由條件得：P(A)=x,P(6)=0.48,P(C)=0.11,P(D)=0.09,P(E)=0.07,

由題意得P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(￡)=1,

；.x=l-0.48-0.11-0.09-0.07=0.25.

(II)小江的成績(jī)?cè)?0分及以上的概率為P(A+B),

P(A+B)=P(A)+P(B)=0.25+0.48=0.73.

(Ill)小江考試及格(成績(jī)不低于60分)的概率為：

P(E)=1-P(￡)=1-0.07=0.93.

18.某服務(wù)電話，打進(jìn)的電話響第1聲時(shí)被接的概率是0.1;響第2聲時(shí)被接的概率是0.2；響第3聲時(shí)被

接的概率是0.3；響第4聲時(shí)被接的概率是0.35.

(1)打進(jìn)的電話在響5聲之前被接的概率是多少？

(2)打進(jìn)的電話響4聲而不被接的概率是多少

【分析】(1)設(shè)事件”電話響第k聲時(shí)被接”為4(k6N),事件4彼此互斥，設(shè)“打進(jìn)的電話在響5

聲之前被接”為事件4根據(jù)互斥事件概率加法公式，能求出打進(jìn)的電話在響5聲之前被接的概

率.

(2)事件“打進(jìn)的電話響4聲而不被接”是事件4“打進(jìn)的電話在響5聲之前被接”的對(duì)

立事件，記為I根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，能求出打進(jìn)的電話響4聲而不被接的概率.

【解答】解：(1)設(shè)事件“電話響第A聲時(shí)被接”為Ak(k€N),

那么事件4彼此互斥，

設(shè)“打進(jìn)的電話在響5聲之前被接”為事件A,

根據(jù)互斥事件概率加法公式，得：

P(A)=P(A1UA2UA3UA4)

=P(4i)+P"2)+P(A3)+P(4)

=0.1+0.2+03+035=0.95.

(2)事件“打進(jìn)的電話響4聲而不被接”是事件A,

“打進(jìn)的電話在響5聲之前被接”的對(duì)立事件，記為I

根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，得P(仄)=1-P(A)=1-0.95=0.05.

19.某中學(xué)高一年級(jí)舉行了一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，從中隨機(jī)抽取了一批學(xué)生的成績(jī)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)?/p>

部介于50至至0之間,將數(shù)據(jù)按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作

出頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求頻率分布直方圖中。的值；

(2)若從高一學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)這名學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的概率；

(3)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，估計(jì)高一年級(jí)學(xué)生本次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的平均分.

0.0351....r1

0.030*.....1\

/If

II

0.010.：I-'

o.oo5.;：!:.

05060708090100成績(jī)(分)

【分析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程，能求出。的值.

(2)抽取的樣本中，成績(jī)不低于80分的學(xué)生所占的比例是0.3,由此能估計(jì)這名學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)

賽成績(jī)不低于80分的概率.

(3)利用頻率分布直方圖能估計(jì)高一年級(jí)學(xué)生本次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的平均分.

【解答】解：(1)由題意可知(0.005+0.030+0.035+0+0.010)X10=l,

解得a=0.020.

(2)抽取的樣本中，

成績(jī)不低于80分的學(xué)生所占的比例是(a+0.010)X10=(0.020+0.010)X10=0.3,

所以若從高一學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，

估計(jì)這名學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)不低于80分的概率為0.3.

(3)因?yàn)?55X0.005+65X0.030+750.035+85X0.020+95X0.010)X10=75,

因此估計(jì)高一年級(jí)學(xué)生本次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的平均分為75.

20.圖1,平行四邊形A8c。中，AC±BC,AC=BC=1,現(xiàn)將△ADC沿AC折起，得到三棱錐D-ABC(如圖

2),且DA_L8C,點(diǎn)E為側(cè)棱DC的中點(diǎn).

D

(1)求證：AE_L平面OBC；

(2)求三棱錐。-AEB的體積；

(3)在/ACB的角平分線上是否存在點(diǎn)F,使得。F〃平面ABE?若存在，求DF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

【分析】(1)推導(dǎo)出AEJLCD,AC1BC,ADLBC,得至ljBC1平面ACD,又AE_L.BC,則AE_L平面8CD,由

此能證明平面ABE_L平面BCD.

(2)由14XBC=14ACE，由求出三棱錐O-AEB的體積.

(3)取AB中點(diǎn)。，連接CO并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使CO=OF,連接AF,DF,BF,推導(dǎo)出射線C。是

ZACB的角平分線，推導(dǎo)出OE〃DF,從而DF〃平面ABE,推導(dǎo)出BC//AF,AF1AD,由此能

求出DF.

【解答】解：(1)證明：在平行四邊形ABC。中，AD=BC=AC,

VE是側(cè)棱DC的中點(diǎn)，，AE1.CD,

V4C1BC,AD1.BC,§.ACC\AD=A,8C_L平面ACD,

平面AS,：.AELBC,

vecncD=c,平面BCD,

?”Eu平面ABE,平面ABE_L平面BCD.

(2)'：VE-ABC=VB-ACE，BC_L平面ACD,；.8C是三棱錐C-ABD的高，

VBC=1,CD=A/2>AE=返，

2

?Fb恭AEx|xCE^yx*x/X亞=J，

乙乙乙乙乙

...三棱錐D-AEB的體積為：

―|XBCXSAACE=1X1X1=^

(3)取A8中點(diǎn)0,連接C。并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使CO=OF,

連接AF,DF,BF,

；8C=AC,射線C。是NACB的角平分線，

?.?點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，：.OE//DF,

：OEu平面A8E,DFC平面A8E,；.DF〃平面ABE,

"：AB,FC互相平行，.?.四邊形ACBF是平行四邊形，；.BC〃AF,

'：DA±BC,：.AF±AD,

\"AF=AD=1,：.DF=V2-

21.已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c,在①3cosC(acos8+bcosA)=csinC；②asinA+B

2

=csinA；③(sinB-sinA)^sidC-sinBsinA.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，當(dāng)

時(shí)，且△ABC的外接圓半徑為1,求△A8C的面積S的最大值.

【分析】選①或選②或選③，利用正弦定理求得C=?L,再利用正弦定理可求c的值，利用余弦定理可

3

求ab的最大值，即可根據(jù)三角形的面積公式求解.

【解答】解：若選①J^cosC(acosB+bcosA)=csinC,

則由正弦定理得，VScosC(sin4cosB+sinBcos>4)=sinCsinC,

即J^cosCsin(4+B)=sinCsinC,可得J^=tanC,

又Ce(0,n),可得C=—；

3

若選②，則由正弦定理知，sinAsin2/■=sinCsin4,

2

即cos—=sinC=2sin—cos—,可得sin-=A,

22222

又ce(o,it),可得Ce(o,2L),解得C=_2L,可得c=2L：

22263

若選③，則由正弦定理得，(b-a)』c2-ab,

化簡(jiǎn)得。2+62-c2—ab,

999

所以cosC=a+b-c=旦=_1,

2ab2ab2

由ce(0,n),可得c=±；

3

因?yàn)椤鰽BC的外接圓半徑R=