人教統(tǒng)編部編版高中數(shù)學必修一A版第二章《一元二次函數(shù)、方程和不等式》全章節(jié)教案教學設計含章末綜合復習

人教統(tǒng)編部編版高中數(shù)學必修一A版第二章《一元二次函數(shù)、方程和不等式》全章節(jié)教案教學設計含章末綜合復習本教案旨在幫助學生掌握高中數(shù)學中重要的等式性質與不等式性質，這是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間關系的有效數(shù)學模型，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用。同時，等式性質與不等式性質也為學生以后順利學習基本不等式起到重要的鋪墊。教學目標包括掌握等式性質與不等式性質及其推論，能夠運用其解決簡單的問題，進一步掌握比較法比較實數(shù)的大小，以及通過教學培養(yǎng)學生合作交流的意識和大膽猜測、樂于探究的良好思維品質。教學重點是掌握不等式性質及其應用，難點則是不等式性質的應用。為此，我們采用以學生為主體的誘思探究式教學，精講多練的教學方法，借助多媒體等教學工具，引導學生獨立思考、小組討論，充分發(fā)揮學生的主動性和創(chuàng)造性。在教學過程中，我們通過情景導入，引導學生觀察和思考現(xiàn)實生活中的相等關系和不等關系；通過預習課本，引入新課，讓學生自主思考和探究不等式的基本性質、比較多項式大小的方法以及重要不等式等內容；通過典例分析和舉一反三，幫助學生更好地應用不等式性質解決實際問題。最后，我們希望通過本教案的教學，能夠培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學建模等方面的素養(yǎng)，提高學生的數(shù)學思維水平和解決實際問題的能力。已知2<a<3，-2<b<-1，要求2a+b的取值范圍。首先，可以將2a+b拆開，得到2a+b<6-2=4，即2a+b的上界為4。然后，將2a+b拆開，得到2a+b>2×2+(-1)=3，即2a+b的下界為3。因此，2a+b的取值范圍為3<2a+b<4?！盎静坏仁健笔潜匦?的重要內容。它是在學習不等關系和不等式性質，掌握不等式性質的基礎上對不等式的進一步研究。同時，它也是為了以后學習選修教材中關于不等式及其證明方法等內容作鋪墊，起著承上啟下的作用。利用基本不等式求最值在實際問題中應用廣泛。同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結合、化歸等重要數(shù)學思想，有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質。教學目標：【知識與技能】1.推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等。2.掌握基本不等式ab≤(a+b)/2的應用，解決一些簡單的實際問題?！具^程與方法】通過實例探究抽象基本不等式?！厩楦小B(tài)度與價值觀】通過本節(jié)的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高學習數(shù)學的興趣。教學重難點：【教學重點】應用數(shù)形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式ab≤(a+b)/2的過程?！窘虒W難點】掌握基本不等式ab≤(a+b)/2的證明；會應用此不等式求某些函數(shù)的最值；能夠從不等式的性質推導出基本不等式ab≤(a+b)/2。教學過程：1.課題導入我們通過完全平方公式得出了一類重要不等式：a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立。特別地，如果a>0，b>0，我們用√??,√??分別代替上式中的a，b，可得√????≤(??+??)/2，當且僅當a=b時，等號成立。通常稱不等式（1）為基本不等式。其中，正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，√????叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)?；静坏仁奖砻鳎簝蓚€正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。我們可以通過考察a2+b2=2ab的特殊情形獲得基本不等式，也可以通過不等式的性質推導出基本不等式。2.講授新課1）類比弦圖幾何圖形的面積關系認識基本不等式ab≤(a+b)/2。特別地，如果a＞0,b＞0,我們用分別代替a、b，可得a+b≥2ab，即a+b/2≥√ab，從而得到ab≤(a+b)/2。2）從不等式的性質推導基本不等式ab≤(a+b)/2。我們要證明a+b/2≥ab，只要證明a+b≥2ab即可。要證明(2)，只需要證明a+b>=2√ab。而要證明(3)，只需要證明-2<=a-b<=2。顯然，(4)成立當且僅當a=b。在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a，BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。我們可以利用幾何圖形得出基本不等式ab≤(a+b)/2的幾何解釋。易證△ACD∽△DCB，那么CD^2=CA·CB，即CD=ab。這個圓的半徑為(a+b)/2，顯然，它大于或等于CD，即(a+b)/2>=ab，其中當且僅當點C與圓心重合，即a=b時，等號成立。因此，基本不等式ab≤(a+b)/2的幾何意義是“半徑不小于半弦”。在數(shù)學中，我們稱(a+b)/2為a、b的算術平均數(shù)，稱ab為a、b的幾何平均數(shù)?；静坏仁竭€可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。例1已知x>0，求x+1/x的最小值。我們可以利用基本不等式，得到x+1/x>=2，當且僅當x=1時，等號成立。因此，所求的最小值為2。例2已知x，y都是正數(shù)，證明：（1）如果積xy等于定值P，那么當x=y時，和x+y有最小值2√P；（2）如果和x+y等于定值S，那么當x=y時，積xy有最大值S^2/4。因為x，y都是正數(shù)，所以(x+y)/2>=√xy。當x=y時，(x+y)/2=√xy，即x+y=2√P。因此，(1)成立。同理可得，當x=y時，xy的最大值為S^2/4，即(2)成立。當且僅當x=y時，上式等號成立，因此當x=y時，和x+y有最小值2√??.又因為和x+y等于定值S時，√????≤2,??，所以????≤??2/4。當且僅當x=y時，上式等號成立，因此當x=y時，積xy有最大值??2/4。例3（1）：要圍成一個面積為100m2的矩形菜園，邊長為10m時所用籬笆最短，最短籬笆的長度為40m。（2）用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，邊長為9m時菜園的面積最大，最大面積是81m2。問題轉化為：（1）矩形的鄰邊之積為定值，邊長多大時周長最短；（2）矩形的鄰邊之和為定值，邊長多大時面積最大。例4：要建造一個容積為4800m3，深為3m的長方體形無蓋貯水池，池底的邊長為x，池壁每平方米的造價為120元，池底每平方米的造價為150元。設池底的相鄰兩條邊的邊長分別為xm，ym，水池的總造價為z。根據(jù)題意，有z=150×4800+120（2×3x+2×3y）/3=240000+720（x+y）。由容積為4800m3，可得3xy=4800，因此xy=1600。所以z≥240000+720×2√????。當x=y=40時，上式等號成立，此時z=297600，即當池底的邊長為40m時，水池的總造價最低，最低總造價為297600元。根據(jù)貯水池的設計要求，我們可以得出當池底設計成邊長為40米的正方形時，總造價最低，最低總造價為297600元。在本節(jié)課中，我們學習了重要的不等式a2+b2≥2ab，以及兩個正數(shù)a、b的算術平均數(shù)（a+b/2）和幾何平均數(shù)（√ab）及它們之間的關系（a+b/2≥√ab）。這些不等式不僅是不等式變形的基本工具，還是求函數(shù)最值的重要工具。下一節(jié)課我們將學習它們的應用。我們還可以使用它們下面的等價變形來解決問題：ab≤a2+b2/2，ab≤(a+b/2)2。在本節(jié)課中，我們也學習了二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式。這三個“二次”問題是高中數(shù)學的重要內容，它們之間具有豐富的內涵和密切的聯(lián)系。我們的目標是幫助學生理解它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，并掌握函數(shù)、方程和不等式的思想和方法。通過探索和練習，我們希望學生能夠運用二次函數(shù)及其圖像、性質解決實際問題，并進一步培養(yǎng)學生的綜合解題能力。1、已知關于x的一元二次不等式k(x-2)(x-3)≥0恒成立，求k的取值范圍.2、若ax2+bx+c>0恒成立，且a>0，求b與c之間的關系.【答案】（1）k≤0或k≥1（2）b2<4ac【解析】（1）由于不等式恒成立，即二次函數(shù)圖像在區(qū)間[2,3]上全部在x軸上方或者全部在x軸下方，因此二次函數(shù)的兩根都在區(qū)間[2,3]之外，即x<2或x>3，所以（x-2)(x-3)的符號必須與k的符號相同，即k≤0或k≥1.（2）因為ax2+bx+c>0恒成立，所以二次函數(shù)的圖像在x軸上方，即?<0，即b2-4ac<0，解得b2<4ac，故b與c之間滿足b2<4ac的關系.1.已知不等式$x^2-x-a>0$的解集為$\{x|x>3\text{或}x<-2\}$，則實數(shù)$a=$$\underline{\hspace{1cm}}$。答案：6解析：由題意可知$-2$，$3$為方程$x^2-x-a=0$的兩根，則$-2\times3=-a$，即$a=6$。故答案為：6。2.對任意實數(shù)$x$，不等式$(a-3)x^2-2(a-3)x-6<0$恒成立，則實數(shù)$a$的取值范圍是$\underline{\hspace{1cm}}$。答案：$-3<a<3$解析：①當$a-3=0$，即$a=3$時，不等式為$-6<0$，恒成立，則$a=3$滿足題意。②當$a-3\neq0$，即$a\neq3$時，不等式恒成立則需：$$2\Delta=4(a-3)-4(a-3)\times(-6)<0$$解得：$-3<a<3$。綜上所述：$-3<a<3$。例3一家車輛制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水生產(chǎn)的摩托車數(shù)量$x$（單位：輛）與創(chuàng)造的價值$y$（單位：元）之間有如下的關系：$y=-2x^2+220x$。若這家工廠希望在一個星期內利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，則在一個星期內大約應該生產(chǎn)多少輛摩托車？答案：在51~59輛之間，最大收益為6600元。解析：設這家工廠在一個星期內大約應該利用這條流水線生產(chǎn)$x$輛摩托車，根據(jù)題意，得$-2x^2+220x>6000$。移項整理，得$x^2-110x+3000<0$。對于方程$x^2-110x+3000=0$，$\Delta=100>0$，方程有兩個實數(shù)根$x_1=50$，$x_2=60$。畫出二次函數(shù)$y=x^2-110x+3000$的圖像，結合圖象得不等式$x^2-110x+3000<0$的解集為$\{x|50<x<60\}$，從而原不等式的解集為$\{x|50<x<60\}$。因為$x$只能取整數(shù)值，所以當這條流水線在一周內生產(chǎn)的摩托車數(shù)量在51~59輛時，這家工廠能夠獲得6000元以上的收益。解題方法（一元二次不等式實際應用問題）：（1）根據(jù)題意列出相應的一元二次函數(shù)；（2）由題意列出相應一元二次不等式；（3）求出解集；（4）結合實際情況寫出最終結果。跟蹤訓練三1.用可圍成32m墻的磚頭，沿一面舊墻（舊墻足夠長）圍成豬舍四間（面積大小相等的長方形）。應如何圍才能使豬舍的總面積最大？最大面積是多少？答案：當長方形一邊（垂直于舊墻）為16m，另一邊為4m時豬舍面積最大，最大值為256$m^2$。解析：設長方形的一邊（垂直于舊墻）長為$x$m，則另一邊長為$\dfrac{32-5x}{4}$m，總面積為$S=x\times\dfrac{32-5x}{4}=\dfrac{1}{4}(32x-5x^2)$。求導得$S'(x)=8-\dfrac{5}{2}x$，令$S'(x)=0$，解得$x=16$。由于$S''(16)=-5<0$，所以當$x=16$時，$S(x)$取得最大值。此時，$S_{\max}=S(16)=256$$m^2$。因此，當長方形一邊（垂直于舊墻）為16m，另一邊為4m時豬舍面積最大，最大值為256$m^2$。給定函數(shù)$g=(x-2)m+x^2-4x+4$，可以看作是以$m$為自變量的一次函數(shù)。題目要求在$-1\leqm\leq1$的范圍內，$g$的值恒大于零。因此有以下不等式成立：$(x-2)\times(-1)+x^2-4x+4>0$，即$(x-2)+x-4x+4>0$。解得$x<1$或$x>3$。因此，當$x<1$或$x>3$時，對于任意$-1\leqm\leq1$，函數(shù)$y=x^2+(m-4)x+4-2m$的值恒大于零。對于恒成立不等式求參數(shù)范圍問題，常見的解法有以下兩種：1.變更主元法：根據(jù)實際情況的需要確定合適的主元，一般知道取值范圍的變量要看作主元。2.轉化法求參數(shù)范圍：已知二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的函數(shù)值的集合為$B=\{y|m\leqy\leqn\}$，則有以下結論：-若不等式$y\geqk$恒成立，則$y_{\min}\geqk$，即$m\geqk$；-若不等式$y\leqk$恒成立，則$y_{\max}\leqk