人教統(tǒng)編部編版高中數(shù)學(xué)必修一A版第二章《一元二次函數(shù)、方程和不等式》全章節(jié)教案教學(xué)設(shè)計(jì)含章末綜合復(fù)習(xí)

人教統(tǒng)編部編版高中數(shù)學(xué)必修一A版第二章《一元二次函數(shù)、方程和不等式》全章節(jié)教案教學(xué)設(shè)計(jì)含章末綜合復(fù)習(xí)本教案旨在幫助學(xué)生掌握高中數(shù)學(xué)中重要的等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)，這是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中量與量之間關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用。同時(shí)，等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)也為學(xué)生以后順利學(xué)習(xí)基本不等式起到重要的鋪墊。教學(xué)目標(biāo)包括掌握等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)及其推論，能夠運(yùn)用其解決簡單的問題，進(jìn)一步掌握比較法比較實(shí)數(shù)的大小，以及通過教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識(shí)和大膽猜測、樂于探究的良好思維品質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)是掌握不等式性質(zhì)及其應(yīng)用，難點(diǎn)則是不等式性質(zhì)的應(yīng)用。為此，我們采用以學(xué)生為主體的誘思探究式教學(xué)，精講多練的教學(xué)方法，借助多媒體等教學(xué)工具，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、小組討論，充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)造性。在教學(xué)過程中，我們通過情景導(dǎo)入，引導(dǎo)學(xué)生觀察和思考現(xiàn)實(shí)生活中的相等關(guān)系和不等關(guān)系；通過預(yù)習(xí)課本，引入新課，讓學(xué)生自主思考和探究不等式的基本性質(zhì)、比較多項(xiàng)式大小的方法以及重要不等式等內(nèi)容；通過典例分析和舉一反三，幫助學(xué)生更好地應(yīng)用不等式性質(zhì)解決實(shí)際問題。最后，我們希望通過本教案的教學(xué)，能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模等方面的素養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平和解決實(shí)際問題的能力。已知2<a<3，-2<b<-1，要求2a+b的取值范圍。首先，可以將2a+b拆開，得到2a+b<6-2=4，即2a+b的上界為4。然后，將2a+b拆開，得到2a+b>2×2+(-1)=3，即2a+b的下界為3。因此，2a+b的取值范圍為3<2a+b<4。“基本不等式”是必修1的重要內(nèi)容。它是在學(xué)習(xí)不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上對(duì)不等式的進(jìn)一步研究。同時(shí)，它也是為了以后學(xué)習(xí)選修教材中關(guān)于不等式及其證明方法等內(nèi)容作鋪墊，起著承上啟下的作用。利用基本不等式求最值在實(shí)際問題中應(yīng)用廣泛。同時(shí)本節(jié)知識(shí)又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。教學(xué)目標(biāo)：【知識(shí)與技能】1.推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“≥”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等。2.掌握基本不等式ab≤(a+b)/2的應(yīng)用，解決一些簡單的實(shí)際問題?！具^程與方法】通過實(shí)例探究抽象基本不等式?！厩楦小B(tài)度與價(jià)值觀】通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教學(xué)重難點(diǎn)：【教學(xué)重點(diǎn)】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式ab≤(a+b)/2的過程。【教學(xué)難點(diǎn)】掌握基本不等式ab≤(a+b)/2的證明；會(huì)應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值；能夠從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出基本不等式ab≤(a+b)/2。教學(xué)過程：1.課題導(dǎo)入我們通過完全平方公式得出了一類重要不等式：a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。特別地，如果a>0，b>0，我們用√??,√??分別代替上式中的a，b，可得√????≤(??+??)/2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。通常稱不等式（1）為基本不等式。其中，正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，√????叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)。基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。我們可以通過考察a2+b2=2ab的特殊情形獲得基本不等式，也可以通過不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出基本不等式。2.講授新課1）類比弦圖幾何圖形的面積關(guān)系認(rèn)識(shí)基本不等式ab≤(a+b)/2。特別地，如果a＞0,b＞0,我們用分別代替a、b，可得a+b≥2ab，即a+b/2≥√ab，從而得到ab≤(a+b)/2。2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式ab≤(a+b)/2。我們要證明a+b/2≥ab，只要證明a+b≥2ab即可。要證明(2)，只需要證明a+b>=2√ab。而要證明(3)，只需要證明-2<=a-b<=2。顯然，(4)成立當(dāng)且僅當(dāng)a=b。在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a，BC=b。過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。我們可以利用幾何圖形得出基本不等式ab≤(a+b)/2的幾何解釋。易證△ACD∽△DCB，那么CD^2=CA·CB，即CD=ab。這個(gè)圓的半徑為(a+b)/2，顯然，它大于或等于CD，即(a+b)/2>=ab，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即a=b時(shí)，等號(hào)成立。因此，基本不等式ab≤(a+b)/2的幾何意義是“半徑不小于半弦”。在數(shù)學(xué)中，我們稱(a+b)/2為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱ab為a、b的幾何平均數(shù)?；静坏仁竭€可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。例1已知x>0，求x+1/x的最小值。我們可以利用基本不等式，得到x+1/x>=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立。因此，所求的最小值為2。例2已知x，y都是正數(shù)，證明：（1）如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2√P；（2）如果和x+y等于定值S，那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值S^2/4。因?yàn)閤，y都是正數(shù)，所以(x+y)/2>=√xy。當(dāng)x=y時(shí)，(x+y)/2=√xy，即x+y=2√P。因此，(1)成立。同理可得，當(dāng)x=y時(shí)，xy的最大值為S^2/4，即(2)成立。當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，上式等號(hào)成立，因此當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2√??.又因?yàn)楹蛒+y等于定值S時(shí)，√????≤2,??，所以????≤??2/4。當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，上式等號(hào)成立，因此當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值??2/4。例3（1）：要圍成一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，邊長為10m時(shí)所用籬笆最短，最短籬笆的長度為40m。（2）用一段長為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，邊長為9m時(shí)菜園的面積最大，最大面積是81m2。問題轉(zhuǎn)化為：（1）矩形的鄰邊之積為定值，邊長多大時(shí)周長最短；（2）矩形的鄰邊之和為定值，邊長多大時(shí)面積最大。例4：要建造一個(gè)容積為4800m3，深為3m的長方體形無蓋貯水池，池底的邊長為x，池壁每平方米的造價(jià)為120元，池底每平方米的造價(jià)為150元。設(shè)池底的相鄰兩條邊的邊長分別為xm，ym，水池的總造價(jià)為z。根據(jù)題意，有z=150×4800+120（2×3x+2×3y）/3=240000+720（x+y）。由容積為4800m3，可得3xy=4800，因此xy=1600。所以z≥240000+720×2√????。當(dāng)x=y=40時(shí)，上式等號(hào)成立，此時(shí)z=297600，即當(dāng)池底的邊長為40m時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為297600元。根據(jù)貯水池的設(shè)計(jì)要求，我們可以得出當(dāng)池底設(shè)計(jì)成邊長為40米的正方形時(shí)，總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為297600元。在本節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了重要的不等式a2+b2≥2ab，以及兩個(gè)正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（a+b/2）和幾何平均數(shù)（√ab）及它們之間的關(guān)系（a+b/2≥√ab）。這些不等式不僅是不等式變形的基本工具，還是求函數(shù)最值的重要工具。下一節(jié)課我們將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用。我們還可以使用它們下面的等價(jià)變形來解決問題：ab≤a2+b2/2，ab≤(a+b/2)2。在本節(jié)課中，我們也學(xué)習(xí)了二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式。這三個(gè)“二次”問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它們之間具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系。我們的目標(biāo)是幫助學(xué)生理解它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，并掌握函數(shù)、方程和不等式的思想和方法。通過探索和練習(xí)，我們希望學(xué)生能夠運(yùn)用二次函數(shù)及其圖像、性質(zhì)解決實(shí)際問題，并進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的綜合解題能力。1、已知關(guān)于x的一元二次不等式k(x-2)(x-3)≥0恒成立，求k的取值范圍.2、若ax2+bx+c>0恒成立，且a>0，求b與c之間的關(guān)系.【答案】（1）k≤0或k≥1（2）b2<4ac【解析】（1）由于不等式恒成立，即二次函數(shù)圖像在區(qū)間[2,3]上全部在x軸上方或者全部在x軸下方，因此二次函數(shù)的兩根都在區(qū)間[2,3]之外，即x<2或x>3，所以（x-2)(x-3)的符號(hào)必須與k的符號(hào)相同，即k≤0或k≥1.（2）因?yàn)閍x2+bx+c>0恒成立，所以二次函數(shù)的圖像在x軸上方，即?<0，即b2-4ac<0，解得b2<4ac，故b與c之間滿足b2<4ac的關(guān)系.1.已知不等式$x^2-x-a>0$的解集為$\{x|x>3\text{或}x<-2\}$，則實(shí)數(shù)$a=$$\underline{\hspace{1cm}}$。答案：6解析：由題意可知$-2$，$3$為方程$x^2-x-a=0$的兩根，則$-2\times3=-a$，即$a=6$。故答案為：6。2.對(duì)任意實(shí)數(shù)$x$，不等式$(a-3)x^2-2(a-3)x-6<0$恒成立，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是$\underline{\hspace{1cm}}$。答案：$-3<a<3$解析：①當(dāng)$a-3=0$，即$a=3$時(shí)，不等式為$-6<0$，恒成立，則$a=3$滿足題意。②當(dāng)$a-3\neq0$，即$a\neq3$時(shí)，不等式恒成立則需：$$2\Delta=4(a-3)-4(a-3)\times(-6)<0$$解得：$-3<a<3$。綜上所述：$-3<a<3$。例3一家車輛制造廠引進(jìn)了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水生產(chǎn)的摩托車數(shù)量$x$（單位：輛）與創(chuàng)造的價(jià)值$y$（單位：元）之間有如下的關(guān)系：$y=-2x^2+220x$。若這家工廠希望在一個(gè)星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，則在一個(gè)星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)多少輛摩托車？答案：在51~59輛之間，最大收益為6600元。解析：設(shè)這家工廠在一個(gè)星期內(nèi)大約應(yīng)該利用這條流水線生產(chǎn)$x$輛摩托車，根據(jù)題意，得$-2x^2+220x>6000$。移項(xiàng)整理，得$x^2-110x+3000<0$。對(duì)于方程$x^2-110x+3000=0$，$\Delta=100>0$，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根$x_1=50$，$x_2=60$。畫出二次函數(shù)$y=x^2-110x+3000$的圖像，結(jié)合圖象得不等式$x^2-110x+3000<0$的解集為$\{x|50<x<60\}$，從而原不等式的解集為$\{x|50<x<60\}$。因?yàn)?x$只能取整數(shù)值，所以當(dāng)這條流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車數(shù)量在51~59輛時(shí)，這家工廠能夠獲得6000元以上的收益。解題方法（一元二次不等式實(shí)際應(yīng)用問題）：（1）根據(jù)題意列出相應(yīng)的一元二次函數(shù)；（2）由題意列出相應(yīng)一元二次不等式；（3）求出解集；（4）結(jié)合實(shí)際情況寫出最終結(jié)果。跟蹤訓(xùn)練三1.用可圍成32m墻的磚頭，沿一面舊墻（舊墻足夠長）圍成豬舍四間（面積大小相等的長方形）。應(yīng)如何圍才能使豬舍的總面積最大？最大面積是多少？答案：當(dāng)長方形一邊（垂直于舊墻）為16m，另一邊為4m時(shí)豬舍面積最大，最大值為256$m^2$。解析：設(shè)長方形的一邊（垂直于舊墻）長為$x$m，則另一邊長為$\dfrac{32-5x}{4}$m，總面積為$S=x\times\dfrac{32-5x}{4}=\dfrac{1}{4}(32x-5x^2)$。求導(dǎo)得$S'(x)=8-\dfrac{5}{2}x$，令$S'(x)=0$，解得$x=16$。由于$S''(16)=-5<0$，所以當(dāng)$x=16$時(shí)，$S(x)$取得最大值。此時(shí)，$S_{\max}=S(16)=256$$m^2$。因此，當(dāng)長方形一邊（垂直于舊墻）為16m，另一邊為4m時(shí)豬舍面積最大，最大值為256$m^2$。給定函數(shù)$g=(x-2)m+x^2-4x+4$，可以看作是以$m$為自變量的一次函數(shù)。題目要求在$-1\leqm\leq1$的范圍內(nèi)，$g$的值恒大于零。因此有以下不等式成立：$(x-2)\times(-1)+x^2-4x+4>0$，即$(x-2)+x-4x+4>0$。解得$x<1$或$x>3$。因此，當(dāng)$x<1$或$x>3$時(shí)，對(duì)于任意$-1\leqm\leq1$，函數(shù)$y=x^2+(m-4)x+4-2m$的值恒大于零。對(duì)于恒成立不等式求參數(shù)范圍問題，常見的解法有以下兩種：1.變更主元法：根據(jù)實(shí)際情況的需要確定合適的主元，一般知道取值范圍的變量要看作主元。2.轉(zhuǎn)化法求參數(shù)范圍：已知二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的函數(shù)值的集合為$B=\{y|m\leqy\leqn\}$，則有以下結(jié)論：-若不等式$y\geqk$恒成立，則$y_{\min}\geqk$，即$m\geqk$；-若不等式$y\leqk$恒成立，則$y_{\max}\leqk