新高考山東省2021屆高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試題一

（新高考）某某省2021屆高三數(shù)學(xué)第二次模擬考試題（一）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的某某、某某號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將某某號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，若，則（）A．B．C．D．2．已知復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的和為7，則的值為（）A．B．C．D．3．某自來水廠一蓄水池可以用甲?乙兩個(gè)水泵注水，單開甲泵需15小時(shí)注滿，單開乙泵需18小時(shí)注滿，若要求10小時(shí)注滿水池，并且使兩泵同時(shí)開放的時(shí)間盡可能地少，則甲、乙兩水泵同時(shí)開放的時(shí)間最少需（）A．4小時(shí)B．7小時(shí)C．6小時(shí)D．14小時(shí)4．是成立的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值X圍為（）A．B．C．D．6．已知數(shù)列中，，，若，則（）A．8B．9C．10D．117．已知函數(shù)的最小正周期為，若在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值X圍是（）A．B．C．D．8．若均為單位向量，且，，則的最大值為（）A．B．1C．D．2二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知正方體的棱長為4，為的中點(diǎn)，為所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A．若與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為圓B．若，則的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為C．若點(diǎn)到直線與直線的距離相等，則點(diǎn)的軌跡為拋物線D．若與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線10．將男、女共位同學(xué)隨機(jī)地分成人數(shù)相等的甲、乙兩組，則下列說法正確的是（）A．位女同學(xué)分到同一組的概率為B．男生甲和女生乙分到甲組的概率為C．有且只有位女同學(xué)分到同一組的概率為D．位男同學(xué)不同時(shí)分到甲組的概率為11．意大利畫家列奧納多·達(dá)·芬奇（1452．4—1519．5）的畫作《抱銀貂的女人》中，女士脖頸上黑色珍珠項(xiàng)鏈與主人相互映襯呈現(xiàn)出不一樣的美與光澤，達(dá)·芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，后人給出了懸鏈線的函數(shù)解析式：，其中a為懸鏈線系數(shù)，coshx稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為，相應(yīng)地雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為．若直線x＝m與雙曲余弦函數(shù)C1與雙曲正弦函數(shù)C2的圖象分別相交于點(diǎn)A，B，曲線C1在點(diǎn)A處的切線l1與曲線C2在點(diǎn)B處的切線l2相交于點(diǎn)P，則下列結(jié)論正確的為（）A．B．是偶函數(shù)C．D．若是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則實(shí)數(shù)12．關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A．是的極大值點(diǎn)B．函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)C．存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立D．對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若，則第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．的展開式中的系數(shù)是________．14．如圖，在平面四邊形中，，，，，則的最小值為_______．15．已知函數(shù)，則關(guān)于的方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)是_______．16．已知圓，，動(dòng)圓與圓、都相切，則動(dòng)圓的圓心軌跡的方程為_____________；直線與曲線僅有三個(gè)公共點(diǎn)，依次為、、，則的最大值為________．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（12分）在①；②；③的面積．這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，且______，______，求．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．19．（12分）已知四棱錐中，四邊形ABCD為等腰梯形，，，，△ADE為等邊三角形，且平面ADE⊥平面ABCD．（1）求證：AE⊥BD；（2）是否存在一點(diǎn)F，滿足()，且使平面ADF與平面BCE所成的銳二面角的余弦值為．若存在，求出的值，否則請(qǐng)說明理由．20．（12分）某醫(yī)院為篩查某種疾病，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：①逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)次；②混合檢驗(yàn)，將其且)份血液樣木分別取樣混合在一起檢驗(yàn)．若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性，就要對(duì)這份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為．（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗(yàn)的方式，求恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率；（2）現(xiàn)取其中且)份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為．①記E()為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．若，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；②若，且采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求的最大值．參考數(shù)據(jù)：，，．21．（12分）已知橢圓的離心率，且經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓C的左、右焦點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)分別作兩條互相垂直的直線，且與橢圓交于不同兩點(diǎn)與直線交于點(diǎn)P．若，且點(diǎn)Q滿足，求面積的最小值．22．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：．?dāng)?shù)學(xué)答案第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【答案】D【解析】由不等式，解得，所以，又由且，所以，即，由補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，可得，故選D．2．【答案】C【解析】，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分別為，，于是，解得，故選C．3．【答案】C【解析】根據(jù)題意開放水泵的工序流程圖有兩個(gè)方案：方案一：甲?乙兩泵同時(shí)開放→甲泵開放方案二：甲?乙兩泵同時(shí)開放→乙泵開放如果用方案一注水，可設(shè)甲?乙兩泵同時(shí)開放的時(shí)間為x個(gè)小時(shí)，由題意得方程，解得(小時(shí))；如果用方案二注水，可設(shè)甲?乙兩泵同時(shí)注水的時(shí)間為y個(gè)小時(shí)，則，解得(小時(shí))，所以選方案一注水，可得甲?乙兩水泵同時(shí)開放注水的時(shí)間最少，需6個(gè)小時(shí)，故選C．4．【答案】A【解析】充分性顯然成立，必要性可以舉反例：，，顯然必要性不成立，故選A．5．【答案】C【解析】∵，∴的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，∵和都在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．又，∴，即或，解得或，故選C．6．【答案】C【解析】，所以為以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以，所以，由，所以，故選C．7．【答案】B【解析】由題意可得，求得，令，求得，由，求得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以實(shí)數(shù)的取值X圍是，故選B．8．【答案】B【解析】由題意知，，又，∵，∴，∴，∴，即的最大值為1，故選B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．【答案】ACD【解析】如圖：對(duì)于A，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，平面，所以為與平面所成的角，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，故A正確；對(duì)于B，在直角三角形中，，取的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)在過點(diǎn)且與垂直的平面內(nèi)，又，所以點(diǎn)的軌跡為以為半徑的圓，其面積為，故B不正確；對(duì)于C，連接，因?yàn)槠矫?，所以，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到定直線的距離，又不在直線上，所以點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，故C正確；對(duì)于D，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，，因?yàn)榕c所成的角為，所以，所以，整理得，所以點(diǎn)的軌跡為雙曲線，故D正確，故選ACD．10．【答案】AB【解析】位同學(xué)隨機(jī)地分成人數(shù)相等的甲、乙兩組的不同分法為，A選項(xiàng)，位女同學(xué)分到同一組的不同分法只有種，其概率為，對(duì)；B選項(xiàng)，男生甲和女生乙分到甲組的不同分法為，其概率為，對(duì)；C選項(xiàng)，有且只有位女同學(xué)分到同一組種，則有且只有位女同學(xué)分到同一組的概率為，錯(cuò)；D選項(xiàng)，位男同學(xué)同時(shí)分到甲組只有種，其概率為，則位男同學(xué)不同時(shí)分到甲組的概率為，錯(cuò)，故選AB．11．【答案】ACD【解析】，A正確；，記，則，為奇函數(shù)，即是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；，即，C正確；對(duì)于D，因?yàn)檩S，因此若△PAB是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則，由，解得，D正確，故選ACD．12．【答案】BD【解析】A：函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；B：，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，所以函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故B正確；C：若，即，則．令，則．令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，所以不存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立，故C錯(cuò)；D：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴是的極小值點(diǎn)．∵對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若，則．令，則，由，得，∴，即，即，解得，，所以．故要證，需證，需證，需證．∵，則，∴證．令，，，所以在上是增函數(shù)．因?yàn)闀r(shí)，，則，所以在上是增函數(shù)．因?yàn)闀r(shí)，，則，所以，∴，故D正確，故選BD．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．【答案】【解析】，所以，的展開通項(xiàng)為，的展開式通項(xiàng)為，所以，的展開式通項(xiàng)可以為，其中且、，令，解得，因此，的展開式中的系數(shù)是，故答案為．14．【答案】【解析】設(shè)，在中，由正弦定理得，即，整理得．由余弦定理得，因?yàn)椋裕谥?，由余弦定理得（其中），所以?dāng)時(shí)，，故答案為．15．【答案】5【解析】由，知或，∴由函數(shù)解析式，知：當(dāng)時(shí)，有，解得，滿足；當(dāng)時(shí)，若且，有；若，解得，滿足，∴綜上知：方程一共有5個(gè)根，故答案為5．16．【答案】或，【解析】已知圓，，則圓內(nèi)含于圓，圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為．設(shè)動(dòng)圓的半徑為，分以下兩種情況討論：①圓與圓外切，與圓內(nèi)切，由題意可得，，此時(shí)，圓的圓心軌跡是以、分別為左、右焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，，，則，此時(shí)，軌跡的方程為；②圓與圓、都內(nèi)切，且，由題意可得，，此時(shí)，圓的圓心軌跡是以、分別為左、右焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，，，，此時(shí)，軌跡的方程為，綜上所述，軌跡的方程為或．由于直線與曲線僅有三個(gè)公共點(diǎn)，則直線與橢圓相切．①若直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，解得，此時(shí)；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，，可得，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，消去并整理得，，由韋達(dá)定理得，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值．故答案為或，．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）等差數(shù)列的前項(xiàng)和，得，因?yàn)椋?，等差?shù)列的公差，所以，．（2）由（1）可知，．18．【答案】答案見解析．【解析】解：方案一：選條件①②．因?yàn)?，，所以，由正弦定理得．因?yàn)椋裕驗(yàn)椋?，．因?yàn)椋?，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理得．方案二：選條件①③．因?yàn)?，，所以．因?yàn)?，，所以．在中，由正弦定理得，所以，即．因?yàn)?，所以，，所以，所以．又，所以，所以，所以．在中，由正弦定理得．方案三：選條件②③．因?yàn)?，，所以，由正弦定理得，因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，．因?yàn)?，所以．（ⅰ）在中，由余弦定理得，所以．（ⅱ）由（?。áⅲ┙獾没颍?9．【答案】（1）證明見解析；（2）存在使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，，四邊形是平行四邊形，，為等邊三角形，，是直角三角形，，平面平面，平面，平面平面，平面，平面，．（2）F為EB中點(diǎn)即可滿足條件．取的中點(diǎn)，連接，則，取的中點(diǎn)，連接，平面平面，平面，所以平面，，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為．由，得，?。挥?，得，取，于是，，解得或（舍去），所以存在使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．20．【答案】（1）；（2）①（且）；②8．【解析】（1）記恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來為事件，則．（2）①根據(jù)題意，可知，的可能值為1，，則，，所以，由，得，所以（且）．②由于，則，所以，即，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，，所以的最大值為8．21．【答案】（1）；（2）6．【解析】（1）由題意，得，解得，，所以橢圓的方程為．（2）由（1）可得，若直線的斜率為0，則的方程為與直線無交點(diǎn)，不滿足條件；設(shè)直線，若，則則不滿足，所以，設(shè)，，，由，得，，，因?yàn)?，即，則，，所以，解得，于是，直線