【總結(jié)】高中數(shù)學(xué)人教A版（2019+）選擇性必修第一冊知識點總結(jié)

數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊人教版A版第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運算1.2空間向量基本定理1.3空間向量及其運算的坐標(biāo)表示1.4空間向量的應(yīng)用第二章直線和圓的方程2.1直線的傾斜角與斜率2.2直線的方程2.3直線的交點坐標(biāo)與距離公式2.4圓的方程2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系第三章圓錐曲線的方程3.1橢圓3.2雙曲線3.3拋物線第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運算一、空間向量及其線性運算1.空間向量：與平面向量一樣，在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量。AB（1）表示方法：空間向量可以用有向線段AB2.向量的模：向量的大小叫做向量的長度或模，有向線段的長度表示向量的模。如圖：向量QUOTE的起點是A，終點是B，則向量QUOTE也可記作QUOTE，其模記為｜QUOTE｜或｜QUOTE｜。3.特殊向量（1）零向量：我們規(guī)定，長度為0的向量叫做零向量，記為QUOTE。（2）單位向量：模為1的向量。（3）相反向量：與向量QUOTE長度相等而方向相反的向量，成為QUOTE的相反向量，記為-QUOTE（4）相等向量：方向相同且模相等的向量稱為相等向量。因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量。5.空間向量的加法與減法運算BOACBOAC①三角形定則（收尾相連：起點指向終點）：QUOTE+QUOTE=QUOTE。②平行四邊形定則（同起點）：QUOTE+QUOTE=QUOTE。（2）減法運算：①三角形定則（同起點：箭頭指向被減向量）：QUOTE-QUOTE=QUOTE。6.空間向量的加法運算滿足交換律及結(jié)合律：（1）交換律：QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE（2）結(jié)合律：(QUOTE+QUOTE)+QUOTE=QUOTE+(QUOTE+QUOTE)二、空間向量的數(shù)乘運算1.數(shù)乘運算（1）定義：與平面向量一樣，實數(shù)λ與空間向量QUOTE的乘積λQUOTE仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算。（2）幾何意義：①當(dāng)λ>0時，λQUOTE與向量QUOTE方向相同；②當(dāng)λ<0時，λQUOTE與向量QUOTE方向相反。λQUOTE的長度是QUOTE長度的｜λ｜倍。（2）空間向量對的數(shù)乘運算滿足分配率及結(jié)合律：①分配率：λQUOTE)=λQUOTE+λQUOTE②結(jié)合律：λ（QUOTE）=（λμ）QUOTE2.共線向量（1）共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。記作：QUOTE∥QUOTE（2）共線向量定理：對空間中任意的兩個向量QUOTE、QUOTE（QUOTE≠Q(mào)UOTE），QUOTE∥QUOTE的充要條件是存在實數(shù)λ，使QUOTE=λQUOTE。3.方向向量APBlO（1）如圖，l為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量QUOTE的直線，對空間任意一點O，點P在直線l上的充分條件是存在實數(shù)t，使QUOTE=QUOTE+tQUOTE，其中向量QUOTE叫做直線l的方向向量。APBlO4.共面向量（1）定義：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量。（2）定理：①如果兩個向量QUOTE、QUOTE不共線，那么向量QUOTE與向量QUOTE、QUOTE共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對（x，y）使QUOTE=xQUOTE+yQUOTEABPOC②如圖，空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對（x，y）使QUOTE=xQUOTE+yQUOTE；或?qū)臻g任意一點O，有QUOTE=QUOTE+xQUOTE+yQUOTE。ABPOC（3）四點共面的重要依據(jù)：若空間任意一點O和不共線的三點A、B、C滿足向量關(guān)系式：QUOTE=QUOTE+yQUOTE+zQUOTE（其中x+y+z=1），則點P與點A、B、C共面。三、空間向量的數(shù)量積運算OAB1.兩個向量夾角的定義：已知兩個非零向量QUOTE、QUOTE，在空間中任取一點O，作QUOTE=QUOTE，QUOTE=QUOTE,則∠AOB叫做向量QUOTE與QUOTE的夾角，記作<QUOTE，QUOTE>OAB2.如果<QUOTE，QUOTE>=QUOTE，那么向量QUOTE，QUOTE互相垂直，記作：QUOTE⊥QUOTE（QUOTE與任意向量相互垂直）3.空間向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量QUOTE、QUOTE，則｜QUOTE｜·｜QUOTE｜·cos<QUOTE,QUOTE>叫做QUOTE的數(shù)量積，記作：QUOTE即：QUOTE=｜QUOTE｜·｜QUOTE｜·cos<QUOTE,QUOTE>（1）零向量與任何向量的數(shù)量積為0（2）特別地，QUOTE=｜QUOTE｜·｜QUOTE｜·cos<QUOTE,QUOTE>=｜QUOTE｜2（3）QUOTE的幾何意義：QUOTE的數(shù)量積等于QUOTE的模與QUOTE在QUOTE上的投影｜QUOTE｜·cos<QUOTE,QUOTE>的乘積，也等于QUOTE的模與QUOTE在QUOTE上的投影｜QUOTE｜·cos<QUOTE,QUOTE>的乘積。4.兩個向量夾角的范圍：通常規(guī)定：0≤<QUOTE,QUOTE>≤π，且<QUOTE,QUOTE>=<QUOTE,QUOTE>（1）當(dāng)QUOTE與QUOTE共線且同向時，<QUOTE,QUOTE>=0（1）當(dāng)QUOTE與QUOTE共線且反向時，<QUOTE,QUOTE>=π5.性質(zhì)：（1）QUOTE=｜QUOTE｜··cos<QUOTE,QUOTE>（2）QUOTE，則QUOTE=0（3）｜QUOTE｜2=QUOTE（4）cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE（5）｜QUOTE｜≤｜QUOTE｜·｜QUOTE｜（6）-｜QUOTE｜·｜QUOTE｜≤QUOTE≤｜QUOTE｜·｜QUOTE｜注：（反向：<QUOTE,QUOTE>=π）（同向：<QUOTE,QUOTE>=0）6.空間向量的數(shù)量積滿足的運算律：（1）（λQUOTE）·QUOTE=λ(QUOTE)；（<QUOTE,QUOTE>不變）（2）QUOTE=QUOTE（交換律）；（3）QUOTE=QUOTE+QUOTE（分配率）。1.2空間向量基本定理一、空間向量基本定理1.定理內(nèi)容：如果三個向量QUOTE、QUOTE、QUOTE不共面，那么對空間任一向量QUOTE，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得QUOTE=xQUOTE+yQUOTE+zQUOTE2.如果三個向量QUOTE，QUOTE，QUOTE不共面，那么所有空間向量組成的集合就是{QUOTEx,y,z∈R}，這個集合可看作是由向量QUOTE，QUOTE，QUOTE生成的。我們把{QUOTE，QUOTE，QUOTE}叫做空間向量的一個基底，QUOTE，QUOTE，QUOTE都叫做基向量?？臻g任何三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底。3.單位正交分解：特別地，如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j4.正交分解：由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量，均可以分解為三個向量xi，yj，zk，像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解1.3空間向量及其運算的坐標(biāo)表示一、空間直角坐標(biāo)系1.空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸。這時我們就建立了一個空間平面直角坐標(biāo)系Oxyz，O叫做原點，i，j，zzyxk2.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任意一點A，對應(yīng)一個向量OA，且點A的位置由向量OA唯一確定，由空間向量基本定理，3.在單位正交基底{i，j，k}下與向量OA對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）叫做點A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A（x,y,z），其中x叫做點A的橫坐標(biāo)，y叫做點A的二、空間向量運算的坐標(biāo)表示1.運算QUOTE=（a1，a2，a3）QUOTE（b1，b2，b3）（1）QUOTE+QUOTE=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)（2）QUOTE-QUOTE=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)（3）λQUOTE=(λa1，λa2，λa3)（4）QUOTE=a1b1+a2b2+a3b32.性質(zhì)（1）QUOTE∥QUOTEQUOTE=λQUOTEa1=λb1，a2=λb2，a3=λb3（λ∈R）（2））QUOTE⊥QUOTEQUOTE=0a1b1+a2b2+a3b3=0（3）｜QUOTE｜=QUOTE=QUOTE（4）cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE=QUOTE（5）dAB=｜QUOTE｜=QUOTE空間兩點間的距離公式（6）若三點A、B、C共線，則｜AC｜=｜AB｜+｜BC｜（7）中點坐標(biāo)P0（x1+x22（8）對稱坐標(biāo)求法：（關(guān)于誰對稱，誰不變，其余相反）P（x，y，z）關(guān)于x軸對稱：P1（x，-y，-z）關(guān)于y軸對稱：P2（-x，y，-z）關(guān)于z軸對稱：P3（-x，-y，z）關(guān)于坐標(biāo)平面xoy對稱：P4（x，y，-z）關(guān)于坐標(biāo)平面yoz對稱：P5（-x，y，z）關(guān)于坐標(biāo)平面xoz對稱：P6（x，-y，z）1.4空間向量的應(yīng)用一、用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（一）空間中點、直線和平面的向量表示1.點的位置向量：在空間中，我們?nèi)∫欢cO作為基點，那么空間中任意一點P的位置就可以用向量QUOTE來表示。我們把向量QUOTE稱為點P的位置向量。2.空間直線的向量表示式：QUOTE=tQUOTE①空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個頂點A以及一個定方向確定。如圖，點A是直線l上任意一點P，一定存在實數(shù)t，使得QUOTE=tQUOTE。POPOl②空間中平面α的位置可以由α內(nèi)兩條相交直線來確定。如圖，設(shè)這兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為QUOTE和QUOTE，P為平面α上任意一點，由平面向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)對（x，y），使得QUOTE=xQUOTE+yQUOTE.3、平面向量的法向量的求法（1）平面向量的法向量的定義：已知平面內(nèi)α，如果直線l⊥α，取直線l的方向向量QUOTE，則向量QUOTE叫做平面α的法向量，或者說向量QUOTE與平面α正交。（2）求平面法向量的坐標(biāo)步驟：①設(shè)平面的法向量為QUOTE=（x，y，z）②找出平面內(nèi)的兩個不共線向量QUOTE（a1，b1，c1），QUOTE（a2，b2，c2）③根據(jù)法向量的定義建立方程組QUOTE=0QUOTE=0④解方程組，取其中一個解（一般令z=1），得到法向量QUOTE（二）空間中直線、平面的平行1.線線平行：QUOTE=λQUOTE直線l1、l2的方向向量QUOTE=（a1，b1，c1）、QUOTE=（a2，b2，c2）則l1∥l2QUOTE∥QUOTEQUOTE=λQUOTEa1=λa2、b1=λb2、c1=λc22.線面平行QUOTE=0且l?α①設(shè)直線l的方向向量是QUOTE=（x1，y1，z1），平面α的法向量QUOTE=（x2，y2，z2），αl則l∥αQUOTE⊥QUOTE且l?αQUOTE=0且l?αx1x2+y1y2+z1z2=0αl②在平面內(nèi)找QUOTE與直線l的方向向量QUOTE共線。③證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量表示。αβ3.面面平行QUOTE∥QUOTEαβ①線線平行線面平行面面平行②求出平面α，β的法向量QUOTE，QUOTE，證明QUOTE∥QUOTE（三）空間中直線、平面的垂直1.線線垂直QUOTE=0αl①設(shè)直線l1、l2的方向向量為QUOTE、QUOTE，則QUOTE=0l1⊥l2αl2.線面垂直QUOTE∥QUOTE①設(shè)直線l的方向向量是QUOTE，平面α的法向量QUOTE，QUOTE∥QUOTEl⊥ααβ②平面內(nèi)兩條相交直線與直線l垂直線面垂直αβ3.面面垂直QUOTE=0①線線垂直線面垂直面面垂直②兩平面內(nèi)的法向量相互垂直二、用空間向量研究距離、夾角問題1.向量夾角和異面直線夾角①不同點：向量夾角的范圍：0≤<QUOTE,QUOTE>≤π；異面直線夾角的范圍：0＜θ≤QUOTE②相同點：當(dāng)兩向量夾角為銳角時，θ=<QUOTE,QUOTE>；當(dāng)兩向量夾角為QUOTE時，則異面直線垂直；當(dāng)兩向量夾角為鈍角時，θ=π-<QUOTE,QUOTE>③求法：設(shè)空間直線a，b的方向向量分別是QUOTE，QUOTE，兩直線的夾角為θ，則｜cosθ｜=QUOTE2.直線與平面的夾角的求法θ∈(0，QUOTE]①定義：平面的斜線與它在平面上的射影所成的角叫這條斜線與平面所成的角。②范圍：θ∈(0，QUOTE]③求法：設(shè)直線l的方向向量QUOTE與平面α的法向量QUOTE的夾角為φ，則sinθ=｜cosφ｜=QUOTE三、平面的夾角（二面角）的求法αβBAO1.二面角的平面角：過二面角α-l-β棱上任意一點O作垂直于棱l的平面，與面α，β的交線分別為OA，OB，那么∠AOB叫做二面角α-lαβBAO2.二面角大?。褐付娼堑钠矫娼堑拇笮?。3.二面角的取值范圍：[0，π]4.二面角的向量求法αβαβBACD（1）若AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就是QUOTE與QUOTE的夾角。αβαβBACD（2）設(shè)QUOTE，QUOTE是二面角的兩個面α，β的法向量，則向量QUOTE與QUOTE的夾角（或其補角）大小就是二面角的平面角的大小。5.平面的法向量與兩個平面夾角的關(guān)系：已知平面α和β的法向量分別為QUOTE，QUOTE（1）當(dāng)0≤<QUOTE,QUOTE>≤QUOTE時，平面α與β的夾角為<QUOTE,QUOTE>（2）當(dāng)QUOTE≤<QUOTE,QUOTE>≤π時，平面α與β的夾角為π-<QUOTE,QUOTE>四、立體幾何中的向量方法1.求點與點之間的距離dAB=QUOTE2.求點到直線的距離：已知一點B，直線l過點A，與l垂直的一個向量為QUOTE,則B到直線l的距離為d=QUOTE=｜QUOTE｜·｜cos<QUOTE,QUOTE>｜3.點到平面的距離：已知平面α，其法向量為QUOTE，在平面α上任取一點P?？臻g中一點A到平面α的距離為d=QUOTE=｜QUOTE｜·｜cos<QUOTE,QUOTE>｜4.異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段（公垂線段）的長度叫做兩條異面直線的距離。第二章直線和圓的方程2.1直線的傾斜角與斜率一、傾斜角：直線L與X軸相交，取X軸為基準(zhǔn)，X軸正向與直線L向上方向之間所成的角α。[0°，180°)二、斜率：一條直線的傾斜角α的正切值。k=tanα1.斜率公式：直線過點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，（x1≠x2）的直線的斜率k=y2?y2.直線情況：直線情況yxyxyxyxα大?。?0°～180°）0°（0°～90°）90°k的取值k＜0k=0k＞0K不存在3.兩條直線平行與垂直的判定（1）平行：L1:y1=k1x+b1①k1=k2L1∥L2或L1與L2重合L2:y2=k2x+b2②k1、k2不存在L1∥L2或L1與L2重合（2）垂直：L1:y1=k1x+b1①k1·k2=-1L1⊥L2L2:y2=k2x+b2②k1不存在，且k2=0時L1⊥L22.2直線的方程一、直線的點斜式方程1.點斜式方程：直線L過P0(x0，y0)，k為斜率，由斜率公式得k=y?y0點斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)（1）當(dāng)k=0時，y-y0=0，即y=y0（2）當(dāng)k不存在時，x-x0=0，即x=x02.斜截式方程：直線L與y軸交點（0，b），k為斜率，由點斜式得y-b=k(x-0)，變形得斜截式y(tǒng)=kx+b（1）直線L在y軸上的截距：與y軸交點的縱坐標(biāo)。（2）適用范圍：α≠90°，k≠π2二、直線的兩點式方程1.兩點式方程：已知兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，（其中x1≠x2，y1≠y2），k=y2P1(x1，y1)，由點斜式得y-y1=y2?y1x2兩點式y(tǒng)?y2.截距式方程：已知直線L與x軸相交于（a，0），y軸相交于（0，b），a≠0，b≠0，（1）a，b同時存在（2）橫截距：a（3）縱截距：b將兩點代入兩點式得y?0b?0=（1）a，b同時存在（2）橫截距：a（3）縱截距：b截距式xa+yb三、直線的一般是方程1.一般是方程：一般式Ax+By+C=0（其中A,B不同時為0）2.3直線的交點坐標(biāo)與距離公式一、兩條直線的交點坐標(biāo)1.兩條直線L1：A1x+B1y+C1=0L2：A2x+B2y+C2=0（1）有唯一解：相交（2）無窮個解：重合（3）無解：平行2.直線系：具有某一共同屬性的一類直線的集合稱為直線系。（1）設(shè)直線L1:A1x+B1y+C1=0、L2:A2x+B2y+C2=0，則過直線L1和L2交點的直線系為m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0，（其中m,n為參數(shù)，m2+n2≠0）?？筛膶憺椋ˋ1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2)=0，（其中λ為實數(shù)）。二、兩點間的距離1.過兩點：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)距離公式｜P1P2｜=(2.特殊情況（1）原點O(0，0)與任意一點P(x，y)距離：｜OP｜=x（2）當(dāng)P1P2∥x軸（y1=y2）時，距離：｜P1P2｜=｜x2-x1｜（3）當(dāng)P1P2∥y軸（x1=x2）時，距離：｜P1P2｜=｜y2-y1｜（4）當(dāng)點P1，P2在直線y=kx+b上時，距離｜P1P2｜=1+k2·｜x23.平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和。三、點到直線的距離1.點P0(x0，y0)到直線L：Ax+By+C=0距離距離公式d=｜A（1）點P0(x0，y0)到x軸的距離：d=｜y0｜（2）點P0(x0，y0)到y(tǒng)軸的距離：d=｜x0｜（3）點P0(x0，y0)到x軸平行的直線y=a的距離：d=｜y0-a｜（4）點P0(x0，y0)到y(tǒng)軸平行的直線x=b的距離：d=｜x0-b｜四、兩平行線間的距離1.直線L1:Ax+By+C1=0、L2:Ax+By+C2=0，L1∥L2，直線L2的任一點P(x0，y0)到直線L1的距離就是兩平行直線L1與L2之間的距離。距離公式d=｜Ax0+五、拓展1.點關(guān)于點的對稱問題（1）若兩點（x1，y1）、（x2，y2）關(guān)于點（x0，y0）對稱，則線段AB的中點P(x1+x2.直線關(guān)于點的對稱問題若兩條直線L1，L2關(guān)于點P對稱，則（1）L1上任意一點關(guān)于點P的對稱點必須在L2上。（2）若L1∥L2，則點P到直線L1，L2的距離相等。（3）過點P任意一直線與L1，L2分別交于A,B兩點，則點P是線段AB的中點。3.點關(guān)于直線的對稱問題若A,B兩點關(guān)于直線L對稱，則L是線段AB的垂直平分線，則（1）直線AB與直線L垂直。（2）線段AB的中點在L上。（3）直線L上任意一點到A,B兩點的距離相等。4.直線關(guān)于直線的對稱問題若兩直線L1，L2關(guān)于直線L對稱，則（1）L1上任意一點關(guān)于直線L的對稱點必在L2上。（2）過直線L上的一點P，且垂直于直線L，作一直線與L1，L2分別交于A,B兩點，則點P是直線AB的中點。2.4圓的方程一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r21.點與圓的位置關(guān)系：（1）點在圓上：(x-a)2+(y-b)2=r2（2）點在圓外：(x-a)2+(y-b)2＞r2（3）點在圓內(nèi)：(x-a)2+(y-b)2＜r2二、圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=01.變形：(x+D2)2+(y+E2)2（1）當(dāng)D2+E2-4F＞0時，表示圓。（2）當(dāng)D2+E2-4F=0時，表示點。（3）當(dāng)D2+E2-4F＜0時，不表示任何圖形。2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.直線與圓的位置關(guān)系（1）當(dāng)d＞r時，相離（2）當(dāng)d=r時，相切（3）當(dāng)d＜r時，相交2.圓與圓的位置關(guān)系相交外切外離內(nèi)切內(nèi)含第三章圓錐曲線的方程3.1橢圓一、橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程abF1OcF2MXy1.橢圓：我們把平面內(nèi)與兩個定點F1，abF1OcF2MXy①橢圓的交點：定點F1，F(xiàn)2②橢圓的焦距：兩交點間的距離｜F1F2｜③橢圓的半焦距：焦距的一半OF1或OF22.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2a2+y2b（1）推理：由橢圓的定義，知橢圓就是集合P={M｜｜MF1｜+｜MF2｜=2a}∵｜MF1｜=（x+c）2+y2則（x+c）2+y2+（x?c）2+化簡過程：①移項得：（x+c）2+y2②兩邊分別平方得：（x+c）2+y2=4a2-4a（x?c）2+y整理得：a2-cx=a（x?③兩邊分別平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)④兩邊同時除以a2(a2-c2)得x2a2+∵2a>2c（三角形兩邊之和大于第三邊）即a>c∴a2-c2>0令b=a2?c2得到x2a2+（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2a2+y2b①橢圓的兩個交點F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）由b=a2?②橢圓的焦距｜F1F2｜=2a③橢圓的半焦距｜OF1｜=｜OF2｜=a（3）若橢圓的交點F1，F(xiàn)2在x軸上，則橢圓方程為：x2a2+y2b若橢圓的交點F1，F(xiàn)2在x軸上，則橢圓方程為：y2a2+x2b①判斷方程：看x2，y2項的分母大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標(biāo)軸上(“誰大在誰上”）3.橢圓的定義可用集合表示為：P={M｜｜MF1｜+｜MF2｜=2a，2a>｜F1F2｜}｜F1F2｜=2c（a，c為常數(shù)）（1）a>c：集合P為橢圓。（3）a<c：集合P為空集。（2）a=c：集合P為線段F1F2。（4）a2=b2:方程表示為圓。4.橢圓方程的統(tǒng)一形式：mx2+ny2=1（m>0，n>0，m≠n）二、橢圓的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程：x2a2+y2b1.取值范圍：x∈[-a，a]y∈[-b，b]A2XyAA2XyA1B1B2O3.頂點（確定橢圓的具體位置）：橢圓與它的對稱軸的交點。A1（-a，0）A2（a，0）B1（0，-b）B2（0，b）長軸：A1A2（｜A1A2｜=2a）長半軸長：a短軸：B1B2（｜B1B2｜=2b）短半軸長：b4.離心率（e=ca）:我們把橢圓的焦距與長軸長的比ca稱為橢圓的離心率，用①e的大小描述了橢圓的扁平程度。②離心率的取值范圍：（0，1）③e越接近1，則c就越接近a，從而b=a2E越接近0，則c就越接近0，從而b越接近a，橢圓越接近圓。BFBF1F2A1.通徑：過橢圓焦點與長軸垂直的直線截橢圓弦長叫通徑。｜AB｜=2b2FF1F2P2.焦點三角形的面積：S△F1PF23.橢圓第二定義：平面內(nèi)的點M到一個定點F（c，0）的距離與它到定直線x=±ax=-a2cF(c,0)x=-aF(c,0)M（x0，y0）x=ad（1）由定義知e=｜MF｜d（2）｜MF｜=e·d=（a2c-x0）··e=a2（｜MF｜=a+ex0左準(zhǔn)線）3.2雙曲線一、雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程F2XyF1cOM1F2XyF1cOM（小于｜F1F2｜）的點的軌跡。①焦點：這兩個定點F1、F2②焦距：焦點間的距離｜F1F2｜2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2a2-y2b2（1）推理：由雙曲線定義，雙曲線就是集合P={M｜｜MF1｜-｜MF2｜=2a}｜MF1｜=（x+c）2+y2∴（x+c）2+y2化簡得x2a2-y2c2?令c2-a2=b2，得x2a2-y2b2（2）焦點：F1（-c，0）F2（c，0）焦距：｜F1F2｜=2c3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（“誰正在誰上”）①焦點在x軸上：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）c②焦點在y軸上：y2a2-x2b2=1（a>0，b>0）c4.雙曲線方程的統(tǒng)一形式：mx2+ny2=1（mn<0）二、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程：x2a2-y2b1.取值范圍：x≤-a或x≥a（x2≥a2）F2(c，0)XyF2(c，0)XyF1(-c，0)OB1B2A1A2(-a,0)(a,0)(0,b)(0,-b)3.頂點：雙曲線與它的對稱軸x軸的兩個交點。A1（-a，0）A2（a，0）令x=0，得y2=-b2沒有實數(shù)根，所以雙曲線和y軸沒有交點。把B1（0，-b）B2（0，b）畫在y軸上：實軸：A1A2（｜A1A2｜=2a）長實軸長：a虛軸：B1B2（｜B1B2｜=2b）短虛軸長：b（c2-a2=b2）4.漸近線：矩形的兩條對角線。y=±bax5.離心率（e=ca，c>a>0，e>1）:我們把雙曲線的焦距與實軸長的比ca稱為橢圓的離心率，用e表示。含義：ba=c①當(dāng)e∈(1，+∞)時，ca∈(0，+∞)，且e增大，b②e表示雙曲線開口大小的一個量，e越大，開口越大。6.等軸雙曲線：實軸=虛軸的雙曲線（a=b時）。x2-y2=m（m≠0）漸近線為y=±1二、關(guān)于雙曲線的拓展1.關(guān)于直線與雙曲線的交點：①該直線為漸近線，則沒有交點。②平行于漸近線，則有一個交點。③