結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)第六章多自由度系統(tǒng)振動(dòng)

第六章多自由度系統(tǒng)振動(dòng)(一)§6-1用剛度法與柔度法列運(yùn)動(dòng)微分方程1．剛度法

圖示簡(jiǎn)支梁，剛度系數(shù)kij定義為：使質(zhì)量mj的位移xj＝1而其余質(zhì)量位移xi＝0(i≠j)時(shí)在xi處所需要（施加）的力。一般情況下，若各質(zhì)量均有位移x1、x2、...、xn，則在xi處所需力的總和為：設(shè)每一質(zhì)量mi上作用的外力為Fi(t)，對(duì)每一質(zhì)量運(yùn)用牛頓第二定律，可得運(yùn)動(dòng)微分方程：用矩陣符號(hào)可寫(xiě)成：〈例〉求圖示五自由度系統(tǒng)的剛度矩陣。解：首先用力使m1產(chǎn)生單位位移，并用力使其余質(zhì)量不動(dòng)，則需要給m1的力為k1與k2的彈性力和，即k11＝k1+k2。此時(shí)m2需加力為k2，沿x的負(fù)方向，即k21＝-k2，其余質(zhì)量不必施加任何力，即k31＝k41＝k51＝0。用類(lèi)似方法可得其余剛度系數(shù)，于是有：利用功的互等原理可知，剛度矩陣是對(duì)稱(chēng)陣，即有kij＝kji，于是上述剛度矩陣為：⒉柔度法柔度系數(shù)aij定義為：在第j個(gè)質(zhì)量上作用單位力時(shí)在第i個(gè)質(zhì)量上產(chǎn)生的位移。于是：若在第j個(gè)質(zhì)量上作用有力F，則在第i個(gè)質(zhì)量上產(chǎn)生的位移將是aij*F；

若在第j個(gè)質(zhì)量上作用的是慣性力，方向與坐標(biāo)相反，則在第i個(gè)質(zhì)量上產(chǎn)生的位移將是；若所有質(zhì)量都有慣性力，則：若所有質(zhì)量都有慣性力，則：寫(xiě)成矩陣形式為：或?qū)懗桑涸趧偨刀染鼐荜嘯K真]非奇總異條壓件下蕉，柔板度矩胃陣[A趨]與剛急度矩統(tǒng)陣[K撐]存在銷(xiāo)如下源的互吧逆關(guān)鑄系：與剛常度矩傾陣類(lèi)肥似，稻有aij＝aji?！蠢登髨D給示三秋自由衡度簡(jiǎn)剝支梁可柔度餓矩陣斃。已畏知梁波的EI、L。解：偽利用版簡(jiǎn)支乘梁在艷單位竊集中焦力作網(wǎng)用下僵的撓衛(wèi)度公偵式其他取柔度紛影響征系數(shù)么：mm2mPL柔度烘矩陣園為：?jiǎn)栴}末：[A鐘]中元納素是尿否一煤定為醉正？〈例〉求圖良示三央自由蘭度系毀統(tǒng)的冬剛度課矩陣逢和柔消度矩疊陣。解：易鬧得剛心度矩間陣為霸：m1上加釘單位致力，永各質(zhì)筆量的訪位移昨分別槐為：m2上加吸單位蝴力，哭各質(zhì)襯量的熱位移啄分別掉為：〈例〉求圖殃示三揪自由柄度系柜統(tǒng)的著剛度廊矩陣膚和柔世度矩堂陣。m3上加士單位甲力，累各質(zhì)麗量的短位移扔分別嘆為：柔度摸矩陣魄為：〈例〉求圖香示三搖自由勁度系穗統(tǒng)的勿剛度左矩陣勉和柔掠度矩勝陣。對(duì)彈稅性系交統(tǒng)來(lái)登說(shuō)，途總存符在剛鏟度矩搬陣，鎖但不撞一定赴存在粒柔度菌矩陣須，當(dāng)須系統(tǒng)雷中存丹在剛災(zāi)體位抽移（疊模態(tài)洽）時(shí)前，就貿(mào)是這垂種情究況，羽此時(shí)飛，剛頁(yè)度矩虜陣是厘奇異扮的，胸矩陣以行列怨式等當(dāng)于零檢，因勝而不悟存在識(shí)逆矩扮陣。如本獨(dú)例中粒的k1=0拉格牽朗日范方程想在建獻(xiàn)立多舉度系部統(tǒng)動(dòng)冤力學(xué)俯微分怕方程襪時(shí)是災(zāi)非常朽有效核的。設(shè)廣私義坐扁標(biāo)qj，則皂拉格歌朗日惑方程緒可表送為：§6偶-2用拉肝格朗讓日方巡壽程列致振動(dòng)訴微分頃方程式中宮：Qj為對(duì)雕應(yīng)于朽廣義柄坐標(biāo)博qj的廣畝義力的。對(duì)于記保守次系統(tǒng)戴，L聚＝T辛－U壇，有(T為系炊統(tǒng)動(dòng)撕能，U為勢(shì)移能，L稱(chēng)為患拉氏饅函數(shù))〈例〉求圖啞示三叼自由煉度系興統(tǒng)的提運(yùn)動(dòng)房誠(chéng)微分懂方程片。解：澆系統(tǒng)歷動(dòng)能舍為：勢(shì)能鴿為：拉氏辱函數(shù)：〈例〉求圖惹示三館自由己度系阿統(tǒng)的笑運(yùn)動(dòng)輕微分密方程截。同樣隨可以林求出銜另外漿兩個(gè)棋微分璃方程期：〈例〉求圖評(píng)示兩炕自由幕度系寄統(tǒng)的鐮運(yùn)動(dòng)泊微分特方程鉗。解：質(zhì)量m的位啟置坐血標(biāo)為系統(tǒng)批動(dòng)能怪為：一般領(lǐng)來(lái)說(shuō)最，拉腐格朗迷日方雪程對(duì)猶于剛豈度矩濤陣或魚(yú)柔度伶矩陣湖不易臉求出設(shè)的振身動(dòng)系班統(tǒng)更診能顯繩示其豎優(yōu)越限性。LmMkxφx系統(tǒng)勢(shì)能皮為：φx系統(tǒng)拉氏敢函數(shù)滴為：φx鄒經(jīng)撇湘老熱師書(shū)P5膀2“動(dòng)能T與廣顛義坐買(mǎi)標(biāo)無(wú)左關(guān)(因質(zhì)技量是個(gè)常數(shù))”說(shuō)法郵是存圣疑的辦。在上制一章墻，我耳們已污討論梯了二納自由擁度系級(jí)統(tǒng)的述固有驢頻率忌與主團(tuán)振型主，現(xiàn)宰在我仿們來(lái)家討論n自由偏度系賽統(tǒng)的店情況蕉。n自晝由度恥系統(tǒng)扛自由披振動(dòng)喇微分坡方程漆為：§6結(jié)-3固有嫩頻率拾與主尊振型訓(xùn)（特倡征值膽與特鑄征向橋量）非零館解條朗件為繞：非零珍解條更件為徒：此式底稱(chēng)為異系統(tǒng)肉的頻吳率方舅程或窗特征郵方程寇，對(duì)幣于正樹(shù)定或棗半正跑定實(shí)捕對(duì)稱(chēng)怨矩陣碑[M膝]與頃[K繳]，堵它有蹤蝶n個(gè)親正的蜻實(shí)根很ωi(i萌＝1什,2保,.平..滿,n崇)，優(yōu)特此征值命λi等于妥固有繳頻率槐ωi的平怒方，塔即將ωi代入(*強(qiáng))式即浴可得鍬到n個(gè)主蛇振型(特征伏向量)殲{u}i對(duì)任乓意j凳，同濾樣有§6雞-4主振愛(ài)型（斧特征未向量遍）的譽(yù)正交齒性特征對(duì)滿足特征矩陣方程：將(枯a)棉式兩館邊轉(zhuǎn)營(yíng)置后爆右乘反{u羨}j，得(c)縫(d)兩式鄰相減淋，得虎：若i≠遞j，則ωi≠ωj，于松是說(shuō)明裙各個(gè)哀主振顧型關(guān)紅于[M灰]與[K押]存在可加權(quán)教正交述性。Mi與Ki分別版稱(chēng)為離第i階模留態(tài)質(zhì)視量與盲模態(tài)淚剛度執(zhí)。用前心面兩伏自由捧度例箭子說(shuō)煙明有時(shí)盛，系墊統(tǒng)的女頻率亞方程桐或特燃征方桃程會(huì)蘿出現(xiàn)壯重根唉的情口況，汗此時(shí)亭，按材前面譜的方欺法就轎不能飄唯一標(biāo)確定婆特征項(xiàng)向量鐮。§6巧-5等固退有頻領(lǐng)率（坐重特盞征值鵝）的街情況設(shè)λ1＝λ2＝λr，{u消}1與{u段}2是對(duì)矩應(yīng)的鬧特征天向量長(zhǎng)，即唐有則{u共}1與{u附}2的線息性組斷合{u}r＝（a{江u}1＋b{仔u}2）也令是特憶征值λr的特境征向側(cè)量。逗事實(shí)永上，飲有另外鑼?zhuān)刹m特征疾向量累的正顧交性載，有由此欲即可訓(xùn)求出環(huán)重特延征值雜的特恩征向開(kāi)量{u奏}1和{u幸}2。具有休重特嫩征值奴的系帶統(tǒng)，暴有時(shí)急又稱(chēng)淚為“他簡(jiǎn)并共”系央統(tǒng)或舒“退豆化”裙系統(tǒng)聰?！蠢登髨D賺示三桐自由塑度系逆統(tǒng)的懇特征明對(duì)（談固有步模態(tài)孤）。解：唐特征批矩陣冒方程愚為：頻率護(hù)方程池為：將代入特征矩陣方程，求出：將代入特征矩陣方程，求出：先求，它有兩個(gè)元素可任選，取再求,它滿足關(guān)于[M]與[K]的正交性條件：取u13＝1，則u33＝0，u23＝－1可以坑檢驗(yàn)笑特征散向量凳關(guān)于儀質(zhì)量爭(zhēng)矩陣毫和剛宋度矩述陣的季正交捉性各階賣(mài)振型役物理群意義值描述培如何窄？振動(dòng)售微分惠方程§6材-6主振青型矩閘陣與半標(biāo)準(zhǔn)際振型亂矩陣通常愈既是拖靜力筑耦合剪的又說(shuō)是動(dòng)鉗力耦晚合的言，在士二自煌由度擴(kuò)系統(tǒng)膨時(shí)曾倉(cāng)經(jīng)采督用主兄坐標(biāo)曉變換拆，得授以解置耦，顫所采比用的籍變換碎矩陣[U輝]＝[{忽u}1{u糞}2]我們罷稱(chēng)為妥主振絮型矩差陣，州對(duì)n自由屈度系膀統(tǒng)，冷主振晶型矩桃陣為亂：{u}i為系穗統(tǒng)的文第i階主抵振型干或模剝態(tài)向釋量。利用隊(duì)主坐售標(biāo)變腫換：{x主}＝[U]聽(tīng){y}代入到振動(dòng)微分方程，并前乘，有利用振型的正交性，不難證明都是對(duì)角陣。實(shí)際上，按分塊矩陣乘法，有

同理領(lǐng)，有阻：于是絹，微資分方框程得謎以解奸耦。將各個(gè){u}i分別除以相應(yīng)的模態(tài)質(zhì)量的平方根，構(gòu)成的振型矩陣稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)振型矩陣，此時(shí)有我們身稱(chēng)為朱模態(tài)文質(zhì)量尼歸一晉化的知特征互向量。無(wú)阻田尼系公統(tǒng)振怒動(dòng)微釣分方今程為§6唇-7無(wú)阻臟尼系羞統(tǒng)的帆強(qiáng)迫學(xué)振動(dòng)作變槽換：{x具}＝[U]夸{y}代入儲(chǔ)到振勸動(dòng)