專題42隨機抽樣用樣本估計總體（原卷版）

專題42隨機抽樣、用樣本估計總體№專題42隨機抽樣、用樣本估計總體№考向解讀?考點精析?真題精講?模擬精練?專題訓(xùn)練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題42隨機抽樣、用樣本估計總體命題解讀命題預(yù)測復(fù)習(xí)建議隨機抽樣、用樣本估計總體在高考中是出題頻率比較高，其中抽樣方法容易出選擇題，頻率分布直方圖考的比較多，常結(jié)合樣本的數(shù)字特征出題，這部分出題比較靈活，多結(jié)合目前的實際問題出題，考查分析問題的能力，以及處理數(shù)據(jù)的能力。預(yù)計2024年的高考隨機抽樣還會出題，出題形式可以是選擇、填空，也可以是解答，在解答題中常與概率等聯(lián)合出題，考查分析問題能力和計算能力。集合復(fù)習(xí)策略：1.掌握各種抽樣方法，理解頻率分布直方圖；2.理解樣本的數(shù)字特征，并會計算數(shù)字特征?！?考點精析←一隨機抽樣的方法1.簡單隨機抽樣(1)抽取方式:逐個不放回抽取;

(2)每個個體被抽到的概率相等;

(3)常用方法:抽簽法和隨機數(shù)法.

2.分層抽樣(1)定義:在抽樣時,將總體分成互不交叉的層,然后按照一定的比例,從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體,將各層取出的個體合在一起作為樣本,這種抽樣方法是一種分層抽樣.(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍:當(dāng)總體是由差異明顯的幾個部分組成時,往往選用分層抽樣.

二樣本的數(shù)字特征1.作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差);

(2)決定組距與組數(shù);

(3)將數(shù)據(jù)分組;

(4)列頻率分布表;

(5)畫頻率分布直方圖.

2.頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖:連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點,就得到頻率分布折線圖.

(2)總體密度曲線:隨著樣本容量的增加,作圖時所分的組數(shù)增加,組距減小,相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線,統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.

3.樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)數(shù)字特征定義與求法優(yōu)點與缺點眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)

眾數(shù)通常用于描述變量的值出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù),但它對其他數(shù)據(jù)信息的忽視比較明顯,使它無法客觀地反映總體特征中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,處在中間位置的一個數(shù)據(jù)(或兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))

中位數(shù)等分樣本數(shù)據(jù)所占頻率,它不受少數(shù)幾個極端值的影響,這在某些情況下是優(yōu)點,但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點平均數(shù)如果有n個數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,那么這n個數(shù)的平均數(shù)x=x平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān),可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息,但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大,使平均數(shù)在估計總體時可靠性降低(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差①標(biāo)準(zhǔn)差:樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離,一般用s表示,s=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…②方差:標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2.s2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]→?真題精講←1．（全國高考真題）下列統(tǒng)計量中，能度量樣本的離散程度的是（）A．樣本的標(biāo)準(zhǔn)差 B．樣本的中位數(shù)C．樣本的極差 D．樣本的平均數(shù)2．（天津高考真題）從某網(wǎng)絡(luò)平臺推薦的影視作品中抽取部，統(tǒng)計其評分分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得個評分?jǐn)?shù)據(jù)分為組：、、、，并整理得到如下的費率分布直方圖，則評分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量是（）A． B． C． D．3．（全國高考真題（理））某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備新設(shè)備舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．（1）求，，，；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）．4．（2021·河南高三其他模擬（文））2021年7月1日是中國共產(chǎn)黨百年華誕，某社區(qū)將組織主題為“紅歌獻給黨”的百人大合唱，將這100人的年齡分成，，，，，，7段后得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求這100人年齡的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點值代表)，并求中位數(shù)的估計值；（2）若從樣本中年齡在的人員中按分層抽樣法選取5人，然后從這5人中選出2人做領(lǐng)隊，求這2名領(lǐng)隊分別來自與兩組的概率.→?模擬精練←1．（2023·江蘇南通·二模）已知甲種雜交水稻近五年的產(chǎn)量（單位：t/hm2）數(shù)據(jù)為：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙種雜交水稻近五年的產(chǎn)量（單位：t/hm2）數(shù)據(jù)為：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，則（）A．甲種的樣本極差小于乙種的樣本極差B．甲種的樣本平均數(shù)等于乙種的樣本平均數(shù)C．甲種的樣本方差大于乙種的樣本方差D．甲種的樣本60百分位數(shù)小于乙種的樣本60百分位數(shù)2．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）某校1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)文化知識競賽，每名學(xué)生的成績，成績不低于90分為優(yōu)秀，依此估計優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為____________（結(jié)果填整數(shù)）.附：若，則，.3．（2021·河南高三其他模擬（文））某生物研究小組準(zhǔn)備探究某種蜻蜒的翼長分布規(guī)律，隨機捕捉20只該種蜻蜓，測量它們的翼長（翼長為整數(shù)，單位：mm）并繪制成如下的莖葉圖和一部分頻率分布直方圖，其中基葉圖中有一處數(shù)字看不清（用表示），但已知莖葉圖中每一行的數(shù)據(jù)都按照從小到大的順序排列且無相同數(shù)據(jù)頻率分布直方圖每個分組含左端點不含右端點．（1）求的值；（2）根據(jù)莖葉圖將頻率分布直方圖補充完整；（3）分別根據(jù)莖葉圖和頻率分布直方圖計算蜻蜓翼長的中位數(shù)，并分析哪個中位數(shù)可以更準(zhǔn)確地反映蜻蜓翼長的總體情況．4．（2021·貴州黔東南苗族侗族自治州·凱里一中高三三模（文））2020年7月29日，貴州省林業(yè)局發(fā)布全省2019年度森林覆蓋率，黔東南州森林覆蓋率為，這是自2012年全省開展小康森林覆蓋率指標(biāo)監(jiān)測工作以來，黔東南州連續(xù)年位居全省市州第一，“綠水青山就是金山銀山”已成為新時代中國特色社會主義生態(tài)文明建設(shè)的重要內(nèi)容.某社團在一次研學(xué)旅活動中，為了解某苗圃基地的紅豆杉幼苗生長情況，從基地的樹苗中隨機抽取了株測量高度(單位：)，經(jīng)統(tǒng)計，樹苗的高度均在區(qū)間內(nèi)，將其按，，，，，分成組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求直方圖中的值，并估計樹苗的平均高度；（2）該社團決定從樹苗的高度在中采用分層抽樣的方法抽取株樹苗帶回學(xué)校栽種，然后再從這株樹苗中隨機抽取株跟蹤研究，求恰有株樹苗高度在的概率.5．（2021·黑龍江大慶市·大慶實驗中學(xué)高三其他模擬（文））某企業(yè)銷售部門為了解員工的銷售能力，設(shè)計了關(guān)于銷售的問卷調(diào)查表，從該部門現(xiàn)有員工中性別(男生占45%)分層抽取n名進行問卷調(diào)查，得分分為1，2，3，4，5五個檔次，各檔次中參與問卷調(diào)查的員工的人數(shù)如條形圖所示，已知第5檔員工的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的.（1）（i）求n與a的值；（ii）若將某員工得分所在的檔次作為該員工的銷售能力基數(shù)(記銷售能力基數(shù)為能力基數(shù)高，其他均為能力基數(shù)不高).在銷售能力基數(shù)為5的員工中，女生與男生的比例為7∶3，以抽的n名員工為研究對象，完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為銷售能力基數(shù)高不高與性別有關(guān).男生女生合計銷售能力基數(shù)高銷售能力基數(shù)不高合計（2）為提高員工的銷售能力，部門組織員工參加各種形式的培訓(xùn)講座，經(jīng)過培訓(xùn)，每位員工的營銷能力指數(shù)y與銷售能力基數(shù)以及參加培訓(xùn)的次數(shù)t滿足函數(shù)關(guān)系式.如果員工甲的銷售能力基數(shù)為4，員工乙的銷售能力基數(shù)為2，則在甲不參加培訓(xùn)的情況下，乙至少需要參加多少次培訓(xùn)，其營銷能力指數(shù)才能超過甲？參考數(shù)據(jù)及參考公式：，附：，其中.6．（2023·江蘇無錫·輔仁高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）互花米草是禾本科草本植物，其根系發(fā)達，具有極高的繁殖系數(shù)，對近海生態(tài)具有較大的危害．為盡快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印發(fā)了《莆田市互花米草除治攻堅實施方案》，對全市除治攻堅行動做了具體部署．某研究小組為了解甲、乙兩鎮(zhèn)的互花米草根系分布深度情況，采用按比例分層抽樣的方法抽取樣本．已知甲鎮(zhèn)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差；乙鎮(zhèn)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差．(1)求由兩鎮(zhèn)樣本組成的總樣本的平均數(shù)及其方差；(2)為營造“廣泛發(fā)動、全民參與”的濃厚氛圍，甲、乙兩鎮(zhèn)決定進行一次“互花米草除治大練兵”比賽，兩鎮(zhèn)各派一支代表隊參加，經(jīng)抽簽確定第一場在甲鎮(zhèn)舉行．比賽規(guī)則：每場比賽直至分出勝負為止，勝方得1分，負方得0分，下一場在負方舉行，先得2分的代表隊獲勝，比賽結(jié)束．當(dāng)比賽在甲鎮(zhèn)舉行時，甲鎮(zhèn)代表隊獲勝的概率為，當(dāng)比賽在乙鎮(zhèn)舉行時，甲鎮(zhèn)代表隊獲勝的概率為X，求．參考數(shù)據(jù)：．→?專題訓(xùn)練←1．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）為了了解小學(xué)生的體能情況，抽取了某小學(xué)四年級100名學(xué)生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，繪制如下頻率分布直方圖.根據(jù)此圖，下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．B．估計該小學(xué)四年級學(xué)生的一分鐘跳繩的平均次數(shù)超過125C．估計該小學(xué)四年級學(xué)生的一分鐘跳繩次數(shù)的中位數(shù)約為119D．四年級學(xué)生一分鐘跳繩超過125次以上優(yōu)秀，則估計該小學(xué)四年級優(yōu)秀率為35%2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）某校隨機抽取了100名學(xué)生測量體重，經(jīng)統(tǒng)計，這些學(xué)生的體重數(shù)據(jù)（單位：kg）全部介于45至70之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（

）A．頻率分布直方圖中aB．這100名學(xué)生中體重低于60kg的人數(shù)為60C．據(jù)此可以估計該校學(xué)生體重的第78百分位數(shù)約為623．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在某市高二舉行的一次期中考試中，某學(xué)科共有2000人參加考試.為了了解本次考試學(xué)生成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績（成績均為正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進行統(tǒng)計，樣本容量為.按照的分組作出頻率分布直方圖，如圖所示.其中，成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為16.則下列結(jié)論正確的有（

）A．樣本容量B．圖中C．估計該市全體學(xué)生成績的平均分為分D．該市要對成績由高到低前的學(xué)生授予“優(yōu)秀學(xué)生”稱號，則成績?yōu)?8分的學(xué)生肯定能得到此稱號4．（2021·全國高考真題）下列統(tǒng)計量中，能度量樣本的離散程度的是（）A．樣本的標(biāo)準(zhǔn)差 B．樣本的中位數(shù)C．樣本的極差 D．樣本的平均數(shù)5．（2021·全國高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中(為非零常數(shù)，則（）A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D．兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同6.為了評估某家快遞公司的服務(wù)質(zhì)量，某評估小組進行了客戶滿意度調(diào)查，從該公司參與調(diào)查的客戶中隨機抽取500名客戶的評分，評分均在區(qū)間上，分組為，，，，，其頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定評分在60分以下表示對該公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意，則這500名客戶中對該公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶的人數(shù)為（）A．15 B．16 C．17 D．187.已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，則眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)分別為（）A． B． C． D．8.演講比賽共有10位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從10個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到8個有效評分．8個有效評分與10個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（）．A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．方差 D．極差9.某人從一魚池中捕得120條魚，做了記號后再放回池中，經(jīng)過一段時間后，再從該魚池中捕得100，經(jīng)過發(fā)現(xiàn)有記號的魚有10條（假定該魚池中魚的數(shù)量既不減少也不增加）則池中大約有魚（）A．120 B．1000條 C．130條 D．1200條10.某地區(qū)有高中生人，初中生有人，小學(xué)生人，此地區(qū)教育部門為了了解本地區(qū)中小學(xué)生的近視情況及形成原因，要從本地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進行調(diào)查，已知抽取的高中生人數(shù)為人，則該地區(qū)教育部門共抽取了人進行調(diào)查（）A． B．C． D．11．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模擬（理））某科技企業(yè)投資2億元生產(chǎn)一種供5G智能手機使用的芯片，該芯片因生產(chǎn)原因其性能存在著一定的差異，該企業(yè)為掌握芯片的性能情況，從所生產(chǎn)的芯片中隨機抽取了200片進行了性能測試，得到其性能指標(biāo)值的頻數(shù)分布表如下所示(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點值作代表).性能指標(biāo)值/分頻數(shù)203040603020利用樣本估計總體的思想，解決下列問題：（1）估計該科技企業(yè)所生產(chǎn)的芯片性能指標(biāo)值的平均數(shù)；（2）每塊芯片的性能等級和純利潤(單位：元/片，)如下表所示：性能指標(biāo)值等級次品級級級純利潤（i）從該科技企業(yè)所生產(chǎn)的芯片中隨機抽取3片芯片，試求至少有2片芯片為級或級芯片的概率；（ii）若該科技企業(yè)該芯片的年產(chǎn)量為200萬片，其中次品直接報廢處理，其他芯片全部能被手機廠商收購，問：該企業(yè)兩年之內(nèi)是否有可能收回總投資？試說明理由.參考數(shù)據(jù)：.12．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)校考模擬預(yù)測）某市統(tǒng)計高中生身體素質(zhì)的狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標(biāo)值不小于60就認為身體素質(zhì)合格．現(xiàn)從全市隨機抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值，經(jīng)計算，．若該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值服從正態(tài)分布，則估計該市高中生身體素質(zhì)的合格率為______．（用百分?jǐn)?shù)作答，精確到0.1%）參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，．13．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）某工廠一臺設(shè)備生產(chǎn)一種特定零件，工廠為了解該設(shè)備的生產(chǎn)情況，隨機抽檢了該設(shè)備在一個生產(chǎn)周期中的100件產(chǎn)品的關(guān)鍵指標(biāo)（單位：），