高中必修一函數(shù)的奇偶性詳細(xì)講解及練習(xí)(詳細(xì)答案)

高中必修一函數(shù)的奇偶性詳細(xì)講解及練習(xí)(詳細(xì)答案)首先，畫出函數(shù)y=-x^2+2|x|+3的圖像，然后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。當(dāng)x≥0時(shí)，y=-x^2+2x+3=-(x-1)+4；當(dāng)x<0時(shí)，y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4。因此，在區(qū)間（-∞，-1］和［1，+∞）上，函數(shù)是增函數(shù)；在［-1，1］上，函數(shù)是減函數(shù)。需要注意的是，函數(shù)單調(diào)性是針對某個(gè)區(qū)間而言的，對于單獨(dú)一個(gè)點(diǎn)沒有增減變化，因此對于區(qū)間端點(diǎn)只要函數(shù)有意義，都可以帶上。接下來，考慮函數(shù)f（x）=x^2+2(a-1)x+2在區(qū)間（-∞，4］上是減函數(shù)的情況下，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。首先，要充分運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，以對稱軸為界線這一特征。將f（x）=x^2+2(a-1)x+2寫成［x+(a-1)］^2-(a-1)^2+2的形式，可以發(fā)現(xiàn)其對稱軸是x=1-a。因?yàn)樵趨^(qū)間（-∞，1-a］上f（x）是單調(diào)遞減的，若使f（x）在（-∞，4］上單調(diào)遞減，對稱軸x=1-a必須在x=4的右側(cè)或與其重合，即1-a≥4，a≤-3。最后，判斷函數(shù)f（x）=-2的奇偶性和函數(shù)f（x）=(x-1)的奇偶性。對于第一個(gè)函數(shù)，其定義域?yàn)镽，因?yàn)閒（-x）=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f（x），因此f（x）為奇函數(shù)。對于第二個(gè)函數(shù)，其定義域?yàn)閧x|-1≤x＜1}，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，需要先求出函數(shù)的定義域，并考查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱。然后計(jì)算f（-x），并與f（x）比較，判斷f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）之一是否成立。如果f（-x）與-f（x）的關(guān)系不明確，可以考查f（-x）±f（x）是否成立，從而判斷函數(shù)的奇偶性。最后，對于函數(shù)f（x）=|x|/x，需要判斷其奇偶性并確定其在（-∞，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)。由于f（x）的定義域?yàn)镽，且f（-x）=f（x），因此f（x）為偶函數(shù)。又因?yàn)閒（x）在x<0和x>0時(shí)分別等于-1和1，因此在（-∞，0）和（0，+∞）上分別為減函數(shù)和增函數(shù)，即在（-∞，+∞）上為奇函數(shù)。所以$x_1+x_2<x_1^2+x_2^2$，即$f(x_1)-f(x_2)<0$。根據(jù)函數(shù)的增減性定義，得$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上為減函數(shù)。評(píng)析：需要將符號(hào)錯(cuò)誤的地方進(jìn)行修改，同時(shí)在表述時(shí)要更加清晰準(zhǔn)確，避免出現(xiàn)歧義。例4已知$y=f(x)$是奇函數(shù)，它在$(0,+\infty)$上是增函數(shù)，且$f(x)<0$，試問$F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt$在$(-\infty,+\infty)$上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論。分析：根據(jù)函數(shù)的增減性定義，對于任意$x_1<x_2$，有$F(x_1)-F(x_2)=\int_{-\infty}^{x_1}f(t)dt-\int_{-\infty}^{x_2}f(t)dt=\int_{x_2}^{x_1}f(t)dt$。因?yàn)?f(x)<0$，所以$\int_{x_2}^{x_1}f(t)dt<0$，即$F(x_1)-F(x_2)<0$，故$F(x)$在$(-\infty,+\infty)$上為減函數(shù)。評(píng)析：需要將符號(hào)錯(cuò)誤的地方進(jìn)行修改，同時(shí)在表述時(shí)要更加清晰準(zhǔn)確，避免出現(xiàn)歧義。另外，需要注意符號(hào)與數(shù)值的區(qū)別，避免混淆。2.作差f(x1)-f(x2)，并將此差式變形；3.判斷f(x1)-f(x2)的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性。例6：證明函數(shù)f(x)=x+(k>0)在區(qū)間(0,k]上單調(diào)遞減。解：設(shè)0<x1<x2≤k，則f(x1)-f(x2)=x1-x2<0因?yàn)閤1<x2，所以x1-x2<0。因此，f(x1)>f(x2)，即f(x)=x+(k>0)在區(qū)間(0,k]上是減函數(shù)。評(píng)析：函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性反映了函數(shù)f(x)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)。因此，若要證明f(x)在[a,b]上是增函數(shù)（減函數(shù)），就必須證明對于區(qū)間[a,b]上任意兩點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有不等式f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)）。類似可以證明：函數(shù)f(x)=x+(k>0)在區(qū)間[k,+∞)上是增函數(shù)。例7：判斷函數(shù)f(x)=|x-2|的奇偶性。分析：確定函數(shù)的定義域后可脫去絕對值符號(hào)。解：由f(x)=|x-2|得函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,1]。這時(shí)，|x-2|=2-x?！鄁(x)=2-x?！鄁(-x)=2-(-x)=x+2=f(x)。且注意到f(x)不恒為零，從而可知，f(x)=2-x是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)。評(píng)析：由于函數(shù)解析式中的絕對值使得所給函數(shù)不像具有奇偶性，若不作深入思考，便會(huì)作出其非奇非偶的判斷。但隱含條件（定義域）被揭示之后，函數(shù)的奇偶性就非常明顯了。這樣看來，解題中先確定函數(shù)的定義域不僅可以避免錯(cuò)誤，而且有時(shí)還可以避開討論，簡化解題過程。函數(shù)奇偶性練習(xí)一、選擇題1.已知函數(shù)f(x)=ax^4+bx^2+c（a≠0）是偶函數(shù)，那么g(x)=ax^4+bx^2+c（a≠0）的奇偶性為：A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既奇又偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)解析：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)。將g(x)代入得到g(-x)=a(-x)^4+b(-x)^2+c=ax^4+bx^2+c=g(x)。所以g(x)是偶函數(shù)。答案：B2.已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+3a+b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閇a-1,2a]，則a=2，b=A.1B.-1C.2D.3解析：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)。將f(x)代入得到f(-x)=a(-x)^2+b(-x)+3a+b=ax^2+bx+3a+b=f(x)。因?yàn)槎x域?yàn)閇a-1,2a]，所以有2a-a+1>=0，即a>=-1/2。又因?yàn)閍≠0，所以a>0。因此，a=2。將a=2代入得到2x^2+bx+7b=f(x)。因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以b=0。因此，b=0。答案：B3.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)=x-2x，則f(x)在R上的表達(dá)式是：A.f(x)=x-2xB.f(x)=xC.f(x)=x+2xD.f(x)=-x解析：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x)。當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)=x-2x=-x。因此，當(dāng)x<2時(shí)，f(x)=2x-x=x；當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)=-x。綜上可得f(x)=|x|。答案：Dx＜0時(shí)，f（x）＝－x2＋2x，f（x）為偶函數(shù)，故選B．4．解析：代入f（－2）＝10得－2a－2b＝20，代入f（2）得2a＋2b＝14，解得a＝－6，b＝7，代入f（2）得f（2）＝－26，故選A．5．解析：化簡得f（－x）＝f（x），故為偶函數(shù)，選A．6．解析：由a（x）＋bg（x）＝f（x）－2，得a（－x）＋bg（－x）＝f（－x）－2，又因?yàn)椋▁）和g（x）均為奇函數(shù)，故f（x）也為奇函數(shù)，故在（－∞，）上有最小值－5，故選A．7．解析：化簡得f（－x）＝－f（x），故為奇函數(shù)，選奇函數(shù)．8．解析：化簡得m＝2，故選2．9．解析：化簡得f（x）＝12（1x1－g（x）），由f（x）為偶函數(shù)，故g（x）為奇函數(shù)，故f（x）為偶函數(shù)，選12（1x1－g（x））．10．解析：由偶函數(shù)的性質(zhì)可知，f（5）＝f（－5），f（10）＝f（－10），設(shè)f（a）＝0，則f（－a）＝0，故所有實(shí)根為5，－5，10，－10，其和為0，故選0．11．解析：由偶函數(shù)的性質(zhì)可知，f（1－m）＝f（m），又因?yàn)閒（x）在區(qū)間［，2］上單調(diào)遞減，故當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f（1－m）＞f（m），當(dāng)m＝0或m＝1時(shí)，f（1－m）＝f（m），故實(shí)數(shù)m的取值范圍為m∈［0，1］．12．解析：由f（0）≠可知，f（x）不是常數(shù)函數(shù)，故存在x0，使得f（x0）≠0，令y＝x－x0，則f（y＋x0）＋f（y－x0）＝2f（y）·f（x0），代入y得f（x＋x0）＋f（x－x0）＝2f（x）·f（x0），由于f（x）是奇函數(shù)，故f（－x）＝－f（x），代入得f（x－x0）＝－f（x0－x），故f（x＋x0）－f（x0－x）＝2f（x）·f（x0），即f（x＋x0）＋f（x0－x）＝2f（x）·f（x0），故f（x）是偶函數(shù)．13．解析：由f（x）為奇函數(shù)可知，f（－x）＝－f（x），代入得f（x）＝x＋2|x|－1，分段討論可得f（x）＝{2x－1，x＞0－2x－1，x＜00，x＝0}，故選B．14．解析：由f（x）在［5，＋∞）上單調(diào)遞減可得，對于x1＜x2，有f（x1）＞f（x2），即f（－x1）＜f（－x2），故f（x）在（－∞，－5］上單調(diào)遞增，用定義證明即可．15．解析：令x＝y(tǒng)，則f（x2）＝2f（x）·f（y），即f（x）＝2f（x）·f（x），故f（x）為偶函數(shù)．1.當(dāng)$x<0$時(shí)，$f(x)=-x^2-2x=-x(x+2)$。因?yàn)?x<0$，所以$-x>0$，$-x-2<0$，所以$f(x)$是一個(gè)奇函數(shù)。改寫為$f(x)=-x(x+2)$。2.解方程組得$a=1$，$b=-1$。因?yàn)?x(x-2)$在$x\geq0$時(shí)單調(diào)遞增，在$x<0$時(shí)單調(diào)遞減，所以$f(x)$為奇函數(shù)。改寫為$f(x)=x(|x|-2)$。3.刪除該段。4.因?yàn)?f(x)+8=x+ax+bx$是奇函數(shù)，所以$a=b=0$，即$f(x)=x-8$。代入$f(-2)+8=18$得$f(2)+8=-18$，解得$f(2)=-26$。5.因?yàn)?f(x)$是偶函數(shù)，所以$f(-x)=f(x)$。又因?yàn)?\phi(x)$和$g(x)$是奇函數(shù)，所以$f(x)-2=a\phi(x)+bg(x)$也是奇函數(shù)。改寫為$f(x)=a\phi(x)+bg(x)+2$。因?yàn)?f(x)-2$在$(-\infty,+\infty)$上有最大值$3$，所以$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上有最大值$5$，即$a+b=1$，$a-b=3$，解得$a=2$，$b=-1$。因?yàn)?\phi(x)$和$g(x)$均為奇函數(shù)，所以$f(x)$也為奇函數(shù)。6.因?yàn)?\phi(x)$和$g(x)$均為奇函數(shù)，所以$f(x)-2=a\phi(x)+bg(x)$也是奇函數(shù)。又因?yàn)?f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減，所以$f(x)-2$在$(-\infty,0)$上單調(diào)遞減。所以$f(x)-2$在$(-\infty,+\infty)$上有最小值$-3$，即$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上有最小值$-1$。7.刪除該段。8.因?yàn)?y=(m-1)x+2mx+3$是偶函數(shù)，所以$f(-x)=f(x)$。代入$f(x)=mx^2+2x-1$得$m=2$。9.因?yàn)?f(x)$是偶函數(shù)，$g(x)$是奇函數(shù)，所以$f(x)-g(x)$是奇函數(shù)，$f(x)+g(x)$是偶函數(shù)。設(shè)$h(x)=f(x)-g(x)$，$k(x)=f(x)+g(x)$，則$h(x)$是奇函數(shù)，$k(x)$是偶函數(shù)。因?yàn)?h(x),k(x)\neq0$，所以$\frac{h(x)}{k(x)}$的奇偶性與$h(x),k(x)$相同，即$\frac{h(x)}{k(x)}$是奇函數(shù)。代入$\frac{h(x)}{k(x)}=\frac{2x-1}{x-1}$得$f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$。10.因?yàn)?f(x)$是奇函數(shù)，所以$f(0)=0$。11.因?yàn)?f(x)$是偶函數(shù)，所以$f'(0)=0$。又因?yàn)?f''(x)>0$，所以$m<\frac{1}{2}$。12.因?yàn)?f(x)+f(y)=2f(\frac{x+y}{2})f(\frac{x-y}{2})$，代入$x=y$得$f(x)=f^2(\frac{x}{2})$。因?yàn)?f(x)>0$，所以$f(\frac{x}{2})>0$，所以$f(x)=f(\frac{x}{2})^2$。令$x=y$得$f(2x)=f(x)^2$，即$f(x)$是偶函數(shù)。13.當(dāng)$x<0$時(shí)，$f(x)=x+2x-1=-x(x-3)$。因?yàn)?-x>0$，$-x-3<0$，所以$f(x)$是奇函數(shù)。當(dāng)$x=0$時(shí)，$f(x)=0$。當(dāng)$x>0$時(shí)，$f(x)=x+2x-1=3x-1$。因?yàn)?f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，所以$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增。改寫為$f(x)=\begin{cases}-x(x-3),&x<0\\0,&x=0\\3x-1,&x>0\end{cases}$。14.因?yàn)?f(x)$在$[5,+\infty)$上單調(diào)遞減，所以$f(-x)<f(-5)$，即$f(x)>f(5)$。因?yàn)?f(x)$在$(-\infty,-5]$上單調(diào)遞減，所以$f(x)$在$(-\infty,-5]$上單調(diào)遞減。因?yàn)?f(x)$在$(-