與三角形有關(guān)的角

第2講與三角形有關(guān)的角、知識(shí)重點(diǎn)1．三角形內(nèi)角和定理(1)定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.(2)證明方法：(3)理解與延伸：因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定關(guān)系如：①一個(gè)三角形中最多只有一個(gè)鈍角或直角；②一個(gè)三角形中最少有一個(gè)角不小于60°；③直角三角形兩銳角互余；④等邊三角形每個(gè)角都是60°等.(4)作用：已知兩角求第三角或已知三角關(guān)系求角的度數(shù)．談重點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理的理解三角形內(nèi)角和定理是最重要的定理之一，是求角的度數(shù)問題中最基礎(chǔ)的定理，應(yīng)用非常廣泛．【例1】填空：TOC\o"1-5"\h\z在AABC中，若ZA=80°,ZC=20°,則ZB= °；若ZA=80°,ZB=ZC,則ZC= °；已知AABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比ZA：ZB：ZC=2：3：5,則ZB= °,ZC= °.2．直角三角形的性質(zhì)與判定直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余．如圖所示，在RtAABC中，如果ZC=90°,那么ZA+ZB=90°.

答案：B直角三角形的判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．如圖所示，在△ABC中，如果ZA+ZB=90°,那么ZC=90。，即△ABC是直角三角形．【例2—2】如圖所示，AB〃CD,直線EF分別交AB,CD于點(diǎn)E,F,ZBEF的平分線與ZDFE的平分線相交于點(diǎn)P,求證：AEPF是直角三角形.3．三角形的外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.如圖，ZACD就是AABC其中的一個(gè)外角.特點(diǎn)：①三角形的一個(gè)外角和與它同頂點(diǎn)的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角，這是內(nèi)、外角聯(lián)系的紐帶．②一個(gè)三角形有6個(gè)外角，其中兩兩互為對(duì)頂角，如圖所示.破疑點(diǎn)三角形外角的理解外角是相對(duì)于內(nèi)角而言的，也是三角形中重要的角，一個(gè)角對(duì)一個(gè)三角形來說是外角，而對(duì)于另一個(gè)三角形來說可能是內(nèi)角；三角形的角是指的三角形的內(nèi)角，這點(diǎn)要注意．【例3】在AABC中，ZA等于和它相鄰的外角的四分之一，這個(gè)外角等于ZB的兩倍，那么ZA= ,ZB= ,ZC= .4.三角形外角性質(zhì)(1)性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.如圖所示：Z1=ZB+ZC(或

ZZB=Z1-ZC,ZC=Z1-ZB).注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，是一半數(shù)目外角的和.⑵作用：①求角的度數(shù)，在外角、不相鄰的兩內(nèi)角中知道兩角能求第三角，也能求出相鄰內(nèi)角的度數(shù)；②證明角相等，一般是把外角作為中間關(guān)系式證明角相等.析規(guī)律三角形外角的性質(zhì)的理解①三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角和，是由三角形內(nèi)角和是180°和鄰補(bǔ)角關(guān)系推導(dǎo)出來的，是它們應(yīng)用的延伸，所以用這個(gè)性質(zhì)能得出的結(jié)論，用三角形內(nèi)角和也能推出，但走了彎路.②因?yàn)槿切瓮饨鞘峭ㄟ^圖表現(xiàn)出來的，具有隱蔽性，所以應(yīng)用時(shí)要注意觀察圖形．【例4】如圖，一個(gè)直角三角形紙片，剪去直角后，得到一個(gè)四邊形，貝kl+Z2=5．三角形外角和定義(規(guī)定)：如圖所示，在每一個(gè)頂點(diǎn)上取一個(gè)外角，如Zl，Z2，Z3,它們的和叫做三角形的外角和．三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°.注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，是一半數(shù)目外角的和．【例5】如圖所示.用兩種方法說明Z1+Z2+Z3=360°.點(diǎn)評(píng)：同一頂點(diǎn)上的內(nèi)、外角互為鄰補(bǔ)角是內(nèi)、外角關(guān)系轉(zhuǎn)換的最基礎(chǔ)的依據(jù).6.三角形內(nèi)角和定理應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理是三角形中最重要的定理之一，是三角形中關(guān)于角度計(jì)算的基礎(chǔ)，也是其他多邊形求角度數(shù)問題必備的基礎(chǔ)知識(shí)，目前它的應(yīng)用方式主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：已知兩角求第三角這是內(nèi)角和定理最簡(jiǎn)單、直接的應(yīng)用，一般是直接或間接給出三個(gè)內(nèi)角中的兩角，求第三角，比較簡(jiǎn)單，直接用180°減去兩角度數(shù)得出，往往與考查角的單位換算相聯(lián)系.已知三角的比例關(guān)系求各角這類題目一般給出三個(gè)角的比例關(guān)系，通過設(shè)未知數(shù)列方程的方法求解，一般是設(shè)每一份為x度，用含未知數(shù)的式子分別表示出每一個(gè)角的度數(shù)，根據(jù)它們的和是180°列方程求解，然后再求出每一個(gè)角的度數(shù).有時(shí)是通過求角的度數(shù)判斷三角形的形狀，但熟練后從比例關(guān)系中可以直接確定三角形的形狀.已知三角之間相互關(guān)系求未知角這類題目一般是已知各角之間的和、差、倍、分等的數(shù)量關(guān)系，通過等式變形，用一共同的角表示其他兩角，然后根據(jù)內(nèi)角和是180°列出等式，求出其中一角，然后再根據(jù)它們之間的數(shù)量關(guān)系分別求出另兩角，有時(shí)也可以列方程(組)求角的度數(shù)．解技巧利用三角形內(nèi)角和求三角形的內(nèi)角運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求角的度數(shù)題目形式多樣，方法也不同，要根據(jù)實(shí)際靈活運(yùn)用．7．三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用外角性質(zhì)應(yīng)用：三角形外角性質(zhì)是三角形角度計(jì)算中的重要定理，也是求角度運(yùn)算中常用的定理.如圖所示，Z1是AABC的一個(gè)外角，在Z1,ZB,ZC三個(gè)角中，知道任意兩個(gè)角就可以求出第三個(gè)角．Z1=ZB+ZC；ZB=Z1-ZC；ZC=Z1—ZB.破疑點(diǎn)利用三角形外角的性質(zhì)求一個(gè)角的方法因三角形外角的性質(zhì)是由三角形內(nèi)角和與鄰補(bǔ)角定義推出的，所以用外角性質(zhì)能進(jìn)行的運(yùn)算，用三角形內(nèi)角和也能進(jìn)行運(yùn)算，但有外角時(shí)，應(yīng)用外角性質(zhì)更簡(jiǎn)便，所以要改變?cè)瓉砹?xí)慣用三角形內(nèi)角和定理的思維定式，學(xué)會(huì)運(yùn)用外角性質(zhì)定理解決問題．8．三角形內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)、平行線性質(zhì)綜合運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)定理都反映了角之間的數(shù)量關(guān)系，在求角度數(shù)問題中占有重要地位.同樣平行線中也蘊(yùn)含了大量的角之間的關(guān)系(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等、同位角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ))，因此它們常常結(jié)合在一起，綜合應(yīng)用，通過角的等量轉(zhuǎn)化，以求角的度數(shù)或證明角相等.解技巧三角形內(nèi)角和、外角性質(zhì)的綜合運(yùn)用因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角、外角以及形成的鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角等都是通過圖形反映出來的，在已知中不提及，因此運(yùn)用時(shí)要注意觀察圖形，善于發(fā)現(xiàn)各角之間的位置關(guān)系，進(jìn)而確定它們的大小關(guān)系．TOC\o"1-5"\h\z【例6—1】在△ABC中，ZA=80°,ZB=60。，則ZC= °.【例6—2】已知在△ABC中，ZA=40°，ZB—ZC=40。，貝^ZB= ，ZC【例6—3】在△ABC中，ZA：ZB：ZC=5：3：2,那么△人30是( ).A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.任意三角形【例6—4】銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角是ZA,ZB，ZC.如果Za=ZA+ZB，Z“=ZB+ZC,Zy=ZC+ZA，那么Za，Z",Zy這三個(gè)角中( ).A.沒有銳角 B.有1個(gè)銳角C.有2個(gè)銳角 D.有3個(gè)銳角【例7】填空：(1)如圖(1),P為△ABC中BC邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ZA=50°,ZB=70°,則ZACP= °.(2)如圖(2)所示，已知ZABE=142°,ZC=72°,則ZA= °,ZABC=如圖(3),Z3=120°,則Z1—Z2=A．120°A．120°B．240°）．C．300°DC．300°【例8—2】如圖，a〃b，則下列式子中值為180°的是（）.9.運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理判斷三角形形狀判斷三角形形狀是三角形問題中經(jīng)常遇到的題目，而判定三角形形狀方法多樣，其中運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求角，進(jìn)而判斷三角形形狀是最常用的方法.因?yàn)槿切伟唇欠诸惪梢苑譃槿悾衡g角三角形、銳角三角形、直角三角形，此外根據(jù)角的度數(shù)還能判定等腰三角形、等邊三角形，因此根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出三角形某些角的度數(shù)，不僅可以按角分類判斷三角形的形狀，還可以按邊分類判斷三角形的形狀，進(jìn)而了解邊的大小關(guān)系.解技巧利用三角形內(nèi)角和確定三角形的形狀運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求角判斷三角形形狀問題比求角度問題多一步判斷，但不同點(diǎn)是：判斷形狀不是求出所有角，而是根據(jù)所給三角形各內(nèi)角關(guān)系，求某些關(guān)鍵的角，一般是最大角，然后進(jìn)行判斷．【例9—1】一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為2：3：7,這個(gè)三角形一定是（）.A.直角三角形 B.等腰三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形【例9—2】在A4BC中，若ZA=2ZB=3ZC，試判斷這個(gè)三角形的形狀.分析：根據(jù)ZA=2ZB=3ZC，可設(shè)ZA=x°，那么ZB=|x°,ZC=|x°,根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°列方程求出x,再求出最大角的大小，即可判斷出三角形的形狀.10．角平分線的夾角與三角形內(nèi)角關(guān)系的探究根據(jù)三角形的內(nèi)角和，三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系及角平分線的意義，可以探究有關(guān)角平分線的夾角問題.（1）三角形的兩內(nèi)角平分線的夾角與內(nèi)角的關(guān)系如圖，在△ABC中，ZABC的平分線與ZACB的平分線交于點(diǎn)O,求ZBOC與ZA之間的關(guān)系.

結(jié)論：三角形兩內(nèi)角的平分線所夾的鈍角等于90°加上第三角的一半，即ZBOC=90°+2za(2)三角形兩外角的平分線的夾角與內(nèi)角的關(guān)系如圖，在△ABC中，BP，CP分別是△ABC的外角ZDBC和ZECB的平分線，試探究ZBPC與ZA的關(guān)系.結(jié)論：三角形的兩個(gè)外角的平分線所夾的銳角等于90°減去第三個(gè)角的一半，即ZBPC=90°—^ZA.一個(gè)內(nèi)角平分線與一個(gè)外角平分線的夾角與內(nèi)角的關(guān)系如圖，在△ABC中，CE平分ZACB,BE是△ABC的外角ZABD的平分線，試探究ZBEC與ZA的關(guān)系.結(jié)論：三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與外角平分線相交成的銳角等于第三個(gè)內(nèi)角的一半，即/1//bec=2，a.【例10—1】如圖，已知△ABC,ZABC的平分線與ZACB的平分線交于點(diǎn)0,求ZBOC與ZA之間的關(guān)系.【例10【例10—2】的度數(shù)是().A．80°分析：根據(jù)角平分線意義和三角形內(nèi)角和定理，采用整體代入方法，由ZBOC=180°-(Z0BC+Z0CB),經(jīng)過代換得，ZB0C=180°-2ZABC-2ZACB=180°-1(ZABC+ZACB)=180°-|(180°-ZA)，化簡(jiǎn)得出結(jié)論.如圖，BO,CO分別是ZABC，ZACB的兩條平分線，ZA=100°，貝JZBOC例10－3】如圖所示,ZABC的平分線和△ABC的外角ZACE的平分線交于點(diǎn)D,ZD=30°，ZA的度數(shù)是 ；當(dāng)ZD= 時(shí)，Z例10－3】由于每個(gè)角的度數(shù)都不知道，所以需要將五個(gè)角轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中解決，解決此問題有多種方法，①如圖(2),連接BC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等，可將ZA+ZB+ZC+ZD+ZE轉(zhuǎn)化到△ABC中求解；②如圖(3),延長(zhǎng)BD，交AC于F,根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可將ZA+ZB+ZC+ZD+ZE轉(zhuǎn)化到△COF中求解；③如圖(4),也可以延長(zhǎng)CE交AB于G，運(yùn)用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角和，將ZA+ZB+ZC+ZD+ZE轉(zhuǎn)化到ABOG中求解；④向兩方延長(zhǎng)DE也能構(gòu)造出三角形求解．圖⑶ 圖⑷【例11】如圖⑴所示是小亮的爸爸帶回家的一種零件示意圖，它要求ZBDC=140°才合格，小明通過測(cè)量得ZA=90°,ZB=19°,ZC=40°后就下結(jié)論說此零件不合格，于二、綜合練習(xí)一、選擇題1．三角形的三個(gè)外角之比為2:3:4，則與之相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比為（ ）A.2:3:4b.4:3:2c.5:3:1D.1:3:5

2.如圖4,工人師傅砌門時(shí)，常用木條EF固定矩形門框ABCD,使其不變形，這種做法大小不同的三角形的個(gè)數(shù)是（）的根據(jù)是（ ）A.兩點(diǎn)之間直線段最短C.矩形四個(gè)角都是直角的根據(jù)是（ ）A.兩點(diǎn)之間直線段最短C.矩形四個(gè)角都是直角B.矩形的穩(wěn)定性D.三角形的穩(wěn)定性3.如圖5,Z1,Z2,Z3,A.Z1€Z2二Z3€Z4Z4恒滿足的關(guān)系式是（B.Z1€Z2二Z4—Z3圖4 圖5）C.Z1€Z4二Z2€C.Z1€Z4二Z2€Z3 d.Z1€Z4二Z2-Z34.如圖6,Z1€Z2€Z3€Z4€Z5€Z6等于（ ）5.如圖7,在AABC中，D是AB上的一點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，BE,CD相交于F,ZA=70,ZACD=20,/ABE=28,則ZCFE的度數(shù)為（ ）A.62B.68C.78D.90如圖2,以BC為公共邊的三角形的個(gè)數(shù)是（ ）A.2B.3C.4D.5若三條線段中a=3,b=5,c為奇數(shù)，那么由ab,c為邊組成的三角形共有（ ）A.1個(gè) B.3個(gè) C.無數(shù)多個(gè) D.無法確定8.如果線段a,b,c能組成三角形，那么它們的長(zhǎng)度比可能是（ ）A.1:2:4 B.1:3:4C.3:4:7D.2:3:49.不一定能構(gòu)成三角形的一組線段的長(zhǎng)度為（ ）A.3,7,5C.5,5,a（0<a<10? D.a2，b210?已知有長(zhǎng)為1,2,3的線段若干條，任取其中3樣構(gòu)造三角形，則最多能構(gòu)成形狀或A.5B.7C.8 D.10二、填空題如圖1,ZABC的平分線交ZACB的平分線于l，若ZA=60,則ZBIC= o一個(gè)三角形中最多有 個(gè)內(nèi)角是鈍角，最多可有 個(gè)角是銳角.TOC\o"1-5"\h\z三角形兩個(gè)外角的和等于第三個(gè)內(nèi)角的4倍，則第三個(gè)內(nèi)角等于 .如圖