2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市立人高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市立人高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理

月考試題含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.已知m,n是兩條不同直線，％產(chǎn)是兩個(gè)不同平面，給出四個(gè)命題：

①若&0戶=活力匚國;3_1掰，則。JL■月②若也_La,根1.尸，則戊〃尸

③若耀"La”J_旦活,則a_L產(chǎn)④若活"a,%//尸肉〃巴則

a//j8

其中正確的命題是

A.①②B.②③C.①

④D.②④

參考答案：

2.已知數(shù)列加力滿足。一%=2,4=—5,則I.I+&I+…+|/|=()

A.9B15.C.18D.30

參考答案：

C

由題意得數(shù)列為等差數(shù)列,4=—5+2(n—1)=2n-7,因此

|at|+|a2|++|a6|=5+3+14-1+3+5=18.選c.

3.函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)f(x)(xGR)的導(dǎo)函數(shù)，f(1)=0,當(dāng)x<0時(shí)，xf'(x)

+f(x)>0,則使得f(x)<0成立的x的取值范圍是()

A.(-8,-1)u(0,1)B.(-1,0)U(1,+8)C.(…，-1)u(1,

+8)D.(-1,0)U(0,1)

參考答案：

B

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

【專題】數(shù)形結(jié)合；構(gòu)造法；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)g(X)=xf(x),由求導(dǎo)公式和法則求出g'(X),結(jié)合條

件判斷出g'(x)的符號(hào)，即可得到函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)f(X)奇函數(shù)判斷出

g(x)是偶函數(shù)，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由圖象求出不等式成立時(shí)X的取值范圍.

【解答】解：設(shè)g(x)=xf(x),則g'(x)=xf'(x)+f(x),

,當(dāng)x<0時(shí)，xf'(x)+f(x)>0,

...則當(dāng)x<0時(shí)，gz(x)>0,

二函數(shù)g(x)=xf(x)在(-8,o)上為增函數(shù)，

?函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，Ag(-x)=(-x)f(-x)=(-x)[-f(x)]=xf(x)=g

(x),

函數(shù)g(x)為定義域上的偶函數(shù)，

由f(1)=0得，g(1)=0,函數(shù)g(x)的圖象大致如右圖：

g(X)

?.?不等式f(x)<0?X<0,

'x>0(x<0

/.]g(x)<0或[g(x)>0,

由函數(shù)的圖象得，-l<x<0或x>l,

二使得f(x)<0成立的x的取值范圍是：(-1,0)U(1,+8),

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查

構(gòu)造函數(shù)法，轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于綜合題.

C=l(a>0,6>0)

4.雙曲線VF的一條漸近線與直線

X+2y+1=0垂直,則雙曲線C的離心率為

亞

(A)A/3(B)T(0垂>

D)

參考答案：

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)H6

C:—?-A=l(a>0,6>0)

C解析：?.?雙曲線a2討的焦點(diǎn)在X軸上，.?.其漸近線方程為

+-

y=—ax,?.?漸近線與直線x+2y+l=0垂直，漸近線的斜率為2,

-b2=4a2,c2—a2=4a2,c2=5a2=5,—=y/5r-

：.a=2,即aa雙曲線的離心率e=V5

故答案為C

【思路點(diǎn)撥】由雙曲線的漸近線斜率即可計(jì)算該雙曲線的離心率，本題中已知漸近線與直

,_bbc

線x+2y+l=0垂直，而雙曲線的漸近線斜率為-4,故W=2,再利用c'aMAe=4即可得雙

曲線的離心率

5.下列說法中，正確的是

A.命題“若的2<b病，則a<b"的逆命題是真命題

B.命題—-x>0”的否定是：“VxeK,x2-x<0-

C.命題“P或4”為真命題，則命題“P”和命題f均為真命題

D.已知xe&,貝ij“x>1”是“x>2”的充分不必要條件

參考答案：

B

略

6.已知集合A={0,x},B={x2,-x2,|x|-1),若A?B,則實(shí)數(shù)x的值為()

A.1或-1B.1C.-1D.2

參考答案：

A

【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合.

【分析】本題是一元一次方程和集合包含關(guān)系結(jié)合的題目，利用A?B,建立方程即可.

【解答】解：???集合A={0,x},B={x2,-x2,|x|-1},A?B,

1x|-1=0

x=l或-1；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.要正確判斷兩個(gè)集合間的關(guān)系，必

須對(duì)集合的相關(guān)概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，認(rèn)清集合的特征.

7.已知雙曲線a?-b2=l(a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線y?=2px(p>0)的準(zhǔn)線分

別交于0、A、B三點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2,ZiAOB的面積為加，則p=

()

3

A.1B.2C.2D.3

參考答案：

C

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì).

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

22

工-J

分析：求出雙曲線a的漸近線方程與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程，進(jìn)而

求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由雙曲線的離心率為2,AAOB的面積為近，列出方程，由此

方程求出p的值.

22

工-j

解答：解：?.?雙曲線ab,

b

...雙曲線的漸近線方程是y=+ax

P

又拋物線y、2px(p>0)的準(zhǔn)線方程是x=-2

Pbc=

故A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是y=±2a,雙曲線的離心率為2,所以a,

,2「_「

M=JA=e2-l=3b_r-

pb+V3P

A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是y=±甚~~2,

又，AAOB的面積為晶，x軸是角AOB的角平分線

，如倔巧詆得p=2.

故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關(guān)鍵是求出雙曲線的漸近線方程，解出A,

B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，列出三角形的面積與離心率的關(guān)系也是本題的解題關(guān)鍵，有一定的運(yùn)算

量，做題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)，防運(yùn)算出錯(cuò).

8.三世紀(jì)中期，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽利用不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的方法求出圓周

率的近似值，首創(chuàng)“割圓術(shù)利用“割圓術(shù)”，劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似

值3.14,這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的程序框圖，則輸出的

〃值為（）（參考數(shù)據(jù)：x0.1305,^?15-?0J2588）

A.6B.12C.24D.48

參考答案：

C

【分析】

根據(jù)程序框圖運(yùn)行程序，直到滿足sA3」。時(shí)輸出結(jié)果即可.

【詳解】按照程序框圖運(yùn)行程序，輸入"=6

a?s3百

5=Jsinou=-----

則2,不滿足sN3」0,循環(huán)；

n=12,s-6sn30T=3,不滿足』N3-10,循環(huán)；

n=24,5=12sinl5'?3.1056,滿足sN3」0,輸出結(jié)果：n=24

本題正確選項(xiàng)：C

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)程序框圖循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算輸出結(jié)果，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確判斷是否滿足輸

出條件，屬于基礎(chǔ)題.

9.已知點(diǎn)A（1,0）,若曲線G上存在四個(gè)點(diǎn)B,C,D,E.使AABC與4ADE都是正三角

形，則稱曲線G為“雙正曲線”.給定下列四條曲線：

①4x+3yJ0；②4x2+4yJl；③春2六2；@x2-3y2=3

其中，“雙正曲線”的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

參考答案：

B

_22

（a〉b>0）

10.斜率為2的直線1與橢圓a"bz交于不同的兩點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)在x

軸上的射影恰好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（）

V21M]

A.2B.2C.3D.3

參考答案：

A

【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題.

【分析】先根據(jù)題意表示出兩個(gè)焦點(diǎn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，兩邊乘2a行，求得關(guān)于

c

a的方程求得e.

【解答】解：兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)是-c,c

返返

所以兩個(gè)交點(diǎn)分別為(-C,-Vc)(c,"TC)

代入橢圓a22b2=1

兩邊乘2a廿

則c2(2b2+a2)=2a廿

Vb2=a2-c2

c2(3a2-2c2)=2a*4-2a2c②

2a*4-5a2c2+2c*4=0

(2a2-c2)(a2-2c2)=0

2

J1

2—

a=2,或2

V0<e<l

_c返

所以e二a二2

故選A

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì).考查了橢圓方程中a,b和c的關(guān)系.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

H.如圖，從點(diǎn)財(cái)&，④發(fā)出的光線沿平行于拋物線,=以對(duì)稱軸的方向射向此拋物線上的

點(diǎn)p,反射后經(jīng)焦點(diǎn)尸又射向拋物線上的點(diǎn)Q,再反射后沿平行于拋物線的對(duì)稱軸的方向

射向直線L*-2,-7=°上的點(diǎn)N,再反射后又射回點(diǎn)“，則

參考答案:

6

.93

12.整數(shù)+3」的末兩位數(shù)是.

參考答案：

08

解：令*=10。則得==#-3矛+9一.由于0<<1,故所求末兩位數(shù)字為09-1=0&

13.邊長為1的正方形如CZ）中，M為8C的中點(diǎn)，￡在線段上運(yùn)動(dòng)，則百日麗的

取值范圍是.

參考答案：

14.直線y=2x+b與曲線y=-x+31nx相切，則占的值

為.

參考答案：

-3

略

15.等比數(shù)列｛%｝的前當(dāng)項(xiàng)和為凡，已知片，2s2,3s3成等差數(shù)列，則｛4｝的公比

為;

參考答案：

1

3

16點(diǎn)肛”）在曲線C：7-4無+/-21=0上運(yùn)動(dòng)￡=792+1區(qū)-%-150-巴

1I1

且r的最大值為6,若則1口苫的最小值為.

參考答案：

1

【分析】

首先可確定曲線c表示圓心為僅0）,半徑為5的圓；令d=J（x+6）+3-6）,則

t=d2-222-a.d的最大值為半徑與圓心到點(diǎn)("Mi)的距離之和，利用兩點(diǎn)間距離公式

求得仁，代入工中利用最大值為〃可求得"+1+B=4,將所求的式子變?yōu)?/p>

2_/當(dāng)2_+北川同

a+1卜41a+lb),利用基本不等式求得結(jié)果.

【詳解】曲線C可整理為：(hZf+yJ”

則曲線C表示圓心為他叫，半徑為5的圓

/=?+步+12X-12JF-150-a=(x+6)"+(y-6)2-222-a

設(shè)d="(x+6)*(事-6),則d表示圓上的點(diǎn)到的距離

則J=J(2+6)、(0-6)2+5=15

:-60=15-222—a="整理得：a+l+&=4

,j_a=Arj-aki)=ixfi^-^ii

a+lb4(a+lbP++A4I+a+1+b+)

b_a+1、ba+1

-----+N2.J------------=2-----=

又a+lb\a+lb(當(dāng)且僅當(dāng)a+1b,即a=l,b=2時(shí)取等號(hào))

-----+->-x4=l-----+-

a+184,即a+1占的最小值為1

本題正確結(jié)果：1

【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求解和的最小值的問題，解題關(guān)鍵是掌握?qǐng)A上的點(diǎn)到定

點(diǎn)距離的最值的求解方法，從而可得到之間的關(guān)系，從而配湊出符合基本不等式的形

式.

17.在AABC中，NC=90。，M是BC的中點(diǎn).若sin/BAM=,則sinNBAC=

參考答案:

在

3

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

式式V2

zozo--

18.已知橢圓C：a+b=l(a>b>0)的離心率為2,四個(gè)頂點(diǎn)所圍成菱形的面積為

872.

(I)求橢圓的方程；

(II)已知直線L：y=kx+m與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)A(xHx2)和B(x2,y2),0為坐標(biāo)

1

原點(diǎn)，且k(M?koB=-2,求yi,y2的取值范圍.

參考答案：

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系.

專題：直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

分析：(D利用菱形的面積和橢圓的性質(zhì)即可得出；

(II)聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y,運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0,以及直線的斜

率公式，化簡整理，即可得到y(tǒng)iy?的范圍.

cV22

解答：解：(I)由已知可得e=W="T,2?2a?2b=8V2,

又a2=b2+c2,

解得c=2,b=2,a2=8.

橢圓的方程為8+4=1.

(ID直線L：y=kx+m與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)A(xi,x2)和B(x2,y?),

y=kx+m

聯(lián)立〔X+2y=8,得d+2k2)x?+4kmx+2m2-8=0,

△=16k2m2-4(l+2k2)(2m2-8)>0,化為8k>4遍,①

-4km2m2~8

99~

.'.xi+x2=1+2k,x)X2=1+2k.

工

?..滿足koA?k(?=-2,

y^2]

xlx2=-2.

]i2產(chǎn)-8ip2-4

~~——9O

**.yiy2=-2XIX2=-2?l+2k=-l+2k,

yiy2=(kxi+m)(kxz+m)=k1lXz+km(xi+x2)+m'

Zm」-8-4kmK-8k2

=k2?1+2k+km?l+2k2+m2=l+2k2.

n)2-4K-8k2

-1+2k2=l+2k2.

.?,4k2+2=m2,

in2~42+4k2-44

―99—7-9

即有yiyz--1+2k=-1+2k=l+2k"-2,

則y!y2e(-2,2].

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得

到根與系數(shù)的關(guān)系、直線的斜率公式、菱形的面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，

考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

F￡MV2

op--7---

19.已知橢圓a”+b'=i(a>b>0)的離心率為2,且過點(diǎn)~2,2).

(1)求橢圓方程；

(2)設(shè)不過原點(diǎn)0的直線1：y=kx+m(kKO),與該橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，直線OP、0Q的

斜率依次為L、k2,滿足4k=L+kz,試問：當(dāng)k變化時(shí)，是否為定值？若是，求出此定

值，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由.

參考答案:

【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】(1)利用己知條件列出方程組求解橢圓的幾何量，得到橢圓的方程.

(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)P(X1,yi),Q(x2,y2).利用韋達(dá)定理，通過直線OP、

0Q的斜率依次為k”k2,且4k=L+kz,求解即可.

(收2J冬

2+,2

ab

cV3

【解答】解:(1)依題意可得Ia=y+L，解得a=2,b=l

—+v=1

所以橢圓c的方程是4y…(4分)

(2)當(dāng)k變化時(shí)，nf為定值，證明如下：

尸kx+m

2

<x2

—+y—1

由I4得，(l+4k2)x'+8kmx+4(m2-1)=0.…(6分)

_8km4(m2-1)

設(shè)P(xi,yi),Q(X2,y2).則xi+x?=l+4k,X]X2=l+4k…(?)???(7

分)

???直線OP、0Q的斜率依次為斜k2,且4k二L+k：

ykxj+mkx+ro

—+--2--------+----2---

.\4k=xlx2=X1x2,得2kxix*m(xi+xz)，…(9分)

1

將（？）代入得：m2=2,-（11分）

經(jīng)檢驗(yàn)滿足△＞（）.???（12分）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問

題的能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

20.如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，

皿_LCD，■//C。dB=月￡）=2,C。=4，M為CE的中點(diǎn)

（1）求證：BM//平面ADEF；

（2）求幾何體ABCDEFAD的體積和表面積。

參考答案:

解：（1）取DE的中點(diǎn)G,連MG、AG

^AB=MG；,四邊形ABMG為平行四邊形，.\BM//AG；.BM〃平面ADEF—

------6分

（2）體積1Ms=+=1乂2x4+5x2x5x2x4=—

表面積：S談=S3co即+Su￡F+M1QC3+6心g+35空

=6+4+2+4+2五+2灰=16+2及+2次_________合分

略

21.設(shè)函數(shù)J(x)=/+Rn(x+1),其中3Ho.

（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)73）在定義域上的單調(diào)性;

（2）求函數(shù)73）的極值點(diǎn)；

Infl+1_L__L

（3）證明對(duì)任意的正整數(shù)%,不等式I附.?27都成立.

參考答案:

22、解：(1)由題意知，/(x)的定義域?yàn)?-L+8),f'(x)=2x+—=2x：>+2x+i>

x+1x+1

設(shè)g(x)=2x3+2x+b,其圖象的對(duì)稱軸為x=-gG(-1,+co),

-g(xg=g(_1]=-；+A，當(dāng)時(shí)，g(xhm=-1+A>。，

總)=2#+2工-a>0在(-1,+8)上恒成立，.當(dāng)工6(-1,+8)時(shí)，/V)>0,

b>-

:當(dāng)2時(shí)，函數(shù)/(x)在定義域(-1，+8)上單調(diào)遞增.

b>一1/、

(2)①由(1)得，當(dāng)2時(shí)、函數(shù)了5)無極值點(diǎn).

(if

121x+-1

b=-f\x)=-—0x=—

②2時(shí)，x+1有兩個(gè)相同的解2,

???xGf

I2)時(shí)，/⑶>0,尸⑶>0,

2時(shí)，函數(shù)/")在(-L+8)上無極值點(diǎn).

1-1-71-26-1+V1-2i

bV—上“、門工1=----------工2=----------

③當(dāng)2時(shí)，/5)=°有兩個(gè)不同解，2,2

-1-V1-26上丘生>0

，八工1=

?.法(0時(shí)，22

即工1€(-1，+8),^2€[-L+00)

；8<0時(shí),尸⑶,/(X)隨X的變化情況如下表:

X(一1，再)(0+8)

0+

極小值

□□

-1-V1-26

%.=----------

由此表可知：力<0時(shí)，/（X）有惟一極小值點(diǎn)2

0<6<-?V—'、一1

當(dāng)2時(shí),“2',二七，；匕e(-14-00),

此時(shí),尸⑶，隨X的變化情況如下表：

X（一1,再）再（再，X2）再（西,-8）

尸⑴+o-0+

極小

口極大值口

/W