誤差理論與數(shù)據(jù)處理課件

緒論第1頁教學目和要求通過本章內(nèi)容教學，使學生對誤差概念有一種感性理解。要求學生清楚為何所有測量均存在誤差,理解誤差公理，明確學習本課程目標和意義。第2頁主要內(nèi)容一、誤差的概念二、誤差公理三、研究誤差理論的意義第3頁重點和難點誤差定義及表達形式測量誤差來源的分析測量誤差按誤差性質的分類處理有效數(shù)字定義及選取第4頁儀器儀表是工業(yè)生產(chǎn)的“倍增器”，是高新技術和科研的“催化劑”，在軍事上體現(xiàn)的是“戰(zhàn)斗力”。王大珩(1915-)研究誤差意義第5頁信息技術包括測量技術、計算機技術和通信技術，測量技術是信息技術的關鍵和基礎。錢學森(1911-2009)研究誤差意義第6頁門捷列夫(1834-1907)科學始于測量,沒有測量，便沒有精密的科學。研究誤差意義第7頁當你能夠測量你所關注的事物，而且能夠用數(shù)量來描述他的時候，你就對其有所認識；當你不能測量他，也不能將其量化的時候，你對他的了解就是貧乏和不深入的。為了紀念他在科學上的功績，國際計量大會把熱力學溫標（即絕對溫標）稱為開爾文（開氏）溫標，熱力學溫度以開爾文為單位，是現(xiàn)在國際單位制中七個基本單位之一。開爾文（1824-1907）研究誤差意義第8頁

我們對自然界中所有量進行試驗和測量時，由于參與測量五個要素：測量裝置（或測量儀器）、測量人員、測量辦法、測量環(huán)境和被測對象本身都不能夠做到完美無缺，使得對該量測量成果與該量真實值之間就存在一種差異，這個差異反應在數(shù)學上就是測量誤差。一、誤差概念第9頁例：用臺式血壓計測量人體血壓，分析其測量誤差：·刻度誤差

·容器比誤差·垂直性誤差第10頁

·

溫度誤差

·

重力加速度誤差

要求測量者聽、看、讀三者同步，實際測量時無法做到。第11頁由于人眼辨別率最多只能讀出分度值1／10（一般是1／5），而給測量血壓帶來一種測量人員讀數(shù)誤差；被測量者血壓值不但受患者疾病原因影響，同步還受被測量者情緒、運動程度、測量時間等外界原因影響，使被測量者本身血壓也在變化。第12頁

誤差公理：測量成果都具有誤差，誤差自始至終存在于一切科學試驗和測量過程之中。誤差具有普遍性和必然性。二、誤差公理第13頁第一章誤差基本概念第14頁教學目和要求

通過本章內(nèi)容教學，使學生對誤差定義、體現(xiàn)辦法、分類和誤差起源等基本概念有一種系統(tǒng)全面理解，為后續(xù)內(nèi)容學習打下基礎。要求學生理解真值概念，掌握誤差最常用體現(xiàn)方式，理解誤差起源分析辦法，正確使用近似數(shù)修約準則。第15頁主要內(nèi)容一、測量概念二、誤差定義及基本概念三、測量誤差起源四、誤差分類五、近似數(shù)修約與運算第16頁定義：以確定量值為目標一組操作。目標：確定被測量值或獲取測量成果。第一節(jié)測量概念

測量第17頁定義：實現(xiàn)單位統(tǒng)一、量值精確可靠活動?！?/p>

單位統(tǒng)一指是計量單位統(tǒng)一。計量單位統(tǒng)一，是量值統(tǒng)一主要前提。

·

量值精確可靠表征是測量成果與被測量量真值接近程度，準定量描述用誤差或測量不確定度。“準”是計量關鍵。計量第18頁1、測量是一種廣義概念，測量包括計量。2、計量是一種特殊測量?！?/p>

計量儀器必須有計量檢定合格證書?！?/p>

計量人員必須持證上崗?！?/p>

計量環(huán)境必須滿足國家技術規(guī)范要求。·

計量辦法必須按國家計量檢定規(guī)程進行?！?/p>

計量成果必須給出誤差與測量不確定度大小。3、計量是測量基礎，又是最高層次測量。測量與計量關系第19頁測量直接測量間接測量工程測量精密測量電量測量非電量測量等權測量非等權測量靜態(tài)測量動態(tài)測量測量分類第20頁直接測量

指通過直接測量與被測量有函數(shù)關系量，通過函數(shù)關系求得被測量值測量辦法。指被測量與該標準量直接進行比較測量，指該被測量測量成果能夠直接由測量儀器輸出得到，而不再需要通過量值變換與計算。用游標卡尺測量小尺寸軸工件直徑時，游標卡尺讀數(shù)即是被測工件直徑間接測量用游標卡尺測大尺寸軸工件直徑，因量程不夠，采取測量弦長與矢高辦法，間接得到工件直徑按測量成果獲取方式分類第21頁

指在測量過程中被測量能夠以為是固定不變。因此，不需要考慮時間原因對測量影響

指被測量在測量期間隨時間（或其他影響量）發(fā)生變化靜態(tài)測量在日常測量中，大多接觸是靜態(tài)測量。對于這種測量，被測量和測量誤差能夠當作一種隨機變量來處理動態(tài)測量彈道軌跡測量、環(huán)境噪聲測量等。對此類被測量測量，需要當作一種隨機過程問題來處理。根據(jù)被測量對象在測量過程中

所處狀態(tài)分類第22頁

指在測量過程中，測量儀器、測量辦法、測量條件和操作人員都保持不變。因此，對同一被測量進行數(shù)次測量成果可以為具有相同信賴程度，應按同等標準看待。

指測量過程中測量儀器、測量辦法、測量條件或操作人員某一原因或某幾原因發(fā)生變化，使得測量成果信賴程度不一樣。對不等權測量數(shù)據(jù)應按不等權標準進行處理。

等權測量不等權測量根據(jù)測量條件是否發(fā)生變化分類第23頁δ＝x-a定義被測量真值測量成果測量誤差第二節(jié)測量誤差定義及基本概念

一、測量誤差第24頁·測量成果x值是由測量所得到賦予被測量值?！V義上我們能夠把測得值、測量值、檢測值、試驗值、示值、名義值、標稱值、預置值、給出值等均看作是測量成果。測量成果是我們要研究對象。測量成果第25頁真值定義為與給定特定量定一致值。理論真值一般只存在于純理論之中。三角形內(nèi)角之和恒為180o一種整圓周角為360o真值第26頁亦稱指定值、商定值、參照值或最佳估計值是指對于給定用途具有合適不確定度、賦予特定量值。由國家建立實物標準（或基準）所指定千克副原器質量商定真值為1kg，其復現(xiàn)不確定度為0.008mg。七個SI基本單位：米、千克、安培、秒、開爾文、堪德拉、摩爾商定真值商定真值第27頁二、基本表達辦法誤差絕對誤差相對誤差引用誤差第28頁δ＝x-a特點：絕對誤差是一種具有確定大小、符號及單位量。單位給出了被測量量綱，其單位與測得值相同。適用于同一量級同種量測量成果誤差比較和單次測量成果誤差計算。絕對誤差絕對誤差第29頁與誤差絕對值相等、符號相反值，一般用c表達。

在自動測量儀器中，可將修正值編成程序存放在儀器中，儀器輸出是通過修正測量成果。

修正成果是將測得值加上修正值后測量成果，這樣可提升測量精確度。

在測量儀器中，修正值常以表格、曲線或公式形式給出。

修正值修正值第30頁真值絕對誤差用某電壓表測量電壓，電壓表示值為226V，查該表檢定證書，得知該電壓表在220V附近誤差為5V，被測電壓修正值為－5V，則修正后測量成果為226+(－5V)=221V。

測得值【例1-1】第31頁定義

特點①相對誤差只有大小和符號，而無量綱，一般用百分數(shù)來表達。

②

相對誤差常用來衡量測量相對精確程度。絕對誤差被測量真值，常用商定真值替代，也能夠近似用測量值x來替代x0相對誤差相對誤差（relativeerror）第32頁用1μm測長儀測量0.01m長工件，其絕對誤差=0.0006m，但用來測量1m長工件，其絕對誤差為0.0105m。前者相對誤差為

后者相對誤差為用絕對誤差不便于比較不一樣量值、不一樣單位、不一樣物理量等精確度。

絕對誤差和相對誤差比較第33頁定義

引用誤差是一種相對誤差，并且該相對誤差是引用了特定值，即標稱范圍上限（或量程）得到，故該誤差又稱為引用相對誤差、滿度誤差。

儀器某標稱范圍（或量程）內(nèi)最大絕對誤差

該標稱范圍（或量程）上限引用誤差

引用誤差第34頁我國電工儀表、壓力表精確度等級（accuracyclass）就是按照引用誤差進行分級。當一種儀表等級s選定后，用此表測量某一被測量時，所產(chǎn)生最大絕對誤差為絕對誤差最大值與該儀表標稱范圍（或量程）上限xm成正比電工儀表、壓力表精確度等級第35頁用有一塊測量范圍為－0.1MPa～＋0.1MPa，2.5級壓力真空表，在進行計量校按時，各示值點上最大允許誤差是多少？解：該壓力真空表在－0.1MPa～＋0.1MPa范圍內(nèi)各示值點上引用誤差不應超出2.5％，則各示值點上允許誤差最大示值誤差應為：δ≤2.5％×[0.1－（－0.1）]＝0.005（MPa）引用誤差專用于儀器儀表誤差描述?！纠?-2】第36頁

為了減小測量誤差，提升測量精確度，就必須理解誤差起源。而誤差起源是多方面，在測量過程中，幾乎所有原因都將引入測量誤差。主要起源

測量設備誤差

測量辦法誤差

測量環(huán)境誤差

測量人員誤差

被測對象誤差

第三節(jié)測量誤差起源第37頁以固定形式復現(xiàn)標準量值器具，如標準電阻、標準量塊、標準砝碼等等，他們本身體現(xiàn)量值，不可避免地存在誤差。一般要求標準器件誤差占總誤差1/3～1/10。

測量裝置在制造過程中由于設計、制造、裝配、檢定等不完善，以及在使用過程中，由于元器件老化、機械部件磨損和疲勞等原因而使設備所產(chǎn)生誤差。測量儀器所帶附件和從屬工具所帶來誤差。測量設備誤差

標準器誤差儀器儀表誤差附件誤差設計測量裝置時，由于采取近似原理所帶來工作原理誤差組成設備主要零部件制造誤差與設備裝配誤差設備出廠時校準與定度所帶來誤差讀數(shù)辨別力有限而造成讀數(shù)誤差數(shù)字式儀器所特有量化誤差元器件老化、磨損、疲勞所造成誤差第38頁指使用的測量方法不完善，或采用近似的計算公式等原因所引起的誤差，又稱為理論誤差測量辦法誤差第39頁第一種情況：由于測量人員的知識不足或研究不充分以致操作不合理，或對測量方法、測量程序進行錯誤的簡化等引起的方法誤差。第二種情況：分析處理數(shù)據(jù)時引起的方法誤差。例如，軸的周長可以通過測量軸的直徑d，然后由公式：L＝πd計算得到。但是，在計算中只能取其近似值，因此，計算所得的L也只能是近似值，從而引起周長L的誤差。測量辦法誤差第40頁指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。對于電子測量，環(huán)境誤差主要來源于環(huán)境溫度、電源電壓和電磁干擾等激光光波比長測量中，空氣的溫度、濕度、塵埃、大氣壓力等會影響到空氣折射率，因而影響激光波長，產(chǎn)生測量誤差。高精度的準直測量中，氣流、振動也有一定的影響測量環(huán)境誤差第41頁測量人員工作責任心、技術純熟程度、生理感官與心理原因、測量習慣等不一樣而引發(fā)誤差。為了減小測量人員誤差，就要求測量人員要認真理解測量儀器特性和測量原理，純熟掌握測量規(guī)程，精心進行測量操作，并正確處理測量成果。測量人員誤差第42頁用工具顯微鏡測量圓直徑。右圖是這一測量示意圖。測量時，調(diào)整顯微鏡指標線同圓兩側直徑方向相切。理論上要求指標線調(diào)至同圓影象相切，指標線壓住或脫離影象均會產(chǎn)生測量誤差。在指標線和影象相切同步，估計讀取指標線在刻度尺位置a和b，則圓直徑d＝b－a。在上述測量過程中，用人眼二次瞄準相切，二次估計讀數(shù)均受到人眼最小辨別能力限制。因此，在該測量過程中，有二次對線瞄準誤差和二次估讀誤差。【例1-3】第43頁

被測對象在整個測量過程中處于不停地變化中。由于測量對象本身變化而引發(fā)測量誤差稱為測量對象變化誤差。

例如，被測光度燈光度，被測溫度計溫度，被測線紋尺長度，被測量塊尺寸等，在測量過程中均處于不停地變化中，由于它們變化，使測量不準而帶來誤差。下述測量實例說明了這一點。

被測對象變化誤差第44頁全面分析不遺漏不重復重大避小分析誤差起源注意事項第45頁誤差系統(tǒng)誤差粗大誤差隨機誤差第四節(jié)誤差分類第46頁在反復性條件下，對同一被測量進行無限數(shù)次測量所得成果平均值與被測量真值之差。

定義特性

在相同條件下，數(shù)次測量同一量值時，該誤差絕對值和符號保持不變，或者在條件變化時，按某一確定規(guī)律變化誤差。

系統(tǒng)誤差（systematicerror）第47頁用天平計量物體質量時，砝碼質量偏差用千分表讀數(shù)時，表盤安裝偏心引發(fā)示值誤差刻線尺溫度變化引發(fā)示值誤差在實際估計測量器具示值系統(tǒng)誤差時，經(jīng)常用合適次數(shù)反復測量算術平均值減去商定真值來表達，又稱其為測量器具偏移或偏畸（bias）。

由于系統(tǒng)誤差具有一定規(guī)律性，因此能夠根據(jù)其產(chǎn)生原因，采取一定技術措施，設法消除或減??；也能夠在相同條件下對已知商定真值標準器具進行數(shù)次反復測量措施，或者通過數(shù)次變化條件下反復測量措施，設法找出其系統(tǒng)誤差規(guī)律后，對測量成果進行修正。系統(tǒng)誤差舉例第48頁測得值與在反復性條件下對同一被測量進行無限數(shù)次測量成果平均值之差。又稱為偶爾誤差。定義特性

在相同測量條件下，數(shù)次測量同一量值時，絕對值和符號以不可預定方式變化誤差。產(chǎn)生原因試驗條件偶爾性微小變化，如溫度波動、噪聲干擾、電磁場微變、電源電壓隨機起伏、地面振動等。

隨機誤差（randomerror）第49頁隨機誤差的最主要特征是具有隨機性，沒有確定的規(guī)律。但象其它隨機變量一樣，對無限次測量，隨機誤差服從統(tǒng)計規(guī)律。隨機誤差特性第50頁指顯著超出統(tǒng)計規(guī)律預期值誤差。又稱為疏忽誤差、過失誤差或簡稱粗差。定義產(chǎn)生原因某些偶爾突發(fā)性異常原因或疏忽所致。測量辦法不當或錯誤，測量操作疏忽和失誤（如未按規(guī)程操作、讀錯讀數(shù)或單位、統(tǒng)計或計算錯誤等）測量條件突然變化（如電源電壓突然增高或減少、雷電干擾、機械沖擊和振動等）。由于該誤差很大，顯著歪曲了測量成果。故應按照一定準則進行鑒別，將具有粗大誤差測量數(shù)據(jù)（稱為壞值或異常值）給予剔除。詳細見第四章。

粗大誤差（grosserror）第51頁如一塊電表，它刻度誤差在制造時也許是隨機，但用此電表來校準一批其他電表時，該電表刻度誤差就會造成被校準這一批電表系統(tǒng)誤差。又如，由于電表刻度不準，用它來測量某電源電壓時必帶來系統(tǒng)誤差，但假如采取很多塊電表測此電壓，由于每一塊電表刻度誤差有大有小，有正有負，就使得這些測量誤差具有隨機性。誤差性質互相轉化第52頁1．若舍去部分數(shù)值大于保存末位0.5，則末位加1，（大于5進）；2．若舍去部分數(shù)值不大于保存末位0.5，則末位不變，（不大于5舍）；3．若舍去部分數(shù)值恰等于保存末位0.5，此時，①若末位是偶數(shù)；則末位不變，②若末位是奇數(shù)，則末位加1，（等于5奇進偶不進）。第五節(jié)近似數(shù)修約與運算

近似數(shù)基本修約規(guī)則

第53頁·修約必須一次完成，不能連續(xù)修約，如：1.327465→1.32746→1.3275→1.328（正確為：1.327465→1.327）·若數(shù)字舍入恰巧發(fā)生在合格是否邊界數(shù)字上時，則要用（＋）或（－）分別補充表白它們數(shù)值大小。如1.29→1.3（－），13.2→1.3（＋）。·誤差或不確定度舍入最佳一律采取增大方式，即只進不舍。背面將提到有效自由度計算，則采取截斷小數(shù)取整只舍不進算法。規(guī)則使用說明：第54頁定義：是指通過修約后所得近似數(shù)從左邊第一個不是零數(shù)字起到末位上所有數(shù)字。一種近似數(shù)有n個有效數(shù)字，也稱這個近似數(shù)為n位有效數(shù)。意義：有效數(shù)字描述了近似數(shù)近似程度。有效數(shù)字第55頁

1．它也許是有效數(shù)字，也也許不是有效數(shù)字，這取決于它處于近似數(shù)中位置。當零處于第一種有效數(shù)字之前時，則零不算有效數(shù)字。例如，近似數(shù)0.00386前面三個“0”，均不是有效數(shù)字。當零處于第一種有效數(shù)字之后，則均為有效數(shù)字。例如，近似數(shù)110.00和200.030中所有“0”均為有效數(shù)字。2．小數(shù)點后來零反應了近似數(shù)誤差，不能隨意取舍。例如，近似數(shù)100，100.0和100.00。這三個近似數(shù)在數(shù)值上是相等，不過它們誤差是各不相同，由舍入誤差原理知，這三個近似數(shù)誤差絕對值分別不超出0.5，0.05和0.005。3．在第一種有效數(shù)字之前零則與誤差無關。例如，近似數(shù)0.0036誤差絕對值不超出0.00005，而近似數(shù)0.36×10－2誤差絕對值也不超出0.005×10－2＝0.00005。在判斷有效數(shù)字時，對于零這個數(shù)字有三點說明：第56頁

幾個（不超出10個）近似數(shù)相加或相減時，小數(shù)位數(shù)較多近似數(shù)，只須比小數(shù)位數(shù)最少那個數(shù)多保存1位。在計算成果里，應保存小數(shù)位數(shù)與本來小數(shù)位數(shù)最少那個近似數(shù)相同。近似數(shù)加減運算第57頁求近似數(shù)

1648.0，13.65，0.0082，1.632，86.82，5.135，316.34，0.545和。解：1648.0＋13.65＋0.0082＋1.632＋86.82＋5.135＋316.34＋0.545≈1648.0＋13.65＋0.01＋1.63＋86.82＋5.14＋316.34＋0.54＝2072.13≈2072.1【例1-4】第58頁

在幾個近似數(shù)相乘或相除時，有效數(shù)字較多近似數(shù)，只須比有效數(shù)字最少那個多保存1位，其他均舍去。計算成果應保存有效數(shù)字位數(shù)，與本來近似數(shù)里有效數(shù)字最少那個相同。近似數(shù)乘除運算第59頁求0.0121×1.36872積。解：0.0121×1.36872≈0.0121×1.369

＝0.0165649≈0.0166【例1-5】第60頁

對于近似數(shù)乘方和開方運算可歸納為；在近似數(shù)乘方或者開方時，計算成果應保存有效數(shù)字與本來近似數(shù)有效數(shù)字位數(shù)相同。近似數(shù)乘方和開方運算第61頁乘方：求近似數(shù)5.32平方解：5.322＝28.3024≈28.3開方：求3.1643開方。解：＝1.778847941…≈1.7788【例1-6】第62頁第二章隨機誤差第63頁教學目和要求通過本章內(nèi)容教學，使學生對誤差概念有一種感性理解。要求學生清楚為何所有測量均存在誤差,理解誤差公理，明確學習本課程目標和意義。通過本章內(nèi)容教學，使學生對隨機誤差產(chǎn)生原因、特點及處理辦法有一種整體結識。要求學生清楚隨機誤差產(chǎn)生原因、特性，服從正態(tài)分布隨機誤差特性；掌握隨機誤差特性值確實定辦法；理解隨機誤差分布；正確求解極限誤差。第64頁重點和難點隨機誤差產(chǎn)生的原因隨機誤差的本質特征算術平均值貝塞爾公式試驗標準差測量結果的最佳估計置信區(qū)間3-65第65頁

主要內(nèi)容產(chǎn)生原因、隨機誤差特性、隨機誤差處理的基本原則。隨機誤差的分布：正態(tài)分布、非正態(tài)分布。算術平均值原理：算術平均值原理、殘余誤差。測量的標準偏差：單次測量的標準偏差、貝塞爾公式、算術平均值的標準偏差、標準差的其它估計方法。極限誤差：極限誤差的定義、單次測量的極限誤差、算術平均值的極限誤差。第66頁一、隨機誤差的定義隨機誤差系指測量成果與在反復條件下，對同一被測量進行無限數(shù)次測量所得成果平均值之差。隨機誤差等于誤差減去系統(tǒng)誤差。由于測量只能進行有限次數(shù)，故也許確定只是隨機誤差估計值。第一節(jié)隨機誤差概述第67頁二、隨機誤差產(chǎn)生的原因

隨機誤差是由人們不能掌握，不能控制，不能調(diào)整，更不能消除微小原因造成。這些原因中，有是尚未掌握其影響測量精確規(guī)律；有是在測量過程中對其難以完全控制微小變化，而這些微小變化又給測量帶來誤差。第一節(jié)隨機誤差概述第68頁例題舉例：用測長機測量1m長鋼桿制件，測量溫度允許范圍為（20±2）℃。為此，測量在恒溫室內(nèi)進行，恒溫室溫度控制能力達成（20±0.5）℃，滿足測量要求。但在測量時，恒溫室溫度必然處于不停地變化中，圍繞平均溫度20℃有微小波動，溫度時高時低，變化速度時快時慢。溫度微小變化引發(fā)鋼桿制件長度和測量儀器示值微小變化，且它們受溫度影響又不一致，有快慢之別，大小之分。這種影響又無法確定，因此造成隨機誤差。第69頁三、隨機誤差的本質特征1、具有隨機性：測量過程中誤差的大小和符號以不可預知形式的形式出現(xiàn)。2、產(chǎn)生在測量過程之中：影響隨機誤差的因素在測量開始之后體現(xiàn)出來。3、與測量次數(shù)有關系：增加測量次數(shù)可以減小隨機誤差對測量結果的影響。第70頁四、隨機誤差的處理原則隨機誤差性質上屬隨機變量，其處理辦法理論根據(jù)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計。詳細參量可用隨機變量數(shù)學盼望（算術平均值）、方差（標準偏差）和置信概率等三個特性量來描述。第71頁服從正態(tài)分布隨機誤差特性3-72有界性隨機誤差總是有界限的，不可能出現(xiàn)無限大的隨機誤差。在一定測量條件下的有限次測量結果中，隨機誤差的絕對值不會超過某一界限。對稱性在一定測量條件下的有限次測量結果，其絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相等。抵償性由隨機誤差的對稱性知，在有限次測量中，絕對值相同的正負誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相同。因此，取這些誤差的算術平均值時，絕對值相同的正負誤差產(chǎn)生相互抵消現(xiàn)象，從而導致了隨機誤差的第三個特性——抵償性。單峰性，即絕對值小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多于絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)。第72頁第二節(jié)隨機誤差分布

一、正態(tài)分布隨機誤差概率分布密度函數(shù)體現(xiàn)式為：

圖2－4數(shù)學盼望

E（δ）＝0方

差

D（δ）＝σ2標準偏差

第73頁均勻分布又稱等概率分布，其概率密度函數(shù)為：

當|δ|≤a當|δ|＞a它數(shù)學盼望為：

E（δ）＝0

它方差為：

它標準偏差為：

二、均勻分布第74頁三、三角分布

三角分布概率密度函數(shù)為：

3-75

數(shù)學盼望：

E（δ）＝0

它方差為：

它標準偏差為：

第75頁四、反正弦分布

它概率密度為：

數(shù)學盼望：E（δ）＝0方差為：標準偏差為：

3-76

第76頁五、χ2分布

設隨機變量X1，X2，…，Xυ互相獨立，且都服從標準正態(tài)分布N（0，1），則隨機變量概率密度為3-77

特性量為：

第77頁六、t分布

設隨機變量X與Y互相獨立，X服從標準正態(tài)分布N（0，1），Y服從自由度為χ2分布，則隨機變量概率密度t分布主要分布特性量為：

3-78

（2－32）

（2－33）

第78頁七、F分布

設隨機變量X與Y互相獨立，分別服從自由度為與χ2分布，則隨機變量概率密度為

3-79第79頁第三節(jié)算術平均值原理在等權測量條件下，對某被測量進行數(shù)次反復測量，得到一系列測量值,常取算術平均值作為測量成果最佳估計。一、算術平均值第80頁算術平均值原理若測量次數(shù)無限增多，且無系統(tǒng)誤差下，由概率論大數(shù)定律知，算術平均值以概率為1趨近于真值由于根據(jù)隨機誤差抵償性，當n充足大時，有第81頁最佳估計意義若測量次數(shù)有限，由參數(shù)估計知，算術平均值是該測量總體盼望一種最佳估計量，即滿足無偏性、有效性、一致性滿足最小二乘原理在正態(tài)分布條件下，滿足最大似然原理該所有測量值對其算術平均值之差平方和達成最小該測量事件發(fā)生概率最大

第82頁二、殘余誤差3-83由算術平均值原理可知，算術平均值是真值最佳估計值，用算術平均值替代真值計算得到誤差稱為殘余誤差。

在要求測量條件下，同一被測量測量列x1，x2，…，xn有算術平均值：

則稱為殘余誤差。第83頁殘余誤差可求，又稱實用誤差公式。殘余誤差具有兩個主要特性。

（一）殘余誤差具有低償性――殘余誤差代數(shù)和等于零

（二）殘余誤差平方和為最小

二、殘余誤差第84頁一、單次測量標準偏差定理：同一被測量，在相同條件下，測量列xi（x＝1，2，…，n）中單次測量標準偏差（也稱單次測量標準不確定度）是表征同一被測量值n次測量所得成果分散性參數(shù)，并按下式計算：

式中：n――測量次數(shù)（充足大）；δi――測量成果xi隨機誤差。第85頁第四節(jié)測量標準偏差例題3-86第86頁單次測量標準偏差3-87≈0.2μm

第87頁二、標準偏差基本估計——貝塞爾公式

定理：對同一被測量，在相同測量條件下，進行有限次測量得測量列xi

（i＝1，2，…，n），則單次測量標準偏差估計值為：3-88第88頁試驗標準偏差s標準差

設在同一條件下，對被測量進行n1次等精度測量，得測量列xi（i＝1，2，…，n）。用貝塞爾公式即可求得單次測量標準偏差要s1。仍在該條件下，再進行n2次測量，同樣又可得到單次測量標準偏差s2。我們發(fā)覺，無論兩次測量次數(shù)n1和n2是否相等，而s1和s2不一定相等，這說明由貝塞爾公式計算所得測量標準偏差，也存在誤差。標準偏差s標準偏差ss由下式確定，即3-89第89頁三、算術平均值標準偏差

假如在相同條件下對同一量值作多組反復系列測量，每一系列測量都有一種算術平均值，由于誤差存在，各個測量列算術平均值也不相同，它們圍繞著被測量真值有一定分散，此分散說明了算術平均值不可靠性，而算術平均值標準差則是表征同一被測量各個獨立測量列算術平均值分散性參數(shù)，可作為算術平均值不可靠性評定標準。

3-90

第90頁最佳測量次數(shù)確定當n＞10后來，已減少得非常遲緩。由于測量次數(shù)愈大，也愈難確保測量條件恒定，從而帶來新誤差，因此一般情況下取n＝10以內(nèi)較為合適?？傊?，要提升測量精度，應采取合適精度儀器，選用合適測量次數(shù)。

3-91第91頁例題已知測量單次測量標準偏差s＝0.12（略去單位）。問在不變化測量條件情況下，使被測量估計值標準偏差達成0.04，需測量多少次？解：以算術平均值作為被測量估計值，合適增加測量次數(shù)，以滿足測量精密度需要。可得：即測量次數(shù)：（次）即對被測量進行9次以上反復測量，它們算術平均值精密度便可達成要求。

3-92第92頁四、標準差其他估計辦法3-931、極差法若等精度數(shù)次測量測得值x1，x2，…，xn服從正態(tài)分布，在其中選用最大值xmax與最小值xmin，則二者之差稱為極差ωn＝xmax－xmin根據(jù)極差分布函數(shù)，可求出極差數(shù)學盼望為：

第93頁標準差其他估計辦法3-94故可得s無偏差估計值，若仍以s表達，則有

特點：極差法可簡單迅速算出標準差，并具有一定精度，一般在n＜10時均可采取。因第94頁2、最大誤差法測量誤差服從正態(tài)分布時，估計標準差計算公式估算時相對誤差

在已知被測量真值情形，數(shù)次獨立測得數(shù)據(jù)真誤差，其中絕對值最大在只進行一次性試驗中，是唯一可用辦法標準差其他估計辦法第95頁3、最大殘差法

在一般情況下，被測量真值難以懂得，無法應用最大誤差法估計標準差最大殘余誤差估計標準差最大殘差法不適用于n=1情形標準差其他估計辦法第96頁第五節(jié)極限誤差極限誤差是指極端誤差，是誤差不應超出界限，此時對被測量測量成果（單次測量或測量列算術平均值）誤差，不超出極端誤差置信概率為p，并使差值1－p＝a能夠忽視。此極端誤差稱為測量極限誤差，并以△表達。極限誤差△值可根據(jù)測量標準差、誤差分布及要求置信概率確定：

或

K稱為置信因子，是誤差分布、自由度和置信概率函數(shù)，一般有表可查。

3-97第97頁第三章系統(tǒng)誤差第98頁教學目和要求通過本章內(nèi)容教學，使學生對系統(tǒng)誤差產(chǎn)生原因、特性和消除辦法，有一種整體結識。要求學生清楚系統(tǒng)誤差產(chǎn)生原因、特點和分類辦法；理解系統(tǒng)誤差處理標準，理解系統(tǒng)誤差發(fā)覺辦法；初步掌握定值系統(tǒng)誤差和變值系統(tǒng)誤差削弱和消除辦法。第99頁主要內(nèi)容系統(tǒng)誤差的定義、產(chǎn)生原因、特點、分類。系統(tǒng)誤差對測量結果的影響：恒定系統(tǒng)誤差對測量結果的影響、變值系統(tǒng)誤差對測量結果的影響。系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法：實驗對比法、殘余誤差觀察法、馬列科夫準則、計算數(shù)據(jù)比較法、秩和檢驗法、t檢驗法。4.系統(tǒng)誤差的一般處理方法：消除系統(tǒng)誤差的措施、恒定系統(tǒng)誤差的減弱和消除方法、變值系統(tǒng)誤差的減弱和消除方法、系統(tǒng)誤差的消除準則。第100頁第一節(jié)

系統(tǒng)誤差概述一、系統(tǒng)誤差定義所謂系統(tǒng)誤差是指在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差。第101頁二、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生原因系統(tǒng)誤差是有固定不變或按確定規(guī)律變化原因造成，這些原因是能夠掌握。

①測量裝置方面原因

②環(huán)境方面原因

③

測量辦法原因

④

測量人員原因計量校準后發(fā)覺偏差、儀器設計原理缺陷、儀器制造和安裝不正確等。測量時實際溫度對標準溫度偏差、測量過程中溫度、濕度按一定規(guī)律變化誤差等。采取近似測量辦法或計算公司引發(fā)誤差等。測量人員固有測量習性引發(fā)誤差等。第102頁激光數(shù)字波面干涉儀系統(tǒng)誤差起源激光波長系統(tǒng)漂移標準鏡面局部缺陷的固定電噪聲干涉視場的系統(tǒng)噪聲波差多項式模型誤差第103頁三、系統(tǒng)誤差特性具有確定規(guī)律性性：測量過程之中誤差的大小和符號按確定規(guī)律變化：系統(tǒng)誤差產(chǎn)生在測量之前：引起系統(tǒng)誤差的原因在對該量測量之前就已經(jīng)產(chǎn)生，而在整個測量過程之中始終存在，并呈現(xiàn)其確定的規(guī)律性，與測量次數(shù)無關，多次測量不能減弱和消除它——不具有抵償性。第104頁四、系統(tǒng)誤差分類根據(jù)系統(tǒng)誤差在測量過程中所具有不一樣變化特性，將系統(tǒng)誤差分為恒定系統(tǒng)誤差和可變系統(tǒng)誤差兩大類。（一）恒定(定值)系統(tǒng)誤差恒定（定值）系統(tǒng)誤差是指在整個測量過程中，誤差大小和符號始終是不變。如千分尺或測長儀讀數(shù)裝置調(diào)零誤差，量塊或其他標準件尺寸偏差等，均為恒定系統(tǒng)誤差。它對每一測量值影響均為一種常量，屬于最常見一類系統(tǒng)誤差。（二）變化系統(tǒng)誤差變化系統(tǒng)誤差指在整個測量過程中，誤差大小和方向隨測試某一種或某幾個原因按確定函數(shù)規(guī)律而變化，其種類較多，又可分為下列幾個：

第105頁四、系統(tǒng)誤差分類①線性變化系統(tǒng)誤差：在整個測量過程中，隨某原因而線性遞增或遞減系統(tǒng)誤差。②周期變化系統(tǒng)誤差：在整個測量過程中，隨某原因作周期變化系統(tǒng)誤差。

90°180°270°0°eε+ε-επ2π第106頁四、系統(tǒng)誤差分類③復雜規(guī)律變化系統(tǒng)誤差：在整個測量過程中，隨某原因變化，誤差按確定更為復雜規(guī)律變化，稱其為復雜規(guī)律變化系統(tǒng)誤差。如對于刻度盤或標尺刻度誤差，就全量程而言，屬復雜規(guī)律性系統(tǒng)誤差。由于雖然對各刻度點誤差大小和符號是確定，但對整個量程誤差變化規(guī)律只能用試驗曲線表出，屬復雜變化規(guī)律。第107頁各類特性系統(tǒng)誤差圖示曲線a是恒定系統(tǒng)誤差，曲線b是線性變化系統(tǒng)誤差，曲線c是非線性變化系統(tǒng)誤差，曲線d是周期性變化系統(tǒng)誤差，曲線e是復雜規(guī)律變化系統(tǒng)誤差。第108頁已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差

指誤差大小和符號均已確切掌握了，因此在處理和表征測量成果時，是屬于可修正系統(tǒng)誤差。

指此類系統(tǒng)誤差大小和符號不能完全確切掌握，因此在處理和表征測量成果時，是屬于不可修正系統(tǒng)誤差。已定系統(tǒng)誤差未定系統(tǒng)誤差第109頁五、系統(tǒng)誤差特點具有確定規(guī)律性：測量過程中誤差的大小和符號固定不變，或按照確定的規(guī)律變化。產(chǎn)生在測量開始之前：影響系統(tǒng)誤差的因素在測量開始之前就已經(jīng)確定。與測量次數(shù)無關：增加測量次數(shù)不能減小系統(tǒng)誤差對測量結果的影響。第110頁第二節(jié)系統(tǒng)誤差對測量成果影響（一）定值系統(tǒng)誤差影響

設有一組常量測量數(shù)據(jù)中分別存在定值系統(tǒng)誤差和隨機誤差，真值記為。則這組測量數(shù)據(jù)算術平均值為：當子樣定容n足夠大時，隨機誤差對影響可忽視不計，而定值系統(tǒng)誤差都完全反應在之中，視符號而使有所增減。由上式可看出，不影響殘差計算，因而也不影響標準誤差σ計算，即并不引發(fā)隨機誤差分布密度曲線形狀及其分布范圍變化，只引發(fā)分布密度曲線位置變化（平移值）。第111頁第二節(jié)系統(tǒng)誤差對測量成果影響（二）變化系統(tǒng)誤差影響同樣，計算一組測量數(shù)據(jù)算術平均值：上式中為變化系統(tǒng)誤差。當子樣定容n足夠大時，隨機誤差對影響可忽視不計，而變化系統(tǒng)誤差則以算術平均值反應在之中，視符號而使有所增減。

由上式可看出，因且其數(shù)值不易確定，故變值系統(tǒng)誤差直接影響殘差數(shù)值，因此也必然要影響標準誤差σ計算，且其影響難于確定，即變值系統(tǒng)誤差不但使隨機誤差分布密度曲線形狀和分布范圍發(fā)生變化，也使曲線位置產(chǎn)生平移。第112頁第三節(jié)系統(tǒng)誤差發(fā)覺辦法計量檢定法組內(nèi)統(tǒng)計檢驗（殘差統(tǒng)計法）組間系統(tǒng)誤差檢驗在測量過程中形成系統(tǒng)誤差的因素是復雜的，通常人們難于查明所有的系統(tǒng)誤差，即使經(jīng)過修正系統(tǒng)誤差，也不可能全部消除系統(tǒng)誤差的影響。但是，人們在實際測量的工作過程中，經(jīng)過不斷的探索與總結，還是有一些發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的行之有效的方法第113頁

一、計量檢定

在計量工作中，常用標準器具或標準物質作為檢定工具，來檢定某測量器具標稱值或測量值中是否具有顯著系統(tǒng)誤差。標準器具所提供標準量值精確度應當比被檢定測量器具要高出1～2個等級或最少高幾倍以上?，F(xiàn)對被檢量反復測量次，假設測量服從正態(tài)分布在計量檢定中，常設（標準器具量值），現(xiàn)對均值進行檢定，判斷其是否具有系統(tǒng)誤差。第114頁計量檢定法步驟2、構造統(tǒng)計量3、在給定顯著水平下，查分布表臨界值4、作出決策。若，判定被檢量算術平均值與盼望標準值之間存在顯著差異，即被檢量具有恒定系統(tǒng)誤差。5、加修正值。對測得值加一種修正值，即1、計算均值，按貝塞爾公式計算標準差第115頁某儀器測量過程控制圖

測量值檢查時間序號標定該儀器在不一樣步間段測量值變化，包括算術平均值和標準差，以核查該測量儀器在一種長時期內(nèi)測量精確度,使之得到控制第116頁二多臺儀器間比對測試

缺少標準器具的檢定手段時，可以考慮選擇幾個實驗室之間進行比對測試，在嚴格規(guī)定比對測試的規(guī)范基礎上，可以通過對幾個參加實驗室的測試數(shù)據(jù)的匯總、統(tǒng)計分析，得出一些說明實驗室之間測試結果是否有顯著差異的結論。在檢查儀器的測量穩(wěn)定性試驗中，需要對儀器的某標準測量值進行不同時間段的多次重復測量，得到多組數(shù)據(jù)組間t檢驗法組間F檢驗法第117頁三其他檢查辦法說明1、各種檢驗方法可提供發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的信息。2、只能發(fā)現(xiàn)“有”，不能判斷“無”。3、更不能給出系統(tǒng)誤差的大小和產(chǎn)生原因第118頁第四節(jié)系統(tǒng)誤差一般處理辦法一、消除系統(tǒng)誤差的措施1．從產(chǎn)生誤差根源上消除系統(tǒng)誤差2．利用加修正值的方法消除系統(tǒng)誤差3．選擇適當?shù)臏y量方法消除系統(tǒng)誤差第119頁1、從產(chǎn)生誤差本源上消除

最抱負辦法。它要求對產(chǎn)生系統(tǒng)誤差原因有全面而細致理解，并在測試前就將它們消除或削弱到可忽視程度。視詳細條件不一樣，有：（1）所用基、標準件（如量塊、刻尺、光波波長等）是否精確可靠。（2）所用儀器是否通過檢定，并有有效周期檢定證書。（3）儀器調(diào)整、測件安裝定位和支承裝卡是否正確合理。（4）所用測量辦法和計算辦法是否正確，有沒有理論誤差。（5）測量場所環(huán)境條件是否符合要求要求，如溫度變化等（6）測量人員主觀誤差，如視差習慣等。第120頁關鍵：確定修正值或修正函數(shù)。對于某些事先通過分析或實驗可以確知誤差的大小和方向的恒定系統(tǒng)誤差，可以利用對測量結果加修正值的方法來減弱或消除系統(tǒng)誤差對測量結果的影響。修正值是這樣的一個值；它的大小與定值系統(tǒng)誤差的值相等但符號相反。為了求得修正值，最常用的方法是對所使用的測量器具進行檢定，確定該測量器具的示值相對計量標準器的差異，然后將這一數(shù)值給予相反的符號。量塊實際尺寸不等于公稱尺寸，若按公稱尺寸使用，就要產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。因此應按通過檢定實際尺寸（即將量塊公稱尺寸加上修正量）使用，就能夠避免此項系統(tǒng)誤差產(chǎn)生2、利用加修正值辦法消除系統(tǒng)誤差第121頁3、選擇合適測量辦法消除系統(tǒng)誤差在測量過程中，根據(jù)系統(tǒng)誤差的性質，采取一定的技術措施，選擇適當?shù)臏y量方法，使測得值中的系統(tǒng)誤差在測量過程中相互抵消而不帶入測量結果之中，從而實現(xiàn)減弱或消除系統(tǒng)誤差的目的。第122頁二、恒定系統(tǒng)誤差削弱和消除辦法替代測量法異號測量法交換測量法第123頁替代法

在測量裝置上測量被測量后不變化測量條件，立即用對應標準量替代被測量，放到測量裝置上再次進行測量，從而得到該標準量測量成果與已知標準量差值，即系統(tǒng)誤差，取其負值即可作為被測量測量成果修正量。第124頁等臂天平稱重,先將被測量放于天平一側，標準砝碼放于另一側，調(diào)至天平平衡，則有移去被測量，用標準砝碼替代，若該砝碼不能使天平重新平衡，如能讀出使天平平衡差值，則有便消除了天平兩臂不等造成系統(tǒng)誤差。

由于（存在恒定統(tǒng)誤差緣故）恒定系統(tǒng)誤差－替代法舉例第125頁根據(jù)誤差產(chǎn)生原因，將某些條件交換，以消除系統(tǒng)誤差。

恒定系統(tǒng)誤差－交換法等臂天平稱重,先將被測量放于天平一側，標準砝碼放于另一側，調(diào)至天平平衡，則有若將與交換位置，由于（存在恒定統(tǒng)誤差緣故），天平將失去平衡。原砝碼P調(diào)整為砝碼,才使天平再次平衡。于是有則有消除了天平兩臂不等造成系統(tǒng)誤差。

第126頁恒定系統(tǒng)誤差－異號法進行兩次反向測量，該兩次測量讀數(shù)時出現(xiàn)系統(tǒng)誤差大小相等，符號相反，即取兩次測值平均，有在使用直角尺檢定某量儀導軌運動垂直度時，可用它分別讀數(shù)一次取算術平均值辦法，以使直角尺垂直誤差得到賠償。在使用絲杠傳動機構測量微小位移時，為消除測微絲杠與螺母間配合間隙等原因引發(fā)空回誤差，往往采取來回兩個方向兩次讀數(shù)區(qū)算術平均值作為測得值，以賠償空回誤差影響第127頁三、變值系統(tǒng)誤差削弱和消除辦法對稱測量法半周期偶數(shù)測量法組合測量法第128頁對稱測量法舉例測得依賴原因t5個讀數(shù)，可取對稱讀數(shù)平均值作為測得值，可有效消除該范圍內(nèi)線性誤差機械式測微儀、光學比長儀等，都以零位中心對稱刻度，一般都存在隨示值而遞增（減）示值誤差。采取對稱測量法可消除此類示值誤差很多隨時間變化系統(tǒng)誤差，在短時間內(nèi)均可看作是線性，雖然并非線性，只要是遞增或遞減，如采取對稱測量法，則可基本或部分消除第129頁復雜規(guī)律變化系統(tǒng)誤差消除法——組合測量法組合測量法是消除按復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差的一種有效方法。所謂組合測量法就是對一組相互之間有依賴關系的被測量進行一系列不同組合的直接測量和間接測量，得到一組具有一定數(shù)學關系的方程組，求解其方程組確定被測量的量值。在測量過程中，使得某些系統(tǒng)誤差的出現(xiàn)規(guī)律轉變?yōu)殡S機性，即把系統(tǒng)誤差隨機化，以減弱或消除系統(tǒng)誤差對測量結果的影響。第130頁4-131第4章：粗大誤差第131頁教學目和要求：4-132通過本章內(nèi)容教學,使學生能夠掌握可疑值處理基本標準，正確合理進行粗大誤差剔除。要求學生清楚粗大誤差產(chǎn)生原因和特性；掌握可疑值處理基本標準；正確使用統(tǒng)計學鑒別辦法，剔除粗大誤差。

第132頁主要內(nèi)容：4-133

粗大誤差產(chǎn)生原因和特點：產(chǎn)生原因、主要特點。可疑值處理基本標準：直觀判斷、及時剔除；增加測量次數(shù)、繼續(xù)觀測；用統(tǒng)計法鑒別；保存不剔、確保安全。粗大誤差統(tǒng)計學鑒別辦法：統(tǒng)計鑒別辦法基本根據(jù)、常用統(tǒng)計鑒別辦法、鑒別粗大誤差應注意幾個問題。

第133頁客觀外界條件原因測量人員主觀原因測量儀器內(nèi)部突然故障

第一節(jié)粗大誤差產(chǎn)生原因4-134第134頁客觀外界條件原因機械沖擊、外界震動、電網(wǎng)供電電壓突變、電磁干擾等測量條件意外地變化，引發(fā)儀器示值或被測對象位置變化而產(chǎn)生粗大誤差。4-135第135頁測量人員主觀原因測量者工作責任性不強，工作過于疲勞，對儀器熟悉與掌握程度不夠等原因，引發(fā)操作不當，或在測量過程中不小心、不耐心、不認真等，從而造成錯誤讀數(shù)或錯誤統(tǒng)計。4-136第136頁測量儀器內(nèi)部突然故障若不能確定粗大誤差是由上述兩個原因產(chǎn)生時，其原因可以為是測量儀器內(nèi)部突然故障。4-137第137頁第二節(jié)可疑值處理基本標準4-138直觀判斷，及時剔除增加測量次數(shù)，繼續(xù)觀測用統(tǒng)計辦法進行鑒別保存不剔，確保安全第138頁直觀判斷，及時剔除若某可疑值經(jīng)分析確認是由于錯讀、錯記、錯誤操作以及確實為測量條件發(fā)生意外突然變化而得到測量值，能夠隨時將該次測量得到數(shù)據(jù)從測量統(tǒng)計中剔除。但在剔除時必須注明原因，不注明原因而隨意剔除可疑值是不正確。這種辦法稱為物理鑒別法，也叫直觀鑒別法。4-139第139頁4-140假如在測量過程中，發(fā)覺可疑測量值又不能充足肯定它是異常值時，能夠在維持等精密度測量條件前提下，多增加某些測量次數(shù)。根據(jù)隨機誤差對稱性，后來測量很也許出現(xiàn)與上述成果絕對值相近僅符號相反另一測量值，此時它們對測量成果影響便會彼此近于抵消。增加測量次數(shù)，繼續(xù)觀測4-140第140頁在測量完成后，還不能確定可疑測量值是否為具有粗大誤差異常值時，可按照根據(jù)統(tǒng)計學辦法導出粗大誤差鑒別準則進行鑒別、確定。用統(tǒng)計辦法進行鑒別4-141第141頁保存不剔，確保安全利用上述三種標準還不能充足肯定可疑值，為保險起見，一般以不剔除為好。

4-142第142頁建立粗大誤差統(tǒng)計鑒別辦法基本根據(jù)常用統(tǒng)計鑒別辦法鑒別粗大誤差應注意幾個問題第三節(jié)粗大誤差統(tǒng)計鑒別辦法

4-143第143頁建立粗大誤差統(tǒng)計鑒別辦法基本根據(jù)依根測量精確度要求，給定一置信概率（例如99％等），確定其隨機誤差分布范圍（－Ks，Ks），凡超出這個范圍誤差，就以為是不屬于正常測量條件下測量值所具有隨機誤差，而應視為粗大誤差給予剔除。

4-144第144頁常用統(tǒng)計鑒別辦法萊因達（3s）準則格拉布斯（Grubbs）準則狄克遜（Dixon）準則

4-145第145頁前提條件：測得值不具有系統(tǒng)誤差；隨機誤差服從正態(tài)分布。若對某物理量等精度反復測量n次，得測得值x1，x2，…，xn。萊因達以為；假如某測得值殘余誤差絕對值大于三倍標準偏差時，即|vi|＞3s

則以為該誤差為粗大誤差，該次測得值為異常值，應剔除。1、萊因達準則

4-146第146頁萊因達準則是一種簡便、保險但非常保守鑒別準則，當測量次數(shù)n≤10時，雖然存在粗大誤差也鑒別不出來。因此，在測量次數(shù)較少時，幾乎不適于使用。當測量次數(shù)為30次以上時較為合適。

4-147第147頁辦法1：若對某物理量等精密度測量n次，得測得值x1，x2，…，xn。將測得值按其大小，由小到大排列成次序統(tǒng)計量x(i)：x(1)≤x(2)≤…≤x(n)若以為x(1)是可疑測量值，則有統(tǒng)計量2、格拉布斯(Grubbs)準則

4-148第148頁若以為x(n)是可疑測量值，則有統(tǒng)計量

當g(i)≥g0（n，a）時，則以為測得值xi具有粗大誤差，應給予剔除。

g0（n，a）為測量次數(shù)為n顯著度為a時統(tǒng)計量臨界值，可由表查取。

4-149第149頁例題格拉布斯準則還能夠用殘余誤差形式體現(xiàn)。若測量列中可疑值對應殘余誤差|vi|max滿足|vi|max

＞g0(n,a)s則以為該可疑值xi是具有粗大誤差異常值，應剔除。表中g0(n,a)值是按分布計算得出，其中s用貝塞爾公式計算。第150頁

例題用格拉布斯準則鑒別下列一組等精密度測量所得測得值中是否有異常值？

xi：55.2，54.6，56.1，55.4，55.5，54.9，56.8，55.0，54.6，58.3

4-151第151頁解：首先計算測量算術平均值和標準偏差vi：－0.44，－1.04，＋0.46，－0.24，－0.14，－0.74，＋1.16，－0.64，－1.04，＋2.66

=55.64第152頁確定絕對值最大殘余誤差|vi|max和對應可疑值|vi|max＝|v10|＝2.66

可疑值x10＝58.3取a＝0.01，由n＝10查表得g（10，0.01）＝2.41利用格拉布斯準則鑒別g（10，0.01）×s＝2.41×1.16＝2.80|v10|＝2.66＜g（10，0.01）×s＝2.80故x10不是粗大誤差，也不是異常值，應保存。第153頁3、狄克遜(Dixon)準則

4-154前面兩種鑒別辦法，均需求出算術平均值、殘余誤差vi；和標準偏差s。在實際工作中，顯得計算量大，使用麻煩。而狄克遜準則是直接根據(jù)測得值按其大小次序重新排列后次序統(tǒng)計量來鑒別可疑測量值是否為異常值，可免除反復計算繁瑣勞動。

第154頁狄克遜（Dixon）準則若對物理量等精密度測量n次，得測得值x1，x2，…，xn。將此測量列由小到大按次序重新排列成x(1)≤x(2)≤…≤x(n)

4-155第155頁若狄克遜導出了次序差統(tǒng)計量分布及其在給定顯著度a下臨界值d0（n，a），

或

或

或

或第156頁例題若

dij＞d0（n，a）則以為對應最大測得值或最小測得值為具有粗大誤差異常值，應剔除。第157頁狄克遜通過大量試驗以為：當n≤7時，使用d10效果好；當8≤n≤10時，使用d11效果好；當11≤n≤13時，使用d21效果好；當n≥14時，使用d22效果好。準則應用

4-158第158頁例題用狄克遜準則鑒別下列測得值中是否有異常值？測得值中不具有系統(tǒng)誤差且服從正態(tài)分布。

xi：5.29，5.30，5.31，5.30，5.32，5.29，5.28，5.27，5.31，5.28

4-159第159頁解：首先將測得值按大小次序排列序號12345678910x（i）5.275.285.285.295.295.305.305.315.315.32由于n＝10應按d11計算統(tǒng)計量。首先檢查x(10)是否是異常值=0.250第160頁若取a＝0.01查表得臨界值d0（10，0.01）=0.597，有d11=0.250＜d0（10，0.01）=0.597說明x（10）不是異常值。第161頁=0.250d11=0.250＜d0（10，0.01）=0.597說明x（1）也不是異常值。由此，我們能夠得出結論，該測量列中沒有異常值。第162頁精確找出可疑測量值合理選擇鑒別準則查找產(chǎn)生粗大誤差原因鑒別準則比較所有測量數(shù)據(jù)否認4-163鑒別粗大誤差應注意幾個問題第163頁第5章：測量不確定度第164頁教學目和要求：通過本章內(nèi)容教學，使學生能夠對測量數(shù)據(jù)合理、正確進行測量不確定度評定與表達。要求學生清楚測量不確定度概念，明了不確定度分類，掌握標準不確定度A類和B類評定辦法、合成標準不確定度和擴展不確定度評定辦法；正確進行測量不確定度報告和表達。5-165第165頁主要內(nèi)容1.測量不確定度基本概念：產(chǎn)生背景、定義及分類、測量誤差與測量不確定度、產(chǎn)生測量不確定度原因、測量過程數(shù)學模型建立、測量不確定度傳輸規(guī)律。2.標準不確定度A類評定：單次測量成果試驗標準差與算術平均值試驗標準差、測量過程合并樣本標準差、不確定度A類評定獨立性。3.標準不確定度B類評定：B類不確定度評定信息起源、B類不確定度評定辦法、B類不確定度評定自由度及其意義、B類標準不確定度評定流程。5-166第166頁主要內(nèi)容4.合成標準不確定度評定：輸入量不有關時不確定度合成、輸入量有關時不確定度合成、合成標準不確定度自由度、合成標準不確定度計算流程。5.擴展不確定度評定：輸出量分布特性、擴展不確定度含義、包括因子選擇、評定流程。6.測量不確定度報告與表達：測量成果及其不確定度報告、測量不確定度報告方式、測量不確定度評定總流程。5-167第167頁測量不確定度產(chǎn)生背景測量不確定度定義及分類測量誤差與測量不確定度產(chǎn)生測量不確定度原因測量過程數(shù)學模型建立測量不確定度傳輸律第一節(jié)

測量不確定度基本概念5-168第168頁1、測量誤差是一種抱負化概念，實際中難以精確定量確定。2、系統(tǒng)誤差和隨機誤差在某些情況下界限不是十分清楚，使得同一被測量在相同條件下測量成果因評定辦法不一樣而不一樣，從而引發(fā)測量數(shù)據(jù)處理辦法和測量成果體現(xiàn)不統(tǒng)一，影響國際間交流。一、產(chǎn)生背景5-169第169頁1980年國際計量局（BIPM）起草了一份《試驗不確定度提議書INC－1》。1981年，第七十屆國際計量委員會（CIPM）同意了上述提議，并公布了一份CIPM提議書，即CI－1981。1986年，CIPM再次重申采取上述測量不確定度表達統(tǒng)一辦法，并公布了CIPM提議書CI－1986。發(fā)展史5-170第170頁發(fā)展史1993年，GUM以7個國際組織名義正式由國際標準化組織頒布實行，并在1995年又作了修訂。我國由全國法制計量委員會委托中國計量科學研究院起草制定了國家計量技術規(guī)范《測量不確定度評定與表達》（JJF1059－1999）。該規(guī)范標準上等同GUM基本內(nèi)容，作為我國統(tǒng)一準則對測量成果及其質量進行評定、表達和比較。5-171第171頁二、不確定度定義測量不確定度（uncertaintyofmeasurement）

測量不確定度定義為表征合理地賦予被測量之值分散性，與測量成果相聯(lián)系參數(shù)。此參數(shù)能夠是標準差或其倍數(shù)，或說明了置信水準區(qū)間半寬度，其值恒為正值。

5-172第172頁不確定度評定辦法分類

A類評定（typeAevaluationofuncertainty）

用對觀測列進行統(tǒng)計分析辦法來評定標準不確定度稱為不確定度A類評定，又稱為A類不確定度評定，簡稱A類不確定度。B類評定（typeBevaluationofuncertainty）

用不一樣于對觀測列進行統(tǒng)計分析辦法來評定標準不確定度稱為不確定度B類評定，有時又稱為B類不確定度評定，簡稱B類不確定度。5-173第173頁合成（標準）不確定度（combinedstandarduncertainty）當測量成果是由若干個其他量值求得時，按其他各量方差或協(xié)方差算得標準不確定度稱為合成標準不確定度，用符號uc表達。不確定度評定辦法分類擴展不確定度（expandeduncertainty）

由于標準偏差所對應置信水準（也稱為置信概率）一般還不夠高，在正態(tài)分布情況下僅為68.27％，因此還要求測量不確定度也能夠用標準偏差倍數(shù)kσ來表達。這種不確定度稱為擴展不確定度，有時也稱展伸不定度或范圍不確定度，用符號U或UP表達。5-174第174頁擴展不確定度（expandeduncertainty）

要求了測量成果取值區(qū)間半寬度，該區(qū)間包括了合理賦予被測量值分布大部分。用符號U或UP表達。包括因子（coveragefactor）

為取得擴展不確定度，對合成標準不確定度所乘倍數(shù)因子。常用符號k或kP來表達。在國內(nèi)，有也其稱為覆蓋因子，其取值一般在2與3之間。不確定度評定辦法分類5-175第175頁不確定度評定辦法分類絕對不確定度和相對不確定度誤差能夠用絕對誤差和相對誤差兩種形式來表達，不確定度也同樣能夠有絕對不確定度和相對不確定度兩種形式。絕對形式表達不確定度與被測量有相同量綱。相對形式表達不確定度，其量綱為1，或稱為無量綱。被測量x標準不確定度u（x）和相對標準不確定度urel（x）間關系為：5-176第176頁三、測量誤差與測量不確定度1、相同點測量誤差和測量不確定度是誤差理論中兩個主要概念，它們都是評價測量成果質量高低主要指標。2、測量誤差與測量不確定度主要區(qū)分如下表。5-177第177頁測量誤差與測量不確定度主要區(qū)分序號內(nèi)容測量誤差測量不確定度1定義表白測量成果偏離真值，是一種確定值。表白被測量之值分散性，是一種區(qū)間。用標準偏差，標準偏差倍數(shù)，或說明了置信水準區(qū)間半寬度來表達。2分類按出現(xiàn)于測量成果中規(guī)律。分為隨機誤差和系統(tǒng)誤差，它們都是無限數(shù)次測量抱負概念。按是否用統(tǒng)計措施求得，分為A類評定和B類評定。它們都以標準不確定度表達。在評定測量不確定度時，一般無須辨別其性質。若需要辨別時，應表述為“由隨機效應引入測量不確定度分量”和“由系統(tǒng)效應引入不確定度分量”。3可操作性由于真值未知。往往不能得到測量誤差值。當用一商定真值替代真值時，能夠得到測量誤差估計值。測量不確定度能夠由人們根據(jù)試驗、資料、經(jīng)驗等信息進行評定，從而能夠定量確定測量不確定度值。5-178第178頁測量誤差于測量不確定度主要區(qū)分續(xù)4數(shù)值符號非正即負（或零），不能用正負（±）號表達。是一種無符號參數(shù)，恒取正值。當由方差未得時，取其正平方根。5合成措施各誤差分量代數(shù)和。當各分量彼此獨立時用方和根法合成，不然應考慮加入有關項。6成果修正已知系統(tǒng)誤差估計值時，能夠對測量成果進行修正，得到已修正測量成果。不能用測量不確定度對測量成果進行修正。對已修正測量成果進行不確定度評定期，應考慮修正不完善引入不確定度分量。5-179第179頁5-180測量誤差于測量不確定度主要區(qū)分續(xù)7成果說明誤差是客觀存在紛不以人結識程度而轉移。誤差屬于給定測量成果。相同測量成果具有相同誤差，而與得到該測量成果測量儀器和測量措施無關。測量不確定度與人們對被測量、影響量、以及測量過程結識有關。合理賦予被測量任一種值，均具有相同測量不確定度。8試驗標準差起源于給定測量成果，它不表達被測量估計值隨機誤差。起源于合理賦予被測量之值，表達同一觀測列中，任一種估計值標準不確定度。9自由度不存在可作為不確定度評定可靠程度指標。10置信概率不存在當理解分布時，可按置信概率給出置信區(qū)間。第180頁續(xù)3、誤差與測量不確定度關系誤差理論是測量不確定度基礎。研究測量不確定度首先需要研究誤差，只有對誤差性質、分布規(guī)律、互相聯(lián)系及對測量成果誤差傳遞關系等有了充足結識和理解，才能更加好地估計各不確定度分量，正確得到測量成果不確定度。測量不確定度是建立在誤差理論基礎新概念，其理論體系是對典型誤差理論充實和完善。5-181第181頁四、產(chǎn)生測量不確定度原因測量過程中隨機效應和系統(tǒng)效應均會造成測量不確定度，詳細測量不確定度原因與誤差原因相同。5-182第182頁五、測量過程數(shù)學模型建立1、直接測量Y＝X

（5－1）式中X為輸入量，也是被測量，Y為輸出量，也是被測量。式（5－1）稱為直接測量過程數(shù)學模型。5-183第183頁2、間接測量間接測量過程數(shù)學模型在實際測量很多情況下，被測量Y不能直接測得，而是先直接測量與之有關其他量X1，X2，…，XN，然后通過函數(shù)關系式Y＝f（X1，X2，…，XN）（5－2）來確定。這種函數(shù)關系式就稱為間接測量過程數(shù)學模型，簡稱數(shù)學模型。5-184五、測量過程數(shù)學模型建立第184頁六、測量不確定度傳輸律

（5－3）式（5－3）稱為測量不確定度傳輸律，其中稱為敏捷系數(shù)，u（xi）分別為輸入量Xi估計值xi標準不確定度，u（xi，xj）為任意兩輸入量估計值協(xié)方差函數(shù)。5-185第185頁單次測量成果試驗標準差與平均值試驗標準差測量過程合并樣本標準差規(guī)范測量中合并樣本標準差不確定度A類評定獨立性阿倫方差

A類不確定度評定自由度和評定流程第二節(jié)

標準不確定度A類評定第186頁一、單次測量成果試驗標準差與平均值試驗標準差1、單次測量成果試驗標準差2、平均值試驗標準差，其值為5-187第187頁續(xù)3、當測量成果取其中m次平均值時，所對應A類不確定度，和自由度是相同，都是5-188第188頁續(xù)4、當不確定度以絕對形式表達（如千分尺）時，一般選用整個量程最大檢定點進行數(shù)次測量，計算試驗標準差s（xi），用以代表整個量程各點。當不確定度以相對形式表達（如材料試驗機）時，一般選用整個量程最小點進行數(shù)次測量，計算相對試驗標準差srel（xi），用以代表整個量程各點。5-189第189頁二、測量過程合并樣本標準差對于一種測量過程，若采取核查標準或控制圖辦法使其處于統(tǒng)計控制狀態(tài)，則該測量過程合并樣本標準差sp為式中si為每次核查時樣本標準差；k為核查次數(shù)。當每次核查，其自由度相同步，上式成立。5-190第190頁續(xù)合并樣本標準差sp為測量過程長期組內(nèi)標準差平方平均值正平方根。在此情況下，由該測量過程對被測量X進行n次觀測，以算術平均值作為測量成果時，其標準不確定度u（x）為5-191第191頁三、規(guī)范測量中合并樣本標準差所謂規(guī)范測量，指明確要求了程序、條件測量，例如按測量儀器檢定規(guī)程進行檢定，按給定技術規(guī)范對樣品某參數(shù)測量。認定測量處于統(tǒng)計控制狀態(tài)下時，可以為被測量X單次測量成果xi

標準差s（xi）相等。通過累積下來測量成果，計算出自由度充足大合并樣本標準差sp（x），以用于每次測量成果評定。5-192第192頁三、規(guī)范測量中合并樣本標準差

①若m個被測量Xi在反復性條件下，均進行了n次獨立觀測，測值分別為xi，1，xi，2，…，xi，n，其平均值為，則可得合并樣本標準差sp為

自由度為②若

m個被測量反復次數(shù)不完全相同，設各為

ni，Xi標準差s(xi)自由度分別為＝（ni－1），通過m個si與可得sp為自由度為5-193第193頁四、不確定度A類評定獨立性①被測量是一批材料某一特性，所有反復觀測值來自同同樣品，而取樣又是測量程序一部分，則觀測值不具有獨立性，必須把不一樣樣本間也許存在隨機差異造成不確定度分量考慮進去；②測量儀器調(diào)零是測量程序一部分，重新調(diào)零應成為反復性一部分；③通過直徑測量計算圓面積，在直徑反復測量中，應隨機地選用不一樣方向觀測；5-194第194頁續(xù)④當使用測量儀器同一測量段進行反復測量時，測量成果均帶有相同這一測量段誤差，而減少了測量成果間互相獨立性；⑤在一種氣壓表上反復數(shù)次讀取示值，把氣壓表擾動一下，然后讓它恢復到平衡狀態(tài)再進行讀數(shù)，由于雖然大氣壓力并無變化，還也許存在示值和讀數(shù)方差。5-195第195頁五、阿倫方差設對被測量頻率進行m＋1次測量，每次測量取樣時間為τ，以每兩次測量為一組，其測量