2021北京西城高三數(shù)學(xué)一模試卷及答案

2021北京西城高三一模

數(shù)學(xué)

2021.4

本試卷共6頁(yè)，共150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案寫在答題卡上，在試卷上作答無

效。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一

項(xiàng)。

1.(已知集合4="|應(yīng)1},B={-1,0,1,2},則

(A){2}(B){1,2}(C){0,1,2}(D){x\x>-l}

2.(已知復(fù)數(shù)z滿足N—z=2i,則z的虛部是

(A)-1(B)1(C)~i(D)i

3.(在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為

(A)15(B)-15(C)30(D)-30

4.(某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的表面積為

h<-2—2—

正(主)視圖側(cè)(左)視圖

N

俯視圖

第1頁(yè)共20頁(yè)

(A)12(B)8+夜

(C)16(D)8+40

2

5.(已知函數(shù)/(x)=--log2X,則不等式，(x)>0的解集是

X

(A)(0,1)(B)(-oo,2)

(C)(2,+oo)(D)(0,2)

6.(在△43。中，C=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)尸是46的中點(diǎn)，則而.而=

99

(A)-(B)4(C)-(D)6

42

7.(在△NBC中，C=60。，a+2b=8,sin/=6sin5,貝ijc=

(A)底(B)而(C)6(D)5

8.（拋物線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對(duì)稱軸.該性質(zhì)

在實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)用非常廣泛.如圖，從拋物線y=4x的焦點(diǎn)廠發(fā)出的兩條光線”，6分別經(jīng)拋物

線上的48兩點(diǎn)反射，已知兩條入射光線與x軸所成銳角均為60。,則兩條反射光線優(yōu)和6'之

間的距離為

268,、4x/38G

(B)-(C)+(D)

(A)333~3~

第2頁(yè)共20頁(yè)

9.(在無窮等差數(shù)列{飆}中，記看=。1一。2+。3—。4+。5-“+(-1嚴(yán)1,an(?=1,2,???),則“存在

機(jī)GN*,使得Tm<Tm+2”是“{a?}為遞增數(shù)列”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

10.(若非空實(shí)數(shù)集X中存在最大元素M和最小元素也，則記△(㈤下列命題中正確的是

(A)已知X={T,1},r={0,b},且△(#=△(7),則6=2

(B)已知X=[〃，a+2],丫=&"=￥,x^X],則存在實(shí)數(shù)a,使得△(7)<1

(C)已知X=(x|/(x)>g(x)xe[-l,1]},若△(㈤=2,則對(duì)任意1],都有人r)*(x)

(D)已知X=[a,a+2],Y=g,6+3],則對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,總存在實(shí)數(shù)6,使得△(XUy)W3

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.(函數(shù)f(x)=lnx+Jl—x的定義域是.

12.(已知雙曲線C：1-斗=1，則C的漸近線方程是；過C的左焦點(diǎn)且與x軸垂直

84

的直線交其漸近線于N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OMN的面積是.

13.(在等比數(shù)列{a“}中，。1+。3=10，。2+。4=-5,則公比q=；若即>1,則n的最大值為

14.(已知函數(shù)/(x)=sinx,若對(duì)任意x《R都有/(x)+；(x+m)=c(c為常數(shù))，則常數(shù)機(jī)的一個(gè)取值

為.

15.(長(zhǎng)江流域水庫(kù)群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效益.

第3頁(yè)共20頁(yè)

每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險(xiǎn)，水利部門需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)上聯(lián)

水庫(kù)實(shí)際蓄水量

合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)(蓄滿指數(shù)=X100)來衡量每座水庫(kù)的水位情

水庫(kù)總蓄水量

況.假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：

(i)調(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間[0,100];

(ii)調(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿指數(shù)都不能降低；

(iii)調(diào)度前后，各水庫(kù)之間的蓄滿指數(shù)排名不變.

記X為調(diào)度前某水庫(kù)的蓄滿指數(shù)，y為調(diào)度后該水庫(kù)的蓄滿指數(shù)，給出下面四個(gè)y關(guān)于X的函數(shù)

解析式:

]r~—71

①丫二-五Y+6X；②y=iojx；③y=i（）50；@y=100sin-X.

則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號(hào)是

注：第(12)和(13)題第一空3分，第二空2分.第(15)題全部選對(duì)得5分，不選或有錯(cuò)選得

0分，其他得3分.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16.(如圖，在正方體48c。一小SiGDi中，E為。人的中點(diǎn).

⑴求證：8。//平面ZCE；

(II)求直線與平面/CE所成角的正弦值.

第4頁(yè)共20頁(yè)

第5頁(yè)共20頁(yè)

17.（己知函數(shù)/（x）=Asin（<wx+0）（A>O,0>O,|d<|o,且y（x）圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇兩個(gè)作為一組己知條件.

2

（I）確定./（x）的解析式；

（II）若外）圖象的對(duì)稱軸只有一條落在區(qū)間［0,?上，求a的取值范圍.

條件①：/）的最小值為-2；

條件②：/（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（2，0）；

12

條件③：/（X）的圖象經(jīng)過點(diǎn)聽,-1）；

注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

第6頁(yè)共20頁(yè)

18.（天文學(xué)上用基等表示星體亮度，星等的數(shù)值越小、星體越亮.視星等是指觀測(cè)者用肉眼所看到的

星體亮度；絕對(duì)星等是假定把恒星成放在距地球32.6光年的地方測(cè)得的恒星的亮度，反映恒星

的真實(shí)發(fā)光本領(lǐng).

下表列出了（除太陽(yáng)外）視星等數(shù)值最小的10顆最充恒星的相關(guān)數(shù)據(jù)，其中

天狼老人南門大角織女五車參宿南河水委

星名參宿四*

星星星七

視星等-1.47-0.72-0.27-0.040.030.080.120.380.46a

絕對(duì)星等1.42-5.534.4-0.380.60.1-6.982.67-2.78-5.85

赤緯-16.7°-52.7°-60.8°19.2°38.8°46°-8.2°5.2°-57.2°7.4°

（I）從表中隨機(jī)選擇顆恒星，求它的絕對(duì)星等的數(shù)值小于視星等的數(shù)值的概率;

（II）已知北京的緯度是北緯40。，當(dāng)且僅當(dāng)一顆恒星的“赤緯”數(shù)值大于-50。時(shí)，能在北京的夜

空中看到它，現(xiàn)從這10顆恒星中隨機(jī)選擇4顆，記其中能在北京的夜空中看到的數(shù)量為X顆，

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（III）記。=0時(shí)10顆恒星的視星等的方差為s；,記“=1.3時(shí)10顆恒星的視星等的方差為主，

判斷s；與s；之間的大小關(guān)系.（結(jié)論不需要證明）

19.（已知函數(shù)加:）=0'（Inx-。）.

第7頁(yè)共20頁(yè)

（I）若“=1,求曲線>=危）在點(diǎn)（1,XI））處的切線方程；

（II）若心1,求證：函數(shù)義X）存在極小值；

（III）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)XG[1,+8）,y（x）NT恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

22

rv3

20-（已知橢圓0（fl>0）的焦點(diǎn)在x軸上,且經(jīng)過點(diǎn)￡（1，T，左頂點(diǎn)為0，右焦點(diǎn)

第8頁(yè)共20頁(yè)

為凡

(I)求橢圓C的離心率和△?DE/的面積；

(II)已知直線夕=代十1與橢圓C交于48兩點(diǎn)過點(diǎn)8作直線y=fG>g)的垂線，垂足為

G.判斷是否存在常數(shù)3使得直線4G經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)？若存在，求f的值；若不存在，請(qǐng)說

明理由.

21.(已知數(shù)列出四，。2，…，a,v(7V>3)的各項(xiàng)均為正整數(shù)，設(shè)集合7={x|x=q-.13勺WV},記T

的元素個(gè)數(shù)為尸(7).

第9頁(yè)共20頁(yè)

(I)若數(shù)列/：1,2,4,3,求集合T,并寫出尸(7)的值；

(II)若/是遞增數(shù)列，求證：“P(Q=N-1”的充要條件是7為等差數(shù)列”；

(III)若N=2〃+l,數(shù)列N由1,2,3,…，n,2N這〃+1個(gè)數(shù)組成，且這〃+1個(gè)數(shù)在數(shù)列/中

每個(gè)至少出現(xiàn)一次，求P(7)的取值個(gè)數(shù).

2021北京西城高三一模答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一

第10頁(yè)共20頁(yè)

項(xiàng)。

12345678910

BAADDCBCBD

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.(0,1]

歷

12.y=+-^x,60

13-—,3

2

14.兀(答案不唯一，只要是(2左+1)兀即可)

15.②④

注：第(12)和(13)題第一空3分，第二空2分.第(15)題全部選對(duì)得5分，不選或有錯(cuò)選得

。分，其他得3分.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16.(如圖，在正方體488一m81Goi中，E為。。?的中點(diǎn).

⑴求證：8D//平面/CE；

(II)求直線與平面/CE所成角的正弦值.

解：(I)連接血交AC于點(diǎn)。，連接0E,

在正方形45co中，OB=OD.

第11頁(yè)共20頁(yè)

因?yàn)椤隇椤的中點(diǎn)，

所以O(shè)E〃BD,..................................3分

因?yàn)锽.U平面ACE,OEu平面ACE,

所以8%//平面ACE............................5分

（II）不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z.

則A(0,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),E(0,2,l),

所以而=(0,2,0),AC=(2,2,0),通=(0,2,1).........................8分

設(shè)平面ACE的法向量為〃=(x,y,z),

所以]〃.曰=0,所以(2x+2y=0,即卜-%............10分

n-AE=0,[2y+z=0,[z=-2y,

令y=—1,則x=l,z=2>

于是〃=(1,-1,2).........................11分

設(shè)直線與平面ACE所成角為。，

則sin6?=|cos(而,"〉|=叫丁=亮=恪.............13分

|AD|?|/I|2V66

所以直線4)與平面ACE所成角的正弦值為巫.

17.解：（「）由于函數(shù)人對(duì)圖象上兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為

所以外）的最小正周期7=2、怖=兀，69=y=2.2分

此時(shí)/(x)=Asin(2x+°).

第12頁(yè)共20頁(yè)

選條件①②：

因?yàn)锳x)的最小值為一4,所以A=2.............3分

因?yàn)?U)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(1,0),

STT

所以2x---\-(p=kn(A:GZ),............5分

12

5冗

所以9=%兀一二(ZeZ),

O

因?yàn)镮9|＜］，所以夕=2,此時(shí)k=l.............7分

26

所以f(x)=2sin(2x+3).............8分

6

選條件①③：

因?yàn)椤皉)的最小值為-A,所以A=2.............3分

因?yàn)楹瘮?shù)火幻的圖象過點(diǎn)(絲，-1),

6

則'"|)=一］'即2sin(g+9)=-l,sin(g+e)=_g.

因?yàn)樗钥矗?+當(dāng)〈等,............§分

所以。+言=半，"%............7分

366

所以/(x)=2sin(2x+-).............8分

6

選條件②③：

因?yàn)楹瘮?shù)7U)的一個(gè)對(duì)稱中心為(2,0),

第13頁(yè)共20頁(yè)

所以2乂五+0=%兀(AeZ),............4分

5IT

所以。=%兀---(ZEZ).

6

因?yàn)閨。|<1，所以e=[,此時(shí)k=l.............6分

2o

7C

所以/(x)=Asin(2x+w).

O

因?yàn)楹瘮?shù)./U)的圖象過點(diǎn)(皂,-1),

6

所以/(亞)=-1，即Asin(—+—)=-1,Asin^-^=-1,

6366

所以A=2.............7分

7T

所以/(x)=2sin(2x+z).............8分

6

（II）因?yàn)閤e［O,a］,所以2x+殳w［工,2a+馬,

666

因?yàn)樨?fù)＞）圖象的對(duì)稱軸只有一條落在區(qū)間［0,a］上，

所以&W2a+￥＜型，............11分

262

得？Wa＜生，............13分

63

所以。的取值范圍為［二任）.

18.解：（「）設(shè)一顆星的絕對(duì)星等的數(shù)值小于視星等的數(shù)值為事件A.

由圖表可知，10顆恒星有5顆恒星絕對(duì)星等的數(shù)值小于視星等的數(shù)值.

第14頁(yè)共20頁(yè)

所以P(A)=』=L3分

102

(II)由圖表知，有7顆恒星的“赤緯”數(shù)值大于-50\有3顆恒星的“赤緯”數(shù)

值小于-5()，.所以隨機(jī)變量X的所有可能取值為：1,2,3,4,4分

C1-C371C2C23

P(X=1)=*+='=L尸(x=2)=&■占=±,

C：021030C：010

“令42)=箸H

............8分

C2

Jo乙

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X1234

132

P

30W26

............9分

JVf^￡(X)=lx—+2x—+3xl+4xl=—.11分

3010265

(III)s；＜s；.14分

19.解：(□)當(dāng)〃=1時(shí)，/(x)=ex(lnx—1),

所以fr(x)=ev(lnx-1)4-eA—=ev(lnx+--1).............1分

xx

所以/(1)=—e,/z(l)=0.............3分

曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程為尸y....................4分

(II)由f(x)=eX(Inx-〃)，得r(x)=e'(lnx+'-a),

x

h(x)=\nx+—-a,則“(幻=.............6分

xxxx

第15頁(yè)共20頁(yè)

當(dāng)0<x<l時(shí),當(dāng)x>l時(shí),h'(x)>0,

所以h(X)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).

所以〃(x)的最小值為"1)=1—4.............7分

當(dāng)a〉l時(shí)，/z(l)=l-a<0,/?(en)=e-n>0)............9分

又〃(x)在(l,+oo)單調(diào)遞增，

故存在與e(l，e"),使得〃(不)=0,

在區(qū)間(1，飛)上獻(xiàn)力<0,在區(qū)間(x(),+8)上〃(x)>0.............10分

所以，在區(qū)間(1,而)上/'(x)<0,在區(qū)間(%,+00)上r(x)>0,

所以，在區(qū)間(1,與)上段)單調(diào)遞減，在區(qū)間(x°,+oo)上以X)單調(diào)遞增，

故函數(shù)段)存在極小值.............11分

(111)對(duì)任意的實(shí)數(shù)xe[l,yo),恒成立，

等價(jià)于/U)的最小值大于或等于-1.

①當(dāng)awl時(shí)，〃(1)=1一。二0,由(II)得a(x)、o,所以/'(x)、o.

所以人幻在"土?)上單調(diào)遞增，

所以欠X)的最小值為/(l)=-ae.

由一肥》一1,得awL滿足題意.............13分

e

②當(dāng)?！?時(shí)，由(II)知，於)在(1,%)上單調(diào)遞減,

所以在(1，毛)上f(x)/(I)=-ae<-e,不滿足題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(ro「|.............15分

e

第16頁(yè)共20頁(yè)

20.解：(口)依題意，-4+-=B解得。=2.............1分

a24

因?yàn)樨?=々2_82=4_3=1,即c=l,............2分

所以。(一2,0),尸(1,0),

r11QQ

所以離心率6=￡=〈,尸的面積S=!X3X2=N................5分

a2224

(II)由已知，直線DE的方程為y='x+l.

2

□

當(dāng)A(-2,0),8(1,-)，G(l,r)時(shí)，

2

直線AG的方程為y=g(x+2),交y軸于點(diǎn)(0,?)；

當(dāng)41，)，5(-2,0),G(-2")時(shí)，

2

I—3

直線AG的方程為y-?=—交y軸于點(diǎn)(0,出).

2—33

若直線AG經(jīng)過y軸上定點(diǎn)，則2f=上2,

33

即，=3,直線AG交y軸于點(diǎn)(0,2).............7分

下面證明存在實(shí)數(shù)，=3,使得直線AG經(jīng)過y軸上定點(diǎn)(0,2).

y=履+1,

聯(lián)立,fy2消y整理，得(4廿+3)/+8心：-8=0,............8分

---F--=1

43

設(shè)A(X|,y),B(x2,y2).

則X|+々=—,X]X=-—.............10i

-止+32-4k2+3

第17頁(yè)共20頁(yè)

設(shè)點(diǎn)G(X2,3),所以直線AG的方程：y-3=?二3(X-AJ...........11分

玉一勺

令x=0,得3=.乂+31+3=3占.)1

X

Xj-X22一2

_3xj—x2(kx{+1)_3X|—x2—kxyx2]2分

X,-%2%一巧

因?yàn)槔?X]+X21

所以y=3百一%一(而+為)：？彳]一2%=2.............14分

X]-x2x]-x2

所以直線AG過定點(diǎn)(0,2).

綜上，存在實(shí)數(shù)f=3,使得直線AG經(jīng)過y軸上定點(diǎn)(0,2)............15分

21.解：(匚)因?yàn)?=1,a2=2>%=4，4=3，

所以T={1,2,3,-1},P(T)=4.............4分

(II)充分性：

若A是等差數(shù)列，設(shè)公差為d.

因?yàn)閿?shù)列A是遞增數(shù)列，所以”>().

則當(dāng)_/>i時(shí)，a.-q=(j-i)d.

所以T={4,2d,...,(N-l)d},P(T)=N-\.............6分

必要性：

若P(T)=N-1.

因?yàn)锳是遞增數(shù)列，所以4一4<4一4<…<1aN，

所以％4,…,即一4wT,且互不相等.

第18頁(yè)共20頁(yè)

所以7={a2-aA,%-4,…,即-ax}.

又4—。2<44一a1<ciz_%<■aN—q,

所以4一的，4-生,…,即一。2，即-4三丁，且互不相等.

所以%―%：%-4],ai-a2=ai-ax,…，aN-a2=aN_{-at.

所以％—4=a3~ai="'=aN~aN-\，

所以A為等差數(shù)列.............9分

(III)因?yàn)閿?shù)列A由1,2,3,2〃這〃+1個(gè)數(shù)組成，任意兩個(gè)不同的數(shù)作差，

差值只