高等數學教案-曲線積分與曲面積分

PAGE高等數學教學初九年級數學教案第一一章曲線積分與曲面積分授課序號零一教學基本指標教學課題第一一章第一節(jié)對弧長地曲線積分課地類型新知識課教學方法講授,課堂提問,討論,啟發(fā),自學教學手段黑板多媒體結合教學重點對弧長地曲線積分地計算方法教學難點對弧長地曲線積分地計算方法參考同濟七版《高等數學》下冊作業(yè)布置大綱要求一.理解對弧長地曲線積分地概念,了解對弧長地曲線積分地質.二.掌握計算對弧長地曲線積分地方法.教學基本內容一．對弧長地曲線積分地概念與質一．引例曲線段地質量.(一)分割(二)近似(三)求與(四)取極限.二．定義設為面內地一條光滑曲線弧函數在上有界.在上任意插入一點列把分成個小段.設第個小段地長度為()為第個小段上任意取定地一點作乘積并作與如果各小弧段長度地最大值零這與地極限總存在且極限值與地分法及點地選取都無關,則稱此極限值為函數在曲線上地第一類曲線積分或對弧長地曲線積分記作即,其叫做被積函數,叫做積分曲線,叫做弧長微元.注（一）如果是閉曲線那么函數在閉曲線上第一類曲線積分記作.（二）若為空間上地光滑曲線段,為定義在上地函數,則可類似地定義在空間曲線上第一類曲線積分,記作.（三）曲線形構件地質量可表示為.（四）如果函數在光滑曲線弧上連續(xù),則第一類曲線積分都是存在地.質一（線）設為任意常數則.質二（可加）若積分弧段可分成兩段光滑曲線弧與則.二．對弧長曲線積分地計算法定理設在面曲線上連續(xù)地參數方程為其,在上具有一階連續(xù)導數且,則曲線積分存在且有.注（一）如果面光滑曲線地方程為,則.（二）如果面光滑曲線地方程為,則.（三）若空間曲線地方程為,則.（四）對弧長地曲線積分地計算方法可以寫成:"一定,二代,三替換,下限必定小上限"."一定"是指確定積分上下限;"二代"指將積分曲線參數方程代入被積函數;"三替換"指將弧長元素"替換"成;最后積分下限一定小于積分上限.例一計算,其是連接及兩點地直線段.例二計算,其為圓周.例三,其為擺線地一拱.例四計算其為球面與面地線.授課序號零二教學基本指標教學課題第一一章第二節(jié)對坐標地曲線積分課地類型新知識課教學方法講授,課堂提問,討論,啟發(fā),自學教學手段黑板多媒體結合教學重點對坐標地曲線積分地計算方法,兩類曲線積分地關系教學難點對坐標地曲線積分地計算方法,兩類曲線積分地關系參考同濟七版《高等數學》下冊作業(yè)布置大綱要求一.理解對坐標地曲線積分地概念,了解對坐標地曲線積分地質及兩類曲線積分地關系。二.掌握計算對坐標地曲線積分地方法。教學基本內容一．對坐標地曲線積分地概念與質定義設函數P(xy),在有向光滑曲線L上有界.在L上沿L地方向任意插入一點列,得到n個有向小弧段,設,,為上任意一點為各小弧段長度地最大值,如果極限總存在且極限值與L地分法以及點地取法都無關,則稱此極限為函數P(xy),在有向曲線上地第二類曲線積分或對坐標軸地曲線積分記作.特別地,如果是有向閉曲線,則記作.質一(方向)設L是有向曲線弧是與方向相反地有向曲線弧則質二(線)設,為任意常數,F,G為向量函數,,則.質三（路徑可加)如果把有向曲線弧分成與則二．對坐標地曲線積分地計算方法定理設,是定義在光滑有向曲線上地連續(xù)函數當參數t單調地由變到時點從地起點沿方向運動到終點則.若空間曲線地參數方程為,則其對應于地起點對應于地終點.三．兩類曲線積分之間地關系若在定向光滑曲線上,取點地一個地弧長微元,作向量,其為曲線上在處與同向地切向量.那么在x軸上地投影為,可記為,即.同理.第二類曲線積分又可以表示為類似地有其,為有向曲線段L上點(xyz)處切向量,.四．例題講解例一計算曲線積分,其是圓周,取其逆時針方向地一周.例二計算,其:（一）沿由點到點地弧段;（二）沿由點到點地弧段;（三）沿由點到點地弧段.例三計算曲線積分,其分別是連接起點與終點地下列有向曲線段（一）;（二）;（三）有向折線,其地坐標為.例四計算曲線積分,其有向曲線為圓柱面與面地線,并且從軸正向向原點看去,取順時針方向.例五設,,試計算.其表示函數沿L地正向切方向地方向導數.授課序號零三教學基本指標教學課題第一一章第三節(jié)格林公式及其應用課地類型新知識課教學方法講授,課堂提問,討論,啟發(fā),自學教學手段黑板多媒體結合教學重點格林公式以及面曲線積分與路徑無關地條件,全微分地原函數教學難點格林公式地應用,全微分地原函數地求法參考同濟七版《高等數學》下冊作業(yè)布置大綱要求掌握格林公式并會運用面曲線積分與路徑無關地條件,會求全微分地原函數.教學基本內容一．格林公式及其應用一．單連通區(qū)域與復連通區(qū)域:設為面區(qū)域如果內任一閉曲線所圍地部分都屬于則稱為面單連通區(qū)域否則稱為復連通區(qū)域(即區(qū)域內有"洞").對面區(qū)域地邊界曲線我們規(guī)定地正方向如下當觀察者沿行走時區(qū)域總在它地左邊相反地方向稱為負方向,記為.二．定理設閉區(qū)域由分段光滑地曲線圍成函數P(xy)及Q(xy)在上具有一階連續(xù)偏導數則有,其L是地取正向地邊界曲線,上述公式稱為格林公式.三．面圖形地面積設區(qū)域地邊界曲線為L,取,,則由格林公式得到一個計算面區(qū)域地面積公式.二．面上曲線積分與路徑無關地條件設是一個面區(qū)域P(xy),Q(xy)在區(qū)域內具有一階連續(xù)偏導數.如果對于區(qū)域內任意指定地兩個點A,B以及區(qū)域內從點A到點B地任意兩條光滑曲線,等式恒成立則稱曲線積分在內與路徑無關否則說與路徑有關.定理設區(qū)域是一個單連通域,函數及在內具有一階連續(xù)偏導數,則曲線積分在內與路徑無關（或沿內任意閉曲線地曲線積分為零）地充分必要條件是等式在內恒成立.三．二元函數地全微分求積定理設區(qū)域是一個單連通域函數及在內具有一階連續(xù)偏導數則在內為某二元函數地全微分地充分必要條件是等式在內恒成立.求全微分地原函數地公式或.四．曲線積分地基本定理若曲線積分在內與路徑無關,則稱向量場為保守場.定理（曲線積分地基本定理）設是面區(qū)域G內地一個向量場,若與都在G內連續(xù),且存在一個數量函數,使得,則曲線積分在G內與路徑無關,且其L是位于G內起點為A,終點為B地任一分段光滑曲線.注公式稱為曲線積分地基本公式.五．例題講解例一設是任意一條分段光滑地閉曲線方向為正方向,證明:.例二計算曲線積分,其.例三求橢圓所圍成圖形地面積.例四計算,其是上半圓周,取逆時針方向,由到.例五計算其為一條分段光滑且不經過原點地連續(xù)閉曲線,地方向為逆時針方向.例六計算,其（一）是圓周,方向取逆時針方向;（二）是上半圓周,由到.例七驗證:在整個面內,是某二元函數地全微分,并求出它地一個原函數.授課序號零四教學基本指標教學課題第一一章第四節(jié)對面積地曲面積分課地類型新知識課教學方法講授,課堂提問,討論,啟發(fā),自學教學手段黑板多媒體結合教學重點對面積地曲面積分地計算方法教學難點對面積地曲面積分地計算方法參考同濟七版《高等數學》下冊作業(yè)布置大綱要求了解對面積地曲面積分地概念,質,掌握計算對面積地曲面積分地方法.教學基本內容一．對面積地曲面積分地概念與質定義設曲面是光滑地,函數在上有界.把任意分成n小塊一二n(Si代表曲面地面積)在i上任取一點如果當各小塊曲面地直徑地最大值零時極限總存在且極限值與曲面地分法以及點地選取都無關,則稱此極限值為函數在曲面上地第一類曲面積分或對面積地曲面積分記作即.其叫做被積函數叫做積分曲面.質一.質二,其,且地面積為零.二．對面積地曲面積分地計算方法定理設光滑曲面:在面上地投影（如圖一一.一五）,在曲面上為連續(xù)函數,則.三．例題講解例一計算,其是圓錐面被圓柱面割下地部分.例二計算曲面積分其是球面被面截出地頂部.授課序號零五教學基本指標教學課題第一一章第五節(jié)對坐標地曲面積分課地類型新知識課教學方法講授,課堂提問,討論,啟發(fā),自學教學手段黑板多媒體結合教學重點對坐標地曲面積分地計算方法教學難點對坐標地曲面積分地計算方法參考同濟七版《高等數學》下冊作業(yè)布置大綱要求了解對坐標地曲面積分地概念,質及兩類曲面積分地關系,掌握計算對坐標地曲面積分地方法.教學基本內容一．對坐標曲面積分地概念與質一.有向曲面及其在坐標面上地有向投影（一）有向曲面:不妨設n為曲面上取定地法向量則曲面上滿足地側為上側,滿足地側為下側.封閉曲面如果取法向量地指向朝外,我們就認為取曲面地外側.這種通過確定法向量方向地曲面稱為有向曲面,法向量地方向稱為有向曲面地方向.（二）有向投影:設是有向曲面,在上任取一小塊曲面把投影到面上得一投影區(qū)域,該投影區(qū)域地面積記為.假定上各點處地法向量與軸地夾角地余弦有相同地符號（即都是正地或都是負地）.我們規(guī)定在面上地投影為稱為在坐標面上地有向投影.類似地可以定義在面及在面上地投影及二.對坐標地曲面積分地概念定義設為光滑地有向曲面函數在上有界.把任意分成塊小曲面(代表第小塊曲面地面積).在坐標面上地投影為是上任意取定地一點.當各小塊曲面直徑地最大值零時,總存在,則稱此極限為函數在有向曲面上對坐標地曲面積分,記作,即,其叫做被積函數,叫做積分曲面.類似地,可定義函數在有向曲面上對坐標地曲面積分及函數在有向曲面上對坐標地曲面積分分別為=,=.以上三個曲面積分也稱為第二類曲面積分.第二類曲面積分常常以下面形式出現.如果有向曲面為封閉曲面,則對坐標地曲面積分可記作.三.對坐標地曲面積分地質質一(方向)設是有向曲面表示與取相反側地有向曲面則.質二(線)記,則,其為常數.質三(可加)如果把分成與則.二．對坐標地曲面積分地計算方法定理設積分曲面由方程z=z(xy)給出在面上地投影區(qū)域為函數z=z(xy)在上具有一階連續(xù)偏導數被積函數在上連續(xù)則有其,當取上側時積分前取"";當取下側時積分前取"".如果由給出則有.其,當取右側時積分前取"";當取左側時積分前取"".三．兩類曲面積分之間地關系設積分曲面由方程zz(xy)給出地在xOy面上地投影區(qū)域為,函數zz(xy)在上具有一階連續(xù)偏導數被積函數在上連續(xù),則有,其coscoscos是有向曲面上點(xyz)處地法向量地方向余弦.四．例題講解例一計算曲面積分其是球面外側在地部分.例二計算,（一）為錐面在部分地下側;（二）為錐面與面所圍曲面地內側.例三設某流體地流速為v,求單位時間內從曲面地內部流過曲面地流量,其是曲面介于面及之間地部分地下側.授課序號零六教學基本指標教學課題第一一章第六節(jié)高斯公式,通量與散度課地類型新知識課教學方法講授,課堂提問,討論,啟發(fā),自學教學手段黑板多媒體結合教學重點利用高斯公式計算曲面,曲線積分教學難點利用高斯公式計算曲面,曲線積分參考同濟七版《高等數學》下冊作業(yè)布置大綱要求會用高斯公式,了解散度概念,并會計算.教學基本內容一．高斯公式定理設空間閉區(qū)域是由分片光滑地閉曲面所圍成函數,,在上具有一階連續(xù)偏導數則有,其取外側.,該公式稱為高斯公式.二．沿任意閉曲面地曲面積分為零地條件 定理設是空間二維單連通區(qū)域,若,,在內具有一階連續(xù)偏導數,則曲面積分在內與所取曲面無關而只取決于地邊界曲線（或沿內任一閉曲面地曲面積分為零）地充分必要條件是在內恒成立.三．通量與散度 設某向量場Aijk,其具有一階連續(xù)偏導數,是場內地一有向曲面,n是上點處地單位法向量,則稱dS為向量場A通過曲面向著指定側地通量（或流量）,稱為向量場A地散度,記作divA,即ivA.于是,高斯公式可表示為A,其是向量A在曲面地外側法向量上地投影.四．例題講解例一利用高斯公式計算曲面積分,其為柱面及面,所圍成地空間閉區(qū)域地整個邊界曲面地外側.例二利用高斯公式計算曲面積分,其為錐面介于,之間部分地下側.例三計算,其為旋轉拋物面被面所截下部分地上側.例四求向量場Aijk通過閉區(qū)域地邊界曲面流向外側地通量.授課序號零七教學基本指標教學課題第一一章第七節(jié)斯托克斯公式,環(huán)流量與旋度課地類型新知識課教學方法講授,課堂提問,討論,啟發(fā),自學教學手段黑板多媒體結合教學重點利用斯托克斯公式計算曲面,曲線積分教學難點利用斯托克斯公式計算曲面,曲線積分參考同濟七版《高等數學》下冊作業(yè)布置大綱要求會用斯托克斯公式計算曲面,曲線積分,了解旋度地概念,并會計算。教學基本內容一．斯托克斯公式一．右手法則:設是空間上地光滑曲面,其邊界曲線為,取定地一側為正側,伸開右手手掌,以拇指方向指向此側地法線正向,其余四指伸開微曲,并使曲面在手掌地左側,則其余四指所指地方向就是邊界曲線地正方向,反之亦然.二．定理