有效課堂教學(xué)(09湖北)

準(zhǔn)確把握概念核心設(shè)計(jì)自然教學(xué)過程

努力提高教學(xué)質(zhì)量

人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室李海東當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題重視核心概念和思想方法的教學(xué)基于概念的核心、思想方法的教學(xué)設(shè)計(jì)框架設(shè)計(jì)自然的教學(xué)過程，提高課堂效益

一、當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題整體形勢(shì)10月31日全國(guó)基礎(chǔ)教育課程改革經(jīng)驗(yàn)交流會(huì)改革的成效初步建立了新的基礎(chǔ)教育課程教材體系，新的課程體系更加符合素質(zhì)教育要求；推進(jìn)了人才培養(yǎng)模式的變革，學(xué)生的綜合素質(zhì)明顯提高；評(píng)價(jià)與考試制度改革取得進(jìn)展，注重學(xué)生成長(zhǎng)過程和全面發(fā)展的考核機(jī)制正在形成；促進(jìn)了教師素質(zhì)的提高和專業(yè)發(fā)展。深化改革的主要任務(wù)和重點(diǎn)工作一是健全組織機(jī)構(gòu)，完善科學(xué)決策程序。二是開展大規(guī)模教師培訓(xùn)，提高教師專業(yè)化水平。三是深化考試評(píng)價(jià)制度改革。四是深化人才培養(yǎng)制度改革，著力培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力五是重點(diǎn)加強(qiáng)農(nóng)村課程改革，提高農(nóng)村基礎(chǔ)教育質(zhì)量。學(xué)習(xí)理念冷靜思考探索創(chuàng)新實(shí)踐提高教師反映的問題新課程提倡的理念難把握；新教材的改革設(shè)計(jì)難適應(yīng)；教學(xué)方式、學(xué)習(xí)方式的變革難跟上；課程改革與考試評(píng)價(jià)制度的改革不配套；等等?！靶抡n改后中學(xué)數(shù)學(xué)教材特點(diǎn)的比較研究”課題的調(diào)查結(jié)論認(rèn)可教材的主要變化（聯(lián)系實(shí)際、自主探究），但實(shí)際教學(xué)效果不明顯。本次課程改革，各個(gè)版本的教材在呈現(xiàn)方式上都作了很大的改進(jìn)，教材中都設(shè)計(jì)了一些引導(dǎo)學(xué)生思維的欄目，注意留給學(xué)生探索與交流的空間，選材注重與學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系等等。從統(tǒng)計(jì)結(jié)果來看，教師對(duì)教材的這些處理還是比較認(rèn)可的。但是，盡管教師認(rèn)可教材的呈現(xiàn)方式，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)的自主性并沒有明顯的提高，這應(yīng)當(dāng)引起我們的注意。課標(biāo)教材中設(shè)置的引導(dǎo)思維的欄目（如“想一想”“探究”等）對(duì)學(xué)生掌握相關(guān)內(nèi)容對(duì)于課標(biāo)教材中設(shè)置的引導(dǎo)學(xué)生思維的欄目數(shù)量，您認(rèn)為課標(biāo)教材給學(xué)生探索和交流的空間課標(biāo)教材聯(lián)系生活實(shí)際的問題課標(biāo)教材的教學(xué)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣課標(biāo)教材的教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性能力方面?zhèn)鹘y(tǒng)優(yōu)勢(shì)降低，改革倡導(dǎo)的能力沒有顯著提高。對(duì)于學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握，教師的態(tài)度比較中性。對(duì)于傳統(tǒng)的“三大能力”中的運(yùn)算能力和邏輯思維能力，教師的評(píng)價(jià)是負(fù)面的。對(duì)于同是“三大能力”的空間想象能力，教師的評(píng)價(jià)是正面的。另外，本次課程改革，從課程標(biāo)準(zhǔn)到各個(gè)版本的教材，都注意加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生解決實(shí)際問題能力、探究能力、數(shù)學(xué)表達(dá)與交流能力的培養(yǎng)。但從調(diào)查結(jié)果來看，教師的選擇出現(xiàn)了分化，三個(gè)問題的回答，選擇“提高”“差不多”“降低”的比例大致相同，并沒有得到我們預(yù)期“提高”的結(jié)果。使用課標(biāo)教材后，學(xué)生的運(yùn)算能力與您的預(yù)期相比使用課標(biāo)教材后，學(xué)生的邏輯思維能力與您的預(yù)期相比使用課標(biāo)教材后，學(xué)生的解決實(shí)際問題的能力與您的預(yù)期相比使用課標(biāo)教材后，學(xué)生的自主探究能力與您的預(yù)期相比客觀原因影響教材實(shí)驗(yàn)及其效果的因素是復(fù)雜的。比如，由于班額普遍偏大（初中班額在50人以上的占77%強(qiáng)，在60人以上占41.82％；高中班額在50人以上的占76.44%，在60人以上的占38.12％

），以及受升學(xué)、考試等的影響，盡管教師認(rèn)可教材重視數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程、加強(qiáng)啟發(fā)性及探究性等處理方式，但這些措施在實(shí)際教學(xué)中往往難以到落實(shí)。反思我們自己的問題總理的要求教育要符合自身發(fā)展規(guī)律的要求。學(xué)、思、知、行，做到學(xué)思的聯(lián)系、知行的統(tǒng)一，使學(xué)生不僅學(xué)到知識(shí)，還要學(xué)會(huì)動(dòng)手，學(xué)會(huì)動(dòng)腦，學(xué)會(huì)做事，學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)生存，學(xué)會(huì)做人。教育要符合時(shí)代發(fā)展的要求。教育要面向未來、面向世界、面向現(xiàn)代化，歸根到底就是要與時(shí)俱進(jìn)，要學(xué)習(xí)和借鑒人類優(yōu)秀的文明成果，結(jié)合中國(guó)的實(shí)際和國(guó)情，推進(jìn)教育改革、優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)、更新教學(xué)內(nèi)容、改進(jìn)教學(xué)方式。教育要符合建設(shè)中國(guó)特色社會(huì)主義對(duì)人才的要求。要立足于現(xiàn)代化建設(shè)對(duì)人才的實(shí)際需要，不斷調(diào)整專業(yè)設(shè)置和課程設(shè)計(jì)，努力培養(yǎng)創(chuàng)新型、實(shí)用型和復(fù)合型人才。教育要符合以人為本的要求。學(xué)校要堅(jiān)持“以人為本”的辦學(xué)理念，以“依靠人、為了人、服務(wù)人”為基本出發(fā)點(diǎn)，尊重學(xué)生、關(guān)愛學(xué)生、服務(wù)學(xué)生，發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)學(xué)生的興趣和特長(zhǎng)，塑造學(xué)生大愛、和諧的心靈。教學(xué)層面的問題數(shù)學(xué)教學(xué)“不自然”，強(qiáng)加于人；缺乏問題意識(shí)；重結(jié)果輕過程，“掐頭去尾燒中段”；重解題技能技巧輕普適性思考方法的概括，方法論層次的內(nèi)容滲透不夠，機(jī)械模仿多獨(dú)立思考少，數(shù)學(xué)思維層次不高；“講邏輯而不講思想”。強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)多關(guān)注基本概念、核心數(shù)學(xué)思想少，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高不利。

學(xué)生學(xué)習(xí)方法單一，被動(dòng)。學(xué)生自主歸納抽象結(jié)論少，不利于創(chuàng)新精神的培養(yǎng)。例“有理數(shù)的乘方”的課堂練習(xí)題1.如果m2+n2=0,那么有理數(shù)m，n應(yīng)滿足的條件（）

A都是零B不都是零

C至少有一個(gè)是零D互為相反數(shù)2.如果m3+n3=0,那么有理數(shù)m，n應(yīng)滿足的條件是（）

A都是零B不都是零

C至少有一個(gè)是零D互為相反數(shù)3.下列各組數(shù)中相等的有幾組（）（1）-52與(-5)2

（2）(-3)3與-33

（3）0100與0200（4）-(-0.3)5與0.35

（5）(-1)3與-(-1)2A5組B4組C3組D2組4.m為任意有理數(shù)時(shí)，下列說法正確的是（）

A(m+1)2的值總是正的Bm2+1的值總是正的

C-(m+1)2的值總是負(fù)的D1-m2的值比1小

教師層面的問題對(duì)數(shù)學(xué)課程、教材的體系結(jié)構(gòu)、內(nèi)容及其組織方式把握不準(zhǔn)；對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)概念的核心把握不準(zhǔn)確，對(duì)概念所反映的思想方法的理解水平不高；只能抽象籠統(tǒng)地描述數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，導(dǎo)致教學(xué)措施無的放矢，對(duì)是否已經(jīng)達(dá)成教學(xué)目標(biāo)心中無數(shù)；對(duì)自己設(shè)計(jì)的教學(xué)方案不能取得預(yù)期效果，不能從設(shè)計(jì)層面給出令人信服的解釋，往往只把問題歸咎于教學(xué)系統(tǒng)的復(fù)雜性；采取的教學(xué)方法、策略和模式都比較單一，機(jī)械地套用一些已有的解決教學(xué)問題方案，缺乏根據(jù)教學(xué)問題和教學(xué)條件創(chuàng)建解決教學(xué)問題的新方法。

1.提高兩個(gè)素養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)——有較好的數(shù)學(xué)功底（教好數(shù)學(xué)的前提是自己先學(xué)好數(shù)學(xué)）。了解概念的背景；知道概念的邏輯意義；理解內(nèi)容所反映的思想方法；懂得知識(shí)所蘊(yùn)含的科學(xué)方法、理性思維過程和價(jià)值觀資源；區(qū)分核心知識(shí)和非核心知識(shí)；等。教育學(xué)科的專業(yè)素養(yǎng)——教育的育人功能，不僅教給學(xué)生知識(shí)，而且要通過教學(xué)使得學(xué)生有積極的生活態(tài)度、主動(dòng)發(fā)展的需求、終身學(xué)習(xí)的愿望和能力、健康向上的人生觀和價(jià)值觀。兩個(gè)素養(yǎng)的結(jié)合——善于抓住數(shù)學(xué)的核心概念和思想方法，懂得削枝強(qiáng)干；對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源特別敏感，有挖掘這些資源并用與學(xué)生身心發(fā)展相適應(yīng)的方式表述的能力，使數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)與價(jià)值觀影響有機(jī)整合。

2.提高研究教材的水平仔細(xì)分析教材編寫意圖：教材中的每一句話都是經(jīng)過仔細(xì)推敲的，教材中的例題是經(jīng)過反復(fù)打磨的，習(xí)題是經(jīng)過精挑細(xì)選的。內(nèi)容順序不應(yīng)隨意調(diào)整；例子不是不可以換，但換的時(shí)候要想清楚理由。例負(fù)數(shù)的引入例一元一次方程的整體安排例圓與相似的位置相似作為變換處理標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于圓的要求圓的問題作為相似的應(yīng)用例等腰三角形在軸對(duì)稱之后研究3.提高思想性加強(qiáng)課堂教學(xué)的“立意”不要把數(shù)學(xué)教學(xué)蛻化為“解題教學(xué)”，進(jìn)一步蛻化為“刺激——反應(yīng)”訓(xùn)練。提高思想性的做法——加強(qiáng)“先行組織者”的使用,加強(qiáng)研究方法的指導(dǎo).過程與結(jié)果并重，加強(qiáng)過程性——沒有過程等于沒有思想。先行組織者（奧蘇伯爾）在呈現(xiàn)具體內(nèi)容之前，先呈現(xiàn)一些密切相關(guān)的、包容范圍廣但又非常容易使人理解和記憶的引導(dǎo)性材料——先行組織者，幫助學(xué)生建立有意義學(xué)習(xí)的心向。在抽象性、概括性和包容水平上，先行組織者比要學(xué)習(xí)的新材料更高，從而為將要學(xué)習(xí)的材料提供了一個(gè)框架或線索，起到了“導(dǎo)游圖”的作用，使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)進(jìn)程心中有數(shù)。先行組織者能激活認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已具備的相關(guān)概念，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到它們之間的聯(lián)系；也能使新材料與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中類似的觀念之間的可辨性增加。因此先行組織者能增加要學(xué)習(xí)的新材料與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的聯(lián)系。說明性組織者，比較性組織者。例

研究四邊形的“先行組織者”研究的問題一般四邊形：組成元素、度量（內(nèi)角和等問題）；特殊四邊形：從邊的特殊性和角的特殊性入手；邊的特殊——平行四邊形：性質(zhì)和判定；“性質(zhì)”研究的是在“平行四邊形”的條件下，它的組成元素有什么普遍規(guī)律，如邊的大小關(guān)系、內(nèi)角的關(guān)系、對(duì)角線的關(guān)系等；“判定”研究的是具備什么條件的四邊形才是平行四邊形；其他度量問題；角的特殊——矩形，邊的特殊——菱形，邊角都特殊——正方形，都要研究性質(zhì)和判定。研究的方法化歸為三角形、平行線等已有知識(shí)。特殊的平行四邊形的研究要注意特殊的三角形的知識(shí)：矩形——直角三角形；菱形——等腰三角形。例研究方法的聯(lián)系函數(shù)性質(zhì)的討論

（正比例函數(shù)→一次函數(shù)→反比例函數(shù)→二次函數(shù)）

研究?jī)?nèi)容：自變量取值范圍、函數(shù)的圖像、函數(shù)的增減性研究方法：畫函數(shù)圖像，觀察歸納，數(shù)形結(jié)合等。三步曲相關(guān)的問題：圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、何時(shí)函數(shù)值大于零或小于零等。鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角與“三線八角”兩條直線相交→三條直線相交關(guān)于一對(duì)角的位置關(guān)系（數(shù)量關(guān)系）這種位置關(guān)系（數(shù)量關(guān)系）運(yùn)動(dòng)中保持不變關(guān)鍵：根據(jù)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分類研究幾何圖形位置關(guān)系、大小度量的思想方法4.努力改進(jìn)教學(xué)方式

在教學(xué)方式的改進(jìn)中，最重要的是要讓學(xué)生有自己積極地、獨(dú)立地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的空間。不管是傳授式還是活動(dòng)式（相應(yīng)的，學(xué)生學(xué)習(xí)方式是接受式或發(fā)現(xiàn)式），只要學(xué)生有思維的自主，就是學(xué)生的自主地位得到體現(xiàn)。

根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知需要，為學(xué)生設(shè)置恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情景，通過恰時(shí)恰點(diǎn)的問題引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，充分使用“先行組織者”，在思想方法上多做引導(dǎo)，在具體細(xì)節(jié)上讓學(xué)生自己多動(dòng)手做、多閱讀、多思考、多交流，讓學(xué)生多發(fā)表意見，教師自己參與到學(xué)生的活動(dòng)中去，多聽少講，在關(guān)鍵點(diǎn)上讓學(xué)生有機(jī)會(huì)提出自己的見解。學(xué)習(xí)方式教師主導(dǎo)取向的接受式學(xué)生自主取向的活動(dòng)式主動(dòng)被動(dòng)有意義（啟發(fā)式）機(jī)械（注入式）有意義（理解、探究）機(jī)械（死記硬背）1.關(guān)于核心概念基礎(chǔ)性——在相應(yīng)領(lǐng)域具有基礎(chǔ)地位；聯(lián)系性——利于形成概念的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，聯(lián)系通暢，便于記憶與檢索；遷移性——具有自我生長(zhǎng)的活力，容易在新情境中引發(fā)新思想和新方法。例如：代數(shù)中的運(yùn)算律（分配律）就比因式分解的一些具體方法和技巧（十字相乘法）有更高的理論和實(shí)踐價(jià)值．二、重視核心概念和思想方法的教學(xué)推廣

類比當(dāng)前內(nèi)容聯(lián)系

特殊化例代數(shù)的核心概念、思想方法有系統(tǒng)、有效力地運(yùn)用數(shù)系的加、乘和指數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律，去解決各種各樣的代數(shù)問題：各種式（整式、分式、根式等）的運(yùn)算——用運(yùn)算律進(jìn)行“等價(jià)變換”；方程——未知數(shù)、已知數(shù)之間的特定代數(shù)關(guān)系；解方程——由代數(shù)方程式確定其中的“未知數(shù)”的值；解方程的基本原理：運(yùn)算律對(duì)任何數(shù)都成立（通性），所以對(duì)“未知數(shù)”也成立、可用。有系統(tǒng)地用運(yùn)算律化簡(jiǎn)所給的方程，從而確定其中的未知數(shù)——化未知為已知。一元一次方程是基礎(chǔ)，其它都設(shè)法向它轉(zhuǎn)化。許多問題是在引進(jìn)字母表示數(shù)時(shí)才水到渠成地提出來的——從處理單個(gè)的數(shù)到處理一類問題。從代數(shù)式（符號(hào)代表數(shù)）、方程（符號(hào)代表未知數(shù)）到函數(shù)（符號(hào)代表變數(shù)）是一個(gè)飛躍，這是看問題角度的根本變化——從變化過程中考察規(guī)律，函數(shù)是研究變化規(guī)律的。例有理數(shù)及其運(yùn)算在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，有理數(shù)及其運(yùn)算是一切運(yùn)算系統(tǒng)的基礎(chǔ)。將其他運(yùn)算的對(duì)象和數(shù)作類比，可以使我們得到很多研究方法方面的啟示。數(shù)——運(yùn)算（加、乘、指數(shù)運(yùn)算）和逆運(yùn)算——運(yùn)算律

——大小關(guān)系式——運(yùn)算（加、乘、指數(shù)運(yùn)算）和逆運(yùn)算——運(yùn)算律

——大小關(guān)系解代數(shù)方程——有系統(tǒng)地運(yùn)用運(yùn)算律（特別是分配律）去簡(jiǎn)化所給的代數(shù)方程，并最終化歸為x=a的形式。向量——運(yùn)算——運(yùn)算律——向量法向量法實(shí)際上是利用向量表示空間基本元素，將空間的基本性質(zhì)和基本定理的轉(zhuǎn)化成為向量運(yùn)算律的系統(tǒng)運(yùn)用。數(shù)式通性——整式數(shù)式通性——分式數(shù)式通性——二次根式例

一元二次方程的核心

知識(shí)：概念（未知數(shù)、系數(shù)）；解法和公式——通法；判別式——解的情況（通性）；根與系數(shù)的關(guān)系——通性。思想方法：等價(jià)轉(zhuǎn)化（配方法）；化歸思想：二次化一次（因式分解、開方等運(yùn)算）；對(duì)方程的根、系數(shù)之間關(guān)系進(jìn)行研究的思想——方法論層次。

2.加強(qiáng)概念教學(xué)概念教學(xué)的核心——概括（同類事物的共同本質(zhì)特征）概括是形成和掌握概念的前提；遷移的實(shí)質(zhì)就是概括；概括是一切思維品質(zhì)的基礎(chǔ)；概括能力是思維能力的基礎(chǔ)?！芭e三反一”與“舉一反三”舉三反一——分化——用典型、豐富的具體事例，分析、綜合、比較而概括出共同本質(zhì)屬性；舉一反三——類化——把共同本質(zhì)屬性推廣到同類事物中；對(duì)具體例證進(jìn)行分化、類化是概念教學(xué)的重要步驟，教會(huì)學(xué)生自己分析材料、比較屬性是教學(xué)的重要任務(wù)；發(fā)現(xiàn)關(guān)系的能力是很重要的。關(guān)于概念教學(xué)的一些要求（1）采取“歸納式”進(jìn)行概念教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的概括過程；（2）正確、充分地提供概念的變式；（3）適當(dāng)應(yīng)用反例；（4）在概念的系統(tǒng)中學(xué)習(xí)概念，建立概念的“多元聯(lián)系表示”；（5）精心設(shè)計(jì)練習(xí)。概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)概念的引入——從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程或解決實(shí)際問題的需要引入概念；概念的形成——提供典型豐富的具體例證，進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合，概括共同本質(zhì)特征得到本質(zhì)屬性；概念的明確與表示——下定義，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述（文字的、符號(hào)的）；概念的辨析——以實(shí)例為載體分析關(guān)鍵詞的含義（恰當(dāng)使用反例）；概念的鞏固應(yīng)用——用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟；概念的“精致”——納入概念系統(tǒng)，建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。例反比例函數(shù)概念的教學(xué)勻速運(yùn)動(dòng)路程固定，速度與時(shí)間的關(guān)系；商品總價(jià)固定，單價(jià)與商品數(shù)量的關(guān)系；長(zhǎng)方形面積固定，長(zhǎng)與寬的關(guān)系；……讓學(xué)生概括共同本質(zhì)特征（函數(shù)關(guān)系，反比例關(guān)系）；下定義——給出反比例函數(shù)的文字和符號(hào)描述；辨析：從反比例關(guān)系、函數(shù)兩方面辨析概念，注意反例的使用，如讓學(xué)生思考函數(shù)y=1/x2是不是反比例函數(shù)；例題——用概念作判斷的“操作步驟”，強(qiáng)調(diào)“自變量x與相應(yīng)的函數(shù)值y是否成反比例關(guān)系”，可以用反例讓學(xué)生分析，使學(xué)生進(jìn)一步明確“求反比例函數(shù)”的含義；通過與一般函數(shù)概念、正比例函數(shù)概念等比較，進(jìn)一步明確反比例函數(shù)反映了“一類事物”的變化規(guī)律，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用反比例函數(shù)刻畫事物的變化規(guī)律。

3.加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)什么是數(shù)學(xué)思想方法？數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)具體的數(shù)學(xué)概念、命題、規(guī)律方法等的認(rèn)識(shí)過程中提煉概括的基本觀點(diǎn)和根本想法，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)具有普遍的指導(dǎo)意義，是數(shù)學(xué)活動(dòng)的指導(dǎo)思想。數(shù)學(xué)方法是指數(shù)學(xué)活動(dòng)中所采用的途徑、方式、手段、策略等。二者有很強(qiáng)的聯(lián)系性。通常，在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)活動(dòng)的指導(dǎo)思想時(shí)稱數(shù)學(xué)思想，在強(qiáng)調(diào)具體操作過程時(shí)稱數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)思想方法的層次性（1）解題術(shù)——與某些特殊問題聯(lián)系在一起的方法，在特定環(huán)境中發(fā)揮作用，具有較固定的操作程序。求差法（2）解題通法——解決一類問題時(shí)可以采用的共同方法，操作程序不是很具體，但適用范圍比較廣泛。換元法配方法數(shù)學(xué)歸納法（3）數(shù)學(xué)思想——對(duì)數(shù)學(xué)及其對(duì)象，對(duì)數(shù)學(xué)的概念、命題、法則、原理以及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)性認(rèn)識(shí)，程序性弱，功能性強(qiáng)。分類思想化歸思想函數(shù)思想數(shù)形結(jié)合極限思想統(tǒng)計(jì)思想（4）數(shù)學(xué)觀念——數(shù)學(xué)思想方法的最高境界，認(rèn)識(shí)客觀世界的哲學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略（1）有序性策略數(shù)學(xué)思想方法的層次反映了思維的概括性水平的高低。與具體的概念結(jié)合緊密的方法可以結(jié)合知識(shí)的教學(xué)達(dá)到掌握的目的。如代入法、加減法概括程度高、統(tǒng)領(lǐng)性強(qiáng)的數(shù)學(xué)思想方法的形成則需要經(jīng)歷較長(zhǎng)的過程。

化歸思想：有理數(shù)大小比較、四則運(yùn)算轉(zhuǎn)化為算術(shù)數(shù)大小比較、四則運(yùn)算；解一元一次方程中的化歸；解一次方程組中的化歸；解一元二次方程中的化歸；解分式方程、無理方程中的化歸。

（2）過程性策略數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)之中，數(shù)學(xué)概念和原理的形成過程是進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要載體。數(shù)學(xué)思想方法重在“悟”，需要有一個(gè)循序漸進(jìn)、逐步逼近思想本質(zhì)的過程。

統(tǒng)計(jì)思想的形成需要學(xué)生經(jīng)歷收集、整理、描述、分析數(shù)據(jù)的過程。

例抽樣調(diào)查的兩個(gè)教學(xué)片段北京市某中學(xué)共有2093名學(xué)生，要想了解全校學(xué)生對(duì)新聞、體育、動(dòng)畫、娛樂、戲曲五類電視節(jié)目的喜愛情況，請(qǐng)同學(xué)們思考以下幾個(gè)問題：

教學(xué)處理一問題1：你準(zhǔn)備用什么調(diào)查方法解決？問題2：在這個(gè)調(diào)查過程中我們應(yīng)做哪些事？問題3：在調(diào)查流程中確定樣本容量很重要，請(qǐng)大家討論一下，調(diào)查多少名同學(xué)比較合適？你考慮了哪些因素？問題4：我們用什么樣的方法選取這些同學(xué)比較好？問題5：我們能否設(shè)計(jì)一個(gè)抽樣調(diào)查的流程？教師給出了已經(jīng)完成的統(tǒng)計(jì)表，然后引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)、領(lǐng)悟抽樣調(diào)查中樣本估計(jì)總體的思想、隨機(jī)的思想等.教學(xué)處理2

教師：進(jìn)行抽樣調(diào)查前，首先要明確總體是什么，個(gè)體是什么，然后制定抽樣調(diào)查的方法。由于在課堂上對(duì)全校學(xué)生的選擇情況作調(diào)查比較困難。所以，用我們班56個(gè)同學(xué)作為總體，進(jìn)行模擬抽樣試驗(yàn)。請(qǐng)每個(gè)學(xué)生在相同的紙片上寫好自己的學(xué)號(hào)、并折疊好，然后派兩個(gè)學(xué)生把全班學(xué)生的學(xué)號(hào)紙收集放在一個(gè)透明的瓶子里。為了保證每個(gè)學(xué)生的學(xué)號(hào)都有相等的機(jī)會(huì)被抽中，當(dāng)著全班學(xué)生的面把瓶中所有紙片攪拌均勻。教師：下面請(qǐng)學(xué)生A負(fù)責(zé)攪勻，學(xué)生B負(fù)責(zé)抽簽。抽出哪位同學(xué)的學(xué)號(hào)，哪位同學(xué)就回答問題，同時(shí)，大家用記正字法把有關(guān)回答填在表格中進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。（1）用學(xué)號(hào)隨機(jī)抽5人進(jìn)行調(diào)查；（2）用學(xué)號(hào)隨機(jī)抽20人進(jìn)行調(diào)查。然后，教師運(yùn)用EXCEL軟件，把學(xué)生的統(tǒng)計(jì)結(jié)果填在表中，同時(shí)展現(xiàn)條形圖與扇形圖，并把兩組數(shù)據(jù)與上一節(jié)課全面調(diào)查得出的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、表示的全過程，并體驗(yàn)隨著樣本容量的增大，樣本越來越接近總體。

對(duì)兩種處理的分析教學(xué)處理1體現(xiàn)出先整體、后具體的設(shè)計(jì)思路，教師首先引導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)施抽樣調(diào)查的完整過程包括哪些步驟與要素，然后給出一個(gè)具體的調(diào)查結(jié)果，讓學(xué)生來加以對(duì)比與驗(yàn)證。但是，學(xué)生的討論中涉及的確定樣本容量問題、選擇適當(dāng)抽樣方法問題，教師在本節(jié)課都難以展開論述、難以給予學(xué)生合適的解釋，導(dǎo)致思維發(fā)散后，缺少歸納與總結(jié)，學(xué)生的思維沒有得到有效提升。另外，由于抽樣的結(jié)果是直接呈現(xiàn)的，因此學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中用樣本估計(jì)總體的思想沒有得到有效體現(xiàn)。在教學(xué)處理2中，教師直接點(diǎn)明，開展抽樣調(diào)查首先需要明確總體與個(gè)體。然后，教師組織開展抽樣調(diào)查的具體活動(dòng)：既有總體中每個(gè)個(gè)體的編號(hào)（每個(gè)學(xué)生寫自己的學(xué)號(hào)），又有抽樣的隨機(jī)性保證（學(xué)生A負(fù)責(zé)攪勻），還有抽樣樣本容量的確定（教師先要求抽取5個(gè)學(xué)號(hào)，然后又抽取20個(gè)學(xué)號(hào)），并要求每個(gè)學(xué)生記錄調(diào)查數(shù)據(jù)，最后用EXCEL軟件實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖表表示數(shù)據(jù)的便捷性和直觀性，并引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)“隨著樣本容量的增大，樣本越來越接近總體”。教學(xué)處理2讓學(xué)生親身經(jīng)歷了統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的基本過程，在收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)中，體驗(yàn)抽樣的具體步驟，感受樣本抽取的隨機(jī)性以及如何用樣本抽取的隨機(jī)性來保證樣本的代表性等，能較好的使學(xué)生體會(huì)樣本估計(jì)總體的思想。

（3）變式策略通過具有適當(dāng)變化性的問題情境，把那些在解決問題思想方法上具有相似或相關(guān)的內(nèi)容，用變式的形式串聯(lián)起來，在變化中（條件變化、結(jié)論發(fā)散、適時(shí)引申、背景復(fù)雜化）求不變，在變式中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的真諦。

一元一次方程解應(yīng)用題避免“題型練習(xí)”

教學(xué)設(shè)計(jì)的基本線索內(nèi)容和內(nèi)容解析；目標(biāo)和目標(biāo)解析；教學(xué)問題診斷分析；教學(xué)支持條件分析教學(xué)過程設(shè)計(jì)；目標(biāo)檢測(cè)的設(shè)計(jì)。

三、基于核心概念、思想方法的教學(xué)設(shè)計(jì)框架1．內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：針對(duì)“核心概念”內(nèi)涵和外延的準(zhǔn)確表達(dá)；內(nèi)容解析：重點(diǎn)是在揭示概念內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，說明概念的核心之所在，并要對(duì)概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位進(jìn)行分析，其中隱含的思想方法要做出明確表述。在此基礎(chǔ)上闡明教學(xué)重點(diǎn)。

例“函數(shù)”概念的核心函數(shù)概念的發(fā)展歷史函數(shù)的產(chǎn)生來自研究變量的需要。17世紀(jì)，伽利略、笛卡爾等已注意到一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的依賴關(guān)系。牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分時(shí)雖未給函數(shù)下明確的定義，但實(shí)際上已形成對(duì)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的關(guān)注。18世紀(jì)，函數(shù)被認(rèn)為是由變量x和常量構(gòu)成的式子。約翰?貝努利：“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量。”歐拉這個(gè)定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它按照含有的運(yùn)算種類區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)。19世紀(jì)，對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)發(fā)展到強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)關(guān)系?？挛鳎骸霸谀承┳償?shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)。”傅里葉發(fā)現(xiàn)函數(shù)也可以用曲線表示，也可以用式子表示，使對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)跳出式子的限制。當(dāng)集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，維布倫用“集合”之間的“對(duì)應(yīng)”給出了近代函數(shù)定義，使得函數(shù)概念具有三個(gè)要素即對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域及值域。20世紀(jì)后，現(xiàn)代函數(shù)概念──“集合之間的映射”方式定義形成，即“若存在集合M到N的一個(gè)映射f，則稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f(x)，其中x是M的任一元素，y是x在N中的像?！背踔须A段引入的函數(shù)概念，是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，強(qiáng)調(diào)的是對(duì)于函數(shù)概念的形式化的定義，用“變量”來描述函數(shù)；到高中之后，再進(jìn)一步從集合、對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)，來刻畫函數(shù)的概念．初中階段的函數(shù)定義為：在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，則稱x為自變量，y為x的函數(shù)．分析初中的定義中對(duì)函數(shù)概念內(nèi)涵的文字描述，可以發(fā)現(xiàn)，它強(qiáng)調(diào)了近代函數(shù)定義中的“對(duì)應(yīng)”，并且明確了是“單值對(duì)應(yīng)”，這又是吸收了現(xiàn)代函數(shù)概念中對(duì)“映射”的要求，但是沒有從“集合”角度描述函數(shù)，因而未明確涉及定義域及值域．初中數(shù)學(xué)中函數(shù)概念的核心，是函數(shù)概念三要素中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并且明確其為“單值對(duì)應(yīng)”關(guān)系。這包括兩個(gè)方面的含義：第一，兩個(gè)變量是互相聯(lián)系的，一個(gè)變量變化時(shí)，另一個(gè)變量也發(fā)生變化；第二，函數(shù)與自變量之間是單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，自變量的值確定后，函數(shù)的值是唯一確定的。

函數(shù)是反映客觀世界變化規(guī)律的一種數(shù)學(xué)模型。例“三線八角”概念的核心“兩條直線”被“第三條直線所截”，得到八個(gè)角。對(duì)頂角、內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角，都是關(guān)于一對(duì)角的位置關(guān)系；關(guān)鍵：根據(jù)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分類。2．目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)是教學(xué)目的的具體化，是教學(xué)活動(dòng)每一階段所要實(shí)現(xiàn)的教學(xué)結(jié)果，是衡量教學(xué)質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)。目標(biāo)：用“了解”“理解”“掌握”以及相應(yīng)的行為動(dòng)詞“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”“探究”等表述目標(biāo)；闡明經(jīng)過教學(xué)，學(xué)生將有哪些變化，會(huì)做哪些以前不會(huì)做的事。目標(biāo)解析：對(duì)“了解”“理解”“掌握”以及“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”“探究”的含義進(jìn)行解析，一般地，核心概念的教學(xué)目標(biāo)都應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)分解。要強(qiáng)調(diào)把能力、態(tài)度等“隱性目標(biāo)”融合到知識(shí)、技能等“顯性目標(biāo)”中，以避免空洞闡述“隱性目標(biāo)”，使目標(biāo)對(duì)教學(xué)具有有效的定向作用。

例如何進(jìn)行目標(biāo)解析目標(biāo)：理解正數(shù)與負(fù)數(shù)的概念目標(biāo)解析：①了解：通過實(shí)際例子，感受引入負(fù)數(shù)的必要性，會(huì)用正、負(fù)數(shù)表示一對(duì)具有相反意義的量；進(jìn)而初步獲得正數(shù)、負(fù)數(shù)的抽象概念。②理解：能用正負(fù)數(shù)表示實(shí)際問題中的數(shù)量，并隨著絕對(duì)值、相反數(shù)等概念的學(xué)習(xí)，逐漸熟練地進(jìn)行正、負(fù)數(shù)的運(yùn)算。例“變量與函數(shù)”的教學(xué)目標(biāo)目標(biāo)：了解常量、變量、函數(shù)的概念目標(biāo)解析：結(jié)合具體實(shí)例，體會(huì)常量與變量的特征，能指出具體問題中的常量、變量．結(jié)合具體實(shí)例，理解具有函數(shù)關(guān)系的問題中兩個(gè)變量之間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，能判斷兩個(gè)變量間是否具有函數(shù)關(guān)系，能舉出函數(shù)的實(shí)例。結(jié)合函數(shù)概念的形成過程,體會(huì)變化與對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，感知現(xiàn)實(shí)世界中變量之間的相互聯(lián)系并不斷運(yùn)動(dòng)變化；體會(huì)從具體的生活實(shí)例中抽象概括出數(shù)學(xué)知識(shí)的方法，例“三線八角”的教學(xué)目標(biāo)目標(biāo)：識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角（課標(biāo)）。目標(biāo)解析：正確地分析圖形的結(jié)構(gòu)特征，從中找到“兩條直線”和“第三條直線”，確定角的關(guān)系（同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角）。以“結(jié)構(gòu)特征”為依據(jù)，對(duì)角進(jìn)行分類，確定角的特定關(guān)系的思想方法。3．教學(xué)問題診斷分析教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)自己以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯關(guān)系以及思維發(fā)展理論，對(duì)本內(nèi)容在教與學(xué)中可能遇到的障礙進(jìn)行預(yù)測(cè)，并對(duì)出現(xiàn)障礙的原因進(jìn)行分析。在上述分析的基礎(chǔ)上指出教學(xué)難點(diǎn)。可以從認(rèn)知分析入手，即分析學(xué)生已經(jīng)具備的認(rèn)知基礎(chǔ)（包括知識(shí)、思想方法和思維發(fā)展基礎(chǔ)），對(duì)照教學(xué)目標(biāo)還需要具備哪些條件，通過已有基礎(chǔ)和目標(biāo)之間的差異比較，分析教學(xué)中可能出現(xiàn)的障礙。本欄目的內(nèi)容應(yīng)當(dāng)做到言之有物，以具體數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體進(jìn)行說明。例“函數(shù)”中的難點(diǎn)分析函數(shù)概念具有內(nèi)容的概括性、符號(hào)的抽象性、形式的多樣性等特點(diǎn)，初次接觸函數(shù)概念時(shí)會(huì)感到十分困難。函數(shù)作為從數(shù)量角度反映變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，涉及到很多復(fù)雜的層次和許多相關(guān)的上位概念，這將直接導(dǎo)致學(xué)生在概括函數(shù)概念時(shí)出現(xiàn)障礙。其中的層次主要有：（1）在一個(gè)“變化”過程中；（2）存在“兩個(gè)”變量；（3）這兩個(gè)變量具有一定的“聯(lián)系”；（4）一個(gè)變量的變化會(huì)引起另一個(gè)變量也“隨之”變化；（5）兩個(gè)變量存在“單值對(duì)應(yīng)”的關(guān)系。相關(guān)的上位概念主要有變量、對(duì)應(yīng)、唯一、確定等。學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前，接觸的基本上是常量數(shù)學(xué)的內(nèi)容，是靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)。而函數(shù)研究的是變量與變量之間的關(guān)系，其特征是變化的、發(fā)展的、處于兩個(gè)量的相互聯(lián)系之中的。因此，了解函數(shù)的概念，需要學(xué)生的思維達(dá)到辨證思維的形態(tài)。然而，此時(shí)學(xué)生的辨證思維水平還不很成熟，這個(gè)矛盾是函數(shù)概念學(xué)習(xí)中認(rèn)知障礙的根源。教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)概念形成中的抽象與概括，對(duì)“單值對(duì)應(yīng)”的理解。例“三線八角”中的難點(diǎn)學(xué)生初次接觸平面幾何關(guān)于位置關(guān)系、大小度量的討論，除在思想方法上存在困難外，對(duì)于認(rèn)識(shí)幾何問題的一般程序也存在困難。復(fù)雜的圖形會(huì)使學(xué)生感到無從下手。教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)圖形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的理解并正確地對(duì)角分類；在具體（變式）圖形中正確找出有關(guān)的角?！螧和∠BCE可以看成是直線

，

被直線

所截得的

角；∠B和∠BCD可以看成是直線

，

被直線

所截得的

角。

BEACD

兩個(gè)角的公共邊就是截線4．教學(xué)支持條件分析（根據(jù)需要設(shè)置）為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)問題診斷分析和學(xué)習(xí)行為分析，分析應(yīng)當(dāng)采取哪些教學(xué)支持條件，以幫助學(xué)生更有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，使他們更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。當(dāng)前，可以適當(dāng)?shù)貍?cè)重于信息技術(shù)的使用，以構(gòu)建有利于學(xué)生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學(xué)情境。5．教學(xué)過程設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)教學(xué)過程的內(nèi)在邏輯線索；給出學(xué)生思考和操作的具體描述；突出核心概念的思維建構(gòu)和技能操作過程，突出思想方法的領(lǐng)悟過程分析；以“問題串”方式呈現(xiàn)為主，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真思考每一問題的設(shè)計(jì)意圖、師生活動(dòng)預(yù)設(shè)，以及需要概括的概念要點(diǎn)、思想方法，需要進(jìn)行的技能訓(xùn)練，需要培養(yǎng)的能力，等；根據(jù)內(nèi)容特點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)過程，如基于問題解決的設(shè)計(jì)，講授式教學(xué)設(shè)計(jì)，自主探究式教學(xué)設(shè)計(jì)，合作交流式教學(xué)設(shè)計(jì)，等。

6．目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)習(xí)題、練習(xí)方式的檢測(cè)。要明確每一個(gè)（組）習(xí)題或練習(xí)的設(shè)計(jì)。注意防止一步到位，過早給綜合題、難題有害無益；打不好基礎(chǔ)就談不上發(fā)展。例“變量與函數(shù)”檢測(cè)題1．在計(jì)算器上按照下面的程序進(jìn)行操作：填表：顯示的數(shù)y是輸入的數(shù)x的函數(shù)嗎？為什么？

2．用10cm長(zhǎng)的繩子圍成長(zhǎng)方形．（1）若長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)為3cm，面積為多少？（2）若長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)為xcm，面積為Scm2，試用含x的式子表示S．（3）S是x的函數(shù)嗎？為什么？輸入x（任意一個(gè)數(shù)）×2+5=按鍵顯示y（計(jì)算結(jié)果）x12-40101y3．下列曲線中，哪個(gè)表示y是x的函數(shù)？為什么？評(píng)析：通過三種形式（表格、解析式、圖像）來呈現(xiàn)問題，且問題的難度拾階而上，在突出本節(jié)課主體知識(shí)的同時(shí)，還為下一節(jié)課學(xué)習(xí)函數(shù)的三種表示形式埋下了伏筆．商榷：練習(xí)題要能反映出本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)．這節(jié)課的重點(diǎn)是變量和函數(shù)的概念，難點(diǎn)是對(duì)函數(shù)概念中的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解。而在上述三個(gè)練習(xí)中，沒有出現(xiàn)變量問題（變量只字未提），關(guān)于“通過對(duì)應(yīng)辨別函數(shù)”（難點(diǎn)）的題目（題3）太少并且難（學(xué)生并未學(xué)習(xí)函數(shù)的圖像），致使鞏固的實(shí)效不僅未達(dá)到，而且反饋的結(jié)果也不一定很真實(shí)。建議：適當(dāng)增加一些含有兩個(gè)或多個(gè)變量并且變量之間有多種對(duì)應(yīng)關(guān)系的問題，先讓學(xué)生找變量，再判斷哪些變量之間是函數(shù)關(guān)系等。四、設(shè)計(jì)自然的教學(xué)過程，提高課堂教學(xué)效益問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)提好的問題，有意義、適度、恰時(shí)恰點(diǎn)設(shè)計(jì)自然的過程體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的原過程（再創(chuàng)造），學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)過程。核心是引導(dǎo)學(xué)生自己概括出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中保持高水平的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。好的問題的關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考思維需要合適的問題情境——我不是三歲孩子，也不是數(shù)學(xué)家；思維從問題開始——請(qǐng)給我提問的機(jī)會(huì)；獨(dú)立思考需要安靜的環(huán)境和充分的時(shí)間——閉上你的嘴；讓學(xué)生完成關(guān)鍵的概括活動(dòng)——請(qǐng)把發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)讓給我；數(shù)學(xué)思維是以概念的發(fā)生發(fā)展過程為線索的，要體現(xiàn)前后一致的思想方法——請(qǐng)不要用“題型”限制我。例

不恰當(dāng)?shù)膯栴}設(shè)計(jì)不反映當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)（例：函數(shù)概念的引入）過分強(qiáng)調(diào)聯(lián)系實(shí)際引入概念（例：角的概念）沒有思維深度、低水平重復(fù)的問題（例：多邊形內(nèi)角和）無效的問題（例：課堂中的“是”“否”回答，要問為什么）

關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)節(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)點(diǎn)發(fā)散點(diǎn)最近發(fā)展區(qū)

度君子之教，喻也：道而弗牽；強(qiáng)而弗抑；開而弗達(dá)。道而弗牽則和，強(qiáng)而弗抑則易，開而弗達(dá)則思。和、易、以思，可謂善喻矣。優(yōu)秀教師的教學(xué)，善于誘導(dǎo)。他對(duì)學(xué)生引導(dǎo)但不牽著走；嚴(yán)格要求但不過分施壓；開導(dǎo)但不和盤托出。導(dǎo)而弗牽就使教與學(xué)的關(guān)系和諧；強(qiáng)而弗抑就使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)感到快、易而不產(chǎn)生畏難情緒；開而弗達(dá)就可培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考而自求答案。使學(xué)生做到了不畏難，感到快、易而又能獨(dú)立思考，就可以說是善于誘導(dǎo)了。如何提問題

例不等式的性質(zhì)的引入不等式基本性質(zhì)的研究可以通過類比等式的基本性質(zhì)而得到啟發(fā)。（先行組織者）你能回憶一下等式的基本性質(zhì)嗎？等式的基本性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是什么？（“運(yùn)算中的不變性”）類似的，不等式有哪些基本性質(zhì)呢？嘗試、驗(yàn)證、歸納。例相似三角形判定例平行四邊形判定例等腰三角形的教學(xué)過程中的問題先行組織者：對(duì)于三角形，我們研究過它的組成要素和相關(guān)要素（內(nèi)角、邊、外角、角平分線、中線、高等）的度量關(guān)系；研究過兩個(gè)三角形的特殊關(guān)系——全等問題；等。這些研究從性質(zhì)和判定兩個(gè)角度入手。像研究直線的特殊位置關(guān)系（垂直、平行）一樣，三角形也有特殊的（是什么？）需要研究——“角”為標(biāo)準(zhǔn)的直角三角形，“邊”為標(biāo)準(zhǔn)的等腰三角形（特例是等邊）。

問題1：你認(rèn)為可以研究等腰三角形的哪些問題？——性質(zhì)與判定問題2：等腰三角形的性質(zhì)可以從哪些角度入手？——角的關(guān)系（兩底角相等）、高、中線、角平分線的特性；特殊等腰三角形的特殊性；等。問題3：前面學(xué)習(xí)過軸對(duì)稱圖形，知道角是以角平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形。根據(jù)這些經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)動(dòng)手剪一個(gè)等腰三角形，并說明你得到的一定是等腰三角形。問題4：從“剪”的過程看到，等腰三角形的哪些元素是重合的？你可以得到哪些性質(zhì)的猜想？問題5：“剪”的關(guān)鍵步驟是什么？數(shù)學(xué)含義是什么？問題6：上述猜想是從一個(gè)等腰三角形得到的，是否對(duì)所有等腰三角形都有這些性質(zhì)呢？如何證明？——通過全等三角形，注意從操作中獲得證明思路的啟發(fā)。例變量與函數(shù)的教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、創(chuàng)設(shè)情景，引出課題例1：汽車以60千米/時(shí)的速度勻速行駛，行駛里程為s，行使時(shí)間為t.1．填表，再試用t的式子表示s.2．事件中有幾個(gè)數(shù)值發(fā)生改變的量？有幾個(gè)數(shù)值不變的量？3．變量與常量的定義。4．變