質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程

第十章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程

本章重點(diǎn)、難點(diǎn)

⒈重點(diǎn)建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第二類基本問題的解法。

⒉難點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行變量變換后再積分的方法。

本章重點(diǎn)、難點(diǎn)

⒈重點(diǎn)建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第二類基本問題的解法。

⒉難點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行變量變換后再積分的方法。

本章重點(diǎn)、難點(diǎn)

⒈重點(diǎn)建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第二類基本問題的解法。

⒉難點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行變量變換后再積分的方法。

如果說，力的作用是改變物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的原因，那么，動(dòng)力學(xué)就是從因果關(guān)系上論述物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)。機(jī)械運(yùn)動(dòng)變化是力對(duì)物體作用的結(jié)果。動(dòng)力學(xué)是什么?動(dòng)力學(xué)研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系。

在靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)兩篇中曾討論過：當(dāng)作用于物體上的力系滿足一定條件時(shí)，物體處于平衡狀態(tài)，力系的簡(jiǎn)化與合成、力系的平衡條件研究是靜力學(xué)的兩個(gè)基本任務(wù)；不考慮運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化的原因，只從幾何的觀點(diǎn)來論述物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，是運(yùn)動(dòng)學(xué)的任務(wù)。從這種意義上說，動(dòng)力學(xué)是理論力學(xué)中最具普遍意義的部分，靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)則是動(dòng)力學(xué)的特殊情況。

動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)象：低速、宏觀物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)的普遍規(guī)律。動(dòng)力學(xué)基本概念1)質(zhì)點(diǎn)：大小和形狀可以忽略不計(jì)且具有質(zhì)量的物體；3)自由質(zhì)點(diǎn)系：無約束限制的質(zhì)點(diǎn)系；4)非自由質(zhì)點(diǎn)系：有約束限制的質(zhì)點(diǎn)系；慣性：任何物體在不受外力作用時(shí)都有保持其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變的屬性；6)慣性運(yùn)動(dòng)：物體的勻速直線運(yùn)動(dòng)。2)質(zhì)點(diǎn)系：相互聯(lián)系并組成一個(gè)運(yùn)動(dòng)整體的一群質(zhì)點(diǎn)總稱；§10-1動(dòng)力學(xué)的基本定律

第一定律（慣性定律）不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。

第二定律（力與加速度之間的關(guān)系的定律）ma

=F質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。

第三定律（作用與反作用定律）兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是大小相等，方向相反，沿著同一直線，且同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。牛頓及其在力學(xué)發(fā)展中的貢獻(xiàn)

牛頓出生于林肯郡伍爾索樸城的一個(gè)中等農(nóng)戶家中。在他出生之前父親即去世，他不到三歲時(shí)母親改嫁了，他不得不靠他的外祖母養(yǎng)大。

1661年牛頓進(jìn)入了劍橋大學(xué)的三一學(xué)院，1665年獲文學(xué)學(xué)士學(xué)位。在大學(xué)期間他全面掌握了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)和光學(xué)。1665-1666的兩年期間，劍橋流行黑熱病，學(xué)校暫時(shí)停辦，他回到老家。這段時(shí)間中他發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定律，開始了光學(xué)中的顏色實(shí)驗(yàn)，即白光由7種色光構(gòu)成的實(shí)驗(yàn)，而且由于一次躺在樹下看到蘋果落地開始思索地心引力問題。在30歲時(shí)，牛頓被選為皇家學(xué)會(huì)的會(huì)員，這是當(dāng)時(shí)英國(guó)最高科學(xué)榮譽(yù)。牛頓及其在力學(xué)發(fā)展中的貢獻(xiàn)★牛頓在光學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了太陽光是由7種不同顏色的光合成的，他提出了光的微粒說。★牛頓在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是與萊布尼茲各自獨(dú)立地發(fā)明了微積分，給出了二項(xiàng)式定理?！锱ｎD在力學(xué)上最重要的貢獻(xiàn)，也是牛頓對(duì)整個(gè)自然科學(xué)的最重要貢獻(xiàn)是他的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》。這本書出版于1687年，書中提出了萬有引力理論并且系統(tǒng)總結(jié)了前人對(duì)動(dòng)力學(xué)的研究成果，后人將這本書所總結(jié)的經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)稱為牛頓力學(xué)。牛頓牛頓(S.I.Newton1662—1727)是偉大的英國(guó)科學(xué)家。牛頓定律是他在開普勒、伽利略等人所做工作的基礎(chǔ)上，于1687年在其名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中提出的?！?0-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程根據(jù)牛頓第二定律，若質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m，受n個(gè)力F1,F2,….,Fn作用，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的加速度的表示形式，則xozyrFR

Mijk若F1Fn矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。（10－3）FiaFRFRFRaaa或則有矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。

M

M

M1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在直角坐標(biāo)軸上的投影在直角坐標(biāo)系Oxyz中，有則：直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。xozyrijkFi

MaF1Fn將式向坐標(biāo)軸投影，得（11－4）直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。2.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在自然軸上的投影自然軸系的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。則在質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡上建立自然軸系M

bn，

根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)知，質(zhì)點(diǎn)的加速度在運(yùn)動(dòng)軌跡的密切面內(nèi)，即bnaFτ所以作用在該質(zhì)點(diǎn)上力系的合力也應(yīng)該在此密切面內(nèi)，(＋)(－)m（10－5）式中，

F

i，F(xiàn)ni和Fbi分別是作用于質(zhì)點(diǎn)的各力在切線、主法線和副法線上的投影。自然軸系的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。自然軸系的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。自然軸系的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。bnaFτmbnaFτmbnaFτm§10-3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題一、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的第一類基本問題

已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求此質(zhì)點(diǎn)所受的力。如果知道質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，通過導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，求出該質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度，代入質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程，得一代數(shù)方程組，即可求解。二、質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的第二類基本問題

已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求解此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的第二類基本問題，如求質(zhì)點(diǎn)的速度、運(yùn)動(dòng)方程等，歸結(jié)為解微分方程或求積分問題，還需確定相應(yīng)的積分常數(shù)。因此，需按作用力的函數(shù)規(guī)律進(jìn)行積分，并根據(jù)具體問題的運(yùn)動(dòng)條件確定積分常數(shù)。在實(shí)際問題中，只有在一些比較特殊的情況下，能解出微分方程，獲得解析解；更多情況下，往往只能通過逐步逼近或數(shù)值計(jì)算的方法，獲得近似解或數(shù)值解。yxoryx解：㈠求質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程：即質(zhì)點(diǎn)的軌跡是橢圓。例10-1質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m，運(yùn)動(dòng)方程是x=bcosωt,

y=dsinωt，其中b,d,ω為常量。求作用在此質(zhì)點(diǎn)上的力。從運(yùn)動(dòng)方程中消去

t，得ij㈡求質(zhì)點(diǎn)的加速度㈢求質(zhì)點(diǎn)所受的力由得rrrXYM所以，質(zhì)點(diǎn)所受的力可表示為⑴力的方向永遠(yuǎn)指向橢圓中心，為有心力；⑵力的大小與此質(zhì)點(diǎn)至橢圓中心的距離成正比。易知：yxorMyxij已求得XYFymmaYxmmaXyx22ww-==-==jiFYX+=)(2jiyxm+-=wr2wm-=例題10-2曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖所示.曲柄OA以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng),OA=AB=r?；瑝KB的運(yùn)動(dòng)方程為x=2rcos

。如滑塊B的質(zhì)量為m,摩擦及連桿AB的質(zhì)量不計(jì)。求當(dāng)

=

t=0時(shí)連桿

AB所受的力。OAB

B解:

取滑塊B為研究對(duì)象

由于桿的質(zhì)量不計(jì),AB為二力桿且受平衡力系作用。NmgF

x=2rcos

=

tax=-2r

2cos

max=-Fcos

F=-2mr

2例題10-3質(zhì)量為1kg的重物M,系于長(zhǎng)度l=0.3m的線上,線的另一端固定于天花板上的O點(diǎn),重物在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)而使懸線成為一圓錐面的母線,且懸線與鉛垂線間的夾角恒為60,試求重物運(yùn)動(dòng)的速度和線上的張力。60

MrvFTmg解：取重物M為研究對(duì)象，選用自然坐標(biāo)軸投影形式。例10-4

已知桁車吊的重物重為G，以勻速度v0前進(jìn)，繩長(zhǎng)為l。求突然剎車時(shí)，繩子所受的最大拉力。φvv0解：研究重物，桁車突然剎車后，重物做圓弧擺動(dòng)。當(dāng)其擺至φ角處，受力如圖。TGτ由自然軸系的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，有(a)(b)可知，拉力T與重物的速度v、擺角φ有關(guān)，v0v0v0φφφTGTGTGτττnnnnvvv對(duì)(a)式進(jìn)行分離變量并積分：得：(c)v0TGτnv和已推得(b)將(c)式代入(b)式，得當(dāng)φ=0時(shí)，l例10-5炮彈射出，直角坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程為求：t=0時(shí)炮彈的切向加速度和法向加速度，以及這時(shí)軌跡的曲率半徑。當(dāng)t=0時(shí)將加速度在切線和法線方向分解有當(dāng)t=0時(shí)，v=v0，由上式得由得FN

a習(xí)題

已知：P，

。求fmin。解:（1）

取物塊為研究對(duì)象PFa

（2）

研究對(duì)象受力分析

（3）

研究對(duì)象運(yùn)動(dòng)分析

（4）

列方程求解求知量yx例10－7

已知：P,l,v0.求Fmax.。O1Ov0v解:取物塊為研究對(duì)象

FP動(dòng)荷系數(shù)n習(xí)題

粉碎機(jī)滾筒半徑為R，繞通過中心的水平軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，筒內(nèi)鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。為了使鐵球獲得粉碎礦石的能量，鐵球應(yīng)在θ=θ0時(shí)才掉下來。求滾筒每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)n。nnnvvvv質(zhì)點(diǎn)在未離開筒壁前的速度等于筒壁的速度，即nFSmgFN解：研究對(duì)象：運(yùn)動(dòng)分析：鐵球（視為質(zhì)點(diǎn)），受力分析：質(zhì)點(diǎn)在上升過程中受力有重力mg、由有筒壁的法向反力FN、筒壁的切向反力FS。

鐵球在滾筒的帶動(dòng)下沿圓弧向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到一定高度時(shí)，將脫離筒壁沿拋物線下落；解得nFSmgFNnFSmgFNnFSmgFN已求得滾筒轉(zhuǎn)速為當(dāng)θ=θ0

時(shí)，鐵球?qū)⒙湎?，此時(shí)

FN

=0，得FSmgFNFN=0θFNFNFNθθ討論⑴若n

＜n0，則θ＞θ0，⑵若n＞n0，則θ＜θ0，⑷對(duì)離心澆鑄，則要求n>ncr。即鐵球在低處落下；

即鐵球在高處落下；⑶若時(shí)，θ=0

，則鐵球不再脫離筒壁落下。習(xí)題

在均勻的靜止液體中，質(zhì)量為m的物體M從液面處無初速下沉，如圖所示。設(shè)液體阻力R=－μv,其中μ為阻尼系數(shù)，忽略液體對(duì)小球的浮力。試分析該物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其特征。見續(xù)后解：取物體M為研究對(duì)象；物體在運(yùn)動(dòng)中受力有：建立坐標(biāo)系如圖。由重力mg、阻力R；OyxmgＲmgＲmgＲmgＲ有令vvvvv0=

0上式的不定積分為可得所以v0=

0v0=

0已知m，v0=0

，R=－

v,求運(yùn)動(dòng)規(guī)律已求得物體自液體表面自由下落后速度隨時(shí)間的變化規(guī)律為vcto作出物體自液體表面自由下落后速度隨時(shí)間的變化曲線：對(duì)速度表達(dá)式再積分一次，即可得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程：從曲線可以看出，當(dāng)時(shí)間ｔ→∞時(shí)，ｖ→ｃ，即v→mg/

，稱為極限速度。事實(shí)上，在靜止的阻尼介質(zhì)中，不論初速度如何，落體都將趨于以極限速度而下落。此時(shí)重力等于阻力。討論

㈠根據(jù)⑴當(dāng)

mg>μv

時(shí)，物體加速下落。⑵當(dāng)

mg=μv

時(shí)，物體勻速下落，vlim

稱為極限速度。此時(shí)㈡應(yīng)用：⑴分離混合物⑵跳傘問題分析若跳傘員的體重mg=750N，空氣阻力R=－μv2，阻力系數(shù)在