福建省三明市高砂職業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

福建省三明市高砂職業(yè)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)，則不等式f（x）≥x2的解集是(

) A． B． C． D．參考答案：A考點(diǎn)：一元二次不等式的解法．分析：已知分段函數(shù)f（x）求不等式f（x）≥x2的解集，要分類討論：①當(dāng)x≤0時(shí)；②當(dāng)x＞0時(shí)，分別代入不等式f（x）≥x2，從而求出其解集．解答： 解：①當(dāng)x≤0時(shí)；f（x）=x+2，∵f（x）≥x2，∴x+2≥x2，x2﹣x﹣2≤0，解得，﹣1≤x≤2，∴﹣1≤x≤0；

②當(dāng)x＞0時(shí)；f（x）=﹣x+2，∴﹣x+2≥x2，解得，﹣2≤x≤1，∴0＜x≤1，綜上①②知不等式f（x）≥x2的解集是：﹣1≤x≤1，故選A．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查一元二次不等式的解法，在解答的過(guò)程中運(yùn)用的分類討論的思想，是一道比較基礎(chǔ)的題目．2.已知直線與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)公共點(diǎn)，其中，則有

(

）A．

B．

C．D．參考答案：B3.如果復(fù)數(shù)(其中)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則＝（

）A．2 B． C． D．1參考答案：B4.若等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)都成立，則(

)A．

B．

C．

D．0

參考答案：B解法一：∵，∴（C為常數(shù)），取得，再取得，即得，∴，故選B．解法二：∵，∴∴，故選B．5.（5分）（2015?萬(wàn)州區(qū)模擬）已知O是△ABC的外心，AB=6，AC=10，若=x+y，且2x+10y=5，則△ABC的面積為（）A．24B．C．18或D．24或20參考答案：【考點(diǎn)】：向量在幾何中的應(yīng)用．【專題】：平面向量及應(yīng)用．【分析】：取AC中點(diǎn)為D，則OD⊥AC，把寫為=+，然后用兩種方法寫出，由數(shù)量積相等結(jié)合2x+10y=5，需要分類討論，當(dāng)x≠0求得cos∠BAC，進(jìn)一步得到其正弦值，代入三角形的面積公式求得三角形ABC的面積，當(dāng)x=0時(shí)，得到三角形為直角三角形，求出面積，問(wèn)題得以解決解析：取AC的中點(diǎn)，則OD⊥AC，⊥如圖所示∵=+，∴?=?+=COS0=5×10=50，∵=x+y，∴?=（x+y）?=x+y=x||||cos∠BAC+y=60x?cos∠BAC+100y，∴60x?cos∠BAC+100y=50∵2x+10y=5，∴60xcos∠BAC=20x，當(dāng)x≠0時(shí)，∴cos∠BAC=，∴sin∠BAC=，∴S△ABC=AB?AC?sin∠BAC=×6×10×=20當(dāng)x=0時(shí)，則y=，∴=0+，∴=，∴點(diǎn)A，0，C共線，∴即點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，∴三角形ABC以B為直角的直角三角形，∴BC===8，∴S△ABC=AB?BC=×6×8=24故選：D【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了三角形面積公式的應(yīng)用，是中檔題．6.已知命題若，則恒成立；命題等差數(shù)列中，是的充分不必要條件（其中）.則下面選項(xiàng)中真命題是（

）A.（）（）

B.（）（）C.（）∧

D.參考答案：D7.已知集合，集合則

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A.

B.

C.

D.參考答案：B8.已知函數(shù)函數(shù)，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：A9.已知集合，，則A.

B.

C.

D.參考答案：B10.四邊形ABCD中，，則的取值范圍是（

）A.[－1,3] B.(－3,－1)C.(－3,1) D.參考答案：C【分析】數(shù)形結(jié)合分析數(shù)量積的取值范圍即可.【詳解】畫出圖象,因?yàn)?故四點(diǎn)共圓.又,易得..易得當(dāng)在時(shí)取最小值,當(dāng)在時(shí)取最大值.故的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的綜合運(yùn)用,需要數(shù)形結(jié)合分析的軌跡再分析數(shù)量積的取值范圍,屬于中等題型.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知,且,則_______________.參考答案：略12.（幾何證明選講選做題）已知是圓的切線，切點(diǎn)為，直線交圓于兩點(diǎn)，,，則圓的面積為

．參考答案：13.(選修4—1幾何證明選講）若直角的內(nèi)切圓與斜邊相切于點(diǎn),且,則的面積為_________.參考答案：214.已知定義在上的函數(shù)可以表示為一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)之和，設(shè)若方程無(wú)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是▲

.參考答案：15.已知某算法的流程圖如圖所示，則程序運(yùn)行結(jié)束時(shí)輸出的結(jié)果為

．參考答案：3第一次循環(huán)有；第二次循環(huán)有；第三次循環(huán)有；此時(shí)滿足條件，輸出。16.給出四個(gè)命題：（1）若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形；（2）若sinA=cosB，則△ABC為直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C＜2，則△ABC為鈍角三角形；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，則△ABC為正三角形，以上正確命題的是

．參考答案：（3）（4）【考點(diǎn)】正弦定理．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】（1）由sin2A=sin2B，A，B∈（0，π），可得2A=2B，或2A+2B=π，即可判斷出正誤；（2）由sinA=cosB=，A，B∈（0，π），可得A=﹣B，或A+﹣B=π，即可判斷出正誤；（3）由sin2A+sin2B+sin2C＜2，利用倍角公式可得：++＜2，化為cos2A+cos2B+cos2C＞﹣1，再利用倍角公式、和差公式化為cosAcosBcosC＜0，即可判斷出正誤；（4）由cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，利用余弦函數(shù)的值域，可得A﹣B=B﹣C=C﹣A=0，即可判斷出正誤．【解答】解：（1）若sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B，或2A+2B=π，解得A=B，或A+B=，則△ABC為等腰三角形或直角三角形，因此不正確；（2）若sinA=cosB=，∵A，B∈（0，π），∴A=﹣B，或A+﹣B=π，解得A+B=或，則△ABC為鈍角三角形或直角三角形，因此不正確；（3）∵sin2A+sin2B+sin2C＜2，∴++＜2，化為cos2A+cos2B+cos2C＞﹣1，∴2cos2A+2cos（B+C）cos（B﹣C）＞0，∴cosA＞0，∴cosAcosBcosC＜0，因此△ABC為鈍角三角形，正確；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，∵cos（A﹣B）∈（﹣1，1]，cos（B﹣C）∈（﹣1，1]，cos（C﹣A）∈（﹣1，1]，可知：只有三個(gè)都等于1，又A，B，C∈（0，π），∴A﹣B=B﹣C=C﹣A=0，∴A=B=C，則△ABC為正三角形，正確．以上正確的命題是：（3）（4）．故答案為：（3）（4）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的值域、三角形內(nèi)角和定理、倍角公式與和差公式、誘導(dǎo)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．17.若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則其母線與底面角的大小為

（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）。

參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分14分)

如圖，四棱錐中，，∥，，．（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）線段上是否存在點(diǎn)，使//平面？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．參考答案：（Ⅰ）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，．因?yàn)?，所以．…………?分因?yàn)椤?，，所以∥，．又因?yàn)?，所以四邊形為矩形，所以?/p>

…………4分

因?yàn)?，所以平面?/p>

…………6分所以

．

…………7分

（Ⅱ）解：點(diǎn)滿足，即為中點(diǎn)時(shí)，有//平面．…………8分證明如下：取中點(diǎn)，連接，．

……………9分因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以∥，．

因?yàn)椤?，，所以∥，．所以四邊形是平行四邊形，所以∥?/p>

……………12分因?yàn)槠矫妫矫妫?/p>

……………13分所以//平面．

………14分19.已知橢圓的左焦點(diǎn)F和上頂點(diǎn)B在直線上，A為橢圓上位于x軸上方的一點(diǎn)，且AF⊥x軸，M，N為橢圓C上不同于A的兩點(diǎn)，且∠MAF=∠NAF．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線MN與y軸交于點(diǎn)D（0，d），求實(shí)數(shù)d的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）求得直線在坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，可得F，B的坐標(biāo)，即有b，c，再由a，b，c的關(guān)系可得a的值，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)直線AM的斜率為k，由∠MAF=∠NAF，可得直線AM，AN關(guān)于直線AF對(duì)稱，可得直線AN的斜率為﹣k，求得A的坐標(biāo)，設(shè)出直線AM的方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得M的橫坐標(biāo)，將k換為﹣k，可得N的橫坐標(biāo)，運(yùn)用直線的斜率公式可得直線MN的斜率，進(jìn)而得到直線MN的方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用判別式大于0，解方程可得d的范圍；再由A在直線MN上，解不等式可得d的范圍，求交集，即可得到所求d的范圍．【解答】解：（1）由左焦點(diǎn)F和上頂點(diǎn)B在直線上，可得F（﹣1，0），B（0，），即有c=1，b=，a==2，則橢圓的方程為+=1；（2）設(shè)直線AM的斜率為k，由∠MAF=∠NAF，可得直線AM，AN關(guān)于直線AF對(duì)稱，可得直線AN的斜率為﹣k，令x=﹣1，可得A（﹣1，），設(shè)直線AM的方程為y﹣=k（x+1），聯(lián)立橢圓方程3x2+4y2=12，可得（3+4k2）x2+（12+8k）kx+（4k2+12k﹣3）=0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由﹣x1=，即有x1=﹣，將上式中的k換為﹣k，可得x2=﹣．y1=k（x1+1）+，y2=﹣k（x2+1）+，則直線MN的斜率為===﹣，由直線MN與y軸交于點(diǎn)D（0，d），可得直線MN的方程為y=﹣x+d，代入橢圓3x2+4y2=12，可得x2+dx+d2﹣3=0，由△=d2﹣4（d2﹣3）＞0，解得﹣2＜d＜2，由A在直線MN的上方，可得＞﹣×（﹣1）+d，解得d＜1．可得﹣2＜d＜1．則實(shí)數(shù)d的取值范圍為（﹣2，1）．20.已知函數(shù)=的圖像在點(diǎn)處的切線為求函數(shù)的解析式。當(dāng)時(shí)，求證：；若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。參考答案：（Ⅰ）f（x）=ex-x2+a，f'（x）=ex-2x．

由已知?，f（x）=ex-x2-1．

（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x2-x=ex-x-1，φ'（x）=ex-1，由φ'（x）=0，得x=0，

當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，φ'（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增．

∴φ（x）min=φ（0）=0，從而f（x）≥-x2+x．…（8分）

（Ⅲ）f（x）＞kx對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立?＞k對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立，

令g(x)=，x＞0，

∴g′(x)===．

由（Ⅱ）可知當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，ex-x-1＞0恒成立，令g'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0，得0＜x＜1．

∴g（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）．g（x）min=g（1）=0．

∴k＜g（x）min=g（1）=0，∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，0）略21.如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AC⊥PB（Ⅱ）若PD=2，AB=，求直線AE和平面PDB所成的角．參考答案：考點(diǎn)：直線與平面所成的角；棱錐的結(jié)構(gòu)特征．專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（Ⅰ）判斷AC⊥面PBD，再運(yùn)用直線垂直直線，直線垂直平面問(wèn)題證明．（II）根據(jù)題意得出AC⊥面PBD，運(yùn)用直線與平面所成的角得出∴∠AEO直線AE和平面PDB所成的角利用直角三角形求解即可．解答： 證明：（Ⅰ）∵四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，AC⊥BD，∵PD∩DB=D，∴AC⊥面PBD，∵PB?面PBD，∴AC⊥PB．（Ⅱ）連接EO，∵點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，O為DB中點(diǎn)，∴OE∥PD，∵PD=2∴OE=1∵AC⊥面PBD，∴∠AEO直線AE和平面PDB所成的角∵底面ABCD是正方形，AB=，∴AC=2，AO=1，∴Rt△AEO中∠AEO=45°即直線AE和平面PDB所成的角45°點(diǎn)評(píng)：本題考查了棱錐的幾何性質(zhì)，直線與平面角的概念及求解，考查學(xué)生的空間思維能力，運(yùn)用平面問(wèn)題解決空間問(wèn)題的能力．22.已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)．（1）設(shè)，若，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）定義：若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)、，設(shè)線段的中點(diǎn)為，若在點(diǎn)處的切線與直線平行或重合，則函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，切線叫做函數(shù)的“中值平衡切線”．試判斷函數(shù)是否是“中值平衡函數(shù)”？若是，判斷函數(shù)的“中值