2021年北京市中考數(shù)學(xué)試卷及參考答案

2021年北京市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共16分，每題2分）第L8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個。

1.如圖是某兒何體的展開圖，該凡何體是（）

A.長方體B.圓柱C.圓錐D.三棱柱

2.黨的十八大以來，堅持把教育扶貧作為脫貧攻堅的優(yōu)先任務(wù).2014-2018年，中央財政

累計投入“全面改善貧困地區(qū)義務(wù)教育薄弱學(xué)?；巨k學(xué)條件”專項補助資金1692億元,

將169200000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.0.1692X1012B.I.692X1012

C.1.692X1011D.16.92X1O10

3.如圖，點。在直線AB上，OCLOD.若NAOC=120°,則NB。。的大小為（）

5.實數(shù)”，〃在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）

1

A.a>-2B.\a\>bC.a+b>0D.h-a<0

6.同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則一枚硬幣正面向上、一一枚硬幣反面向上的概率是（)

A.工B.AC.—D.2

4323

7.己知432=1849,442=1936,452=2025,462=2116.若“為整數(shù)且“〈42021<〃+1，

則〃的值為（）

A.43B.44C.45D.46

8.如圖，用繩子圍成周長為10,"的矩形，記矩形的一邊長為xm,它的鄰邊長為矩形

的面積為S戶.當》在一定范圍內(nèi)變化時，y和S都隨x的變化而變化，則），與x,S與x

滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）

y

X

A.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

B.反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

C.一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系

D.反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系

二、填空題（共16分，每題2分）

9.若'。在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是.

10.分解因式：5/-5/=.

11.方程_2_=上的解為___.

x+3x

12.在平面直角坐標系xOy中，若反比例函數(shù)y=K*W0）的圖象經(jīng)過點A（1,2）和點

X

B（-1,“），則m的值為.

13.如圖，PA,P3是。0的切線，A,B是切點.若NP=50°,則NAO8=.

14.如圖，在矩形A3CO中，點E,尸分別在5C,AO上，AF=EC.只需添加一個條件即

2

可證明四邊形AECF是菱形，這個條件可以是（寫出一個即可）.

甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為s，J,s/,則5甲2旌2（填“>，，，“v”或“=

16.某企業(yè)有A,B兩條加工相同原材料的生產(chǎn)線.在一天內(nèi)，A生產(chǎn)線共加工。噸原材料,

加工時間為（4〃+1）小時；在一天內(nèi)，B生產(chǎn)線共加工6噸原材料，加工時間為（26+3）

小時.第一天，該企業(yè)將5噸原材料分配到A,8兩條生產(chǎn)線，兩條生產(chǎn)線都在一天內(nèi)完

成了加工，且加工時間相同，則分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)與分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)的比

為.第二天開工前，該企業(yè)按第一天的分配結(jié)果分配了5噸原材料后，又給A生

產(chǎn)線分配了m噸原材料，給B生產(chǎn)線分配了n噸原材料.若兩條生產(chǎn)線都能在一天內(nèi)加

工完各自分配到的所有原材料，且加工時間相同，則%的值為.

n

三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21-22題，每題6分，第23題5分，第

24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、

演算步驟或證明過程。

17.計算：2sin60°-H/124-I-5|-（TT+%）0.

‘4x-5>x+l

18.解不等式組：,3X-4/?

19.已知/+2y-i=o,求代數(shù)式（a-b）2+b（2a+b）的值.

20.《淮南子?天文訓(xùn)》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時，在地面上點

A處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點使B,A兩點間的距離為10步

（步是古代的一種長度單位），在點3處立一根桿；日落時，在地面上沿著點8處的桿的

影子的方向取一點C,使C,8兩點間的距離為10步，在點C處立一根桿.取C4的中

點那么直線。8表示的方向為東西方向.

（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點A,B,C的位置如圖所示.使用直

3

尺和圓規(guī)，在圖中作CA的中點。(保留作圖痕跡);

(2)在如圖中，確定了直線OB表示的方向為東西方向.根據(jù)南北方向與東西方向互相

垂直，可以判斷直線C4表示的方向為南北方向，完成如下證明.

證明：在△ABC中，BA=,。是C4的中點，

C.CALDB()(填推理的依據(jù)).

???直線QB表示的方向為東西方向，

直線CA表示的方向為南北方向.

21.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4/nx+3m2=0.

(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若〃?>0,且該方程的兩個實數(shù)根的差為2,求〃?的值.

22.如圖，在四邊形ABCD中，ZACB^ZCAD=90°，點E在BC上，AE//DC,EF±AB,

垂足為F.

(1)求證：四邊形AECD是平行四邊形；

(2)若AE平分NR4C,BE=5,cosB=A,求8F和4。的長.

5

23.在平面直角坐標系xQy中，一次函數(shù)(kWO)的圖象由函數(shù)>=▲式的圖象向下

2

平移1個單位長度得到.

(1)求這個一次函數(shù)的解析式；

(2)當x>-2時，對于x的每一個值，函數(shù)優(yōu)(加#0)的值大于一次函數(shù)y=Ax+b

的值，直接寫出機的取值范圍.

24.如圖，。0是AABC的外接圓，AQ是。。的直徑，于點￡

4

(1)求證：/BAD=NCAD；

(2)連接BO并延長，交AC于點F,交于點G,連接GC.若。0的半徑為5,OE

=3,求GC和。尸的長.

25.為了解甲、乙兩座城市的郵政企業(yè)4月份收入的情況，從這兩座城市的郵政企業(yè)中，各

隨機抽取了25家郵政企業(yè)，獲得了它們4月份收入(單位：百萬元)的數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)

進行整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

a.甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如下(數(shù)據(jù)分成5組：6Wx<8,

10.010.010.110.911.411.511.611.8

c.甲、乙兩座城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下:

平均數(shù)中位數(shù)

甲城市10.8m

乙城市11.011.5

根據(jù)以上信息，回答下列問題:

(1)寫出表中加的值；

5

(2)在甲城市抽取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個數(shù)

為⑶.在乙城市抽取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個

數(shù)為P2.比較pi,p2的大小，并說明理由；

(3)若乙城市共有200家郵政企業(yè)，估計乙城市的郵政企業(yè)4月份的總收入(直接寫出

結(jié)果).

26.在平面直角坐標系xOy中，點(1,瓶)和點(3,〃)在拋物線)，="2+或(a>0)上.

(1)若機=3,n=15,求該拋物線的對稱軸；

(2)已知點(-1,yi),(2,yi),(4,”)在該拋物線上.若mn<0,比較yi,yi,”

的大小，并說明理由.

27.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,〃為8c的中點，點。在MC上，以點A

為中心，將線段AQ順時針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE,連接BE,DE.

(1)比較NBAE與NCA。的大??；用等式表示線段BE,BM,之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明；

(2)過點M作AB的垂線，交DE于點N,用等式表示線段NE與NQ的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

28.在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為1.對于點A和線段8C,給出如下定義：若

將線段8C繞點A旋轉(zhuǎn)可以得到。。的弦B'C(S',C分別是8,C的對應(yīng)點)，

則稱線段BC是。0的以點4為中心的“關(guān)聯(lián)線段”.

(1)如圖，點A,B\,Ci,比，Ci,83,C3的橫、縱坐標都是整數(shù).在線段81。，B2c2,

83c3中，OO的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是；

(2)△ABC是邊長為1的等邊三角形，點A(0,t),其中fWO.若3c是00的以點A

為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求才的值；

(3)在AABC中，AB=\,AC=2.若BC是的以點4為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接

寫出OA的最小值和最大值，以及相應(yīng)的BC長.

6

7

2021北京中考數(shù)學(xué)試卷答案

I-右圖是某幾何體的展開圖,讀幾何體是?~~,

(A)長方體(B)陶柱||

(C)嬲博(D)三檢柱O

??????????*■?????????

售案:B

解析：?在圖。展葉圖?近十年內(nèi)除「2013年川2015年，共號「8次

2黨的十八大以來，堅持把教育扶貧作為脫貧攻堅的優(yōu)先任務(wù).2014-2018年,中央

財政累計投入“全面改善貧困*區(qū)義務(wù)教育薄弱學(xué)校箓本辦學(xué)條件一專事樸助資金

1692億元.將169200000000用科學(xué)記效法表示應(yīng)為

(A)a1692xIO11(B)1.692x10a(C)1.692x10"(D)16.92xIO-

答案：c

川析：科學(xué)記數(shù)法,近十年內(nèi)除「2017年.共與「9次

3.如圖.點0在直線48上.OC10D.若LMC?120",則4300的大小為

答案1D

解析：當邊彬內(nèi)角他.近卜年內(nèi)除「2013年和2014年.共考「8次.

5.實數(shù)明6在數(shù)輸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正■的是

ab

--31-2~0r-i2

(A)a>-2(B)lai>b(C)a^6>0(D)6-a<0

答案:B

解析：敏柏?近L年每年都出現(xiàn).

6.同時獨擦兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,則一枚硬而正面向上，一牧硬幣反面向上的概率是

(A)-J-(B)|(C)y(D),

8

捽案：c

解忻：M率.近I隼除T2016年和2019年.共號了8次.

7.巳知431?IM9.44?.1936.451.202，.461>2116.蘇i.為“故，

且“<S55T<c?I.m”的值為

(A)43(B)44(C)43(I))46

拚案：B

網(wǎng)析：Jt抨攻比大小同趣.近十年內(nèi)與f.次，是個考試新絡(luò)點.

&如圖.用*子陰成周長為IOE的期影.記始出的一邊長為，叫------------

它的郭邊長為ym.愜形的面枳為Sm).當x在一定然僭內(nèi)受化時,’

，知S部閏I的變化而變化,則y與x.S與*扃足的話數(shù)關(guān)系分別是-----*-----

(A)一次函岐關(guān)系,二次雨數(shù)關(guān)系(B)反比例函數(shù)關(guān)系,二次雨故關(guān)系

(C)一次I*”關(guān)系,反比例隔數(shù)關(guān)系(D)反比例南數(shù)關(guān)系,一次函數(shù)關(guān)系

答案:A

3折，也數(shù).與2020年圖#類似.近I"，了7次.

9.若在實數(shù)落網(wǎng)內(nèi)有意義,剜實數(shù)X的取值應(yīng)朋是.

答案：x>7

解析：代數(shù)式行息義.近I年除T2012(I和2015年.共考了7次.

IQ分?因式：.

答案：Xx+yXx-/)

X析：因式分解,在17年、18年、19年和20年未r年內(nèi)能考廣7次?

II.方程工■工的■為

?*3*-

答案：x=3

解析：分式方慳.近卜五年除了2016年和2019年,共考廣H次.

II在平面直角坐標累MOy中,若反比例函數(shù)y=的圖象修過點4(1.2)和

點8(-I.m).9im的值為.

存案：-2

解析：反比例由?(.近I年共號(4次,分別比2014年、2019年、2020”和2021年.連號3年.

9

13.如圖./M.P8是。。的切線,4.8是切點.若4P?50%則LAOB?

*BUfflMi4an

130-

端析，利用切線定理1?中求角度.也十年件」了4次.分別是2014年、2017年*2018年和2021距.

14.如圖.在矩形48CO中.點E.F分別在8C,40上.4F=￡C.只需靖加一個條件

BP可證明四邊形4￡CF是菱形，這個條件可以是（寫出一個即可）.

答案：AF=FC（答案小啡）

解折：四邊膨證明.在2013年,2019年出戲.2020年與?:用形全等證明.是?個新寫法-

IX有甲,乙兩組數(shù)據(jù)，如下表所示：

甲1112131415

乙1212131414

甲.乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為M44（填成”一）.

答案：＞

解折：數(shù)據(jù)分析，新號法.

|&票企亞有A.B兩條加工相同原材料的生產(chǎn)煌.在一天內(nèi)，A生產(chǎn)線共加工。噸

原材料,HO1時間為（4a?1）小時；在一天內(nèi).B生產(chǎn)線共加工6噸原材料.

館工時間為（乃+3）小時.笫一天,諛企業(yè)將5噸原材料分配到A.B兩條生產(chǎn)線.

兩條生產(chǎn)段都在一天內(nèi)完成了加工.旦加工時間相同,剜分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)與

分配到B生產(chǎn)線的幌數(shù)的比為.第二天開工前.慎企業(yè)按第一天的分配結(jié)果

分配了5噸原材料后.又蠟A生產(chǎn)線分配了所噸原材料,給B生產(chǎn)線分配了“噸

原材料.若網(wǎng)條生產(chǎn)線都能在一天內(nèi)加工完各自分配到的所有原材料，且加工時間

相同.則二的值為.

n

杵案：2:3.■

解析：方程應(yīng)用、推理何恩.連片4年.分別比20程年.9隼.2020年和20n年.

10

17.計算：2.in6O°?JU?|-5|-

答案：3&4

?析:實新計算.

41-5>M4I,

13,-4<X

忤案：2<x<4

MVr>不等式組計算.

19.已知1?%'-】?0.求代數(shù)式(。+6(2??6)的值.

答案：1

解析：化簡求值.

2Q《淮南子?天文訓(xùn)》中記栽了一料?定東西方向的方法,大意是：日出時,在地面上

點4處立一根桿,在地面上沿看桿的影子的方向取一點8.使8.4兩點間的距離

為10步(步是古代的一科長度單位).在點8處立一根桿；日落時,在地面上沿著

點8處的桿的影子的方向取一點C,使C.8兩點間的距離為10步,在點C處立

-Wff.取CA的中點D.那么直線DB程示的方向為東西方向.

(I)上述方法中，桿在地面上的影子所在1［段及點4.B.C的位置如圖所示.

使用宜尺和陶規(guī),在圖中作C4的中點0(保留作用痕跡)；

(2)在上圖中.■定了直線。8表示的方向為東西方向.根據(jù)南北方向與東西方向

互相重直,可以判斷直線。(表示的方向為南北方向.完成如下證明.

證明：在AABC中,BA?.。是C4的中點.

CAJ.DB()(填攙理的依據(jù))

???直fit08表示的方向為東西方向.

真城C4覆示的方向為南北方向.

答案：圖略?BC：等腰三角形三線合一

解析：作圖寫依據(jù).

11

2!.巳知關(guān)于x的一元二次方程M1-4?u?3m1-0.

(I)求證：該方程總有傍個實數(shù)糧；

(2)若m>0.且讀方程的兩個實效糧的船為2.求"?的值

答案：(1)A-4mJ>0,(2)m-i

穌析：一兀.次方程.

22.如圖，在四邊影ABCD中,4AC8=Z.C4D?90?，點￡在8c上‘AE"

EF1AB,垂足為F.

(I)求證：四邊形A￡C。是平行四邊形；

(2)若4￡平分LBAC,BE?5.(?“

答案：(1)易證：(2)8尸=4..4。=3

川析：四邊膨綜4、用平分線性斯.

21在平面直布坐標系xOy中.一次函數(shù)》?b*6(i**0)的圖象由

的數(shù)y舊，的圖象向下平移I個，位長度得到.

(1)求這個一次函數(shù)的解析式；

(2)當x>?2時.財于■的每一個值.而數(shù)，?《*(題~0)的值大于

一次的數(shù)y?b?6的值.直接寫出m的取值值BL

答案：(1)y^x-1?(2)0<m<l

川析：次踽數(shù),與2020年號也雷同.

12

24.如圖，。。是△ABC的外接RI.40是。。的直徑,AD工BC于點E.

(1)求證：LBAD-Z.C4Q；

(2)連接80井窿氏,交4c于點匕交。。于點C,連接GC.若。。的半粒為S.

?！?3.求GC和0f的長.

答案：(1)坊證，(2)GC=6.OF

網(wǎng)折：圈繪合、相似.

13

25.為了*甲、乙兩座城市的郵政企業(yè)4月份收入的情況,從這兩座城市的■政企業(yè)中.

各隨機抽取了25*齪政企業(yè),獲得了它們4月份收入(柒位：百萬元)的數(shù)據(jù).

并對數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析.下面始出了部分信息.

?.甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如下(數(shù)據(jù)分成5組:

6<x<8.8Cx<10,10C?<12,12<?<14.14<?<>6):

b.甲城市修政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)在10<?<12這一饗的是：

iaoiaoia?ia9n.411.5n.6n.s

e.甲、乙兩座城市■政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下：

平均數(shù)中位數(shù)

甲城市1Q8m

乙城市11.011.5

楨據(jù)以上信息，回答下列向?:

(1)寫出表中m的值；

(2)在甲城市抽取的郵政企業(yè)中.記4月份收入高于它們的平均收入的趣政企業(yè)的個數(shù)為PL

在乙城市抽取的岫及企業(yè)中.記4月份收入高于它們的平均收入的如改企業(yè)的個數(shù)為丹.

比較Pi,p,的大小，并說明理由；

(3)若乙城市共有200家修政企業(yè),估計乙城市的?政企業(yè)4月份的總收入(直接寫出

itJR).

猝案：(1)10.1,(2)科<小,因為中城巾中位數(shù)低十中均數(shù),八地大為12個?乙城中中位數(shù)島于個均數(shù).

p2至少為13個.(3)2200臼方兀.

解析：統(tǒng)計.

14

24在平面I［角啜標系xOy中，點(1,?)和點(3.H)在拋物線y?a??kx(a>0)±.

(I)若m=3.“=15,求謨發(fā)物線的對稱軸；

(2)已知點(?1,力).(2.y,).(4.y>)在該Mt物稅上.若一<0,比較力，力，y,

的大小.并說明理由.

答案：(1)x-It<2)<y(<y,

川析：二次函數(shù)標價.與察點和對稱軸的67置判斷函數(shù)值的大小.

①當雨<0.”>0時.由二次函數(shù)恒過(0.0)點如此時拋物線開口向下,o<0.與。>0矛盾：

②當用>0."<0時,對稱軸為！vx<3.-<x(-1)<-?-<2-x<-.-<4-x<^.

22222222

2x<x-(-l)<4-x

Va>0

27.如圖.在中,AB-AC,CBAC-a.M為8c的中點.點0在MC上，以點4

為中心，將線段ADm時紂旋轉(zhuǎn)a得到線段AE.連接BE.DE.

(I)比較CBAE與LCAD的大小?用等式表示線段8E.BM,MO之間的

數(shù)量關(guān)系，井證明：

4

(2)過點M作48的基線,交0￡于點M用等式襲示找段代￡與NO的效■關(guān)系.

并證明.

15

（I）/BAE/CM.BE十皿BM

解析，易滋&狂5工氏（手拉手模型）

/

BM，KC

（2）NEND

解析t方法1:過點E作EH_LABf

IjSuEflHB￡-CD=>DMHM

2面MN“EHnAD.W-SDHE

nN是DE中點.得證.///、方、A